期末复习专题05 导数运算及其几何意义【8大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择必修第二册

专题05 导数运算及其几何意义 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)[cf(x)]′＝cf′(x). 5．复合函数的定义及其导数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [常用结论] 几类重要的切线方程 （1）直线y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，直线y＝x是曲线y＝ln(x＋1)的切线，如图1. (2)直线y＝x＋1与直线y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2. (3)直线y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线，如图3. (4)直线y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xln x及y＝1－的切线，如图4. 由以上切线方程可得重要不等式，如ln x≤x－1，x＋1≤ex等． 考点一 导数定义中极限的简单计算 考点二 导数四则运算 考点三 求在曲线上一点处的切线方程 考点四 求过曲线上一点处的切线方程 考点五 已知切线(斜率)求参数 考点六 公切线问题 考点七 利用切线求最值问题 考点八 切线条数的问题 考点一 导数定义中极限的简单计算 1．（25-26高二下·江西上饶·期中）定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 2．（25-26高二下·陕西榆林·期中）已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C．1 D． 3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）定义在R上的函数，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）若，则（   ） A．3 B． C．6 D． 考点二 导数四则运算 5．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）分别求下列函数的导数： (1) (2) 6．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）求下列函数的导数： (1) (2) (3) 7．（25-26高二下·四川雅安·阶段检测）求下列函数的导数． (1)． (2)； (3)； 8．（25-26高二下·四川凉山·期中）求下列函数的导数： (1) (2) (3) 考点三 求在曲线上一点处的切线方程 9．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程为，则________． 10．（25-26高二下·湖北武汉·期中）函数在处的切线斜率为（  ） A．1 B． C． D． 11．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）曲线 在处的切线斜率为_________． 12．（25-26高二下·广东江门·期中）函数在点处的切线方程是（    ）． A． B． C． D． 13．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）已知函数． (1)利用导数的定义求； (2)求在处的切线方程． 14．（2026·黑龙江·一模）曲线在处的切线方程为________． 考点四 求过曲线上一点处的切线方程 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知曲线，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线？ (2)曲线过点的切线方程. 16．（25-26高二下·江西上饶·期中）已知曲线． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 17．（25-26高三下·上海浦东新·开学考试）已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为_____. 18．（25-26高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 19．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知曲线，则曲线过点的切线方程为________. 20．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）（1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求过点且与图象相切的直线的方程． 考点五 已知切线(斜率)求参数 21．（25-26高二下·西藏昌都·期中）已知函数的图象所对应的曲线在点处的切线方程为，则值为________． 22．（25-26高二下·天津静海·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（    ） A．2 B．1 C． D．0 24．（25-26高二下·广东佛山·期中）若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 25．（2026·安徽·模拟预测）若直线是曲线在处的切线，则______________． 26．（25-26高二下·云南德宏·期中）若函数在处的切线斜率为 ，则 ______. 考点六 公切线问题 27．（2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 28．（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 29．（25-26高二下·天津·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 30．（25-26高二下·江西·期中）（多选）已知函数的公切线为，则的值可能是（    ） A．2 B． C．3 D． 31．（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 32．（2026·浙江·模拟预测）已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________. 考点七 利用切线求最值问题 33．（25-26高二上·江苏南京·期末）函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高二下·广东深圳·期末）若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 35．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高二下·山东枣庄·阶段检测）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 考点八 切线条数的问题 37．