专题08 数列求通项与求和 （ 16个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题08数列求通项与求和 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 【知识点02】累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 【知识点03】数列求通项（法） 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 【知识点04】构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 【知识点05】倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 【知识点06】裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 【考点题型一】累加法求通项 核心方法：形如： 【例1-1】（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 【例1-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知数列满足，，则数列的前5项的和为________． 【答案】 【分析】通过累加法得出数列的通项即可得数列通项，再利用裂项相消可得答案. 【详解】已知数列满足，， 所以， 累加可得， 即，所以，当时，，符合通项公式， 所以， 所以的前5项的和为. 【变式1-1】（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列满足，则______； 【答案】 【分析】根据累加法可得数列的通项公式，再根据裂项相消求和即可得答案. 【详解】由题意令，得 ， ， 累加可得 ， 则， ， 故. 【变式1-2】（2026高三下·福建福州·专题练习）数列满足（），，对于任意有恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】累加法求数列通项公式，利用数列性质分析即可. 【详解】因为， 所以， ， ， ， 累加得：， 又，所以， 当时，满足，， 所以数列的通项公式为：， 因为，所以随着的增大，逐渐减小，逐渐增大， 所以为递增的数列，且， 所以任意有恒成立，则有，故的取值范围是. 【考点题型二】累乘法求通项 核心方法：形如： 【例2-1】（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知为数列的前n项和，，，则______． 【答案】/0.8 【分析】通过变形条件利用累乘法求解出的通项公式，然后利用裂项相消法求解出结果. 【详解】由，可得， 两式相减可得，所以，， 当时，， 当时，符合上式， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【例2-2】（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）在数列中，首项，时，，则数列的前项和为__________. 【答案】/ 【分析】利用累乘法可求出数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得数列的前项和. 【详解】在数列中，首项，时，， 即当时，， 所以，，，，， 上述等式全部相乘得，则， 也满足，故对任意的，， 所以，， 所以数列的前和为. 故答案为：. 【变式2-1】（2026·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则______. 【答案】 【分析】借助与的关系及累乘法计算即可得. 【详解】当时，，即，， 则，即， 则有，，，， 则， 当时，，符合上式，故. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）已知中，，，则数列的通项公式是______________． 【答案】 【分析】根据题设递推关系得，应用累乘法求的通项公式即可. 【详解】由，可得：，又， ∴＝． ∴． 故答案为： 【考点题型三】已知与的关系；或与的关系 核心方法：用，得到 【例3-1】（26-27高二上·全国·期中）已知数列的前项和为，且（）. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； 【答案】略 【详解】（1）(1)证明： 当时，，即 ，解得， 当 时，， 整理得，即 ，故， ，所以是以为首项、为公比的等比数列， ，即 ； 【例3-2】（26-27高二上·甘肃·阶段检测）设数列的前n项和为，已知. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）因为，当时，，当时，， 两式相减得，即，即， 所以是以为首项，﹣1为公比的等比数列，即 则； 【变式3-1】（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）数列的前n项和（）． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）当时，, 当时，， 验证当时，，成立， 所以的通项公式为； 【变式3-2】（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足：，． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）由， 当时，， 两式相减得，，即，， 当时，，即，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则. 【变式3-3】（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）当时，，由得； 当且时，有， 所以，整理得，即. 当时，联立，解得， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 因此其通项公式为. 【考点题型四】已知与的关系；或与的关系 核心方法：替换题目中的 【例4-1】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知正项数列的前项和为，，且，则_______ 【答案】4053 【分析】根据计算化简得出数列是首项为2，公差为1的等差数列，进而得出通项公式即可求解. 【详解】当时，，即， 由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为2，公差为1的等差数列， 即，则， 当时，； 所以. 【例4-2】（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知数列的前项和为，则__________. 【答案】 【分析】由，所以由得，两边同时除以得，所以为等差数列，求出从而求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以，， 所以， 故答案为：. 【变式4-1】（25-26高二下·四川巴中·期中）已知数列的前项和为，则__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件推导出数列的通项公式，再求出，最后根据求出. 【详解】已知，且， 所以，两边同除以， 则，整理得：， 由得，故是首项为，公差为的等差数列， 因此：， 当时，， 所以. 【变式4-2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； 【答案】(1)略，． 【详解】（1）当时，由前项和定义得：， 已知，则， 是正项数列，故，，则， 又，故是首项为1，公差为1的等差数列， 由等差数列通项得，故， 当时，， 当时，，符合上式， 故． 【变式4-3】（2026·云南昭通·模拟预测）已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以． 当时，， 也满足上式， 所以数列的通项公式为． 【考点题型五】已知等式中左侧含有： 核心方法：作差法（类似） 【例5-1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数列第项与前项和的关系分段求解. 【详解】数列中，，当时，； 当时，，两式相减得 ， 整理得，而不满足上式。 所以. 【例5-2】（25-26高二下·江西南昌·期中）设数列满足，则的前2026项和为_________ 【答案】 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 【变式5-1】（25-26高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）设数列满足3．数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】由可得， 两式相减可得，即可得， 当时可得，所以满足， 因此可得， 即数列的通项公式为. 【变式5-2】（25-26高二下·河南开封·开学考试）已知数列满足，，记数列的前项和为，则_____________. 【答案】 【分析】由项与和的关系求得时，，从而求得，求得数列的通项，根据分组求和法，结合等差、等比数列的前项和公式求得. 【详解】由，得 当时，. 两式作差得，所以. 又，满足上式，所以. 所以. 所以 . 【变式5-3】（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证； 【详解】由， 当时，， 当时，， 两式相减，得，即， 所以， 所以， 所以， 由于时，不满足上式， 所以. 故答案为：. 【考点题型六】数列求通项之构造法（形如） 【例6-1】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列满足，且，则________． 【答案】 【分析】由等式构造等比数列，然后通过等比数列的通项公式求得数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由，可得， 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. . 【例6-2】已知数列满足，且，则的通项公式为______. 【答案】 【分析】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可. 【详解】设，即，所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故答案为： 【变式6-1】（25-26高二下·上海宝山·阶段检测）已知数列中，，，则________． 【答案】 【分析】由递推公式构造，通过等比数列通项公式即可求解； 【详解】由， 可得：， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以， 所以， 故答案为： 【变式6-2】（25-26高二上·四川宜宾·期末）在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值______________. 【答案】 【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题和数列的单调性的应用求出结果． 【详解】由整理得，即，又， 故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，可得, 不等式，可化为， 令，当时，； 当时，，， 故当时，单调递减，故， 综上，， 所以，故最小值为． 故答案为： 【变式6-3】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式_____________． 【答案】 【分析】由题意可得，即是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由可得：，又, ， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 【考点题型七】数列求通项之构造法（形如） 【例7-1】（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 【例7-2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）数列满足递推关系，，则数列的通项公式为_______． 【答案】 【分析】根据已知得，应用构造法及等差数列的定义写出通项公式即可. 【详解】由，得， 令，即，且， 所以是公差为的等差数列， 又，因此， 所以，. 【变式7-1】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式7-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________. 【答案】 【分析】解法一：利用待定系数法可得，结合等比数列分析运算；解法二：整理得，结合等比数列分析运算；解法三：整理得，根据累加法结合等比数列求和分析运算. 【详解】解法一：设，整理得，可得， 即，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：， 整理得，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即， 当时，则 ， 故， 显然当时，符合上式，故. 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高二·全国·课后作业）已知在数列中，，，则______． 【答案】 【分析】由构造法可得，所以数列是以为首项， 为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式. 【详解】因为，，所以， 整理得，所以数列是以为首项， 为公比的等比数列，所以，解得． 故答案为：. 【考点题型八】数列求通项之倒数法（形如） 【例8-1】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取倒数法求通项，将变形可得数列为等差数列，计算即可得. 【详解】，即， 可得，又， 即有数列是首项为1，公差为4的等差数列， 可得， 即. 故选：D. 【例8-2】（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则____________． 【答案】19 【分析】取倒数可得，即可得数列的通项公式，计算即可得. 【详解】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 【变式8-1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）数列满足，且对于任意的都满足 则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】依题意，由，得，故数列是首项为1，公差为3的等差数列， 所以，则， 所以数列的前n项和为. 故选：B 【变式8-2】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则___________． 【答案】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解. 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 【变式8-3】（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，，则_________. 【答案】 【分析】将变形可得数列为等差数列，再借助等差数列求解即得. 【详解】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 【考点题型九】数列求和之倒序相加法 【例9-1】（26-27高二上·全国·期中）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，设函数 ，则 ... 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先探究函数的性质，推导出自变量互为倒数时函数值之和为；再利用等比数列下标和性质，得到首尾对称两项乘积为，即互为倒数，据此两两分组配对，每组函数值的和为，统计组数即可求出总和. 【详解】由等比数列的下表和性质可知， ...， 又∵ ，则 ， ∴ ， 同理 ，共 组，每组和为 ， 故原式. 【例9-2】（25-26高二下·江西九江·阶段检测）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则________. 【答案】4046 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故，， 故，即有. 由，则当时，有， 故， 故所求和为. 故. 【变式9-1】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，则（    ） A． B． C．1012 D．1013 【答案】A 【分析】运用倒序相加法，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】 ， 则有 因此 . 【变式9-2】（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 【变式9-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定，通过倒序相加即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 令， ， 所以， 即， 故选：A 【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如） 【例10-1】（26-27高二上·重庆江北·阶段检测）已知等差数列与正项等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2)（等价形式也可） 【分析】（1）先设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，再结合题中条件列方程求出，，进而即可得到数列，的通项公式； （2）结合（1），先根据等差数列的求和公式得到的前项和，再根据等比数列的求和公式得到的前项和，进而结合分组求和法即可得到的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为， 由，则，解得， 所以数列的通项公式为； 所以，，则， 又，则，解得， 所以数列的通项公式为． （2）结合（1），得的前项和为， 的前项和为， 所以数列的前项和． 【例10-2】（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 当时，， 当时，， 所以， 所以（）， 所以. （2）由题可知， 所以， 令，则， 时，， 又时，，所以，， 因为， 所以. 【变式10-1】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列的前项和为，且，等差数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由，相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件；及是等差数列求解即可； （2）分组后利用等差数列和等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）由已知，当时，，即，． 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． ；；， 设等差数列的公差为，则， 所以； （2）由已知， 所以， 由（1）， 因为， ， 所以， 所以. 【变式10-2】（26-27高三上·安徽·阶段检测）设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意列出方程组，进而求解即可； （2）先分组求和，再结合等差数列及等比数列前项和的公式求解即可． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，（）， 因为，故， 又，则，解得或（舍去）， 则，所以． （2）结合（1）得， 所以的前项和为 ． 【变式10-3】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知等差数列的首项为1，等比数列的公比为3，且，． (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，， 解得，， 所以等差数列的通项公式为， 等比数列的通项公式为    ． （2）由（1）知（）， 则数列的前项和为， 其中， ， 因此，即数列的前项和为． 【考点题型十一】数列求和之分组求和法（形如） 【例11-1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知各项为正数的等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)当为奇数时,,当为偶数时,. 【详解】（1）设等比数列公比为,首项为.由各项均为正数得,且. 代入条件得.分别取和,得,. 两式相除得,结合得.再代入,得. 因此. （2）由(1)得.当时,. 当时,,即. 于是. 又,其中,,所以. 当为奇数时,设,则. 当为偶数时,设,则. 【例11-2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）记是数列的前项和，，且数列是等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列是等差数列，求得，从而得，再由与的关系，求得的通项公式； （2）由（1）求得，根据等差数列前项和公式求得奇数项的和，由裂项相消求和法求得偶数项的和，即可求得数列的前项和． 【详解】（1）由，得， 所以， 所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 所以. 当时，， 所以； ，符合上式， 所以. （2）， 所以， . 所以 . 【变式11-1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对于数列，利用与的关系，通过和两种情况求出通项公式；对于数列，根据已知条件求出首项和公比，进而得到通项公式； （2）对于数列，根据的奇偶性分别求和，再将结果相加得到前项和即可. 【详解】（1）因为①，时，②． 由①-②得， 所以，则， 因为，所以， 因为，．则为首项1，公差1的等差数列， 所以， 因为，，则公比，， 所以． （2）当为偶数时， ， 当为奇数时，是偶数， 则， 把偶数公式中替换成： 则， 所以 【变式11-2】（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)63 (3) 【分析】（1）根据题设结合等差数列基本量计算可求得，进而求解即可； （2）先求得，再利用分组求和法求解即可； （3）分n为偶数和n为奇数两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）依题意，，解得， 故. （2）由 ， . （3）依题意，， 当n为偶数时，， 此时 ； 当n为奇数时，； 故. 【变式11-3】（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，，结合等比数列通项公式求，再求关系求，利用等比数列通项公式求结论； （2）结合（1）求出的通项公式，当为偶数时，利用分组求和法结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求，再结合所得结果及与关系求为奇数的结果即可. 【详解】（1） 设正项等比数列的公比为，则， 由已知，故， 两式相除得，结合， 解得， 又，故 ，代入可得， 所以，又，得，所以； （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． 【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如） 【例12-1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列的前项和为，且 (1)求、、的值； (2)求数列的通项； (3)设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)，，． (2)． (3) 由题可知，所以， 所以数列的前项和， 由，所以， 又因为单调递减，所以当时，， 所以． 【分析】（1）利用公式求解； （2）利用公式，分为奇数和偶数求解； （3）利用裂项相消法求解. 【详解】（1）由条件知， ，． （2）当为奇数且时，，也符合， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以数列． （3）略 【例12-2】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) 证明：， . 【分析】（1）由结合题设可得数列是以为首项，6为公差的等差数列，据此可得答案； （2）由（1）结合裂项求和法可完成证明. 【详解】（1）由，得， ，即，， 数列是以为首项，6为公差的等差数列， . ， ，. 当时，，满足上式， 数列的通项公式为； （2）略 【变式12-1】（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列中，，且对任意的，，都有． (1)设，求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，对任意的，，都有，又， 则对任意的，，，所以数列是公差为2的等差数列， 又，，所以，解得，故，所以； （2）由（1）可知，， 所以当时，， 故． 【变式12-2】（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）设公比为的等比数列的前项和为，且. (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由分别取得到关于和的方程组，解方程组即可求出和； （2）由求出，将裂项为，求和后中间项抵消即得. 【详解】（1）由， 当时：①， 当时：②， 由①得，代入②得，解得 代入，得， 所以. （2）由（1）得，所以， 于是， 所以 【变式12-3】（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）设等差数列满足，. (1)求的通项公式. (2)设，求数列的前项和的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列，先将化为基本量，的形式，求出和，从而求出通项公式； （2）利用裂项相消法求出，再根据函数的单调性求出的取值范围. 【详解】（1）由数列为等差数列，设首项为，公差为，则， 解得，所以的通项公式为； （2）由（1）知，则， 所以， 易知，当时，单调递减，所以单调递增，因此，当时，取最小值，即， 当时，，，所以的取值范围为. 【考点题型十三】数列求和之列项相消法（形如） 【例13-1】（2026·湖北·模拟预测）已知数列的前项和为，且（，），． (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算的关系式，使用和的关系求解； （2）使用裂项相消法求解. 【详解】（1），即，， 则数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以， ，当时，； 当时，，； 综上，. （2）， . 【例13-2】（26-27高二上·福建漳州·阶段检测）记为各项均为正数的数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)若等差数列满足，，，求的前项和. (3)设数列 满足 ，其前 项和为 .若不等式 对任意的 恒成立，求整数 的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由结合题设可得，然后由与关系可得答案； （2）记的公差为，由题设并验证可得，然后由错位相减法可得答案. （3）由（1）求出的 的通项公式 ，分类讨论 和 ，利用裂项相消法求出 的表达式后，利用其单调性求出范围，即可解出 的最小值. 【详解】（1）由，可知是公比为的等比数列，故， 当时，，，故， 由得，又，所以， 故； （2）记的公差为，由可知， 由得，即， 整理得，即，解得或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意， 故的通项公式为.所以， 当时，，， 两式相减，得到， 又注意到时，，满足， 故. （3）由（1）可知， ， 由， 当 时，，，则 ； 当 时，，，则； 所以， 因为 ，所以 ，故 ， 因此 恒成立，又因为随着 增大， 增大， 减小， 而当时，. 若不等式 对任意的 恒成立，则需 ，即 ， 因为 为整数，所以 的最小值为 . 【变式13-1】（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；设第次“美好成长”后得到的数列为，并记. (1)求； (2)证明：； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明：由题意得 ， 即； (3) 【分析】（1）根据题设定义求对应项的值即可； （2）应用对数的运算性质及新定义得到的关系，即可证； （3）根据（1）（2）的结论，结合构造法及等比数列的定义得到，再应用裂项相消法求. 【详解】（1）由题意得，； （2）略 （3）由（1）（2）知，，整理得，又， 所以数列是首项为，公比为3的等比数列， 故，即， 所以， 所以. 【变式13-2】（25-26高二下·湖南长沙·期末）向量，，其中数列、均为正项等比数列．定义，向量满足，． (1)若数列、的公比相等，求向量． (2)若． （i）求数列的通项公式； （ii）求数列的前项和． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由题意知，，结合和求解即可. （2）（i）由求出公比，即可求出通项公式. （ii）求出，结合裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由题意知，. 设、的公比分别为、（，），则，， 由和，得 ，则，所以， 若，则，所以． 所以． （2）（i）由，得， 又，所以，，则． （ii）由（i）得，，则， 所以， 则， 所以数列的前项和. 【变式13-3】（25-26高二下·江西·期末）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式得数列是等差数列，进而求出通项公式； （2）利用错位相减求和法求解； （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，得， 又，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，所以. （2）， 两边同乘以2，得， 两式相减，得， 所以. （3）由（2）知，所以， 所以 【考点题型十四】数列求和之错位相减法 【例14-1】（2026·四川资阳·一模）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)由题意得：，又， 所以数列是以首项为，公比为3的等比数列， 所以，即， 当时，， 当时，， 所以； (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证；利用即可求； （2）由题意得，利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意得：， 所以①， ②， 由①②有：， 所以. 【例14-2】（26-27高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式； (2)记，求的前项和. 【答案】(1)由题意知，所以由，得，所以， 又，所以是首项为3，公差为5的等差数列， ，即. (2) 【分析】（1）对两边取倒数，利用等差数列定义即可证明结论，再利用等差数列通项公式即可求出的通项公式； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，所以①， ② ①-②得 ， 所以. 【变式14-1】（26-27高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：对于①， 当时，. 当时，可得②， 由①-②：. 所以是以1为首项，2为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）利用与的关系，结合等比数列的定义，可证明结论. （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，所以， 所以， ， 两式相减得：， 所以. 【变式14-2】（2026·广东·模拟预测）已知等比数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知分式变形求出公比q，再求出首项，代入等比数列通项公式得到； （2）由列出前n项和，使用错位相减法，两式相减后借助等比求和公式化简求解． 【详解】（1）设的公比为， 则，所以， ，所以， 所以． （2）由（1）得， 所以，， 以上两式相减得 ， 所以． 【变式14-3】（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知数列满足． (1)求数列的通项公式与前项和； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)利用二项式定理，令， 得到的二项展开式，通过对比直接得到的通项公式，再代入等比数列求和公式计算前n项和；(2)采用错位相减法，通过乘公比、两式错位相减、合并等比项后化简，最终得到前n项和. 【详解】（1）由，令， ， 得， 因为， 所以恰好是 的二项展开式，即， 故 是首项为 4、公比为 4 的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以， 所以     ①       ② 由①−②得： 化简得数列的前项和. 【考点题型十五】数列求和之通项含绝对值求和 【例15-1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)​ (2)​ 【分析】（1）设公比为，由前三项和及第三项的值列方程，求出首项与公比，再写出通项公式． （2）将通项公式代入，化简得到，按和分类，利用等差数列求和公式分段求和． 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，由，，得， ，消去得，即，所以． 由，得，从而，故，． （2）由（1）得． 当时，前项均满足，故； 当时，前10项的和为，第11项至第项依次为，故． 综上，，． 【例15-2】（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和. 【答案】(1)（）. (2)（）. 【分析】（1）求等差数列通项，可将题目条件转化为关于首项和公差d的方程组，解出基本量后代入通项公式即可；（2）含绝对值的等差数列求和，先确定通项正负的分界项，再分区间去掉绝对值，分别用等差数列求和公式计算分段结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意， 解得，， 所以（）. （2）设， 所以，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 再设（）. 当，时， ； 当，时， ． 所以 （）. 【变式15-1】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可； （2）分和两种情况求和计算结果． 【详解】（1）设公差为，公比为，， 故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，， 则， 当时，，则 ， 综上：. 【变式15-2】（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系，根据，求得数列的通项公式； （2）分析和两种情况，即可数列的前n项和． 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以. （2）.令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：． 【变式15-3】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2)（） 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以， . （2）由（1）知，公差，故数列是递增数列. 令，解得. 所以当时，；当时，；当时，. 当时，， 当时， ， 因为， 所以 . 综上所述，数列的前n项和为： （）. 【考点题型十六】数列中新定义题 【例16-1】（2026·辽宁鞍山·三模）将正整数分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，即为的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义得到为奇数和为偶数时，数列的通项公式，进而求出数列前100项的和. 【详解】由题意，当（）时，由于，所以； 当（）时，由于，所以. 所以数列的前项和为. 【例16-2】（25-26高二上·广东潮州·期末）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)是，理由如下： 已知，根据定义得： 则， 因此是首项为、公差为的等差数列， 故是二阶等差数列. (2)①， ②证明：将， 代入得：， （裂项验证：，成立） 前项和用裂项相消： ， 所以. 因为，所以； 又，故是递增数列，最小值为， 因此. 【分析】（1）根据定义计算，结合等差数列定义判断即可； （2）①：结合等差数列定义求出的通项公式，再利用累加法结合等差数列求和公式求出的通项公式；②：结合求解的表达式，再利用裂项相消法求出的表达式；分析的单调性，结合单调性确定其取值范围. 【详解】（1）略 （2）① 由题意，，， 因为是等差数列，所以公差， 得的通项为：， ，，， ，，， 由累加法得，当时：， 代入得：， 验证时，满足上式，故. ②略 【变式16-1】（26-27高三上·上海·开学考试）对于任意实数x，符号表示不超过的最大整数，则的值为__________． 【答案】18445 【分析】先依据对数性质划分的取值区间并计算区间和的表达式，再通过错位相减法求出等差乘等比形式的区间和，最后加上单独项的值得出最终结果. 【详解】当时，，此时， 所以， 所以 令， 则， 所以， 即， 所以，. 【变式16-2】（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________. 【答案】3379 【详解】由，得，解得， 同理由， 所以，因此数列是以3为周期的数列， 所以. 【变式16-3】（25-26高三上·湖北黄冈·期中）已知函数，数列满足，数列的前项和为，且，． (1)分别求，的通项公式； (2)定义，为实数的整数部分，为小数部分，且记，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)由，当时，，可得，利用等比数列的通项公式即可求出． (2)由题意，；；当时，可以证明，因此，再利用“错位相减法”与等比数列的前项和公式即可得出结果． 【详解】（1）易知． 当时，，， ，又令，得． ，即是以为首项，公比也为2的等比数列， 所以． 即的通项公式为. （2）依题意，；； 当时，易知，即， ， 则，，． 令，， 两式相减并化简得． ，检验知，不合，适合， ． 一、单选题 1．（北京市通州区2026-2027学年第一学期高三年级期中质量检测数学试卷）已知数列为等比数列，且，公比，则数列的前7项的和为（   ） A．121 B．129 C．185 D．241 【答案】C 【详解】已知数列为等比数列，且，公比，则． 令数列的前项的和为， 则 ． 2．（2026·浙江·模拟预测）已知数列满足，，对于，，是数列的前项和，则（    ） A．5100 B．4999 C．5202 D．5000 【答案】A 【详解】由题意得，对，， 可知数列的奇数项构成等差数列，偶数项也构成等差数列，二者公差都为， 前项中，奇数项为，共项。首项，公差， 奇数项的和为， 偶数项为，共项，首项，公差， 偶数项的和为， 数列前项和为. 3．（2027高三·全国·专题练习）数列中，，若的前n项和为，则项数n为（   ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【详解】由， 所以， 解得． 4．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】先对通项公式裂项，再用裂项相消法求出前项和表达式，最后列方程求解项数. 【详解】对任意，将通项公式裂项得： ，则数列前n项和， 代入裂项结果可得： 中间项全部抵消，化简得： . 由题意，列方程： 交叉相乘解得，即. 5．（25-26高二下·北京顺义·期中）若数列{}的通项公式是 则 （   ） A．15 B．12 C．- 12 D．- 15 【答案】A 【详解】由题意可得，奇数项为负数，偶数项为正数且相邻项数的绝对值之差的绝对值为3， 故 6．（25-26高三上·四川自贡·期末）数列的前100项和为（   ） A．15150 B．10100 C．16000 D．11000 【答案】A 【分析】运用平方差公式，结合等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】数列的前100项和为 . 故选：A 7．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知数列满足，则（    ） A．100 B．101 C．102 D．103 【答案】B 【分析】根据给定的通项公式，利用分组求和法，结合等差数列求和公式计算即可． 【详解】因为，则． 故选：B 8．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，公比为.在与之间插入个1，所有项依原顺序组成新数列，则的前25项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出等比数列的各项，统计在相邻两项之间插入的个数，判断前项里面包含原等比数列多少项，以及插入多少个数字，再求和得出结果. 【详解】等比数列，，，得， 在和之间插入个. 在与之间共插入个，，则， 所以前项和 . 二、多选题 9．（25-26高二下·陕西渭南·期末）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均不为零的数列满足，，则下列说法正确的是（     ） A．数列是“调和数列” B．数列是递增数列 C．数列的前项和为 D．对任意，都有 【答案】ACD 【分析】首先对递推式变形得到数列是等差数列，求出的通项公式，再结合调和数列定义、数列单调性、裂项相消求和、不等式证明的方法逐项判断. 【详解】选项A，已知，且各项不为零， 两边同除以得，故A正确； 选项B，由，，可知是首项为1、公差为1的等差数列， 因此，即，故是递减数列，故B错误； 选项C，， 前项和，故C正确； 选项D：要证，代入，即证， 右边通分得， 只需证， 化简得，即，恒成立，D正确. 10．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知正项数列的前项和为，且满足，在与之间插入个，得到一个新数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用与求得数列的通项公式，进而逐项计算判断即可. 【详解】当时，，所以，所以，解得， 当时，由，得， 两式相减得， 所以，所以， 因为，所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，又适合上式， 所以数列的通项公式为，所以，故A正确； 所以，所以，所以，故B错误； 因为，所以，故C正确； 又因为， 所以数列的前项在后有13个2， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11．（26-27高二上·甘肃甘南·期中）已知数列满足，，设数列的前项和为，则________. 【答案】 【分析】根据累乘法，可求出，然后利用裂项相消法求出即可. 【详解】由，得，由累乘法，得，则. 所以， 则 . 12．（26-27高二上·全国·课后作业）已知定义在上的函数的图象的对称中心为．数列的前项和为，且满足，，则______． 【答案】 【分析】根据函数的对称性可知，再利用倒序相加法进行求和. 【详解】由条件得，即． 于是有，． 又， ， 两式相加，得 ， 故． 四、解答题 13．（2026·四川资阳·一模）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)由题意得：，又， 所以数列是以首项为，公比为3的等比数列， 所以，即， 当时，， 当时，， 所以； (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证；利用即可求； （2）由题意得，利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意得：， 所以①， ②， 由①②有：， 所以. 14．（26-27高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式； (2)记，求的前项和. 【答案】(1)由题意知，所以由，得，所以， 又，所以是首项为3，公差为5的等差数列， ，即. (2) 【分析】（1）对两边取倒数，利用等差数列定义即可证明结论，再利用等差数列通项公式即可求出的通项公式； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，所以①， ② ①-②得 ， 所以. 15．（2026·湖北·模拟预测）已知数列的前项和为，且（，），． (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算的关系式，使用和的关系求解； （2）使用裂项相消法求解. 【详解】（1），即，， 则数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以， ，当时，； 当时，，； 综上，. （2）， . 16．（26-27高三上·重庆北碚·阶段检测）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，求满足条件的最大整数的值． 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）根据条件，利用累乘法即可求出通项公式； （2）结合（1）求出，利用裂项相消法求和，再求解不等式即可得解． 【详解】（1）当时，由，得，则， 因此， 又当时，也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）得， 故， 因此可得，即，解得， 所以满足条件的最大整数． 17．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）等差数列的前项和为，且，，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列是等比数列； (3)已知数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)，所以， 又因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列， (3) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得首项和公差，即可由通项公式求解， （2）根据等比数列的定义即可求证， （3）利用分组求和，结合等比等差数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）由，可得，，解得， 故 （2）略 （3）所以，所以．可得， 所以 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08数列求通项与求和 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 【知识点02】累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 【知识点03】数列求通项（法） 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 【知识点04】构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 【知识点05】倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 【知识点06】裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 【考点题型一】累加法求通项 核心方法：形如： 【例1-1】（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 【例1-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知数列满足，，则数列的前5项的和为________． 【变式1-1】（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列满足，则______； 【变式1-2】（2026高三下·福建福州·专题练习）数列满足（），，对于任意有恒成立，则的取值范围是________． 【考点题型二】累乘法求通项 核心方法：形如： 【例2-1】（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知为数列的前n项和，，，则______． 【例2-2】（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）在数列中，首项，时，，则数列的前项和为__________. 【变式2-1】（2026·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则______. 【变式2-2】（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）已知中，，，则数列的通项公式是______________． 【考点题型三】已知与的关系；或与的关系 核心方法：用，得到 【例3-1】（26-27高二上·全国·期中）已知数列的前项和为，且（）. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； 【例3-2】（26-27高二上·甘肃·阶段检测）设数列的前n项和为，已知. (1)求数列的通项公式； 【变式3-1】（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）数列的前n项和（）． (1)求的通项公式； 【变式3-2】（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足：，． (1)求的通项公式； 【变式3-3】（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； 【考点题型四】已知与的关系；或与的关系 核心方法：替换题目中的 【例4-1】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知正项数列的前项和为，，且，则_______ 【例4-2】（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知数列的前项和为，则__________. 【变式4-1】（25-26高二下·四川巴中·期中）已知数列的前项和为，则__________． 【变式4-2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； 【变式4-3】（2026·云南昭通·模拟预测）已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； 【考点题型五】已知等式中左侧含有： 核心方法：作差法（类似） 【例5-1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 【例5-2】（25-26高二下·江西南昌·期中）设数列满足，则的前2026项和为_________ 【变式5-1】（25-26高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）设数列满足3．数列的通项公式为________． 【变式5-2】（25-26高二下·河南开封·开学考试）已知数列满足，，记数列的前项和为，则_____________. 【变式5-3】（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【考点题型六】数列求通项之构造法（形如） 【例6-1】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列满足，且，则________． 【例6-2】已知数列满足，且，则的通项公式为______. 【变式6-1】（25-26高二下·上海宝山·阶段检测）已知数列中，，，则________． 【变式6-2】（25-26高二上·四川宜宾·期末）在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值______________. 【变式6-3】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式_____________． 【考点题型七】数列求通项之构造法（形如） 【例7-1】（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【例7-2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）数列满足递推关系，，则数列的通项公式为_______． 【变式7-1】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为__________. 【变式7-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________. 【变式7-3】（25-26高二·全国·课后作业）已知在数列中，，，则______． 【考点题型八】数列求通项之倒数法（形如） 【例8-1】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则____________． 【变式8-1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）数列满足，且对于任意的都满足 则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则___________． 【变式8-3】（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，，则_________. 【考点题型九】数列求和之倒序相加法 【例9-1】（26-27高二上·全国·期中）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，设函数 ，则 ... 的值为（　　） A． B． C． D． 【例9-2】（25-26高二下·江西九江·阶段检测）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则________. 【变式9-1】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，则（    ） A． B． C．1012 D．1013 【变式9-2】（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【变式9-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数，（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如） 【例10-1】（26-27高二上·重庆江北·阶段检测）已知等差数列与正项等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【例10-2】（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式10-1】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列的前项和为，且，等差数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式10-2】（26-27高三上·安徽·阶段检测）设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式10-3】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知等差数列的首项为1，等比数列的公比为3，且，． (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和． 【考点题型十一】数列求和之分组求和法（形如） 【例11-1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知各项为正数的等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【例11-2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）记是数列的前项和，，且数列是等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式11-1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 【变式11-2】（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 【变式11-3】（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如） 【例12-1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列的前项和为，且 (1)求、、的值； (2)求数列的通项； (3)设数列的前项和为，证明：． 【例12-2】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，证明：. 【变式12-1】（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列中，，且对任意的，，都有． (1)设，求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【变式12-2】（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）设公比为的等比数列的前项和为，且. (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求. 【变式12-3】（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）设等差数列满足，. (1)求的通项公式. (2)设，求数列的前项和的取值范围. 【考点题型十三】数列求和之列项相消法（形如） 【例13-1】（2026·湖北·模拟预测）已知数列的前项和为，且（，），． (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，求． 【例13-2】（26-27高二上·福建漳州·阶段检测）记为各项均为正数的数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)若等差数列满足，，，求的前项和. (3)设数列 满足 ，其前 项和为 .若不等式 对任意的 恒成立，求整数 的最小值. 【变式13-1】（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；设第次“美好成长”后得到的数列为，并记. (1)求； (2)证明：； (3)求数列的前项和. 【变式13-2】（25-26高二下·湖南长沙·期末）向量，，其中数列、均为正项等比数列．定义，向量满足，． (1)若数列、的公比相等，求向量． (2)若． （i）求数列的通项公式； （ii）求数列的前项和． 【变式13-3】（25-26高二下·江西·期末）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 【考点题型十四】数列求和之错位相减法 【例14-1】（2026·四川资阳·一模）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【例14-2】（26-27高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式； (2)记，求的前项和. 【变式14-1】（26-27高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【变式14-2】（2026·广东·模拟预测）已知等比数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【变式14-3】（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知数列满足． (1)求数列的通项公式与前项和； (2)若，求数列的前项和． 【考点题型十五】数列求和之通项含绝对值求和 【例15-1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【例15-2】（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和. 【变式15-1】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式15-2】（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【变式15-3】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 【考点题型十六】数列中新定义题 【例16-1】（2026·辽宁鞍山·三模）将正整数分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，即为的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 【例16-2】（25-26高二上·广东潮州·期末）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：． 【变式16-1】（26-27高三上·上海·开学考试）对于任意实数x，符号表示不超过的最大整数，则的值为__________． 【变式16-2】（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________. 【变式16-3】（25-26高三上·湖北黄冈·期中）已知函数，数列满足，数列的前项和为，且，． (1)分别求，的通项公式； (2)定义，为实数的整数部分，为小数部分，且记，求数列的前项和． 一、单选题 1．（北京市通州区2026-2027学年第一学期高三年级期中质量检测数学试卷）已知数列为等比数列，且，公比，则数列的前7项的和为（   ） A．121 B．129 C．185 D．241 2．（2026·浙江·模拟预测）已知数列满足，，对于，，是数列的前项和，则（    ） A．5100 B．4999 C．5202 D．5000 3．（2027高三·全国·专题练习）数列中，，若的前n项和为，则项数n为（   ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 4．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 5．（25-26高二下·北京顺义·期中）若数列{}的通项公式是 则 （   ） A．15 B．12 C．- 12 D．- 15 6．（25-26高三上·四川自贡·期末）数列的前100项和为（   ） A．15150 B．10100 C．16000 D．11000 7．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知数列满足，则（    ） A．100 B．101 C．102 D．103 8．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，公比为.在与之间插入个1，所有项依原顺序组成新数列，则的前25项和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·陕西渭南·期末）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均不为零的数列满足，，则下列说法正确的是（     ） A．数列是“调和数列” B．数列是递增数列 C．数列的前项和为 D．对任意，都有 10．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知正项数列的前项和为，且满足，在与之间插入个，得到一个新数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（26-27高二上·甘肃甘南·期中）已知数列满足，，设数列的前项和为，则________. 12．（26-27高二上·全国·课后作业）已知定义在上的函数的图象的对称中心为．数列的前项和为，且满足，，则______． 四、解答题 13．（2026·四川资阳·一模）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 14．（26-27高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式； (2)记，求的前项和. 15．（2026·湖北·模拟预测）已知数列的前项和为，且（，），． (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，求． 16．（26-27高三上·重庆北碚·阶段检测）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，求满足条件的最大整数的值． 17．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）等差数列的前项和为，且，，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列是等比数列； (3)已知数列满足，求数列的前项和． 学科网（北京）股份有限公司 $