专题10 导数在研究函数中的作用（ 13个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题10导数在研究函数中的作用 （13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 【知识点02】含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 【知识点03】函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 【知识点04】函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【知识点05】函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间 核心方法：求导（一定要注意定义域） 【例1-1】（2026高一上·重庆渝北·专题练习）函数的单调减区间是（     ） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】首先根据函数解析式直接画出对勾函数图象，然后根据图象求解函数的单调减区间. 【详解】已知函数，其定义域为. 其函数图象如下图： 根据图象易知：函数的单调减区间为，. 【例1-2】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，解导数小于的不等式，结合定义域得到单调递减区间. 【详解】函数的定义域为. ， 令，即，解得. 因为定义域为，所以的单调递减区间为. 【变式1-1】（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域是， 而. 令，则. 由于，故. 故单调递增区间为. 【变式1-2】（26-27高三上·河南·阶段检测）函数的单调递增区间为_________． 【答案】 【分析】函数的单调递增区间即为的解集，求解不等式即可. 【详解】由已知， 该不等式等价于， 解得. 【变式1-3】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则的单调增区间为___________ 【答案】 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数 核心方法：①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 【例2-1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】求导函数，令恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值. 【详解】，令，得， 令， 若函数在上单调递减，则， 当时，， 所以函数在上单调递增，则， 所以. 故选：C 【例2-2】（23-24高二上·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】函数求导后，在区间上单调递增，转化为在区间上恒成立，然后利用函数单调性求最值即得. 【详解】由函数（且）在区间上单调递增， 得在区间上恒成立， 又在区间上恒正，只需满足在区间上恒成立即可， 令， 若，则，则一次函数在区间上单调递减，不可能恒正； 若，则，则一次函数在区间单调递增， 所以只需，即，解得， 故答案为：. 【变式2-1】（26-27高三上·广东湛江·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导数与函数单调性的关系可得对任意，恒成立，令，，求导，利用导数计算最值后可解. 【详解】对函数求导得． 因为在上单调递增， 所以对任意，恒成立， 等价于在上恒成立，即在上恒成立． 令，，因为， 所以当时，，函数在区间上单调递增， 所以． 要使恒成立，只需． 综上，实数a的取值范围为. 【变式2-2】（26-27高三上·江苏扬州·期中）函数为上的单调递增函数，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为函数为上的单调递增函数， 所以在上恒成立， 若，显然在上不恒成立； 若，则，得， 故的取值范围是 【变式2-3】（26-27高三上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先对函数求导，结合函数在区间上单调递增的性质可得导数在上恒大于等于0，参变分离后求对应二次函数在区间上的最大值，即可得到的取值范围. 【详解】函数的定义域为，对其求导得. 由于在上单调递增，因此对任意，均满足恒成立， 即，因为，则在恒成立. 令，，该二次函数开口向上，对称轴为， 因此在上单调递增，其最大值为， 故. 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数 核心方法：①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 【例3-1】（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知当不等式有解时，函数存在单调递增区间，然后分离参数，构造新函数，进而求出的取值范围. 【详解】由，得， 则.设，则. 令，得，则在上单调递增，令，得，则在上单调递减， 则， 当时，有解，即函数存在单调递增区间， 所以的取值范围是. 【例3-2】（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由题可知使得成立，即，结合函数的单调性求出最值即可． 【详解】因为且定义域为，所以， 又在上存在单调递减区间，等价于使得成立， 即不等式在上有解，即 设，，则 ， 令，解得（负根不符合定义域，舍去）． 所以函数在 单调递减，在单调递增，经计算， ， 所以，所以． 【变式3-1】（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 【答案】 【分析】先对函数求导，根据函数在区间上存在单调递减区间得到关于的不等式，再通过对函数的最值来确定取值范围. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在区间上存在使得， 即在有解，即， 令，即， 因为对称轴为，所以， 所以，所以实数的范围是. 【变式3-2】（25-26高二下·重庆北碚·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题意可知：存在，使得，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【详解】因为， 由题意可知：存在，使得，整理得， 且在上单调递增，则，可得， 所以实数的取值范围是. 【变式3-3】（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数在上存在减区间，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】依题意将函数在给定区间上的单调性问题转化成导函数不等式能成立问题，通过参变分离，构造函数，求其值域即得参数范围. 【详解】由求导得， 因函数在上存在减区间，则在上有解区间，即在上能成立. 设，则，则函数在上单调递增， 故，即，故可得， 即实数的取值范围为. 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数 核心方法：，使得有变号零点 【例4-1】（25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数求导得，函数在上不是单调函数， 等价于，在内有解， 设，设两根，则，故两根异号， 要使正根在区间内，则， 解得，故实数的取值范围是． 【例4-2】（2025高三·全国·专题练习）若函数在不单调，则a可能为（    ） A． B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】令求出，令，求出的单调性，求出，求出的取值范围即可求解. 【详解】令得， 令，， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 当时，， 所以，又在上不单调， 所以的取值范围是（当时，在恒成立，此时单调递减，不满足题意）， 结合选项得可能为． 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究单调性，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意得：，令， 所以，所以在单调递增，且，， 又因为在上不单调，所以，解得. 【变式4-2】（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意转化为导数在上有变号零点，列出不等式求解. 【详解】，令， 因为函数在区间上不单调， 所以在上有变号零点， 即，解得， 【变式4-3】（24-25高二下·重庆城口·阶段检测）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【分析】求出函数的导数，由在内不单调知在内有实数根且无重根，再通过分类讨论结合二次方程根的分布求得实数的范围. 【详解】由，得， 因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根. 若在内有且只有一个实数根，的图象如图， 则， 即，显然不等式无解；    若在内有两个不相等的实数根，的图象如图， 则，即，解得. 综上，实数的取值范围是    故答案为：． 【考点题型五】函数与导函数图象之间的关系 核心方法：导函数看正负，原函数看增减 【例5-1】（25-26高二下·甘肃酒泉·阶段检测）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则函数的图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】当时，，所以在单调递增， 且的值在上越来越大，在上越来越小， 即：函数的图象的切线斜率先变大后减小，故B正确，其余错误． 【例5-2】（25-26高二下·河北雄安·阶段检测）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A．B． C．D． 【答案】C 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 【变式5-1】（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据图像可知时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减。 综上，只有D选项符合. 【变式5-2】（25-26高二上·江苏镇江·期末）函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（   ）      A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据的图像，先判断和，进而得到的单调区间，逐一验证即可求解. 【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为， 当或时，，所以的单调增区间为， 故选：B. 【变式5-3】（多选）（25-26高二下·青海西宁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列区间中，单调递减的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由函数的图象，可得当时，，所以在，上单调递减. 【考点题型六】导函数有效部分是一次型或可化为一次型 【例6-1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，的单调递减区间是，无单调递增区间， 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是 【分析】（1）首先求，再根据导数的几何意义求切线方程； （2）首先求，分和两种情况讨论函数的单调性. 【详解】（1）当时，，，，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）由题意得，当时，，单调递减， 当时，令，得，的单调递增区间是， 令，得，的单调递减区间是， 综上可知，当时，的单调递减区间是，无单调递增区间， 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． 【例6-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由，则， 则，解得． （2）由，则， 当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，得， 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【变式6-1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，． (1)当时，求处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． 【分析】（1）求导后求得切线斜率，利用点斜式方程代入即可； （2）求导后对参数分情况讨论，利用导数的正负求得函数的单调性． 【详解】（1）当时，，， 可得，， 切线方程为，即； （2）由题意得， ①当时，恒成立，∴在上单调递增， ②当时，令，则，令，则， ∴在上单调递减，在上单调递增， 综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【变式6-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）把代入，求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，点斜式求得切线方程； （2）将求导并将分子进行因式分解，根据的取值范围的不同，判断的正负，进而判断单调性. 【详解】（1）当时，，函数定义域为， ， 则切点坐标为， ，则有切线斜率， 则曲线在点处的切线方程为. （2）因为函数，函数定义域为， 所以， 因为，故，导数符号由决定，分情况讨论： 若时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式6-3】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，．当时，求的单调区间． 【答案】当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】把代入，通过求的导数，根据的范围讨论的单调区间. 【详解】当时，，函数定义域为， ， ①当时，在上恒成立，在上单调递增． ②当时，令，得， 在上，，在上，， 在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【考点题型七】导函数有效部分是二次型或可化为二次型 核心方法：因式分解法 【例7-1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值，无极大值． (2)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减． 【分析】（1）当时，求导，利用导数分析函数的单调性，可得出函数的极大值和极小值； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间. 【详解】（1）当时，函数，定义域为，且， 令，得，列表如下： 减 极小值 增 当时，取极小值，无极大值． （2）由题意得． ①当时，则，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； ②当时，令，得，令，得或， 故在、上单调递增，在上单调递减； ③当时，（仅处取等），故在上单调递增； ④当时，令，得，令，得或， 故在、上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减． 【例7-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，.讨论的单调性. 【答案】当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在和上单调递增． 【分析】对函数求导并因式分解，结合的条件，讨论与的大小关系，根据导函数的正负确定函数的单调区间. 【详解】求导得， 令，解得或， 当时，，则由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则由，得或，由，得， 则在区间上单调递减，在和上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在和上单调递增． 【变式7-1】（25-26高三上·河北廊坊·阶段检测）已知函数 (1)若，求曲线在处的切线； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）时，，先求出切点的纵坐标，利用导数得到切线的斜率，再用点斜式写出切线的方程； （2）含参单调性讨论，先求导并因式分解找到临界点，再按参数与临界点的大小关系分类，逐段判断导数符号. 【详解】（1）当时，，则，所以切点为， ，得，所以切线的斜率， 由点斜式得，所以切线方程为； （2）函数定义域为， ， 分母恒成立，因此的符号由分子决定. ①当时，对任意恒成立， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增； ②当时， 时，，，单调递增； 时，，，单调递减； 时，，，单调递增； ③当时，，仅在处取等号，故在上单调递增； ④当时， 时，，，单调递增； 时，，，单调递减； 时，，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【变式7-2】（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知函数， (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减. 【分析】（1）对函数求导，根据求极值的方法求解； （2）对求导，讨论的取值范围，确定函数的单调性. 【详解】（1）函数的定义域为. ，令，解得. 当变化时，的变化情况如表所示. 单调递减 单调递增 因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值. （2）函数的定义域为. . ①当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减. ②当时，令，得或 若，即时，恒成立，所以在上单调递增； 若，即时， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增. 若，即时， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增. 综上所述， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减. 【变式7-3】（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，且． (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或； (2)当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． 【分析】（1）设出切点，根据切线斜率得到方程，求出或，进而得到实数的取值； （2）求导，分，和三种情况，得到函数单调区间 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2），令，得或， ①当时，恒成立，所以在R上单调递增； ②当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 综上所述，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． 【考点题型八】导函数有效部分是不可因式分解的二次型 核心方法：法 【例8-1】已知函数，，讨论的单调性. 【答案】 时在R上单调递增； 时在和上单调递增，在上单调递减； 时在上单调递减，在上单调递增； 时在和上单调递减，在上单调递增； 时在R上单调递减； 【分析】求函数的导数，讨论参数a，结合导数的符号判断函数单调性即可. 【详解】依题意， 若，则，当时，当时. 若，令，，令，解得或. 若，则；若，则； 若且，令，得，. 若，则， 当时，当时，当时； 若，则， 当时，当时，当时. 综上所述：时在R上单调递增； 时在和上单调递增，在上单调递减； 时在上单调递减，在上单调递增； 时在和上单调递减，在上单调递增； 时在R上单调递减； 【例8-2】设函数，，求函数的单调区间； 【答案】的单调增区间为 ，单调减区间为 【分析】先对函数求导，再令求根，判断导数的正负即可； 【详解】由题意知，定义域为. ， 因为，令得，， 当，，在单调递增； 当，，在单调递减； 故的单调增区间为 ，单调减区间为. 【变式8-1】（24-25高三·全国·一轮复习）讨论函数的单调性. 【答案】 当时，在上单调递增； 当时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减. 【分析】先求的导函数，再分和两种情况讨论导数的正负进而判断函数的单调性即可. 【详解】由题意知的定义域为，， 对于，. ①当时，，在上单调递增； ②当时，令， 即， 解得， 令，则或； 令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减. 【变式8-2】（2026高二·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性； 【答案】 当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减， 在上单调递增. 【分析】求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】的定义域为，， 当时，令，解得，此时在单调递减； 当时，对于方程，则， ①当时，，令，解得，此时在单调递减； ②当时，，令，得，. 当变化时，，变化情况列表如下： 单调递减 极大值 单调递增 极小值 单调递减 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减， 在上单调递增. 【变式8-3】（2026高二·全国·专题练习）函数，当时，讨论函数的单调性. 【答案】①当时，函数的减区间为，无递减区间；②当时，函数的减区间为和，增区间为. 【分析】先求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间. 【详解】函数定义域是，， ①当时，，当时，， 即函数的减区间为，无递增区间； ②当时，，令有； 又，则，， 此时函数的减区间为和，增区间为， 综上，①当时，函数的减区间为，无递减区间； ②当时，函数的减区间为和，增区间为. 【考点题型九】根据图象判断函数极值，最值 【例9-1】（24-25高二下·上海·期中）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【答案】A 【分析】作出与直线平行且与的图象相切的直线，即可结合图象判断的正负性，从而判断函数单调性，从而求得函数极值点的个数. 【详解】作出与直线平行且与的图象相切的直线， 设切点的横坐标从小到大依次为， 则方程有三个根，即， 因， 则结合图象可知， 当时；时，； 时，；时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 故和为极小值点，为极大值点， 故有个极小值点，个极大值点. 故选：A. 【例9-2】（24-25高二下·山东·阶段检测）已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（    ） A．在上单调递增 B．有极大值 C．有3个极值点 D．在处取得最大值 【答案】C 【分析】根据导函数的图象确定单调区间、极值情况，即可判断各项的正误. 【详解】由题图知，在上，则在上单调递减， 在上，则在上单调递增， 所以在上不单调，为极小值，且共有3个极值点，处不是最大值. 故选：C 【变式9-1】（多选）（24-25高二下·贵州贵阳·期中）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【答案】BD 【分析】利用导函数的图象的正负即可判断的单调性，从而得到极值点和最值. 【详解】如图，设的图象和轴交点的横坐标从左到右依次为， 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增， 函数在和上，单调递减， 故在上单调递增，上单调递减，故A错误； 由单调性知的极大值点为，极小值点为，故B正确； 函数的最大值是和两者中较大的一个，没有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD.    【变式9-2】（多选）（25-26高二下·贵州黔西南·阶段检测）已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 【答案】BC 【分析】根据导函数图象的正负判断函数的增减与极值、最值，依此判断各个选项即可． 【详解】对于A，由题图可知时，，则单调递减，故A错误； 对于B、C，由题图易知在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，故B、C正确； 对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误． 【变式9-3】5（多选）（24-25高二下·广东中山·阶段检测）函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】BCD 【分析】利用导函数的图像，可得函数的单调性，逐一判断即可. 【详解】由图像可知：当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值，在区间上单调递增，故A错误，B正确，C正确； 由图可知，故D正确， 故选：BCD. 【考点题型十】求已知函数（不含参）极值（点）最值 【例10-1】（26-27高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数的图象过点，且. (1)求的单调区间和极值； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)的单调递增区间为，；单调递减区间为;极大值：;极小值： (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）结合题意求得，，再求导研究函数的单调性与极值即可； （2）结合（1）得在区间上的单调性，再结合极值与端点值求解即可. 【详解】（1）解：对求导得 因为函数的图象过点，且 所以，解得，， 所以， 令，解得， 所以，，与的变化情况如下表： + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以，的单调递增区间为，；单调递减区间为. 极大值： 极小值： （2）解：由（1）知在区间上的单调性的情况为： 函数在单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以，在区间上的最大值为，最小值为. 【例10-2】（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求函数在上的最小值与最大值； (3)设，证明：. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)最小值为，最大值为 (3)证明：由，得，即， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以． 【分析】（1）利用导数研究单调性，进而求极值即可； （2）利用导数研究单调性，进而求最值即可； （3）由，得，令，利用导数研究单调性，进而得即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为， 所以， 因为，所以，令得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为； （2）由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为， 计算区间端点值，， 因为，所以，所以， 故在上的最大值为． （3）略 【变式10-1】（26-27高三上·江西九江·开学考试）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值． (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求导，结合导函数判断即可； （2）结合函数的单调性判断最值即可. 【详解】（1）对函数求导，可得， 令，即，解得， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增； 由单调性可知，当时，函数取得极小值，将代入函数可得： ，函数无极大值. （2）由可知函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以函数在上的最小值为，最大值为 【变式10-2】（25-26高二下·广东阳江·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)递减区间为，递增区间为和，极大值为，极小值为 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求得，得到函数单调区间，结合极值的定义，即可求解； （2）由（1）得到的单调性，结合极值和区间端点的函数值，进而求得的最值. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为， 且， 令，得；令，得或； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和， 则的极大值为， 极小值为． （2）解：由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 且，， 又由，可得，所以， 所以在区间上的最小值为，最大值为． 【变式10-3】（25-26高二下·天津·期末）已知函数． (1)求的单调区间和极值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)的单调递增区间为和；单调递减区间为；极大值为，极小值为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）运用函数导数的正负性判断函数的单调区间，进而求解极值； （2）根据小问（1）的单调区间求出在固定区间的最值. 【详解】（1）由， 可得， 令，解得，或， 当变化时，的变化情况如下表所示． 3 0 0 单调递增 6 单调递减 单调递增 因此，的单调递增区间为和；单调递减区间为； 当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为． （2）由（1）知：函数在上单调递增，在上单调递减， 在区间上，当时，有极大值，并且极大值为， 又由于，， 所以在区间上最大值为； 最小值为． 【考点题型十一】根据函数的极值（点）求参数 【例11-1】（2026高二·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义求得在处的切线的斜率，根据直线的点斜式方程可得； （2）通过讨论导函数的零点，并结合的极小值为，可确定的值. 【详解】（1）当时，，. ，. 所以在处的切线方程为， 整理得. （2）由题得，其中， 当时，恒成立，所以是增函数，无极值，不合题意. 所以. 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为， 解得. 【例11-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数． (1)当时，过作曲线的切线，求切线的斜率； (2)若是函数的极小值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设切点为，结合导数的几何意义及斜率两点式列方程求参数值，进而求出对应切线斜率； （2）对函数求导，应用分类讨论研究导数的区间符号，结合极小值点求参数范围. 【详解】（1）时，，则， 设切点为，且，则， 所以，则， 整理得，解得或， 当时，切线斜率， 当时，切线斜率； （2）由题设， ①当，即时， 由，得， 由，得， 由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 则为极小值点，符合题意， ②当，即时， 由，得或， 由，得或， 由，得， 所以在和上为增函数，在上为减函数， 所以为极小值点，符合题意， ③当，即时， 由，得或， 由，得或， 由，得， 所以在和上为增函数，在上为减函数， 所以为极大值点，不符合题意， ④当，即时，恒成立，则在上为增函数， 所以无极值，不符合题意， 综上，是函数的极小值点，a的取值范围是. 【变式11-1】（25-26高二下·重庆·期末）已知函数 、 (1)当，时，求曲线在点 处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入的值，得出函数的关系式，利用导数的几何意义求切线的斜率，然后利用点斜式得到切线方程. （2）对函数求导后分类讨论的取值范围，确定函数存在极小值的条件，求出极小值后构造辅助函数求其最大值，进而得到的取值范围. 【详解】（1）当，时，，则，故切点为. 由，得，所以， 由点斜式得切线方程为，即. （2）对求导，得. 当时，恒成立，故恒成立，在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，令，解得，当时，， 单调递减；当时，，单调递增， 故的极小值为， 由题设极小值小于0，得， 即对任意成立. 令，则， 令，解得，所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故的最大值为，因此，即的取值范围为. 【变式11-2】（26-27高三上·上海·期中）已知 ． (1)若，求函数的单调区间； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性即可； （2）根据，分类讨论结合导函数正负得出单调性及极值点计算求解． 【详解】（1）的定义域为， ， 因为，所以在区间上恒成立， 所以当时，，单调递增； 当 时，，单调递减； 所以的增区间为，减区间为． （2）由（1）可知，当，为函数的极大值点，不合题意； 下面分析的情形： 当时，在区间上恒成立，不合题意； 当时，，在区间上，，单调递增，在区间 上，，单调递减， 则为函数的极大值点，不合题意； 当时，，在区间 上，，单调递减，在区间上，，单调递增， 为函数的极小值点，符合题意； 综上，，即. 【变式11-3】（25-26高一下·北京延庆·期末）设函数，其中. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求； (2)若在处取得极小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘积求导法则求出函数的导函数，将切点横坐标代入导函数，结合切线斜率为0的条件建立关于的方程，求解方程并结合的限制得到的值； （2）对整理后的导函数因式分解，根据导函数的两个零点和的大小关系分类讨论，分析不同区间内导函数的正负性以判断的单调性，结合极小值的定义反推为极小值点时满足的条件，进而得到的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，解得. （2）由（1）得，其中恒成立， 因此的符号完全由二次函数决定， 已知，对因式分解得，两个零点为和， ①当时，，时，，所以，单调递增； 时，，所以，单调递减； 时，，所以，单调递增； 所以当时，取得极大值，不合题意； ②当时，，，恒成立（当且仅当时取等号），所以恒成立， 所以在上单调递增，无极值； ③当时，，时，，所以，单调递增； 时，，所以，单调递减； 时，，所以，单调递增； 所以当时，取得极小值，符合题意； 综上，的取值范围是. 【考点题型十二】求函数最值 【例12-1】（北京市海淀区2026-2027学年第一学期期中练习高三数学试卷）已知函数，直线为曲线的切线． (1)求的值； (2)设函数，求的最大值和最小值． 【答案】(1) ； (2) 的最大值为，最小值为。 【分析】（1）依据导数的几何意义，通过切线斜率等于切点处的导数值求出切点坐标，代入切线方程求解参数； （2）先明确函数定义域，通过求导分析函数的单调性，结合端点函数值与无穷极限确定函数的最值。 【详解】（1）函数的定义域为，对其求导得： ， 设曲线的切点为，又切线方程为，斜率为，因此列方程： ， 解得，即，对应切点坐标为， 由于切点在切线上，将其代入切线方程得： 解得. （2）函数的定义域为， ， 当时，分母恒成立，因此的符号由分子决定： 当时，，故，在上单调递增， 当时，，故，在上单调递减， 因此，是的唯一极值点，且为极大值点，即最大值点，代入计算得最大值： ， 当时，；当时，，，故 ；当时，由于指数函数的增长速度远快于幂函数，故， 因此，在定义域内的最小值为，在处取得. 【例12-2】（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）先根据已知条件确定在的单调性，再对的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下的最小值. 【详解】（1）由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为． 综上，． 【变式12-1】（2026·四川资阳·一模）已知函数在处取得极值． (1)若直线与曲线有三个不同的交点，求实数的取值范围； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) ； (2) 最大值为，最小值为. 【分析】（1）先根据函数在处取极值的条件求出参数，再通过导数分析函数的单调性与极值，最后结合直线与曲线的交点个数要求确定的范围； （2）由（1）并比较区间内极值点与端点的函数值可得到最值. 【详解】（1），因在处取得极值，则， 则，， 则在上单调递增，在上单调递减. 则在时取极大值，在时取极小值. 因直线与曲线有三个不同的交点，则的取值应介于函数极小值与极大值之间， 从而； （2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增. 又， 则. 【变式12-2】（2026高二·全国·专题练习）已知函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值． 【答案】(1) (2)当时，函数无最值；当时，函数的最大值为，无最小值 【详解】（1）因为，所以，其中． 因为函数在处取得极值，所以，解得． 经检验，符合题意，故． （2）由（1）知，． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值； 当时，，所以函数在上单调递增，无最值； 当时，令，得；令，得； 故在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值为， 无最小值． 综上，当时，函数无最值； 当时，函数的最大值为，无最小值． 【变式12-3】（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果； （2）求导后，分别讨论、和时在上的单调性，进而确定最小值. 【详解】（1）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【考点题型十三】根据函数的最值求参数 【例13-1】（北京市朝阳区2026-2027学年第一学期期中质量检测高三数学试卷）已知函数． (1)若，求的极值点； (2)若且在区间上单调递减，求的最大值； (3)若的最大值为1，求的取值集合． 【答案】(1)的极大值点为，无极小值点． (2) (3) 【分析】（1）代入化简函数，求导通过导数符号判断单调性，确定极值点类型； （2）将单调递减转化为导数恒小于等于0，分离参数a，构造函数并利用单调性求其最小值，得到a的上界； （3）先由最大值存在性得分母恒正，再将最大值条件转化为不等式恒成立，构造函数求其最大值，结合等号可取性确定a的唯一取值． 【详解】（1）当时，，求导得， 令，由得，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故是的极大值点，无极小值点． （2）单调递减等价于在上恒成立， 求导得，且时，，故， 则，整理得， 令， 求导得， 由得，，故，在上单调递增， ， 要使恒成立，则， 结合，得a的最大值为． （3）若存在最大值，则分母恒正，否则函数在分母零点附近趋向无穷， 无最大值，即， 由恒成立，结合，不等式等价于： ， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在处取得最大值： ，故时，恒成立，即恒成立， 当时，处，可取得最大值，符合题意； 当时，，最大值小于，不符合题意； 因此a的取值集合为． 【例13-2】（26-27高三上·天津·阶段检测）已知函数． (1)若，求； (2)若，求函数的极值； (3)若函数的最小值为0，求的值． 【答案】(1) (2)有极小值，无极大值； (3) 【分析】（1）求出函数导数可得，即可求解； （2）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 故. （2）当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. （3）令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 【变式13-1】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值． 【答案】(1) (2)时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减. (3). 【分析】（1）代入后,求导即得切线斜率. （2）通分后分子恰可因式分解为，按相对两根,的位置分四类讨论. （3）先化简:与抵消,;注意时函数在开区间上无最小值,只有时有最小值,令其为解出. 【详解】（1）定义域为，且 . 时,,,,. 切线斜率为,故切线方程为. （2）分母恒正,的符号由决定,按与,的大小分四类： ①，在上,,;在上. 故在上单调递减,在上单调递增. ②，在,；在上;在上. 故在,上单调递增,在上单调递减. ③,（仅处取等）,故在单调递增. ④，在,;在上;在上. 在,上单调递增,在单调递减. 综上所述：时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减. （3）设（），则 . ①时，,在单调递增,但无最小值； 时，,;时,恒成立却取不到.两种情形均舍去. ②时，令得,当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故最小值为, 令得,. 验证:时,,在处取得最小值，成立. 【变式13-2】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数，. (1)当时，求函数在上的最小值； (2)若函数在区间上的最大值为6，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法1，先利用单调函数定义证明在上单调递增，再由单调性可得最值； 法2，利用导数研究函数单调性，据此可得最值； （2）法1，利用单调函数性质可得单调性，据此可得函数在区间上的最大值为，据此可得答案； 法2，讨论函数在上的单调性和最值，结合题设可得答案. 【详解】（1）法1，当时，，，任取， 则， ，，， ，，即. 在上单调递增，的最小值为. 法2，，， 进而在上单调递增，的最小值为. （2）法1：当时，，均在单调递增，所以在单调递增， 当时，在单调递增， 当时，，，，单调递减； ，，单调递增. 综上，函数在区间上的最大值为 当时，，，不符合题意. 当时，，，符合题意 所以. 法2，，，. 若时，在恒成立，在上递增. 则，得符合，； 若时，在恒成立，在上递减. 则，得，不符合； 若时，令，得， 列表如下： - 0 + 最小值 则. 有以下两种情况： ，无解；，无解； 综上，的值为. 【变式13-3】（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）依题意可得在上恒成立，结合二次不等式的解法即可得解； （3）对进行分类讨论，结合在上的最大值为列式求得. 【详解】（1）因为当时，，所以， 所以，， 所以切线方程为，整理得； （2）因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 又的解为或， 所以当在上恒成立时， ， 即实数的取值范围； （3）由（2）可知，， 当和时，单调递增； 当时，单调递减. 当即时，在上单调递增， 则，解得或（舍去）； 当时，在上单调递增，则， 解得或（舍去）. 当时， 若，则，则在上单调递减，在上单调递增， 故， 又，无解； 若，则，则在上单调递减，故，无解； 若，则，则在上单调递增，在上单调递减， 故，解得，无解. 综上可得，实数的值为或. 一、单选题 1．（云南部分校2027届高三上学期月考（二）数学试题）已知是函数的极值点，则实数（     ） A． B． C．5 D．3 【答案】C 【详解】因为， 所以，， 又是函数的极值点，故，解得. 当时，， 时函数单调递减，时，函数单调递增， 故时，是函数的极值点. 综上. 2．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 所以. 由题意知且，所以， 又因为函数的最大值为，则. 3．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数，若在某区间上单调递增，则该区间可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 由得；得； 故的单调递增区间为，递减区间为， 故该区间可以是. 4．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在R上不单调，等价于在R上有2个不等实根， 即判别式，即，解得或． 5．（26-27高三上·北京·阶段检测）已知，则（    ） A．为奇函数，且在上单调递增 B．为奇函数，且在上单调递减 C．为偶函数，且在上单调递增 D．为偶函数，且在上单调递减 【答案】A 【详解】由题意，令， 则可转化为， 可得，即在上单调递增， 即在上单调递增，而， 可得， 则为奇函数，故A正确. 6．（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知函数 ，则 的极大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用导数知识判断单调性，据此可得答案. 【详解】，， 从而在上单调递增，在上单调递减，则的极大值为. 7．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数，则的极小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，定义域为，， 令得，即，解得， 当时，，当时，， 故是极小值点．极小值为. 8．（2026·浙江绍兴·一模）若函数有极小值点，则的极小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据有极小值点求出，再求出的极小值. 【详解】，， 有极小值点，，解得或， 当时，令，解得或，列表如下： 此时的极小值点为，不符合题意. 当时，令，解得或，列表如下： 此时的极小值点为，符合题意， 综上，，， 的极小值为 二、多选题 9．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）若函数无极值，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先对函数求导，再令，将有无变号零点转化为方程的根问题，用导数判断函数的性质可得. 【详解】由函数，定义域为，. 令，求导得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在处取得极小值也是最小值为​， 且当时，当时，的值域为. 若无极值，则无变号零点， 若：方程无解，恒成立，单调递增，无极值； 若：方程仅有唯一解，且在左右不变号， 恒成立，是的零点，但不是变号零点，函数单调递增，无极值. 若：方程有两个解，且这两个解是的变号零点，函数有两个极值； 若：方程有一个解，且这一个解是的变号零点，函数有一个极值； 因此当时，函数无极值. 显然，，，所以ABD正确，C错误. 10．（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数，为的导数，则（    ） A．任意实数，一定存在极大值 B．任意实数，一定存在极小值 C．存在实数，使得在区间上单调递增 D．任意实数，曲线一定存在与直线平行的切线 【答案】AB 【分析】AB选项基于极值的判断，需要对原函数求导，分析导数符号变化判断单调性即可；C项利用转化思想，根据单调性，以及函数零点存在定理进行判断；D项考查切线问题，核心在于构造函数进行零点的研究. 【详解】对求导得： 设,其判别式, 因此恒有两个不同的实数根,的符号由决定. 选项AB:因为恒成立,总有两个不同的零点,,不妨设, 当时,,,递增； 当时,,,递减； 当时,,,递增, 因此一定存在极大值和极小值. 选项C：,故,即且函数连续, 故存在使得,即不可能在区间上单调递增. 选项D：设切点为, 当曲线切线与重合时，可得是一组解， 当时,, 设,, 所以当时，,单调递增, 当时，,单调递减, 又,且,所以只有唯一解0, 所以当时,曲线仅在处的切线斜率为1,且与直线重合. 三、填空题 11．（26-27高三上·河南南阳·期中）函数的最小值为______． 【答案】 【分析】先对函数求导，再根据导数正负确定函数单调性，进而求出函数最小值. 【详解】由题意可得：， 令，解得． 当，则，所以在单调递减， 当，则，所以在单调递增， 所以． 12．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）若函数有两个极值点，则实数的取值范围_________． 【答案】 【分析】由题意分析的根的情况，再分离参数，从而求得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为， . 因为函数有两个极值点， 所以有两个正根， 即有两个正根， 即有两个正根. 所以与的图象有两个交点. 令， 则在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 又， 所以， 即实数的取值范围是. 四、解答题 13．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，其中为常数.讨论函数的单调性. 【答案】当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减 【详解】分别在和两种情况下，根据的正负确定的单调性. 【分析】由题意得：定义域为，， 当时，，则在上单调递减； 当时，令，解得：， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知函数的一个极值点是． (1)求与的关系式； (2)求出的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． 【分析】（1）求出，利用极值点是，得到，从而求出； （2）令导函数，求出两个根或，通过两个根的大小对进行分类讨论，列表判断函数的极值点以及单调性，从而得到答案． 【详解】（1）因为， 所以， 因为函数的一个极值点是， 所以，即； 则有， 当时，， 函数在上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意. 所以． （2）由（1）知． 则， ①当时，令，得或，列表如下： − 0 + 0 − 满足是函数的极值点； ②当时，令，得或，列表如下： − 0 + 0 − 满足是函数的极值点. 所以当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为和． 15．（2026高一·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2) 若，在上单调递减，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【分析】（1）利用导数求斜率，然后可得切线方程； （2）求导，然后对分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， 求导得， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）的定义域为， ， 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 若，则恒成立，所以在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上，若，在上单调递减，在上单调递增． 若，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 若，在上单调递增． 若，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 16．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）已知函数． (1)，时，求曲线在处的切线方程； (2)若是的极小值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入参数确定函数解析式，计算切点坐标与该点处的导数值（切线斜率），再用点斜式写出切线方程； （2）由极值点必要条件建立的关系，代入导数后因式分解，通过分类讨论导数在两侧的符号变化，结合极小值点的符号特征确定的取值范围. 【详解】（1），时，函数为，定义域为， ，即切点为， ，得斜率， 由点斜式得， 故曲线在处的切线方程为； （2）函数定义域为，， 因为是的极值点，故，代入得，即， 所以， 分母，因此的符号由分子决定， 当时，，，单调递减；，，单调递增，所以是的极小值点，符合题意； 当时，，在上单调递减，故不是的极值点； 当时，，，单调递增；，，单调递减，所以是的极大值点，不符合题意； 综上，的取值范围为. 17．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知函数在处取得极小值. (1)求函数的解析式及单调增区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值。 【答案】(1)，单调递增区间为和 (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）利用函数导数与极值求出参数，再结合函数导数与单调性求出单调区间即可； （2）利用函数导数与函数单调性，函数导数与函数极值（最值），分析求解即可. 【详解】（1）由，则， 因为函数在处取得极值，则，即， 此时， 又，解得：， 所以，则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，单调递增区间为和． （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，． 所以函数的最大值为4，最小值为． 18．（2026高二·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的极值点个数. 【答案】(1) (2)当时，的极值点个数为1；当时，的极值点个数为0 【分析】（1）可将代入原函数和其导函数，分别求出和，然后利用点斜式方程书写即可； （2）通过对函数求导，得到，要求的是极值点的个数，我们可以转化为，两个函数图像的交点问题，通过对求导并判断单调区间，从而确定两函数图像的交点个数. 【详解】（1）当时，函数，则， 所以，又， 所以切线方程为，即； （2）因为，则， 因为，所以，所以的极值点满足， 当时，，所以无极值点， 当时，的极值点满足， 令，则， 当时，，则单调递增，所以， 当时，则与恰有一个交点， 当时，则与没有一个交点， 综上，当时，的极值点个数为1，当时，的极值点个数为0. 19．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知，，函数在点处的切线方程为． (1)求函数的表达式； (2)求函数 的单调区间与极值点（需说明是极大值点还是极小值点）． 【答案】(1)函数表达式为； (2)单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值点为，极小值点为. 【分析】（1）利用导数的几何意义（切线斜率等于该点导数值），结合切点同时在曲线与切线上，联立求出参数，得到函数表达式； （2）求导，解导数零点，根据导数符号判断单调区间与极值点. 【详解】（1）对求导得： 由切线斜率为得：，解得. 将代入切线方程得，将、代入原函数得：，解得. 因此函数表达式为. （2）由（1）得导函数：. 令，解得或. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 故函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 左侧导数大于0，右侧导数小于0，故是极大值点；左侧导数小于0，右侧导数大于0，故是极小值点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10导数在研究函数中的作用 （13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 【知识点02】含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 【知识点03】函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 【知识点04】函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【知识点05】函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间 核心方法：求导（一定要注意定义域） 【例1-1】（2026高一上·重庆渝北·专题练习）函数的单调减区间是（     ） A． B．， C． D． 【例1-2】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27高三上·河南·阶段检测）函数的单调递增区间为_________． 【变式1-3】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则的单调增区间为___________ 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数 核心方法：①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 【例2-1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【例2-2】（23-24高二上·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 【变式2-1】（26-27高三上·广东湛江·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27高三上·江苏扬州·期中）函数为上的单调递增函数，则的取值范围是________． 【变式2-3】（26-27高三上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______． 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数 核心方法：①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 【例3-1】（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 【变式3-1】（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 【变式3-2】（25-26高二下·重庆北碚·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围为__________. 【变式3-3】（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数在上存在减区间，则实数的取值范围为______. 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数 核心方法：，使得有变号零点 【例4-1】（25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例4-2】（2025高三·全国·专题练习）若函数在不单调，则a可能为（    ） A． B．-1 C．0 D．1 【变式4-1】（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·重庆城口·阶段检测）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 【考点题型五】函数与导函数图象之间的关系 核心方法：导函数看正负，原函数看增减 【例5-1】（25-26高二下·甘肃酒泉·阶段检测）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则函数的图象是（   ） A．B．C．D． 【例5-2】（25-26高二下·河北雄安·阶段检测）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A．B． C．D． 【变式5-1】（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·江苏镇江·期末）函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（   ）      A．   B．   C．   D．   【变式5-3】（多选）（25-26高二下·青海西宁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列区间中，单调递减的有（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】导函数有效部分是一次型或可化为一次型 【例6-1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【例6-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)求函数的单调区间． 【变式6-1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，． (1)当时，求处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【变式6-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【变式6-3】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，．当时，求的单调区间． 【考点题型七】导函数有效部分是二次型或可化为二次型 核心方法：因式分解法 【例7-1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【例7-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，.讨论的单调性. 【变式7-1】（25-26高三上·河北廊坊·阶段检测）已知函数 (1)若，求曲线在处的切线； (2)讨论函数的单调性. 【变式7-2】（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知函数， (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的单调性． 【变式7-3】（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，且． (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【考点题型八】导函数有效部分是不可因式分解的二次型 核心方法：法 【例8-1】已知函数，，讨论的单调性. 【例8-2】设函数，，求函数的单调区间； 【变式8-1】（24-25高三·全国·一轮复习）讨论函数的单调性. 【变式8-2】（2026高二·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性； 【变式8-3】（2026高二·全国·专题练习）函数，当时，讨论函数的单调性. 【考点题型九】根据图象判断函数极值，最值 【例9-1】（24-25高二下·上海·期中）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【例9-2】（24-25高二下·山东·阶段检测）已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（    ） A．在上单调递增 B．有极大值 C．有3个极值点 D．在处取得最大值 【变式9-1】（多选）（24-25高二下·贵州贵阳·期中）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【变式9-2】（多选）（25-26高二下·贵州黔西南·阶段检测）已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 【变式9-3】5（多选）（24-25高二下·广东中山·阶段检测）函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【考点题型十】求已知函数（不含参）极值（点）最值 【例10-1】（26-27高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数的图象过点，且. (1)求的单调区间和极值； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【例10-2】（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求函数在上的最小值与最大值； (3)设，证明：. 【变式10-1】（26-27高三上·江西九江·开学考试）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)求函数在上的最值. 【变式10-2】（25-26高二下·广东阳江·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)求函数在区间上的最值． 【变式10-3】（25-26高二下·天津·期末）已知函数． (1)求的单调区间和极值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【考点题型十一】根据函数的极值（点）求参数 【例11-1】（2026高二·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值. 【例11-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数． (1)当时，过作曲线的切线，求切线的斜率； (2)若是函数的极小值点，求实数a的取值范围． 【变式11-1】（25-26高二下·重庆·期末）已知函数 、 (1)当，时，求曲线在点 处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【变式11-2】（26-27高三上·上海·期中）已知 ． (1)若，求函数的单调区间； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围． 【变式11-3】（25-26高一下·北京延庆·期末）设函数，其中. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求； (2)若在处取得极小值，求的取值范围. 【考点题型十二】求函数最值 【例12-1】（北京市海淀区2026-2027学年第一学期期中练习高三数学试卷）已知函数，直线为曲线的切线． (1)求的值； (2)设函数，求的最大值和最小值． 【例12-2】（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【变式12-1】（2026·四川资阳·一模）已知函数在处取得极值． (1)若直线与曲线有三个不同的交点，求实数的取值范围； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【变式12-2】（2026高二·全国·专题练习）已知函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值． 【变式12-3】（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【考点题型十三】根据函数的最值求参数 【例13-1】（北京市朝阳区2026-2027学年第一学期期中质量检测高三数学试卷）已知函数． (1)若，求的极值点； (2)若且在区间上单调递减，求的最大值； (3)若的最大值为1，求的取值集合． 【例13-2】（26-27高三上·天津·阶段检测）已知函数． (1)若，求； (2)若，求函数的极值； (3)若函数的最小值为0，求的值． 【变式13-1】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值． 【变式13-2】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数，. (1)当时，求函数在上的最小值； (2)若函数在区间上的最大值为6，求的值. 【变式13-3】（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，求实数的值． 一、单选题 1．（云南部分校2027届高三上学期月考（二）数学试题）已知是函数的极值点，则实数（     ） A． B． C．5 D．3 2．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数，若在某区间上单调递增，则该区间可以是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·北京·阶段检测）已知，则（    ） A．为奇函数，且在上单调递增 B．为奇函数，且在上单调递减 C．为偶函数，且在上单调递增 D．为偶函数，且在上单调递减 6．（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知函数 ，则 的极大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数，则的极小值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江绍兴·一模）若函数有极小值点，则的极小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）若函数无极值，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数，为的导数，则（    ） A．任意实数，一定存在极大值 B．任意实数，一定存在极小值 C．存在实数，使得在区间上单调递增 D．任意实数，曲线一定存在与直线平行的切线 三、填空题 11．（26-27高三上·河南南阳·期中）函数的最小值为______． 12．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）若函数有两个极值点，则实数的取值范围_________． 四、解答题 13．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，其中为常数.讨论函数的单调性. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知函数的一个极值点是． (1)求与的关系式； (2)求出的单调区间． 15．（2026高一·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 16．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）已知函数． (1)，时，求曲线在处的切线方程； (2)若是的极小值点，求的取值范围． 17．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知函数在处取得极小值. (1)求函数的解析式及单调增区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值。 18．（2026高二·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的极值点个数. 19．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知，，函数在点处的切线方程为． (1)求函数的表达式； (2)求函数 的单调区间与极值点（需说明是极大值点还是极小值点）． 学科网（北京）股份有限公司 $