（25-26高三上·安徽·开学考试）在曲线的所有切线中，斜率等于的有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 38．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则与的公切线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 39．（2022·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 40．（25-26高三上·湖北·期末）（多选）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 41．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）（多选）若过点 可作 3 条直线与函数 的图象相切， 则实数 可能是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高三上·江苏·阶段检测）若直线与曲线和曲线都相切，则直线的条数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 1．（25-26高二下·广东惠州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·四川凉山·期中）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（25-26高二下·北京·期中）函数在处的瞬时变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二下·山东淄博·期中）下列函数的求导正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南郑州·期中）曲线在点处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 7．（25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 8．（25-26高二下·广东东莞·期中）如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（    ） A． B．2 C．0 D．3 9．（2026·辽宁沈阳·二模）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线与直线垂直 B．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C．曲线的切线的倾斜角取值范围是 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 10．（25-26高二上·河北张家口·期末）（多选）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值（    ） A．0 B． C． D．2 11．（25-26高二下·甘肃金昌·期中）（多选）下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 12．（25-26高二下·北京·期中）曲线在点处的切线方程为，则___________． 13．（25-26高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程为__________. 14．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_________． 15．（25-26高二下·新疆喀什·期中）已知点P和点Q是函数的图像上的两点，点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4，求： (1)判断函数的单调性 (2)割线的斜率 (3)点P处的切线方程 16．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)证明：（1）中直线与函数的图象也相切. 17．（2026·湖南郴州·三模）已知函数. (1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数和有公切线，求实数的取值范围. 18．（25-26高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知（为自然对数的底数）， (1)当时，若直线是与的公切线，求的方程； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数运算及其几何意义 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)[cf(x)]′＝cf′(x). 5．复合函数的定义及其导数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [常用结论] 几类重要的切线方程 （1）直线y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，直线y＝x是曲线y＝ln(x＋1)的切线，如图1. (2)直线y＝x＋1与直线y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2. (3)直线y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线，如图3. (4)直线y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xln x及y＝1－的切线，如图4. 由以上切线方程可得重要不等式，如ln x≤x－1，x＋1≤ex等． 考点一 导数定义中极限的简单计算 考点二 导数四则运算 考点三 求在曲线上一点处的切线方程 考点四 求过曲线上一点处的切线方程 考点五 已知切线(斜率)求参数 考点六 公切线问题 考点七 利用切线求最值问题 考点八 切线条数的问题 考点一 导数定义中极限的简单计算 1．（25-26高二下·江西上饶·期中）定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据导数的定义求解. 【详解】 2．（25-26高二下·陕西榆林·期中）已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义计算求解. 【详解】函数在处可导，且，则 3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）定义在R上的函数，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的定义求解即可 【详解】已知，由导数的定义可以知道， 设，当时，，且， 所以 4．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）若，则（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】借助导数定义计算即可得. 【详解】. 考点二 导数四则运算 5．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）分别求下列函数的导数： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，分别对两个函数求导即可 【详解】（1） ， ， 因此. （2） . 6．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）求下列函数的导数： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数求导公式与复合函数链式求导法则计算即可； （2）先用对数求导法求得幂指函数的导数，再结合复合函数求导法则计算即可； （3）利用乘积求导法则，结合对数函数的复合求导法则计算. 【详解】（1）由于，所以，定义域为. （2）由于，所以，定义域为. （3）由于，所有，定义域为. 7．（25-26高二下·四川雅安·阶段检测）求下列函数的导数． (1)． (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）， （3）令，则， ． 8．（25-26高二下·四川凉山·期中）求下列函数的导数： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）本小问主要考查导数的减法运算法则和基本初等函数求导公式，对每一项分别求导，再相减即可； （2）本小问主要考查导数的商的运算法则与复合函数的导数，代入求导公式计算即可； （3）先将函数表达式进行化简，再根据导数加法运算法则及复合函数的导数，进行求导即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：由， 所以. 考点三 求在曲线上一点处的切线方程 9．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程为，则________． 【答案】 【详解】曲线求导得， 由题意知，解得， 则点在直线上，故，解得， ． 10．（25-26高二下·湖北武汉·期中）函数在处的切线斜率为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解. 【详解】因为，则， 可得，所以函数在处的切线的斜率为. 11．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）曲线 在处的切线斜率为_________． 【答案】 【详解】的导数为， 代入得． 12．（25-26高二下·广东江门·期中）函数在点处的切线方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数求导得， 在处斜率为， 点处的切线方程是：，即． 13．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）已知函数． (1)利用导数的定义求； (2)求在处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，代入，求出极限值，即求出； （2）由导数的几何意义可知，在处的切线斜率即为，由点斜式方程求出切线方程. 【详解】（1）根据导数的定义，函数在处的导数为： . 当时，， ， 即， 化简整理得， 所以， 化简得. （2）由切线的点斜式方程：． 由（1）知，当时，，，代入得， 化简整理得切线方程为：. 14．（2026·黑龙江·一模）曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，代入即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可得到切线方程. 【详解】函数，求导得，则，切点， 由点斜式得切线方程为，整理得． 故答案为：. 考点四 求过曲线上一点处的切线方程 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知曲线，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线？ (2)曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用导数的定义求出切线斜率，即可得出切点坐标； （2）设切点为，求出切线方程代入点，可解得，即可得解. 【详解】（1）. 设切点为，则，解得，， 切点坐标为. 即曲线上点的切线平行于直线. （2）点不在曲线上，设所求切线的切点为， 则切线的斜率，故所求的切线方程为. 将及代入上式得，解得或， 所以切点为或. 从而所求切线方程为或， 即切线方程为或. 16．（25-26高二下·江西上饶·期中）已知曲线． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 【答案】(1) (2)和． 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求曲线的导函数，验证点在曲线上，再计算该点处的导数值得到切线斜率，最后用点斜式写出切线方程. （2）设出切点坐标，结合导数的几何意义表示切线斜率，再利用两点间斜率公式表示过原点的切线斜率，联立方程求解切点，进而得到过原点的切线方程. 【详解】（1）已知曲线，先求导：, 验证点在曲线上：，点在曲线上． 求该点的切线斜率：, 由点斜式得：, 整理得切线方程：. （2）设切点为，即， 切点处的斜率：, 所以切线方程为， 切线过原点，即， 整理得，解得或． 当时，切点为，斜率，切线方程为： 当时，切点为，斜率， 切线方程为： 因此，过原点的切线方程为和． 17．（25-26高三下·上海浦东新·开学考试）已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为_____. 【答案】 【分析】假设切点，然后利用导数求得斜率表示出切线方程代点计算即可. 【详解】设切点坐标为，则切线的斜率， 故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，解得，所以切线方程为. 故答案为： 18．（25-26高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用商的导数来求正切函数的导数，即可求在某点处的切线方程； （2）利用导数公式来求经过某点的切线方程. 【详解】（1）由， 则，， 则所求的切线方程为：， 即 （2）由，设切点为， 则， 切线方程为： 又在切线上，则，得. 所以的方程为：， 即 19．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知曲线，则曲线过点的切线方程为________. 【答案】和 【分析】设过点P的切线与曲线相切于点Q，然后根据曲线在点Q处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果． 【详解】由题干得,设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. 故答案为：和 20．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）（1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求过点且与图象相切的直线的方程． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）设出切点坐标，求得切线方程并代入，求得切点坐标，进而求得切线方程. 【详解】（1）由得， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）设切点为，， 则，切线方程为， 将代入上式得，， 由于，故上式可整理为， ，解得或， 所以切线方程为或， 即或. 考点五 已知切线(斜率)求参数 21．（25-26高二下·西藏昌都·期中）已知函数的图象所对应的曲线在点处的切线方程为，则值为________． 【答案】 【详解】，，， 由，可知，所以， 而，因此. 22．（25-26高二下·天津静海·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，又在点处的切线与直线垂直， ，解得． 23．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，求得的值，根据点在切线上，求得的值，进而求得的值． 【详解】点在切线上，所以， 根据导数的几何意义，所以，所以. 24．（25-26高二下·广东佛山·期中）若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 对求导： ， 将切点横坐标代入，得切线斜率. 直线整理为，斜率为， 由于两直线平行，则斜率相等，因此. 25．（2026·安徽·模拟预测）若直线是曲线在处的切线，则______________． 【答案】 【分析】利用切线斜率、切点在曲线上及切点在切线上列方程求解. 【详解】曲线，导数为，切线斜率，在处有 切点纵坐标为，切线方程为，切点在该直线上，，故，. 26．（25-26高二下·云南德宏·期中）若函数在处的切线斜率为 ，则 ______. 【答案】3 【分析】根据求解即可. 【详解】由题可知，，解得. 考点六 公切线问题 27．（2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 【答案】 【分析】先利用公切线斜率求出的切点，代入得的值，再设上的切点，结合导数的几何意义和切点在函数图象上联立方程，利用函数单调性求，进而得，最后代入计算结果. 【详解】设直线与的切点为， 对求导得，由切线斜率为，得，解得， 故切点为，代入得，解得， 设直线与的切点为， 对求导得， 由切线斜率为，得 ， 又切点在图象上，故 ， 则， 设，则，故在上单调递增， 又，故，则，解得， 因此. 28．（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解． 【详解】由，则， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为． 设直线与曲线相切的切点为，且， 则，解得． 29．（25-26高二下·天津·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 【答案】 【分析】设切线与的切点为和，利用导数的几何意义，分别求得切线方程和，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数和，可得和， 设公切线与的切点为， 可得，所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得， 所以与的公切线的方程， 设公切线与的切点为，可得， 所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得. 30．（25-26高二下·江西·期中）（多选）已知函数的公切线为，则的值可能是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】CD 【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义得到切线方程，得到，，联立求出或，从而得到切线方程，求得答案. 【详解】设与相切于点， ，故切线斜率， 在点处的切线方程为， 即，故， 设与相切于点， ，则，所以，解得， 在处的切线方程为， 即，故， 所以， 将代入上式得， 整理得，解得或， 当时，切线方程为，此时，所以； 当时，切线方程为，故，，所以； 综上所述：或3. 31．（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 【答案】/ 【分析】分别设出两曲线的切点，并写出切线方程，因为公切线，对应斜率以及截距相等得到等式进行消元求解即可. 【详解】设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 因为是公切线，所以，解得 所以 所以在轴上的截距为 32．（2026·浙江·模拟预测）已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________. 【答案】/ 【分析】首先设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求切点坐标和切线方程，再设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求实数的值. 【详解】，设直线l与曲线切于点， 则，得，所以直线l的方程为， 设直线l与曲线切于点，则， 所以点在直线l上，故，得. 故答案为： 考点七 利用切线求最值问题 33．（25-26高二上·江苏南京·期末）函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行的切线，切线到直线的距离即为最小距离. 【详解】，令，即， 令，，恒成立， 故函数在上单调递增，且，故函数仅有一个零点， 令，，即切点横坐标为， 代入，切点坐标为，切线方程为：， 切线与直线之间的距离. 故选：C 34．（25-26高二下·广东深圳·期末）若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 【答案】B 【分析】利用导数求曲线上一点到直线的最小距离，先在曲线上求与直线平行的直线，得到切点，再求切点到直线的距离即可. 【详解】由，求导得，其中直线的斜率为2， 令，解得： 当时，则，故到直线的距离最小， 由点到直线的距离公式得最小值为，解得或， 且时，曲线与直线有交点，距离最小值为0，舍去． 故选：B. 35．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 36．（25-26高二下·山东枣庄·阶段检测）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案. 【详解】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 考点八 切线条数的问题 37．（25-26高三上·安徽·开学考试）在曲线的所有切线中，斜率等于的有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，导数在某点的值就是该点处切线的斜率，令导数等于，求出对应值，再结合函数的定义域判断切线的条数. 【详解】由题可知，函数的定义域为． 由，得， 令，则或 解得或， 因为函数定义域为， 所以舍去，即 曲线的斜率等于的切线有条． 故选： 38．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则与的公切线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】函数已知，可设切点表达切线方程，公切线满足两函数的切线斜率和截距分别相等，则公切线的数量可转化为满足条件的方程组的解的个数或者符合条件的切点个数的求解即可. 【详解】根据题意，设直线l与相切于点，与相切于点， 对于，有，则直线l的斜率， 则直线l的方程为，即， 对于，有，则直线l的斜率，则直线l的方程为，即， 则 可得，即或， 则切线方程为或，故与的公切线有2条． 故选：C. 39．（2022·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点建立方程，求得切点的个数即为切线的条数. 【详解】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 40．（25-26高三上·湖北·期末）（多选）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】BC 【分析】设为直线上任意一点，切点为求出切线方程，将代入切线方程，转化为根的个数求解即可. 【详解】设为直线上任意一点， 过点作的切线，切点为， 则函数图象在点B处的切线方程为， 即，   整理得，， 解得1或 当时，，方程仅有一个实根，切线仅可以作1条； 当时，，方程有两个不同实根，切线可以作2条. 故选：. 41．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）（多选）若过点 可作 3 条直线与函数 的图象相切， 则实数 可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题设切点为，进而得，再构造函数，将问题转化为与的交点个数问题，数形结合求解即可. 【详解】设切点为， 因为，， 所以切线方程为，又切线过， 则，整理得， 所以令，则， 令得， 所以当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取极小值，当时，取极大值， 由可知当时， 所以函数的图象大致如图，    由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点， 此时过点可作3条直线与函数的图象相切， 由此可知，BCD符合题意， 故选：BCD 42．（25-26高三上·江苏·阶段检测）若直线与曲线和曲线都相切，则直线的条数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】B 【详解】如图所示， 设直线与曲线的切点为，由图可得， 与曲线的切点为，直线的斜率； 所以，，即在点处的斜率为， ，即在点处的斜率为， 得， 所以，， 所以， 令，则，所以在上均单调递增， ，由, 且在上均单调递减，所以在上均单调递减， 又,,所以方程有一解， ,,所以方程有一解； 所以，直线即为异于直线的第二条曲线的公切线； 综上可知，直线的条数有2条. 故选：B. 1．（25-26高二下·广东惠州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数，所以，则. 2．（25-26高二下·四川凉山·期中）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义求解． 【详解】， 所以． 3．（25-26高二下·北京·期中）函数在处的瞬时变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】方法一：由函数在某点处瞬时变化率计算公式可知，，， 根据重要极限 ，当时，， 故选项为C. 方法二：因为，所以，所以. 即函数在处的瞬时变化率为3. 4．（25-26高二下·山东淄博·期中）下列函数的求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误． 5．（25-26高二下·河南郑州·期中）曲线在点处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】的导函数为，， 将代入导函数，得， 即曲线在处的切线斜率为2. 6．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【答案】D 【分析】根据切线重合列方程，求得切点的横坐标，进而求得的值. 【详解】设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①. 分别对两函数求导可得及， 由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等， 即，即，解得或. 将代入①可得；将代入①可得，解得， 所以的值为0或1. 7．（25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】， ， 又函数在处的切线方程为， ，解得，则， ， 将点代入切线方程得，即， ． 8．（25-26高二下·广东东莞·期中）如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（    ） A． B．2 C．0 D．3 【答案】B 【详解】根据图像得，点，切线斜率为，，则. 9．（2026·辽宁沈阳·二模）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线与直线垂直 B．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C．曲线的切线的倾斜角取值范围是 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ABD 【分析】对于选项A，先求处的导数值即切线斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为的性质进行判断；对于选项B，先令等于直线的斜率，求出切点，再计算切点到直线的距离；对于选项C，先分析的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质确定倾斜角的范围；对于选项D，设切点坐标，写出切线方程，将点代入得到关于切点横坐标的方程，转化为该方程有三个不同实根的问题，通过研究对应函数的单调性与极值来确定的范围 【详解】对A，处切线斜率，直线的斜率为，两斜率乘积 ，故两直线垂直，A正确 对B，点到直线的最小距离，出现在曲线切线与平行时，即切线斜率等于， 令，得，整理为，函数在上单调递增，仅有解，对应切点为 切点到的距离为：​，即最小距离为​，B正确 对C，设切线倾斜角为，则 令​，求导得​，时，单调递减； 时，单调递增， 所以在处取最小值，故 而​，因此倾斜角范围不是，C错误 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 10．（25-26高二上·河北张家口·期末）（多选）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】AB 【分析】利用导数的几何意义求得曲线在点处的切线方程为，再联立方程并结合二次方程的根求解即可. 【详解】因为的导数为， 所以曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即． 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以联立得：①有且只有一解， 当时，①式变为，则，方程①有且只有一解，符合题意; 当时，则，，解得. 综上，或. 11．（25-26高二下·甘肃金昌·期中）（多选）下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 【答案】AC 【分析】根据导数的四则运算求出各项的导数后，再逐项代入判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，令，所以， 所以，解得，故B正确； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AC． 12．（25-26高二下·北京·期中）曲线在点处的切线方程为，则___________． 【答案】 【分析】根据切点在切线上，得到，由导数几何意义得到，相加得到答案. 【详解】曲线在点处的切线方程为，故， 由导数几何意义得到，所以. 13．（25-26高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程为__________. 【答案】 【分析】结合导数，利用切点和斜率求得切线方程. 【详解】由题可得,由于,， 所以曲线在处的切线方程为，即 14．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_________． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出曲线在点处的切线方程，则此切线方程与曲线相切，通过解方程组得到关于的一元二次方程，则此一元二次方程只有一个解，则有判别式为0，从而得到关于的方程，解出得解. 【详解】，， 曲线在点处的切线的斜率为， 曲线在点处的切线方程为， 即， 则与曲线相切， 将代入， 得到，即只有一个解， 故，解得. 15．（25-26高二下·新疆喀什·期中）已知点P和点Q是函数的图像上的两点，点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4，求： (1)判断函数的单调性 (2)割线的斜率 (3)点P处的切线方程 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2)割线PQ的斜率是. (3)点P处的切线方程是. 【分析】(1) 利用二次函数的图像及对称轴判断单调性 ； (2)先求出点P和点Q的坐标，再利用直线的斜率公式求解； (3)利用导数求出点P处的切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程. 【详解】（1）因为二次函数的对称轴是直线， 且函数的图像开口向上，所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）因为点P和点Q是函数的图像上的两点，点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4， 所以点P的纵坐标是，点Q的纵坐标是，所以割线的斜率是. （3）因为函数，所以， 所以点P处的切线的斜率，从而点P处的切线方程是，即. 16．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)证明：（1）中直线与函数的图象也相切. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出切线的斜率和切点坐标即得解； （2）设切点，求解此点处的切线，计算得证直线与函数图象相切； 【详解】（1）由题意知，，∴切线的斜率为1 ∴切线方程为 （2）设为函数图象上一点 令点处切线斜率为1，则， 当时，，此时 ∴点处的切线方程为，不符合题意 当时，，此时 ∴点处的切线方程为，即直线 ∴直线与函数的图象相切 17．（2026·湖南郴州·三模）已知函数. (1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数和有公切线，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，用导数法解即可； （2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线， 由，化简得到，然后将问题转化为关于的方程有解求解. 【详解】（1）由题意，当时，设， 则， ， 令，得（舍负） 在上单调递减，在上单调递增， . 根据题意的取值范围为. （2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线， 则， ，代入 得. 问题转化为：关于的方程有解， 设，则函数有零点， ，当时， . 问题转化为：的最小值小于或等于0. ， 设，则 当时，，当时，. 在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为. 由知， 故. 设， 则， 故在上单调递增， 当时，， 的最小值等价于. 又函数在上单调递增， . 【点睛】方法点睛：对于函数与函数有相同的切线问题，一般设函数在点处与函数在点处有相同的切线，由，利用消元法，转化为方程有解求解. 18．（25-26高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知（为自然对数的底数）， (1)当时，若直线是与的公切线，求的方程； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分别设与，的切点，求出切线方程，进而结合公切线建立方程，再解方程得切点坐标，再求解切线方程即可； （2）由题知，进而令，求函数的最小值得，再结合单调性得，则，最后根据在上单调递增即可得答案. 【详解】（1）解：设与的切点 又 切线方程为：，即① 设与切点为 切线方程为：，即② 由题知，①，②都是的方程，则有 ， 消去得，即，解得或 当时切线方程为 当时切线方程为 综上，直线的方程为或. （2）解：要使，即 令， 易知在单调递增， 因为趋近于时趋近于，趋近于时趋近于， 故必有，使，此时 则当时单调递减； 当时单调递增. 故 又， 所以 令， 因为 所以在单调递减 所以，要使，则 又在上单调递增 所以，，即实数的取值范围为. 【点睛】本题考查利用导数求救公共切线问题，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力等.本题第二问解题的关键在于构造函数，结合函数隐零点问题，得，，再研究最小值大于等于零恒成立得，进而得的取数范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $