专题三 椭圆方程及其几何性质讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026学年数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 2025-2026学年高二上学期期末考点大串讲三 第三章 椭圆的方程 内 容 概 括 一、椭圆 二、直线与椭圆的位置关系 知识要点 知识要点 1.椭圆的定义 1.点与椭圆的位置关系 2.椭圆的标准方程和几何性质 2.直线与椭圆的位置关系 3．与椭圆定义有关的结论 3.解决椭圆中点弦问题的两种方法 典型例题 4,弦长的两种方法 题型一：椭圆的定义及其应用 典型例题 题型二：椭圆的标准方程 题型一:直线与椭圆的位置关系 题型三：椭圆的几何性质 题型二：弦长问题 考点1.与椭圆性质有关的离心率 题型三：中点弦问题 考点2.与椭圆性质有关的最值、范围问题 题型四：综合应用 考点3.与椭圆性质有关的面积问题 题型四：椭圆的几何性质综合应用 一、椭圆 知识点一、椭圆的定义 1.我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距． 2.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0. ①当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a＜|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 知识点二、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图 形 性质 范 围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶 点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁； 椭圆的离心率e越小，椭圆就越圆， a，b，c的关系 【常用结论】 与椭圆定义有关的结论 1．椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值分别为a＋c，a－c． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S． (1)当P为短轴端点时，θ最大； (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|， 当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc； (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝． 4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)， 则： (1)弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－． 题型一:椭圆的定义及其应用 例1-1．【多选】下列结论正确的有(　　) A．椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形 B．椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距) C．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆 D．方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆 例1-2.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　) A．椭圆　　 B．双曲线　　　 C．抛物线　 D．圆 例1-3 .已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________． 题型二：椭圆的标准方程 例2-1.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程： 条件 方程 ①△ABC周长为10 C1：y2＝25 ②△ABC面积为10 C2：x2＋y2＝4(y≠0) ③△ABC中，∠A＝90° C3：＋＝1(y≠0) 则满足条件①、②、③的轨迹方程依次为(　　) A．C3，C1，C2 B．C1，C2，C3 C．C3，C2，C1 D．C1，C3，C2 例2-2.古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 例2-3.已知分别是椭圆的左、右焦点，在上，在轴上，，以为直径的圆过，且的面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例2-4.已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【方法归纳】 根据条件求椭圆方程的两种方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程； (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b．当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．　 题型三：椭圆的几何性质 考点1.与椭圆性质有关的离心率 例3-1.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　) A．　　 B． C．　 D． 例3-2.已知椭圆的左､右焦点分别为，若经过的弦满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 例3-3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【方法归纳】 求椭圆离心率的3种方法 (1)直接求出a，c来求解e．通过已知条件列方程组，解出a，c的值； (2)构造a，c的齐次式，解出e．由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解； (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 【注意】 在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．　 考点2.与椭圆性质有关的最值、范围问题 例3-4.设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A． B． C． D．2 例3-5.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． 【方法归纳】 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围； (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围；　 (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围； (4)利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围．　 考点3.与椭圆性质有关的面积问题 例3-6.设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________． 例3-7.已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 【方法归纳】 椭圆的简单几何性质 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁；当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为. 1.与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2.有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3.椭圆的图象中线段的几何特征： （1）； （2），，； （3）,，； 题型四：椭圆的几何性质综合应用 例4．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则下列结论错误的是（    ） A． B．的面积等于 C．的离心率等于 D．直线的斜率为 二、直线与椭圆的位置关系 1.点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1. 2.直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两个解 Δ>0 相切 一个解 Δ＝0 相离 没有解 Δ<0 3.解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.即kAB＝－. 4.弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长 (2)弦长公式: |P1P2|＝·， 题型一:直线与椭圆的位置关系 例1-1．过圆x2＋y2＝r2上一定点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2，此结论可推广到圆锥曲线上．过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为(　　) A．x＋y－2＝0　　　　　　　 B．x－y－3＝0 C．2x＋3y－3＝0 D．3x－y－10＝0 例1-2．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围为________． 题型二：弦长问题 例2-1．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为(　　) A．±1 B．± C． D．± 例 2-2．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A．2 B． C． D． 例2-3.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4． (1)求椭圆的方程； (2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程． 【方法归纳】 1．弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解； (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下两种： ①|AB|＝|x1－x2|＝； ②|AB|＝|y1－y2|＝(k≠0)． 2．注意两种特殊情况 (1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直； (2)直线过圆锥曲线的焦点．　 题型三：中点弦问题 例3-1.过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)右焦点F的直线l：x－y－＝0交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为－，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 例3-2.已知椭圆C：＋＝1，过点P的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为(　　) A．3x－2y－2＝0 B．3x＋2y－4＝0 C．3x＋4y－5＝0 D．3x－4y－1＝0 例3-3.已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【方法归纳】处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率； (2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．　 题型四：综合应用 例4-1.已知椭圆的右焦点为，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作直线l与椭圆E交于不同的两点A，B．设，直线BC与直线交于点N， 求证：直线AN的斜率为定值． 例4-2.已知椭圆过点，且的右焦点为． (1)求的方程； (2)设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点． （i）证明：直线平分； （ii）若的面积等于的面积，求的坐标． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 2025-2026学年高二上学期期末考点大串讲三 第三章 椭圆的方程【解析】 内 容 概 括 一、椭圆 二、直线与椭圆的位置关系 知识要点 知识要点 1.椭圆的定义 1.点与椭圆的位置关系 2.椭圆的标准方程和几何性质 2.直线与椭圆的位置关系 3．与椭圆定义有关的结论 3.解决椭圆中点弦问题的两种方法 典型例题 4,弦长的两种方法 题型一：椭圆的定义及其应用 典型例题 题型二：椭圆的标准方程 题型一:直线与椭圆的位置关系 题型三：椭圆的几何性质 题型二：弦长问题 考点1.与椭圆性质有关的离心率 题型三：中点弦问题 考点2.与椭圆性质有关的最值、范围问题 题型四：综合应用 考点3.与椭圆性质有关的面积问题 题型四：椭圆的几何性质综合应用 一、椭圆 知识点一、椭圆的定义 1.我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距． 2.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0. ①当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a＜|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 知识点二、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图 形 性质 范 围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶 点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁； 椭圆的离心率e越小，椭圆就越圆， a，b，c的关系 【常用结论】 与椭圆定义有关的结论 1．椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值分别为a＋c，a－c． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S． (1)当P为短轴端点时，θ最大； (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|， 当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc； (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝． 4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)， 则： (1)弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－． 题型一:椭圆的定义及其应用 例1-1．【多选】下列结论正确的有(　　) A．椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形 B．椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距) C．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆 D．方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆 【答案】ABD 【详解】：对于A，椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形，正确； 对于B，椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距，正确； 对于C，椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁，椭圆的离心率e越小，椭圆就越圆，错误； 对于D，方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆，正确． 故选A、B、D． 例1-2.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　) A．椭圆　　 B．双曲线　　　 C．抛物线　 D．圆 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义判断. 【详解】连接QA(图略)．由已知得|QA|＝|QP|．所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r． 又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|， 根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆． 故选：A. 例1-3 .已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________． 【答案】8 【分析】利用椭圆的定义和对称性，确定四边形PF1QF2的面积. 【详解】根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形， 所以四边形PF1QF2为矩形． 设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m， 则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48， 得m(8－m)＝8， 所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8． 故答案为8.　 题型二：椭圆的标准方程 例2-1.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程： 条件 方程 ①△ABC周长为10 C1：y2＝25 ②△ABC面积为10 C2：x2＋y2＝4(y≠0) ③△ABC中，∠A＝90° C3：＋＝1(y≠0) 则满足条件①、②、③的轨迹方程依次为(　　) A．C3，C1，C2 B．C1，C2，C3 C．C3，C2，C1 D．C1，C3，C2 【答案】：A 【分析】根据条件①△ABC周长为10和椭圆的定义，确定①的轨迹方程为C3； 根据条件②△ABC面积为10，确定②的轨迹方程为C1； 根据条件③△ABC中，∠A＝90°，确定③的轨迹方程为C2。 【详解】根据条件①△ABC周长为10， 则周长= |AB|+ |AC|+ |BC|=10,又 |BC|=4, 所以 |AB|+ |AC|=6>4. 根据椭圆的定义，动点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去与x轴的交点）. 所以①的轨迹方程为C3 根据条件②△ABC面积为10, 则，又 |BC|=4, 所以|y|=5,即y2=25. 所以②的轨迹方程为C1； 根据条件③△ABC中，∠A＝90°，设A点坐标为（x,y） 所以，可得x2＋y2＝4(y≠0) 所以 ③的轨迹方程为C2。 故选：A 例2-2.古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【答案】B 【分析】根据椭圆的焦点F1，F2在y轴上，可设椭圆的标准方程，再利用其面积和周长，列出方程，求出 a、b的值即可. 【详解】：∵焦点F1，F2在y轴上， ∴可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 由题意可得＝2a×2b＝4ab， ∴S＝abπ＝8π，即ab＝8， ∵△F2AB的周长为32，∴4a＝32， 则a＝8，∴b＝， 故椭圆方程为＋＝1． 例2-3.已知分别是椭圆的左、右焦点，在上，在轴上，，以为直径的圆过，且的面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的条件推导关系，结合中点与垂直，确定M的坐标特征，利用三角形面积列方程，从而求出M点的坐标，再利用椭圆的定义和焦点坐标，即可求出椭圆方程. 【详解】结合题意可得：，，设， 则由的面积为，得①， 由，得②． 连接以为直径的圆过， ③． 由②③得， 结合①得， ， ， 故椭圆的标准方程为， 故选：B． 例2-4.已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设椭圆的方程为， 由在上，得， 显然的内切圆与直线相切，则该圆半径为1， 而， 又，于是，， 因此，解得， 所以椭圆 的标准方程是. 故选：B 【方法归纳】 根据条件求椭圆方程的两种方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程； (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b．当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．　 题型三：椭圆的几何性质 考点1.与椭圆性质有关的离心率 例3-1.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　) A．　　 B． C．　 D． 【答案】D 【分析】利用已知条件画出图象，作辅助线，利用几何关系计算边长，确定a、c的关系. 【详解】如图，作PB⊥x轴于点B．由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1， 由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1， 故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2， tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝． 故选:D 例3-2.已知椭圆的左､右焦点分别为，若经过的弦满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件和椭圆的定义求出边长，再利用余弦定理建立方程，化简求解离心率. 【详解】 由题可知，所以，解得， 由得， 整理得，所以. 故选：A. 例3-3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用焦点三角形、正弦定理和椭圆的定义，确定a、c关系即可求出离心率. 【详解】由题意，， ， ， 由正弦定理得，又， 所以，，又，可得， 所以椭圆的离心率. 故选：B. 【方法归纳】 求椭圆离心率的3种方法 (1)直接求出a，c来求解e．通过已知条件列方程组，解出a，c的值； (2)构造a，c的齐次式，解出e．由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解； (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 【注意】 在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．　 考点2　与椭圆性质有关的最值、范围问题 例3-4.设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用函数，尤其是二次函数求最值；　 【详解】：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2．易知点B(0,1)， 所以根据两点间的距离公式得 |PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6． 当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝． 故选A． 例3-5.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． 【答案】：6＋；6－ 【分析】利用椭圆的定义将|PA|＋|PF|的最值问题转化为|PA|－|PF1|的最值，当三点共线时，距离之差取得最值. 【详解】：椭圆方程化为＋＝1， 设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，∴|AF1|＝， ∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6， 又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)， ∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋． 【方法归纳】 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围； (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围；　 (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围； (4)利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围．　 考点3　与椭圆性质有关的面积问题 例3-6.设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________． 【答案】： 【分析】利用余弦定理，求出|F1P|·|PF2|的值，再利用三角形面积代入即可. 【详解】：由题意知，c＝． 又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2， ∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P|·|PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16， ∴|F1P|·|PF2|＝， ∴S＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝××＝． 故答案为：． 例3-7.已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 【答案】C 【详解】设的中点为M，则， 于是，又，则为等腰三角形， ． 故选：C． 【方法归纳】 椭圆的简单几何性质 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁；当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 1.与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2.有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3.椭圆的图象中线段的几何特征： （1）； （2），，； （3）,，； 题型四：椭圆的几何性质综合应用 例4．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则下列结论错误的是（    ） A． B．的面积等于 C．的离心率等于 D．直线的斜率为 【答案】D 【详解】由，不妨设，则， 又，则有， 由椭圆定义得， 因此，即点为椭圆的上顶点或下顶点，如图，   显然，则，A正确； 于是为等腰直角三角形，且， 则的面积为： ，B正确； ，直线的斜率，有，D错误， ，C正确. 故选：D 二、直线与椭圆的位置关系 1.点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1. 2.直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两个解 Δ>0 相切 一个解 Δ＝0 相离 没有解 Δ<0 3.解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.即kAB＝－. 4,弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长 (2)弦长公式: |P1P2|＝·， 题型一:直线与椭圆的位置关系 例1-1．过圆x2＋y2＝r2上一定点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2，此结论可推广到圆锥曲线上．过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为(　　) A．x＋y－2＝0　　　　　　　 B．x－y－3＝0 C．2x＋3y－3＝0 D．3x－y－10＝0 【答案】A 【分析】类比圆的切线方程，推导椭圆的切线方程，求出切线的斜率，进而求出垂线的斜率，再利用点斜式求垂线方程. 【详解】：过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)的切线l的方程为＋＝1， 即x－y－4＝0， 切线l的斜率为1，与直线l垂直的直线的斜率为－1， 过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0， 故选A． 例1-2．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围为________． 【答案】：[1,5)∪(5，＋∞). 【分析】方法一：根据已知条件，直线过定点，直线与椭圆总有公共点，则定点必在椭圆内或椭圆上. 方法二：利用方程组有解的条件，转化为一元二次方程有解的条件求解. 【详解】：法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5． 法二：由 消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0． 由题意知Δ＝100k2－20(1－m)·(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立， 即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立， 由于m>0且m≠5，所以m≥1－5k2恒成立， 所以m≥1且m≠5． 故答案：[1,5)∪(5，＋∞). 题型二：弦长问题 例2-1．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为(　　) A．±1 B．± C． D．± 【答案】A 【分析】利用弦长公式求解. 【详解】：由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝． 由题意，得|AB|＝＝＝， 解得m＝±1． 故选：A． 例 2-2．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解，并求出最值. 【详解】：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t， 由消去y， 得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0， 又Δ＝(8t)2－16(t2－1)×5＞0，得t2＜5， 则x1＋x2＝－t，x1x2＝． ∴|AB|＝|x1－x2|＝＝·＝·， 当t＝0时，|AB|max＝． 故选：C． 例2-3.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4． (1)求椭圆的方程； (2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程． 【答案】(1)＋＝1；(2)x－y－1＝0或x＋y－1＝0． 【分析】(1)利用已知条件|AB|＝4，得到2a＝4，再利用离心率求出椭圆方程； (2)将直线方程和椭圆的方程联立，得到关于x的一元二次方程，再利用弦长公式分别求出|AB|、|CD|，由|AB|＋|CD|＝，即可求出直线AB的方程． 【详解】(1)由题意知e＝＝，2a＝4． 又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝， 所以椭圆方程为＋＝1． (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在， 由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件． ②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时， 设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线CD的方程为y＝－(x－1)． 将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则x1＋x2＝，x1·x2＝， 所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝． 同理，|CD|＝＝． 所以|AB|＋|CD|＝＋＝＝， 解得k＝±1， 所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0． 【方法归纳】 1．弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解； (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下两种： ①|AB|＝|x1－x2|＝； ②|AB|＝|y1－y2|＝(k≠0)． 2．注意两种特殊情况 (1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直； (2)直线过圆锥曲线的焦点．　 题型三：中点弦问题 例3-1.过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)右焦点F的直线l：x－y－＝0交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为－，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【答案】：A 【分析】联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系，再用中点坐标.　 【详解】直线l：x－y－＝0中，令y＝0，可得x＝，所以右焦点F(，0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB的中点P，联立消去x 并整理得(a2＋b2)y2＋2b2y＋3b2－a2b2＝0， 所以y1＋y2＝－，x1＋x2＝y1＋y2＋2＝， 所以kOP＝＝－＝－，所以a2＝2b2， 又a2＝b2＋c2，c2＝3，所以a2＝6，b2＝3， 所以椭圆的方程为＋＝1， 故选A． 例3-2.已知椭圆C：＋＝1，过点P的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为(　　) A．3x－2y－2＝0 B．3x＋2y－4＝0 C．3x＋4y－5＝0 D．3x－4y－1＝0 【答案】B 【分析】利用点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2， y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率； 【详解】：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式可得所以 因为两式作差得＋＝0，即＝－， 即·＝kAB＝－，所以kAB＝－， 因此，直线AB的方程为y－＝－(x－1)，即3x＋2y－4＝0． 故选B． 例3-3.已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率； 【详解】由题设，，即，可得， 过的直线与椭圆交于且满足，则为线段的中点， 所以，，又，， 则，即， 所以， 故直线的方程为，即. 故选：C. 【方法归纳】处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率； (2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．　 题型四：综合应用 例4-1.已知椭圆的右焦点为，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作直线l与椭圆E交于不同的两点A，B．设，直线BC与直线交于点N， 求证：直线AN的斜率为定值． 【答案】(1); (2) 证明见解析. 【分析】（1）由题意可求得的值，可求得椭圆的方程； （2） 设直线，，与椭圆方程联立方程组由韦达定理可得，求得，进而计算可得，可得结论. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程是． （2）由题可知直线斜率存在．设直线． 由，得． 由，得，即． 设，则． 直线的方程为． 令，得的纵坐标为． 因为 ， 所以． ． 又． 所以，即． 所以直线的斜率为定值． 例4-2.已知椭圆过点，且的右焦点为． (1)求的方程； (2)设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点． （i）证明：直线平分； （ii）若的面积等于的面积，求的坐标． 【答案】(1); (2)（i）证明见解析；（ii）或． 【分析】（1）代入条件，转化为关于和的方程组，即可求解； （2）（ⅰ）首先设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到韦达定理，由题意转化为证明和的斜率和为0； （ⅱ）由面积公式，结合条件，再结合几何关系，确定，即可确定点的位置，即可求解. 【详解】（1）根据题意有， 且由椭圆的几何性质可知， 所以． 所以的方程为． （2）（i）因为椭圆的长轴右端点横坐标为，所以的斜率一定存在（否则与椭圆没有交点）设的方程为， 代入的方程有：， 其中，故， 设， 则， 若直线平分，且易知轴，故只需满足直线与的斜率之和为0． 设的斜率分别为，则： ， 代入， 有，故命题得证． （ii）由（i）知直线平分，即． 因为的面积等于的面积， 故，即，故． 故， 在线段的垂直平分线上． 易知线段的垂直平分线为，与的方程联立有， 故的坐标为或． 【点睛】关键点点睛：本题第二问中第一小问的关键是由几何关系转化为证明，第二小问的关键是转化几何关系为. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $