专题11 导数与不等式恒（能）成立问题（ 7个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题11导数与不等式（含恒成立，能成立问题） (7个考点梳理+题型解读+提升训练) 思维导图 分离变量法 恒成立问题 分类讨论法 等价转化法 恒（能）成立问题 分离变量法 分类讨论法 能成立（有解）问题 等价转化法 最值定位法解决双参不等式问题 值域法解决双参等式问题 知识清单 【知识点01】分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端 是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分离参数（注意分离参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max;若a<f()对x∈D恒成立，则只 需a<f(x)min, ③转化：3x∈D,使得a>f(x)能成立台a>f(x)nmin: 3x∈D,使得a<f()能成立台a<f(x)max. ④求最值 【知识点02】分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问 题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0,△<0或a<0，△<0)求解。 【知识点03】等价转化法 ④当遇到f(x)≥g()型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数 F()=f(x)-g()或者“右减左”的函数H(x)=g(x)-f(),进而只需满足F(x)m≥0，或 者H()x≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题 ②当遇到f()≥g()型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函 数F(x)=f(x)-g(:)或者“右减左”的函数H(x)=g()-f(x),进而只需满足F(x)max之0， 或者H(x)mn≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 【知识点04】最值定位法解决双参不等式问题 (1)3x∈A,x2∈B,使得f(x)≥g(x)成立台f(x)max≥g(x)ma (2)x∈A,3x3∈B,使得f(x)≥g(x)成立台f(x)m≥g(x)m (3)3x∈A,3x,∈B,使得.f()≥g(化)成立台f(x)max≥g(x)mm (4)x∈A,x2∈B,使得f(x)≥g(x2)成立台f(x)mm≥g(x2)max 【知识点05】值域法解决双参等式问题 x∈D,x2∈D2,使得f(x)=g(x)成立 @x∈D,求出f(x)的值域，记为A={f(x)川x∈D} ②x,∈D2求出8(x)的值域，记为B={g(x)川：3∈D} ③则A二B,求出参数取值范围 题型清单 【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题 核心方法：变量分离 【例1-1】(2026重庆渝中模拟预测)己知函数f(x)=mx+xx(m∈R) ()当m=1时，求函数f()的极值： (②)若f(x)>(2m-l)x-m对任意x>1恒成立，求整数m的最大值. 【例1-2】(26-27高三上·上海宝山阶段检测)设f(x)=hx+心-1，x>0. (①当a=-1时，求函数y=f在区间ee的最小值； (②)对任意的x∈(0，+o),都有f()≤x,求实数a的取值范围. 【变式1-1】(26-27高三上江苏泰州阶段检测)已知f(x)=(x-ae (①)讨论函数f(x)的单调性： (2)当a=1时， (i)求曲线y=f()在点(，f()处的切线方程： (i)若不等式f(x)≥：-2在山，+)上恒成立，求实数k的取值范围. 【变式1-2】(26-27高三上江苏扬州阶段检测)已知函数f(x)=ae-lnx-cos(x-1)(a≥0)， g(x)=lnx-bx+1(b∈R) ()若a=1,求曲线y=f()在点(，f()处的切线方程： (2)若b=2,求8)的极值： (③)若g(x)≤0对任意的x∈(0，+o)恒成立，求b的取值范围： 【变式13】(2026山东济南模拟预测)已知函数f(-=m2+(口-x-nx+1(aeR). ()讨论函数f(x)的单调性： ②yxeL+m),f()>am+l,求o的取值花围 【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题 核心方法：变量分离 【例21)(25-26高二下河北唐山期末)己知函数f(x)=写×-(a+r+x+l,且曲线y=f问) 在点(0，f(0)处的切线与直线3x+y-1=0垂直： (①)求实数a的值，并求f(x)的单调区间与极值： (2)若存在x∈[0,2]，使得不等式∫(x)之m成立，求实数m的取值范围. 【例22】(25-26高三下河南南阳期末)已知函数了)=ax-+x在r1和x三处取得极 值。 (I)求实数a,b的值： 使不等式f(x)≤c成立，求实数。的取值范围. 【变式2-1】(25-26高二下福建三明期末)已知函数f(x)=沁， ()求f(x)的极值： [1 (②若存在xe2+o, 使得f(x)≤成立，求实数，的取值范围， 【变式2-2】(2425高二下江苏徐州期末)已知函数f(x,)=lx+(a为常数)， (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程： @不等式21在[B 上有解，求实数a的取值范围. 【变式2-3】(2026辽宁模拟预测)已知函数f(x)=e"cosx,g(x)=sinx+1. ①求fx)在0,2内的单调性： 塔存在*[0]， 使得f(x)-ag(x)≥0，求实数。的取值范围： 【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题 核心方法：分类讨论法 【例3-1】(26-27高三上四川内江阶段检测)已知函数f(x)=nx+ (1)已知函数∫(x)在x=2处取得极值，求∫(x)的解析式及单调区间. ②已知函数g()=f(+号，且对于任意xe0+四：8>0，求实数。的取值范围。 【例32】(2627商三上河南郑州阶段检)已知西数f()=1+-x+今2（≥0）. ()当k=2时，求曲线y=f(x)在点（山f)处的切线方程； (②)当x∈[0，+o)时，不等式f(x)≥0恒成立，求实数k的取值范围. 【变式3-1】(24-25高三上青海西宁阶段检测)已知函数f(x)=nx-x+1(a∈R). ()当a=1时，求曲线y=f(x)在点(f()处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性： (3)若f(x)≤0对任意x∈(0，+o)恒成立，求a的取值范围. 【变式32】设函数f()=x(e--m,aeR,其中e为自然对数的底数. (山若a=,求)的单调递增区间： (2若当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 【变式3-3】已知函数f(x)=e2+心，aeR. ()求f(x)的单调区间： (②)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围。 【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题 核心方法：分类讨论法 【例41】(26-27高三上河南开学考试)己知函数.f(x)=n(x++mx+n,曲线y=fx)在点 (0,f(0)处的切线方程为x-2y=0. (1)求实数m,n: (②)若当>x≥a时，f()-f(:)<x-,求a的最小值： 3)若x>0,使得f(k+x+f(k-x<2f(),求k的取值范围. 【例42】(26-27高三上江苏南通阶段检测)已知函数f(x)=arlnx(a∈R且a≠0) ()当a=1时，求函数y=∫(x)的极值： (2)若直线y=x-1是曲线y=f(x)的一条切线，求a的值和切点的坐标； (3)若f(x)>1有解，求a的取值范围. 【变式41】(25-26高二下江西吉安期末)已知函数f()=x+anx+1 x’aeR (1)当a=-1时，求函数f(x)的极值： (2②)若f(x)在区间，上单调，且存在∈L,],使得f()≤0，求实数a的取值范围. 【变式42】(25,26商=下上海阶段检测)已知函数)-品 (1)求f(x)在，+o)上的单调区间： ②存在，e0,U1,w)使得f)之成立，求实数k的取值范国； 【变式43】(25-26高三上重庆开学考试)已知函数(x)=e-x. ()当a=1时，求f(x)在点(，f()处的切线方程； (②)求f(x)的单调区间： 3)若r∈[1，川，使f(x)≥3成立，求a的取值范围. 【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题 核心方法：最值定位法 【例5-1】(25-26高二下·吉林延边阶段检测)(1)若曲线y=e+x在点(0，)处的切线也是曲线 y=ln(x+l)+a的切线，求a; (2)从点A(,a)可向曲线y=x-x3引三条不同切线，求a的取值范围： (3)已知f)=r-3x+3-。g()=h(x+)+a,3∈[0,2]，∈0,2]，使得f5)sg5)成 立，求实数a的取值范围 【例52】（2026安敬合肥一楼)已知函数f)=e2-,g)=hx-e-￥+r+1, x-1 ()求f(x)的单调区间； ②若对于任数5( 总存在x∈山，+o)使得f(x)≤g(x),求a的取值范围 【变式5-1】(25-26高三上上海浦东新期中)已知函数f(x)=x,g(x)=nx,h(x)=e2x 1)求函数F()=f(x+g(x)在区间1,2]上的最小值： (②)若存在x∈L,©，使得xg()>c成立，求实数k的取值范围： 对于任意的5eL3引总存在[]。 使得h(x)+g(x)≥m(x)成立，求实数m的取值范 围 【变式52】(24-25高二下河南郑州期末)已知函数f(x)=am2-(a+2)x+nx(a∈R), g)=x-2 (1)求函数f(x)的单调区间 (②)若x∈(0，+o),3x∈[-2，-1，使得f(x)≤g(:),求实数a的取值范围 【变式5-3】(2025湖南三模)已知函数f()=x(2血x+a),aeR. ()若函数f(x)在(e,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围： (②)若x=e为函数f(x)的极值点，求a的值： 3)设函数8()=4x-4hr,当a=-2时，若对于任意∈(0，+0），总存在为3∈[-2,4，使得 g(x2)≤f(x),求实数b的取值范围. 【考点题型六】值域法解决双参等式问题 【例6】已知定义在R上的函数的满足2+>0且A0)=日，共中)>二的解集为 A函数f)=-x+1 x-1,g(x)=d(a>),若k∈A,比，∈A使得f(s)=g(x),则实数a的取 值范围是？ 【例6-2】(25-26高三上江西宜春开学考试)已知函数f(x)=ac+lhx(aeR) ()讨论y=()的单调性； ②a2时，设g)=-2x+2,若对任意5L,2,均存在50，使得f6)=g6),求 实数a的取值范围， 【变式6-1】(25-26高二下·山东青岛阶段检测)已知函数 f-r-ro>orek.g()-3e(o-,3%e(》使得 f(:)=gx),求实数a的取值范围 【变式6-2】(25-26高三上：上海虹口期中)已知函数f()=x,g(x)=x2-mx+4,m∈R. (1)当m=4时，解不等式8)f(x)-2L (2②)若对任意的∈[山，2]，存在∈[，2]，使得g(:)=f:),求实数m的取值范围 【空式6】〈2526商兰上吉林阶段检)已知周发了-兰，g创=nx+号a>0y (1)求函数f(x)的极值： (2)x∈(0,0)，3∈(0，+∞），使f(x)=g(:)成立，求a的取值范围 【考点题型七】等价转化法解决f(x)≥g(x)问题 【例7-1】(26-27高三上安徽六安·阶段检测)已知函数f(x)=a-x(a∈R), g(x)=x2+(e-3)x+1,其中e=2.718281…是自然对数的底数. (1)求函数f(x)的极值： (2)求证：当a=1时，对于任意实数x∈[0，+∞)，不等式fx)≥g(x)恒成立， 【例7-2】(25-26高二下·广西百色期末)己知函数f()=alh(x-)-x(a>0). (1)若函数(x)有一个极值点为2，求a的值： (②时论函数F()=”r-x+)的单调性： (3)在(2)的条件下，设函数G(x)=-x2+2x+1,若对x∈山，2]，总有G(x)<F(x),求a的取值范 围. 【变式7-1】已知函数f(x)=x2-mx-1,g(x)=xnx-l (①)若f(x)在区间(-2，)上恰有一个极值点，求实数m的取值范围： (2)求g(x)的零点个数： (3)若m=1,求证：对于任意x∈(0，+o),恒有f()≥g(x) 【变式7-2】己知函数f(x)=e+ax,g(x)=x+ln(x+a). (①)讨论函数f(x的单调性： (②)当a=0时，若不等式f()≥g(x)+mr+1恒成立，求实数m的取值范围。 【变式7-3】已知函数f(x)=x2-3ax,g(x)=adnx. (1)若函数h()=f()+g(x)在x=1处取得极大值，求实数a的值以及h(x)的极值： (②)已知a>0,且不等式f(x)>2g(,)恒成立，求实数a的取值范围 提升训练 一、单选题 1.(2026广东模拟预测)当x∈(e,c)时，1nx>x恒成立，则k的取值范围是(） .-0,2 2。（26-27商三上江苏期中)已知函数fy=mr-e,g)=2加 e,若r>0:f≥g( 则的取值范围为() A. [g C.(1,e] D.（-o,c 3.(26-27高三上江苏无锡阶段检测)若存在实数a>0,使不等式xlx+3a≥ar+b对一切x>0 都成立，则b的最大值为()· A.3ln3 B.3 C.In3 D.1+3ln3 4.(26-27高三上·湖南阶段检测)己知x≥1，e-a-1≥0恒成立，则a的取值范围为() A.（-oo,e-1] B.(0,e c.(0,e-l] D.(-o,e] 5.(26-27高三上浙江开学考试)已知函数f(x)=x x,关于x的不等式f(x)>a有且只有两 个正整数解，则实数a的取值范围是() n3+1ln2+1 A.[0,) B. 2 c. 3,2 D n4+1ln3+1 4,3 6,（25-26高二下安徽安庆期末)已知函数fx)=nx+3-x-{ +4x4x-2,g)=x2-4x+1,若对任 意的∈(0,2]，存在x2∈[0,2]，使fx)≥gx),则实数t的取值范围是() A.（∞，4] B.（-oo,1] C.(-0,0] D.（-0,-] 7.(2026江苏扬州模拟预测)己知函数f(x)=-(a+2)x+a血r,其中aeR.若存在 x∈[l,+o),使f(x)<a成立，则a的取值范围是() c.(w) D. &(206江在一模)者nER使得个等式g-2-只：-卢0对在在：0叫恒成 立，则实数a的最大值为() A.1 B.e C.4 D.2e 二、多选题 9.(2025江西新余模拟预测)己知不等式k(2x-)e-2x+2≥0恒成立，则实数k的可能取值为 () 1 A.2 B.0 C.1 D 3 2e2 l0.(26-27高三·全国·一轮复习)已知函数f(x)=a+(a-2)e-x,存在x使得f(x)≤0能成 立，则a的值可以为() A.-1 B. C.1 D.2 三、填空题 11.(24-25高二下福建福州期末)函数f(x)=hr-mr+1,若存在x∈(0，+∞），使f(x)≥0有 解，则m的取值范围为 卫.(25-26商二下重庆期中)已知图数f()=sinx+a,8)=x+nr,若3e0,,西ed 使得f(x)≥g(,),则实数a的取值范围为 四、解答题 13.(26-27高三上天津西青期中)己知函数f(x)=nr-x(a∈R,e为自然对数的底数)· ()当a=2时，求f(x)在点(L,f)处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间： (3)设函数g(x)=f(x-2x+1,若8(x)≤0在其定义域内恒成立，求实数a的最小值： 14.(25-26高三上河北廊坊阶段检测)设a为实数，函数f(x)=x-3x2+a,g()=xx. (1)若函数f(x)有三个不同零点，求实数a的取值范围？ e网于Ke%e[6, 都有f(5)≥g(飞)试求实数。的取值范围？ 15。(26-27高三上天津东丽阶段检测)已知函数y=写-2-3x+1, g(x)=x(2Inx+1)-mx+m ()求曲线y=f(:)在(0，f(O)处的切线方程： (②)求函数f(x)在区间[-2,4]上的最大值： (3)当x>1时，求使8(x)>0恒成立的最大偶数m. 16.(26-27高三上江苏常州阶段检测)已知函数f(x)=asix-x,a∈R. @法y=了内径(》必的切线方程为，y+207:求。的： (2②)若a=1,证明：当x∈(，2)时，f(x)+lnr>-1; 诺布在*[. 使不等式fx)≥-x+2成立，求的取值范围. 17。（26”有三上北京海淀阶段检测)已知西微=x-a0+6hx-任，g)=-1,其 中a>0,beR. ()当a=1时，己知x=1是函数f(x)的极值点，求b的值： (②)当b=0时，若存在∈，©]，使得f()<8(x),求a的取值范围： 18.(25-26高二下河北衡水期中)已知函数因=dnx++x(a,beR),且因在x=1和 x=2处取得极值 (1)求a,b的值： 23 (2)若存在x∈ 使得不等式f(x)sc成立，求实数的最小值参考数据：h2≈0.69 19.(252ó高二下天待西青阶段检测)已知函数f)=心-caeR),8()- (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间： (2②)若存在x∈(0，+o）,使不等式f(x)≤g(x)-e成立，求实数a的取值范围. 专题11 导数与不等式（含恒成立，能成立问题） （7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分离参数（注意分离参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 【知识点02】分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 【知识点03】等价转化法 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 【知识点04】最值定位法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 【知识点05】值域法解决双参等式问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题 核心方法：变量分离 【例1-1】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)极小值是，无极大值 (2) 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性即可求解； （2）将已知条件整理为对任意恒成立，令，利用导数求出的最小值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，定义域为，， 令，即，解得， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增； 因此函数的极小值为，无极大值. （2）将不等式整理为， 由于对任意恒成立，等价于对任意恒成立， 令，则， 令，则恒成立，所以在上单调递增， 而，， 所以存在唯一的，使得，即， 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以在处取得最小值，最小值为， 由于，所以， 要使恒成立，则，由于是整数，所以的最大值是. 【例1-2】（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）设，． (1)当时，求函数在区间的最小值； (2)对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，通过求导分析函数单调性，比较区间内极值点和端点的函数值即可得到最小值； （2）将不等式恒成立问题转化为参数分离问题，构造新函数求其最小值，即可得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为. 对求导得：，令，解得. 当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减. ，，比较得， 故在区间上的最小值为. （2）由题意，对任意，恒成立， 移项得： ， 因为，两边同除以得：对任意恒成立. 令，，对求导得：，令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故在处取得最小值：， 因此，即实数的取值范围为. 【变式1-1】（26-27高三上·江苏泰州·阶段检测）已知． (1)讨论函数的单调性； (2)当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）对原函数求导，根据导数的正负区间，直接判断出函数的单调递减和递增区间； （2）（i）代入求出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程； （ii）分离变量，用导数求函数最值可得答案. 【详解】（1）对求导得， 令，解得， 由可得，由可得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）当时，， （i）当时，，所以切点坐标为， 由（1）可知，当时，，切线斜率； 所以曲线在点处的切线方程为，即； （ii）不等式在上恒成立， 代入得到对任意的恒成立， 因为，所以，即对任意的恒成立， 令，则原问题转化为求在上的最小值，即需要满足. 对求导得， 令，求导得， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，则， 因为恒成立，所以，所以实数的取值范围是. 【变式1-2】（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极值； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求切点，再求导得到切线斜率，由点斜式求出切线方程； （2）先求导，根据导函数符号确定单调区间，再判断并计算函数极值； （3）采用分离参数法，转化为求函数的最大值，利用导数求出新函数的最值，进而得到参数的取值范围. 【详解】（1）若，则，所以. ，所以切线的斜率. 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）若，则，定义域为，所以. 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故在处取得极大值，极大值为，无极小值. （3）若对任意的恒成立，即在恒成立，变形可得. 令，所以 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故，所以，即的取值范围是. 【变式1-3】（2026·山东济南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)，，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】(1) 先确定函数定义域，对函数求导后因式分解，结合参数的取值分类讨论导数符号，即可得到函数单调性. (2) 先化简已知不等式，将恒成立问题转化为参数与函数最值的大小关系，构造新函数求其最大值即可得到参数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为. . ∵ ，∴ . 当时，, 故, ∴ 在上单调递减. 当时，令，解得. 当时，, 故，单调递减. 当时，, 故，单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）∵ ，, ∴ , 化简得， 即对恒成立. 设， , 则. 令，解得. 当时，，故，单调递增. 当时，，故，单调递减. ∴ . ∴ ，即. 故的取值范围为. 【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题 核心方法：变量分离 【例2-1】（25-26高二下·河北唐山·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) ；单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1） 先求函数导数，结合导数的几何意义和两直线垂直的斜率关系求出，再通过导数符号判断单调性，进而求解极值. （2） 将存在性不等式成立问题转化为不大于在上的最大值，计算区间内的最大值即可得到的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，. 曲线在处的切线斜率为，直线的斜率为. 由两直线垂直斜率乘积为，得，解得. 将代入得，令，解得，. 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则极大值为， 极小值为. （2）存在使得成立，等价于. 由（1）可知，，因此在上单调递增，在上单调递减. 因此在上的最大值为，故，即的取值范围为. 【例2-2】（25-26高二下·河南南阳·期末）已知函数在和处取得极值． (1)求实数，的值； (2)若，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，根据极值点有列方程组求参数值； （2）问题化为上，利用导数求函数的最小值，即可得. 【详解】（1）函数的定义域为，则， 由在，处取得极值，即，解得； （2）若，使得不等式成立，则只需， ， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 在处取得极小值，即， ， 实数的取值范围是. 【变式2-1】（25-26高二下·福建三明·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的极值； （2）将不等式进行变形，构造新函数，通过求函数的最值确定实数的取值范围. 【详解】（1），， 令，， ，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）存在，使得成立， 即在上有解， 即在上有解， 令，， ，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值，即最小值为. 因为在上有解，所以， 所以实数的取值范围为. 【变式2-2】（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知函数（a为常数）， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的意义可得； （2）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性和最值可得. 【详解】（1）当时，，， ，，         曲线在点处的切线方程． （2）在上有解在上有解， 在上有解，         令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，     因为，，     所以当时，取最小值，，         所以，故实数a的取值范围是． 【变式2-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减． (2) 【分析】（1）利用函数导数与单调性分析求解即可； （2）将问题转化为等式成立问题，构造新函数结合函数导数与单调性、函数导数与最值分析求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． （2）若存在，使得， 即存在，使得成立， 因为时，，故存在，使得， 令，其中， 则， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故， 所以实数的取值范围为：. 【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题 核心方法：分类讨论法 【例3-1】（26-27高三上·四川内江·阶段检测）已知函数． (1)已知函数在处取得极值，求的解析式及单调区间． (2)已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围． 【答案】(1)，的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为0求出参数a，再根据导函数正负判断单调区间； （2）对求导，分类讨论找到最小值点，令最小值大于0，解不等式求a的取值范围． 【详解】（1）函数定义域为，求导得， 当时，; 当时，单调递减； 当时，单调递增； 处取得极小值，符合题意； 综上，，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2），对于任意，，所以， ， ①当时， ，显然不成立， ②当时，当 时，单调递减； 当 时，单调递增； ， ③当时，当时，单调递减； 当 时，单调递增； ， 综上，实数的取值范围为． 【例3-2】（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先对求导，求出切线的斜率，然后点斜式写出切线方程. （2）将不等式恒成立问题转化成求函数最小值问题，然后分情况讨论求的最小值. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为， 即 （2）当时，不等式恒成立，只需即可， 当时，，， 函数在上单调递减，而，与题意矛盾，故. 当时，，， 函数在上单调递增，所以，所以符合题意； 当时，， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，与题意矛盾； 当时，函数在上单调递增，所以， 所以符合题意，综上所述，实数的取值范围为. 【变式3-1】（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数讨论求解即可； （3）结合（2）分类讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 求导可得，， 所以切点为，切线斜率为，切线方程为； （2）． 当时，对任意都有， 故，在上单调递增． 当时，令得， 当时，，当时，， 故 在上单调递增，在上单调递减． 综上：当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）若 ，由（2）知在上单调递增， 取（充分大）可使 ，不满足题意． 若，由（2）知的最大值为 ． 要使对任意恒成立，只需 ，即． 综上，的取值范围是 ． 【变式3-2】设函数，，其中为自然对数的底数． (1)若，求的单调递增区间； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用导数的运算法则得到，再求出即可； （2）由于，令，通过对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出． 【详解】（1）时，， ． 令，得或， 所以的单调递增区间为，． （2），令，则． 若，则当时，，为增函数， 而，从而当时，，即． 若，则当时，，为减函数， 而，从而当时，，即． 所以不合题意，舍去． 综合得a的取值范围为． 【变式3-3】已知函数，． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递减区间是；当时，单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）先求导得到，分、两种情况，依据导函数的正负判断原函数的单调性，进而划分出单调区间； （2）法1：借助（1）得到的单调性结论，分、、三类讨论：举反例推翻，直接验证成立，求出函数最小值并令最小值解出的范围，最终整合得到取值范围； 法2：对、、分类参数分离构造函数，通过求导分析单调性得到不同区间下的最值与极限情况，从而求出的取值范围. 【详解】（1）由题意可得， 当时，，函数在上单调递减． 当时，令，得， 因在上单调递增， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述：当时，的单调递减区间是； 当时，单调递减区间是，单调递增区间是； （2）法1：当时，由（1）知在上单调递减， ，与恒成立矛盾； 当时，恒成立； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为， 令，得． 综上，实数a的取值范围是． 法2：由恒成立，得． 当时，恒成立； 当时，由恒成立，可得恒成立； 当时，由恒成立，可得恒成立； 设，则， 令得，故当时，，在上单调递减， 故当或时，，在，上单调递增， 所以当时，的最小值为，此时． 当时，，且当时，，此时， 综上，a的取值范围是． 【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题 核心方法：分类讨论法 【例4-1】（26-27高三上·河南·开学考试）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，； (2)若当时，，求的最小值； (3)若，使得，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）构造函数，结合题意可得在区间上单调递减．求导后可得在和上单调递减，即可得解； （3）令，由题意知，使得，求导后分及讨论即可得. 【详解】（1）由题意得． 因为曲线在点处的切线方程为， 所以． 又切线过点，所以． 综上所述，，； （2）由（1）知． 当时，，则． 设，则原条件等价于当时，， 即函数在区间上单调递减． 由，得， 令，得，解得或． 所以在和上单调递减． 因为在区间上单调递减，所以a的最小值为． （3）令，由题意知，使得． ， ①若，则对任意，， 所以，在上单调递增， 又，故，不满足条件； ②若，则当时，，此时， 所以在上单调递减， 即存在，使得，满足条件； 综上，k的取值范围是． 【例4-2】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数(且). (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若有解，求的取值范围. 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2)，切点坐标为 (3) 【分析】（1）求导判断单调性，再计算极值即可； （2）根据切线性质列出方程组，化简消去a，再构造新函数求解即可； （3）通过分析对不等式进行转化；或者直接构造含参函数，分类讨论函数单调性. 【详解】（1）当时，，的定义域为， ，令，得. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 所以在处取极小值为，无极大值. （2）， 设切点为，切线的斜率为1， 所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①②得，， 设，， 由，当时，，单调递增， 时，，单调递减， 又，所以是的唯一零点， 所以，代入①得，切点坐标为. （3）法1：令，，令，得， 令，得，所以t在单调递减，在单调递增 因为时，所以 ①时，有解，，； ②时，，舍去； ③时，有解，，. 综上：. 法2：因为有解，所以有解. 记， ①时，恒成立，所以在单调递增， 当，， 所以恒有解，所以； ②时，，无解，舍去； ③时， x + 0 - 极大值 所以，，， 所以. 综上：. 【变式4-1】（25-26高二下·江西吉安·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)若在区间上单调，且存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）代入参数值，求导求得函数极值； （2）求出导函数并因式分解，转为求更简单的函数值域，利用函数单调性求的初步范围， （3）利用存在性条件和函数最值进一步缩小的范围得出结论. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则，，， 当时，，则，单调递减， 当时，，则，单调递增， 故时，有极小值：，没有极大值. （2）， 在区间上单调，在上不变号，此时，， 令，则在上，恒成立或恒成立， 若在区间上单调递增，则恒成立， 即在上恒成立，即， 若在区间上单调递减，则恒成立， 即在上恒成立，即. 则当时，因在上单调递增，， 令，解得，故得； 当时，因在上单调递减，， 令，即，也即， 比较和大小： ，且，， . 故实数a的取值范围是. 【变式4-2】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)减区间，增区间； (2)． 【分析】（1）利用导数的正负判断单调性即可； （2）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即可． 【详解】（1）求导得：， 当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是； （2）由，可得， 题意等价于在上有解． 设，，求导得， 当时，，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，，在上递增， 时，，在上递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，． 【变式4-3】（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若，使成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (3)或. 【分析】（1）需要先求出函数在切点处的导数，即切线斜率，再结合切点坐标得到切线方程； （2）通过对函数求导，分类讨论，根据导数的正负来判断； （3）需要分情况讨论函数在给定区间上的最值情况. 【详解】（1）当时，，对求导得. 则， 又，所以切点为，     所以切线方程为，即. （2）对求导得. 当时，，所以在上单调递减. 当时，令，即，，，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）在有解，即当时，， 当时，由（2）知函数在上的最大值在端点处取得. 此时，， 所以或，得或 ， 又，所以舍去，所以. 当时，函数在上单调递减，那么最大值在处取得. 此时， 所以，得. 综合两种情况，可得的取值范围为或. 【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题 核心方法：最值定位法 【例5-1】（25-26高二下·吉林延边·阶段检测）（1）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求a； （2）从点可向曲线引三条不同切线，求的取值范围； （3）已知，使得成立，求实数的取值范围 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据导数的几何意义先求得切线方程，进而得到，可得，进而求解即可； （2）设曲线在点处的切线过点，根据导数的几何意义结合题意可得有三个不同的解，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）由题意可得，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，求导得，令得切线斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即， 由，求导得， 设的切点为， 根据题意可得，即， 又，解得. （2）设曲线在点处的切线过点， 由，求导得，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 因为从点可向曲线引三条不同切线， 所以有三个不同的解，即有三个不同的解， 设，该函数有三个不同零点，求导得， 令，则或， 当或，当， 所以函数在区间上单调递减，在和区间上单调递增， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，解得， 则的取值范围为. （3）因为，使得成立等价于在上，. 易得，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为，易知在上单调递增， 所以函数在上的最小值为，则， 即实数的取值范围是. 【例5-2】（2026·安徽合肥·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为和 (2) 【分析】（1）先求解出，然后根据的正负可求解出的单调区间； （2）根据的单调性将问题转化为“在上有解” ，然后通过分离参数、构造函数以及换元法求解出与新函数最值的关系，由此可求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 【变式5-1】（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，． (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单调性可确定最小值点，由此可得最小值； （2）将转化为，令，利用导数可求得的单调性，由此可求得，进而得到结果； （3）将转化为，根据单调性可求得，分离变量可得，令，利用导数可求得单调性，进而求得最小值，由此可得取值范围． 【详解】（1）由题意知：； 与在上均为增函数，在上单调递增， ． （2）当时，由得：， 若存在，使得成立，则； 令，则， 当时，，在上单调递增， ， ，即实数的取值范围为． （3）由得：， 若对于任意的，总存在，使得成立，则； 在上单调递增， ，，， 当时，，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为． 【变式5-2】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为. (2) 【分析】（1）对函数求导，并因式分解，分、、讨论，并比较两根大小，根据的取值范围，求函数的单调区间； （2）根据题意得，根据函数性质分别求出两函数的最大值，比较大小得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， . ①当时，由可得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为； ②当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为； ③当时，即当时，对任意的，恒成立且不恒为零， 此时，函数的单调递增区间为； ④当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为. （2）若，，使得，则， ，故在上单调递增， 当时，取得最大值1，即. 由（1）知，当时，， 令，得，故. 当时，无最大值，不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 【变式5-3】（2025·湖南·三模）已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导得函数的单调递增区间，由此即可列出不等式求解； （2）求导得函数单调性，进一步得极值点，由此即可列方程求解； （3）首先求得，从而问题可以转换为存在，使得，故只需，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）的定义域为，， 令，得，故函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 故实数a的取值范围是． （2）令，得；令，得；令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得． （3）由（1）知：当时，函数有最小值， 若，则， 又因为对任意总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，则在上单调递增， 故的最小值为， 解得，故； 当，即时，则在上单调递减， 故的最小值为，解得，故； 当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，解得或． 故或， 综上所述，实数b的取值范围是． 【考点题型六】值域法解决双参等式问题 【例6-1】已知定义在上的函数满足且，其中的解集为A.函数，，若，使得，则实数a的取值范围是? 【答案】 【分析】构造函数，利用导数结合已知条件可得的单调性，由，不等式等价于，由的单调性即可求得解集A，再分别求得，的值域，由已知可得函数的值域是函数的值域的子集，从而可求得实数a的取值范围. 【详解】构造函数， 所以， 因为定义在上的函数满足， 所以，所以在上单调递增，且， 所以不等式可化为，即，所以， 所以的解集， 函数， 当且仅当，或时等号成立，在A上仅当时等号成立， 所以在A上的值域为， 为增函数， 所以在A上的值域为， 若，使得， 则，所以，又因为 即实数a的取值范围是. 【例6-2】（25-26高三上·江西宜春·开学考试）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)时，设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】(1)求导数，分类讨论由和，解得单调区间. （2）问题转化为在的值域和在的值域满足：， 分别求两个函数在区间内的值域，可解得实数的取值范围. 【详解】（1）定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，时恒成立，时恒成立， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由已知，问题转化为在的值域和在的值域满足：， 二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴方程为，在上单调递减，在上单调递增，故在的值域. 由(1)可知，当时，在上单调递增，故值域. 所以，解得，即实数的取值范围为. 【变式6-1】（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）已知函数. ，使得)，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】对求导，判断在(－∞,－1]、在上的单调性并确定值域，根据函数等量关系能成立有1＋<，即可求参数范围. 【详解】由题设，f′(x)＝2x－2ax2＝2x(1－ax)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，由a>0， 当x∈(－∞,0)时f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞,－1]上单调递减，且值域为[. ∵g(x)＝， ∴g′(x)＝′＝＝， ∵x<－时，g′(x)>0， ∴g(x)在上单调递增，且值域为. 若∃x1∈(－∞,－1]，∃x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，则1＋<，可得a<. 综上，故实数a的取值范围是. 【变式6-2】（25-26高三上·上海虹口·期中）已知函数，，. (1)当时，解不等式； (2)若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代值计算并按讨论即可. （2）依据题意可知，进行计算即可. 【详解】（1）当时，， 由，即 当时，不符合题意 当时，则 当时，则 综上所述： （2）由题可知：， 所以在恒成立， 则且在恒成立， 由 ，所以 当时，；当时， 所以在单调递减，在单调递减 所以当时，；当时， 所以的最小值为 又，所以， 当时，；当时， 所以在单调递减，在单调递减 所以当时，；当时， 所以函数在的最大值为3 所以且，即 【变式6-3】（25-26高三上·吉林·阶段检测）已知函数，. （1）求函数的极值； （2），，使成立，求的取值范围. 【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）. 【分析】（1）求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性，从而求得函数的极值； （2）由（1）中求得函数的值域，再对函数求导函数，讨论分析导函数的符号，得出函数的单调性和最值，由已知建立不等式，求解可得所求的范围. 【详解】解：（1）因为，所以，且定义域为， 令，解得或， 当变化时，，的变化情况如下表： - + - 极小值 极大值 因此，当，有极小值，极小值为；当，有极大值，极大值为. （2）由（1）知，在上，函数单调递减，所以， 即在上，因为，所以，， 当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增， 所以，当时，取最小值，，当时，，所以，若，，使得成立，等价于，即，所以，解得，，又， 所以的取值范围为. 【考点题型七】等价转化法解决问题 【例7-1】（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）已知函数 ，，其中是自然对数的底数． (1)求函数的极值； (2)求证：当时，对于任意实数，不等式恒成立. 【答案】(1)当时，在上无极值 当时，有极小值，无极大值 (2)当时，，要证：对于任意实数，. 即证：，. 令， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增，又 所以，即：，. 所以当时，对于任意实数，不等式恒成立. 【详解】（1） 当时，在上恒成立，所以在上单调递减，无极值； 当时，由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值 综上，当时，在上无极值 当时，有极小值，无极大值. （2）略. 【例7-2】（25-26高二下·广西百色·期末）已知函数． (1)若函数有一个极值点为，求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)在（2）的条件下，设函数，若对，总有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (3) 【分析】（1）求出函数的导数，由求出并验证即可. （2）求出函数及导数，再按分类求出函数的单调区间即可. （3）等价变形不等式，由时不等式成立确定范围，再构造函数并利用导数确定单调性即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 此时，当时，；当时，， 则是函数的极大值点，符合题意， 所以. （2）函数的定义域为， 求导得，而， 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，由，得或；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，，函数在上单调递减； 当时，，由，得或；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）不等式， 令，依题意，，恒成立， 则，解得，求导得， 当且仅当时取等号，于是函数在上单调递增，， 所以a的取值范围是. 【变式7-1】已知函数，． (1)若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围； (2)求的零点个数； (3)若，求证：对于任意，恒有． 【答案】(1) (2)1个 (3)若，此时，若对于任意，恒有， 此时在上恒成立，即证， 不妨设，函数定义域为，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值， 则，，故对于任意，恒有． 【分析】（1）二次函数导数为一次函数，极值点即导函数零点. 由，令其在区间内得，解得范围； （2）求导得，确定单调区间与极小值点，利用零点存在定理，结合 及判断唯一零点； （3）代入，欲证即证，构造函数，求导得最小值，从而不等式恒成立. 【详解】（1）已知，函数定义域为，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值， 若在区间上恰有一个极值点， 此时，解得， 则实数的取值范围为. （2）已知，函数定义域为，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值， 当时，，即， 此时函数在上无零点； 当时，易知，， 所以函数在上存在唯一一个零点， 综上，有1个零点. （3）略. 【变式7-2】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对求导，讨论的值确定导数的正负，讨论函数的单调性；（2）首先将不等式恒成立问题转化为恒成立， 令求最值. 【详解】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，， ， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，， ，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 【变式7-3】已知函数，. (1)若函数在处取得极大值，求实数的值以及的极值； (2)已知，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，极大值，极小值 (2). 【分析】（1）由导函数为0，求出的值，再检验，最后根据函数单调性求极值即可. （2）构造，求导分析其单调性，将不等式恒成立问题转化为函数最小值大于零，求解即得. 【详解】（1）根据题意，，定义域为， 则. 因为函数在处取得极大值，所以， 解得或2. 当时，， 令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 此时为极小值点，不合要求； 当时，， 令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 此时为极大值点，为极小值点，符合要求. 综上，，，. （2）根据题意，，定义域为， 则. 因时，则， 由得，由得， 故在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，解得，解得， 故实数的取值范围是. 一、单选题 1．（2026·广东·模拟预测）当时，恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离可得，构造函数，换元，求导，得到函数单调性，得到函数的值域，从而可得，求出答案 【详解】时，，两边取对数得， 故，令， 令，，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 其中，由于，故，， 故在上的值域为，则， 所以，故的取值范围是. 2．（26-27高三上·江苏·期中）已知函数，，若，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将函数不等式化成，指对同构令，再构造函数，利用导数分析单调性和最值可得． 【详解】由，得，即，即， 因为，令，，则，所以． 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，则． 3．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）若存在实数，使不等式对一切都成立，则的最大值为（     ）． A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】问题转化为存在，使得对成立，令，利用导数求出的最小值，进一步转化为存在，使得，令，利用导数求出的最大值，得解. 【详解】存在，使得不等式对成立，即， 令，则，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以存在，使得， 令，，则， 令得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 故即可，即的最大值为. 4．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知，恒成立，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离变量得，令，利用导数求得最小值即可. 【详解】由恒成立，可得恒成立， 又，所以恒成立，所以， 令，求导得， 令，求导得， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以a 的取值范围为. 5．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数，关于的不等式有且只有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导判断函数的单调性,再计算正整数点的函数值,满足有且只有两个正整数解，根据正整数解的个数推导a的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 求导：， 所以当时，，故，函数在上单调递增， 当时，，故，函数在上单调递减， 所以在处取得最大值， . 因为时单调递减，所以所有正整数点的函数值满足： ， 代入计算得： ，，， 因为有且只有两个正整数解,结合时单调递减， 可知这两个正整数解只能是和，因此需要满足： ， 所以. 6．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由已知条件得到，其次利用导数求得，利用二次函数的性质求得，最后解出实数的取值范围. 【详解】若对任意的，存在，使，则. 由已知得， 可知，当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 故当时，. 因为函数的对称轴为， 所以在上单调递减， 所以当时，. 于是，解得. 7．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知函数，其中．若存在，使成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件不等式变形后分离参数，根据分离参数所得不等式构造函数，再利用导数求解出所构造函数的最小值，则的范围可知. 【详解】由题意可知，变形得， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以存在使得， 令，故只需要让， 因为，令， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以， 又，因此，所以在上单调递增， 故，故． 8．（2026·江西·一模）若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】令，将问题转化为使得不等式对任意恒成立，结合导数研究的单调性以及图像，数形结合求解. 【详解】令，其中， 则，当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减． 所以使得不等式对任意恒成立等价于使得不等式对任意恒成立． 令得，由图可知， 因此实数的最大值为4． 二、多选题 9．（2025·江西新余·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】ACD 【分析】由题知不等式恒成立，过点作曲线的切线，求出两条切线斜率即可得解. 【详解】 由题知，不等式恒成立，设，， 即直线恒在函数图象的上方，直线恒过点，，当时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴当时，，，当时，， 在同一坐标系中作出函数与直线的图象， 设直线与函数的图象相切时切点为，，解得或； ∴当直线与函数的图象相切时切线斜率为2或，由图知，， 故选：ACD． 10．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，存在使得能成立，则的值可以为（    ） A．－1 B． C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】求导得，再分、讨论函数单调性，利用单调性得到最值，结合题意求出的范围即可求解． 【详解】的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减． 且，故存在使得能成立，故A正确． （ⅱ）若，则由得． 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增． 当时，取得最小值，最小值为． 故只需，又与均递增， 故单调递增，故， 综上所述正确． 三、填空题 11．（24-25高二下·福建福州·期末）函数，若存在，使有解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故的取值范围为． 12．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用导数结合函数单调求出最值，然后解不等式即可． 【详解】若使得， 则，， 时，，则在上单调递增， ， 又在单调递增，所以， ，解得， 则实数a的取值范围为． 四、解答题 13．（26-27高三上·天津西青·期中）已知函数（为自然对数的底数）. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)设函数，若在其定义域内恒成立，求实数的最小值； 【答案】(1)切线方程为； (2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； (3)实数的最小值为 【分析】（1）根据导数的几何意义可求切线方程； （2）求出函数的导数，分类讨论后可得函数的单调性； （3）利用特值探路可求，利用导数结合最大值为非正可求参数的最小值. 【详解】（1）当时，，故，而， 故所求切线方程为：，即. （2），其中， 当时，，故的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，则当时，，故单调递增； 当时，，故单调递减； 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （3），其中， 因为在其定义域内恒成立，故，故 而， 当时，，故单调递增； 当时，，故单调递减. 故，故即， 故，故实数的最小值为. 14．（25-26高三上·河北廊坊·阶段检测）设为实数，函数，. (1)若函数有三个不同零点，求实数的取值范围? (2)对于，，都有，试求实数的取值范围? 【答案】(1) (2) 【分析】通过求导分析函数的单调性与极值以确定零点条件，并将双变量恒成立问题转化为两函数在对应区间上的最值不等式求解. 【详解】（1）由，求导得， 令，解得，. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，当时，函数取得极大值； 当时，函数取得极小值. 若函数有三个不同零点，则需满足，即，解得 （2）命题“对于，，都有" 等价于，其中对应，对应. 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，. 对于函数，求导得， 当时，，所以恒成立. 故函数在上单调递增.所以当时，， 由题意可得，解得. 故实数的取值范围是. 15．（26-27高三上·天津东丽·阶段检测）已知函数；． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值； (3)当时，求使恒成立的最大偶数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程； （2）由的符号可确定在区间上的单调性，从而求出最大值； （3）对给定不等式分离参数，构造函数，利用导数求出函数最大值范围即可． 【详解】（1）由，可得， 则，而， 所以所求切线方程为，即； （2）由（1）可知， 则当和时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减； 为的极大值点，，又， 所以函数在区间上的最大值为； （3）当时，不等式， 令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 而， 则，使，即， 当时，；当时，； 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数， 而，所以使恒成立的最大偶数为． 16．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，． (1)若在处的切线方程为，求的值； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)若，则. 令，，则. 令，则， 因为，所以，则在上单调递减. 因为，，所以存在唯一的，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立； (3). 【分析】（1）利用切点在函数图象上，也在切线上即可； （2）令，求导后判断导函数的单调性，并根据零点存在性定理确定存在唯一的，使得，判断函数的单调性，并利用单调性证明即可； （3）令，则，原不等式可转化为存在使得成立，根据符号进行参变分离，然后构造函数，，求导后分析其单调性即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由，得， 又因为点在切线上， 所以，所以. （2）略 （3）令，因为，则，则. 因为存在，不等式成立， 即存在使得不等式成立， 当时，即时，不等式为，则不等式不成立； 当时，即时，则成立， 令，，则， 因为，，故； 令，，则， 所以在上单调递增，所以，即. 又当时，，所以， 所以当时，， 所以在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且， 所以，即实数的取值范围为. 17．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数，，其中，． (1)当时，已知是函数的极值点，求的值； (2)当时，若存在，使得，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数极值点处的导数值为，求出函数导数，写出方程，求出参数值，再进行验证即可判断参数值； （2）根据不等式存在成立的情况，构造函数求出函数最小值，根据函数最小值的条件，列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）当时，，定义域为，可得， 由可得，解得或， 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，是函数的极小值点，符合题意 当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增，不是函数的极值点，不符合题意； 综上所述，. （2）当时，，， 当时，由得，化简得， 令， 当时，即，使，等价于存在，使得， 可得， 令，可得，解得或， 因为，所以舍去， 当时，，所以当时，即时， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 此时， 可知，所以，即， 则，所以无解； 当时，即时，当时，，在上单调递减， 此时，解得， 可知，可得, 综上所述，的取值范围为. 18．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知函数，且在和处取得极值. (1)求，的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的最小值.参考数据：. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题知，， ，解得 经检验，当，时，，是极值点，符合题意. 所以，. （2）由（1）问知，. 由可解得或， 又因为，所以当和时，，单调递增；当时，，单调递减， 因为存在使得成立，故，且，. 由，可得. 所以在上的最小值为，所以， 即实数的最小值为. 19．（25-26高二下·天津西青·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）根据导数求解函数单调区间即可； （2）通过参数分离构造出新函数，求得新函数的最值得到参数范围即可. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令，解得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）原不等式代入整理，由于， 两边同除以得. 要求“存在使不等式成立”，等价于. 设，求导得， 令，得； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此的最大值为. 即的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $