期末培优专练3：椭圆方程及其几何性质【12个常考题型归纳+题型解题策略复习】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学椭圆单元复习讲义通过知识框架图系统梳理核心概念、参数关系及12类典型题型，以椭圆定义、标准方程、几何性质为基础，用思维导图呈现“定义—方程—性质—应用”的知识脉络，突出离心率、焦点三角形、中点弦等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，解题策略强调“定义转化—参数联动”思维，如焦点三角形面积结合余弦定理推导，培养数学推理能力。例题与小试牛刀题覆盖基础（标准方程求解）到综合（椭圆与向量最值），助力不同学生提升，教师可据此实施精准教学，学生自主复习有明确步骤指引。

2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【期末培优专练3：椭圆方程及其几何性质】 总览 题型梳理 【题型解题策略复习】 核心基础铺垫：椭圆的定义与核心参数关系 1.第一定义：平面内到两个定点（焦点）的距离之和为常数（）的动点轨迹，其中为长半轴，为半焦距 2.核心参数关系：（为短半轴） 3.标准方程： 焦点在轴上：（） 焦点在轴上：（） 题型1：根据几何关系求椭圆的标准方程 一、知识框架 核心考点：椭圆标准方程的结构特征、的几何意义、几何条件与参数的转化；关键关联：焦点位置判断与大小关系的对应性 二、解题策略 1.定位焦点轴：根据题干几何条件（如焦点坐标、对称轴、顶点位置等）判断焦点在轴或轴上，不确定时需分类讨论 2.选设方程形式： 已知焦点轴：直接设对应标准方程（如焦点在轴设） 未知焦点轴：设一般式（），后续确定大小 3.列方程求参数：根据几何条件（如顶点坐标、焦距、离心率、过定点、与直线位置关系等）建立关于的方程，结合求解 4.验证参数关系：确保，排除不合理解 示例：已知椭圆过点，且焦距为，求标准方程。 解析：焦距；过，若为长轴顶点则，，焦点在轴，方程为；若为短轴顶点则，，焦点在轴，方程为 题型2：求椭圆的轨迹方程 一、知识框架 核心考点：椭圆的定义、轨迹方程的求法原理；常见几何条件：距离和为定值、到两定点距离关系、斜率乘积定值等 二、解题策略 1.定义法（优先使用）： 步骤：①找出动点满足的两个定点；②验证；③确定，计算，写出标准方程 2.直译法： 步骤：①设动点坐标；②将题干几何条件（如距离、角度、斜率等）转化为含的等式；③化简等式，排除杂点，验证是否为椭圆 3.相关点法（代入法）： 适用场景：动点依赖于已知椭圆上的动点；步骤：①设，，建立与的关系；②代入的椭圆方程，化简得的轨迹方程 4.参数法：用参数表示椭圆上点的坐标（），结合条件转化为轨迹方程 关键提醒：化简过程中需注意变量取值范围，确保轨迹的纯粹性和完备性 题型3：椭圆上点到焦点与定点的距离和差最值 一、知识框架 核心考点：椭圆的第一定义、两点之间线段最短、三角形三边关系；核心转化思想：将“到焦点的距离”转化为“到另一焦点的距离”，实现最值的直观求解 二、解题策略 1.距离和最值（，为定点，为焦点）： 利用第一定义：，转化为 最值判断：①若在椭圆内：（三角形两边之差小于第三边），故最小值为，无最大值；②若在椭圆外：（两点之间线段最短），最小值为 2.距离差最值（）： 转化为，结合三角形三边关系，得最值为或 3.核心技巧：“化曲为直”，通过椭圆定义将焦点距离转化，利用平面几何中线段最值规律求解 题型4：椭圆的焦点三角形周长面积问题 一、知识框架 核心考点：椭圆第一定义、焦点三角形的构成（椭圆上一点与两焦点组成的）、三角形周长公式、面积公式（正弦定理、余弦定理结合） 二、解题策略 1.周长求解： 周长（直接利用第一定义，焦距） 2.面积求解（3种常用方法）： 方法1：利用底高公式：（为点纵坐标的绝对值，为底） 方法2：利用正弦定理：（） 方法3：结合余弦定理与第一定义：由，且，平方得，故 3.关键结论：焦点三角形面积最大值为（当在短轴顶点时，最大） 题型5：椭圆焦点三角形的综合问题 一、知识框架 核心考点：焦点三角形的边角关系、椭圆参数关系（）、三角函数性质、不等式（均值不等式）；常见综合考点：角度最值、边长关系、内切圆问题等 二、解题策略 1.角度相关问题： 求的最值：利用余弦定理，结合均值不等式（当且仅当时取等号），得，故最大值为（此时在短轴顶点） 2.内切圆问题： 设内切圆半径为，则面积，结合面积公式，可求或其他参数 3.核心思路：以焦点三角形的边角关系为桥梁，联动椭圆定义与参数关系，借助三角函数、不等式工具求解，注重“化角为边”或“化边为角”的转化 题型6：椭圆的有界性求范围 一、知识框架 核心考点：椭圆的有界性（椭圆上点的横纵坐标取值范围：）、代数式最值与范围的转化；常见目标代数式：一次式（）、二次式（）、分式（）等 二、解题策略 1.利用参数方程转化： 设椭圆上点（为参数），将目标代数式转化为关于的三角函数，利用三角函数有界性（）求范围 示例：求的范围，代入得，范围为 2.利用几何意义转化： 二次式：表示椭圆上点到原点的距离的平方，最大值为（长轴顶点），最小值为（短轴顶点） 分式：表示椭圆上点与定点连线的斜率，利用直线与椭圆相切求斜率范围 3.代数法：将目标代数式视为函数，结合椭圆方程消元，转化为一元二次方程，利用判别式求范围 题型7：椭圆与平面向量的最值 一、知识框架 核心考点：平面向量的坐标运算（数量积、模长、线性运算）、椭圆的参数方程与有界性；常见向量问题：数量积最值、模长最值、向量线性组合最值 二、解题策略 1.坐标化转化（核心方法）： 步骤：①建立直角坐标系，写出椭圆上点、焦点、定点的坐标；②将向量用坐标表示（如，）；③将向量问题转化为含的代数式（如数量积）；④结合椭圆方程消元（如用代换），转化为一元函数求最值 2.参数化转化： 设，将向量代数式转化为关于的三角函数，利用三角函数有界性求最值 3.向量数量积最值示例： 已知椭圆，，，求最值；代入得，由，得范围为 题型8：求椭圆的离心率 一、知识框架 核心考点：离心率定义（，）、椭圆参数关系（）、离心率与几何特征的关联（如焦点位置、轴长比、角度关系等） 二、解题策略 1.直接法（已知）：直接代入求解 2.公式转化法（已知或）： 由，得（用表示）或（用表示） 3.几何条件转化法（核心）： 步骤：①分析题干几何条件（如焦点三角形角度、直线与椭圆位置关系、顶点连线特征等）；②建立的等式关系；③消去，转化为关于的方程；④求解方程，取的解 4.常见几何条件转化示例： 若焦点三角形，则，结合，得； 题型9：求椭圆离心率的取值范围 一、知识框架 核心考点：离心率定义（）、椭圆参数不等式关系、几何条件与不等式的转化；常见不等关系来源：三角形三边关系、点与椭圆位置关系、判别式非负等 二、解题策略 1.利用三角形三边关系： 在焦点三角形中，，结合，得，进一步推导离心率范围 2.利用点与椭圆位置关系： 若定点在椭圆内，则；在椭圆外则，代入转化为的不等式，求解的范围 3.利用判别式法： 若直线与椭圆有公共点，联立方程得一元二次方程，，建立的不等式，转化为的范围 4.核心步骤：①挖掘题干中的不等关系；②转化为的不等式；③两边同除以（或），转化为关于的不等式；④结合，求解最终范围 题型10：椭圆的中点弦问题 一、知识框架 核心考点：中点弦的定义（过椭圆内一点且以该点为弦中点的弦）、点差法原理、直线斜率与中点坐标的关系；关键公式：中点弦斜率公式 二、解题策略 1.点差法（通性通法，优先使用）： 步骤：①设弦的两端点为，，中点为，均在椭圆上，故，；②两式相减（点差）：；③代入中点坐标关系（，）和斜率公式（），化简得斜率公式： 焦点在轴上： 焦点在轴上： 2.韦达定理法： 步骤：①设直线方程为，与椭圆方程联立，得一元二次方程；②由韦达定理得，结合，求解或直线方程 3.关键提醒：中点弦存在的前提是中点在椭圆内，需验证 题型11：椭圆的焦点弦及焦半径 一、知识框架 核心考点：焦半径定义（椭圆上一点到焦点的距离）、焦点弦定义（过焦点的弦）、焦半径公式、焦点弦长度公式；关联知识：椭圆第二定义、韦达定理 二、解题策略 1.焦半径公式（精准记忆，优先使用）： 焦点在轴上： 左焦半径：（，为点横坐标，为离心率） 右焦半径： 焦点在轴上： 下焦半径：（，为点纵坐标） 上焦半径： 2.焦点弦长度公式： 设焦点弦过焦点，，： 焦点在轴上（过右焦点）： 斜率为的焦点弦：（为直线倾斜角） 3.解题技巧： 涉及焦点弦的长度、中点、斜率问题，优先联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求、，结合焦半径公式求解； 过焦点的直线斜率不存在时（垂直于长轴），焦点弦为通径，长度为（特殊情况，直接记忆） 题型12：椭圆的光学性质 一、知识框架 核心考点：椭圆的光学性质（从一个焦点发出的光线经椭圆反射后，反射光线必过另一个焦点）、光学性质的几何转化（反射角等于入射角，即椭圆在该点的切线为角平分线）；关联知识：角平分线性质、直线斜率、轨迹问题 二、解题策略 1.光学性质的几何应用： 若光线从出发经椭圆上点反射后过，则椭圆在点的切线平分的外角，法线平分； 解题关键：将光学问题转化为“两点共线”或“角相等”问题，利用椭圆定义或距离关系求解 2.轨迹问题中的应用： 示例：若动点满足“线段的垂直平分线与椭圆相切于”，由光学性质知共线，故，进而，得的轨迹为圆（以为圆心，为半径） 3.证明技巧：涉及角相等时，可利用倒角公式（正切差公式）证明切线斜率与焦点连线斜率的夹角关系，验证反射角等于入射角 总结：椭圆问题的核心是紧扣定义与参数关系，将几何条件转化为代数方程或三角函数关系，灵活运用点差法、韦达定理、参数法等工具，注重“数形结合”思想的应用，各类题型可通过“定义转化—参数联动 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：根据几何关系求椭圆的标准方程】 （24-25高二上·河北保定·期末）已知分别为椭圆的左，右焦点，点为直线与椭圆的一个公共点，满足，且，则椭圆的方程为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，是上一点且位于轴右侧，直线的斜率为2，是面积为4的直角三角形，则的标准方程是（    ）小试牛刀1 A． B． C．. D． （23-24高二上·天津·期末）设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2023·四川甘孜·一模）已知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作轴垂线，该垂线与直线交点为，若且的面积为，则曲线的标准方程为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：求椭圆的轨迹方程】 （24-25高二上·广东清远·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高三上·江西赣州·期末）已知椭圆与直线交于A，B两点，点M满足，则M的轨迹方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二下·贵州六盘水·期末）椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块，，它们可分别在横槽和纵槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.现以横槽和纵槽所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系，若，是的中点，则的轨迹方程为 .小试牛刀3 【题型3：椭圆上点到焦点与定点的距离和差最值】 （23-24高二上·广东深圳·期末）已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 .经典例题例题 （25-26高二上·江苏·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二上·湖北咸宁·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B．3 C． D． （24-25高二上·河北沧州·期末）已知为椭圆的上焦点，是椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：椭圆的焦点三角形周长面积问题】 （24-25高三上·广东揭阳·月考）设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（ ）经典例题例题 A． B． C． D． （23-24高二上·山东青岛·期中）若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（    ）小试牛刀1 A． B．3 C．4 D．1 （24-25高二下·福建厦门·期末）已知分别是内角的对边，，则面积的最大值是（　　）小试牛刀2 A．2 B． C．3 D．4 （23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则 ．小试牛刀3 【题型5：椭圆焦点三角形的综合问题】 （2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆上一点，、分别为左、右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（   ）小试牛刀1 A．若，则 B．若，则满足题意的点有四个 C．椭圆内接矩形周长的最大值为 D．若为钝角三角形，则 【多选题】（24-25高二上·山东青岛·月考）已知椭圆的左右两个焦点分别为，左右两个顶点分别为，点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ）小试牛刀2 A． B．的最大面积为 C．存在点，使得 D．的周长最大值是 【多选题】（24-25高二上·江西抚州·月考）已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）小试牛刀3 A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为 D．最大值为 【题型6：椭圆的有界性求范围】 （25-26高二上·浙江温州·期中）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高二上·辽宁·期末）点是椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，求的取值范围 ．小试牛刀1 （24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ．小试牛刀2 （24-25高二上·上海浦东新·月考）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，则的最小值为 ．小试牛刀3 【题型7：椭圆与平面向量的最值】 （23-24高三上·河北保定·月考）设是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上一个动点，且的取值范围为，则椭C的长轴长为 ．经典例题例题 【多选题】（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则（    ）小试牛刀1 A． B．的最大值为8 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【多选题】（25-26高二上·河北保定·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为上的动点，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．的最大值为0 B．的最大值为 C．若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 D．若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 【多选题】（24-25高二上·浙江·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：求椭圆的离心率】 （25-26高二上·江苏·期末）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，是上的一点，若，且，则的离心率为 ．经典例题例题 （25-26高二上·江苏·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，的延长线交于点，且，则（   ）小试牛刀2 A．的离心率为 B．直线的斜率为 C．为等腰三角形 D． （24-25高二下·河南南阳·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型9：求椭圆离心率的取值范围】 （2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ．经典例题例题 （24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高三上·湖南娄底·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆C交于P，Q两点，记的面积为S，若时，，则椭圆C的离心率的取值范围为 .小试牛刀2 （24-25高二上·河南焦作·期末）阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数.若，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型10：椭圆的中点弦问题】 （24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高二上·浙江舟山·期末）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且 ，，则直线的方程为 ．小试牛刀1 （24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二上·吉林·期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的方程为 .小试牛刀3 【题型11：椭圆的焦点弦及焦半径】 （24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （23-24高二下·安徽·月考）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）抛物线有一性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么类比抛物线，对于椭圆，若存在实数，使得成立，则实数（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型12：椭圆的光学性质】 （25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）经典例题例题    A．3 B．4 C．6 D．8 【多选题】（24-25高二下·福建厦门·月考）（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ）小试牛刀1 A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 【多选题】（2025·广西·模拟预测）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（   ）小试牛刀2 A．面积的最大值为 B．的最大值为7 C．若，则 D．若，垂足为，则 （2025·江西景德镇·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【期末培优专练3：椭圆方程及其几何性质】 总览 题型梳理 【题型解题策略复习】 核心基础铺垫：椭圆的定义与核心参数关系 1.第一定义：平面内到两个定点（焦点）的距离之和为常数（）的动点轨迹，其中为长半轴，为半焦距 2.核心参数关系：（为短半轴） 3.标准方程： 焦点在轴上：（） 焦点在轴上：（） 题型1：根据几何关系求椭圆的标准方程 一、知识框架 核心考点：椭圆标准方程的结构特征、的几何意义、几何条件与参数的转化；关键关联：焦点位置判断与大小关系的对应性 二、解题策略 1.定位焦点轴：根据题干几何条件（如焦点坐标、对称轴、顶点位置等）判断焦点在轴或轴上，不确定时需分类讨论 2.选设方程形式： 已知焦点轴：直接设对应标准方程（如焦点在轴设） 未知焦点轴：设一般式（），后续确定大小 3.列方程求参数：根据几何条件（如顶点坐标、焦距、离心率、过定点、与直线位置关系等）建立关于的方程，结合求解 4.验证参数关系：确保，排除不合理解 示例：已知椭圆过点，且焦距为，求标准方程。 解析：焦距；过，若为长轴顶点则，，焦点在轴，方程为；若为短轴顶点则，，焦点在轴，方程为 题型2：求椭圆的轨迹方程 一、知识框架 核心考点：椭圆的定义、轨迹方程的求法原理；常见几何条件：距离和为定值、到两定点距离关系、斜率乘积定值等 二、解题策略 1.定义法（优先使用）： 步骤：①找出动点满足的两个定点；②验证；③确定，计算，写出标准方程 2.直译法： 步骤：①设动点坐标；②将题干几何条件（如距离、角度、斜率等）转化为含的等式；③化简等式，排除杂点，验证是否为椭圆 3.相关点法（代入法）： 适用场景：动点依赖于已知椭圆上的动点；步骤：①设，，建立与的关系；②代入的椭圆方程，化简得的轨迹方程 4.参数法：用参数表示椭圆上点的坐标（），结合条件转化为轨迹方程 关键提醒：化简过程中需注意变量取值范围，确保轨迹的纯粹性和完备性 题型3：椭圆上点到焦点与定点的距离和差最值 一、知识框架 核心考点：椭圆的第一定义、两点之间线段最短、三角形三边关系；核心转化思想：将“到焦点的距离”转化为“到另一焦点的距离”，实现最值的直观求解 二、解题策略 1.距离和最值（，为定点，为焦点）： 利用第一定义：，转化为 最值判断：①若在椭圆内：（三角形两边之差小于第三边），故最小值为，无最大值；②若在椭圆外：（两点之间线段最短），最小值为 2.距离差最值（）： 转化为，结合三角形三边关系，得最值为或 3.核心技巧：“化曲为直”，通过椭圆定义将焦点距离转化，利用平面几何中线段最值规律求解 题型4：椭圆的焦点三角形周长面积问题 一、知识框架 核心考点：椭圆第一定义、焦点三角形的构成（椭圆上一点与两焦点组成的）、三角形周长公式、面积公式（正弦定理、余弦定理结合） 二、解题策略 1.周长求解： 周长（直接利用第一定义，焦距） 2.面积求解（3种常用方法）： 方法1：利用底高公式：（为点纵坐标的绝对值，为底） 方法2：利用正弦定理：（） 方法3：结合余弦定理与第一定义：由，且，平方得，故 3.关键结论：焦点三角形面积最大值为（当在短轴顶点时，最大） 题型5：椭圆焦点三角形的综合问题 一、知识框架 核心考点：焦点三角形的边角关系、椭圆参数关系（）、三角函数性质、不等式（均值不等式）；常见综合考点：角度最值、边长关系、内切圆问题等 二、解题策略 1.角度相关问题： 求的最值：利用余弦定理，结合均值不等式（当且仅当时取等号），得，故最大值为（此时在短轴顶点） 2.内切圆问题： 设内切圆半径为，则面积，结合面积公式，可求或其他参数 3.核心思路：以焦点三角形的边角关系为桥梁，联动椭圆定义与参数关系，借助三角函数、不等式工具求解，注重“化角为边”或“化边为角”的转化 题型6：椭圆的有界性求范围 一、知识框架 核心考点：椭圆的有界性（椭圆上点的横纵坐标取值范围：）、代数式最值与范围的转化；常见目标代数式：一次式（）、二次式（）、分式（）等 二、解题策略 1.利用参数方程转化： 设椭圆上点（为参数），将目标代数式转化为关于的三角函数，利用三角函数有界性（）求范围 示例：求的范围，代入得，范围为 2.利用几何意义转化： 二次式：表示椭圆上点到原点的距离的平方，最大值为（长轴顶点），最小值为（短轴顶点） 分式：表示椭圆上点与定点连线的斜率，利用直线与椭圆相切求斜率范围 3.代数法：将目标代数式视为函数，结合椭圆方程消元，转化为一元二次方程，利用判别式求范围 题型7：椭圆与平面向量的最值 一、知识框架 核心考点：平面向量的坐标运算（数量积、模长、线性运算）、椭圆的参数方程与有界性；常见向量问题：数量积最值、模长最值、向量线性组合最值 二、解题策略 1.坐标化转化（核心方法）： 步骤：①建立直角坐标系，写出椭圆上点、焦点、定点的坐标；②将向量用坐标表示（如，）；③将向量问题转化为含的代数式（如数量积）；④结合椭圆方程消元（如用代换），转化为一元函数求最值 2.参数化转化： 设，将向量代数式转化为关于的三角函数，利用三角函数有界性求最值 3.向量数量积最值示例： 已知椭圆，，，求最值；代入得，由，得范围为 题型8：求椭圆的离心率 一、知识框架 核心考点：离心率定义（，）、椭圆参数关系（）、离心率与几何特征的关联（如焦点位置、轴长比、角度关系等） 二、解题策略 1.直接法（已知）：直接代入求解 2.公式转化法（已知或）： 由，得（用表示）或（用表示） 3.几何条件转化法（核心）： 步骤：①分析题干几何条件（如焦点三角形角度、直线与椭圆位置关系、顶点连线特征等）；②建立的等式关系；③消去，转化为关于的方程；④求解方程，取的解 4.常见几何条件转化示例： 若焦点三角形，则，结合，得； 题型9：求椭圆离心率的取值范围 一、知识框架 核心考点：离心率定义（）、椭圆参数不等式关系、几何条件与不等式的转化；常见不等关系来源：三角形三边关系、点与椭圆位置关系、判别式非负等 二、解题策略 1.利用三角形三边关系： 在焦点三角形中，，结合，得，进一步推导离心率范围 2.利用点与椭圆位置关系： 若定点在椭圆内，则；在椭圆外则，代入转化为的不等式，求解的范围 3.利用判别式法： 若直线与椭圆有公共点，联立方程得一元二次方程，，建立的不等式，转化为的范围 4.核心步骤：①挖掘题干中的不等关系；②转化为的不等式；③两边同除以（或），转化为关于的不等式；④结合，求解最终范围 题型10：椭圆的中点弦问题 一、知识框架 核心考点：中点弦的定义（过椭圆内一点且以该点为弦中点的弦）、点差法原理、直线斜率与中点坐标的关系；关键公式：中点弦斜率公式 二、解题策略 1.点差法（通性通法，优先使用）： 步骤：①设弦的两端点为，，中点为，均在椭圆上，故，；②两式相减（点差）：；③代入中点坐标关系（，）和斜率公式（），化简得斜率公式： 焦点在轴上： 焦点在轴上： 2.韦达定理法： 步骤：①设直线方程为，与椭圆方程联立，得一元二次方程；②由韦达定理得，结合，求解或直线方程 3.关键提醒：中点弦存在的前提是中点在椭圆内，需验证 题型11：椭圆的焦点弦及焦半径 一、知识框架 核心考点：焦半径定义（椭圆上一点到焦点的距离）、焦点弦定义（过焦点的弦）、焦半径公式、焦点弦长度公式；关联知识：椭圆第二定义、韦达定理 二、解题策略 1.焦半径公式（精准记忆，优先使用）： 焦点在轴上： 左焦半径：（，为点横坐标，为离心率） 右焦半径： 焦点在轴上： 下焦半径：（，为点纵坐标） 上焦半径： 2.焦点弦长度公式： 设焦点弦过焦点，，： 焦点在轴上（过右焦点）： 斜率为的焦点弦：（为直线倾斜角） 3.解题技巧： 涉及焦点弦的长度、中点、斜率问题，优先联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求、，结合焦半径公式求解； 过焦点的直线斜率不存在时（垂直于长轴），焦点弦为通径，长度为（特殊情况，直接记忆） 题型12：椭圆的光学性质 一、知识框架 核心考点：椭圆的光学性质（从一个焦点发出的光线经椭圆反射后，反射光线必过另一个焦点）、光学性质的几何转化（反射角等于入射角，即椭圆在该点的切线为角平分线）；关联知识：角平分线性质、直线斜率、轨迹问题 二、解题策略 1.光学性质的几何应用： 若光线从出发经椭圆上点反射后过，则椭圆在点的切线平分的外角，法线平分； 解题关键：将光学问题转化为“两点共线”或“角相等”问题，利用椭圆定义或距离关系求解 2.轨迹问题中的应用： 示例：若动点满足“线段的垂直平分线与椭圆相切于”，由光学性质知共线，故，进而，得的轨迹为圆（以为圆心，为半径） 3.证明技巧：涉及角相等时，可利用倒角公式（正切差公式）证明切线斜率与焦点连线斜率的夹角关系，验证反射角等于入射角 总结：椭圆问题的核心是紧扣定义与参数关系，将几何条件转化为代数方程或三角函数关系，灵活运用点差法、韦达定理、参数法等工具，注重“数形结合”思想的应用，各类题型可通过“定义转化—参数联动 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：根据几何关系求椭圆的标准方程】 （24-25高二上·河北保定·期末）已知分别为椭圆的左，右焦点，点为直线与椭圆的一个公共点，满足，且，则椭圆的方程为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用椭圆定义结合，可求出；又直线，可得直线的方程为，联立求出P点坐标，代入椭圆方程可求出，即得答案. 【详解】由题意知P在椭圆上，则， 故，即， 又，故，则， 结合，得； 又直线，故直线的方程为， 联立，解得，即， 代入，得，结合， 整理得，解得， 故椭圆的方程为， 故选：B （2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，是上一点且位于轴右侧，直线的斜率为2，是面积为4的直角三角形，则的标准方程是（    ）小试牛刀1 A． B． C．. D． 【答案】B 【分析】方法一：根据题意，在中，由，设，则，由勾股定理可得三边，结合椭圆定义和几何性质可得方程； 方法二：由题意知，由焦点三角形的面积公式得，即，设直线的倾斜角为，结合椭圆定义和三角函数可得，从而得椭圆方程. 【详解】方法一：由题意知，，如图， 设，则， 因为的面积为4，所以， 所以，所以，，. 设椭圆的方程为，焦距为， 则，，所以，， 所以椭圆的标准方程是. 方法二：由题意知， 设椭圆的标准方程是，焦距为， 由焦点三角形的面积公式得，即. 设直线的倾斜角为，则， 所以， 因此，即，得，所以椭圆的标准方程是. 故选：B （23-24高二上·天津·期末）设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及椭圆的通径求出，即可得出椭圆方程. 【详解】如图，    由椭圆定义知， 所以的周长为， 所以， 又最小时，轴，即为椭圆的通径，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为：， 故选：B （2023·四川甘孜·一模）已知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作轴垂线，该垂线与直线交点为，若且的面积为，则曲线的标准方程为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据，可求出以及，再依据的面积为，列出方程，结合，求出，从而求出椭圆的标准方程． 【详解】 由题意，设椭圆方程为，左焦点为，则，， 因为， 所以，故， 所以 ， 解得，， 又，， 解得，，故椭圆方程为. 故选：D 【题型2：求椭圆的轨迹方程】 （24-25高二上·广东清远·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求得两圆的圆心和半径，判定已知两圆的位置关系为内切，求得切点坐标，利用动圆与已知两圆相外切，内切的条件列出关于和动圆半径r的方程组，消去r再利用椭圆的定义写出轨迹方程，最后根据已知两圆的位置关系做出取舍. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 故选：B （24-25高三上·江西赣州·期末）已知椭圆与直线交于A，B两点，点M满足，则M的轨迹方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设点再联立方程组求出得，，结合向量关系得出坐标关系换元即可求出轨迹方程. 【详解】设，，，由 消去x可得，， ，，，， ，，， ，，， ， 点不在轴上，， 的轨迹方程为 故选：C. （24-25高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一般方程得到圆心和半径，再由几何关系得到点的轨迹是以为焦点的椭圆即可； 【详解】    由题意得，圆心，半径， 因为，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以动点的轨迹方程为， 故选：B. （24-25高二下·贵州六盘水·期末）椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块，，它们可分别在横槽和纵槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.现以横槽和纵槽所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系，若，是的中点，则的轨迹方程为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】设x轴上的点，y轴上的点，点，利用题设所得和中点坐标公式即可求解. 【详解】设x轴上的点，y轴上的点，点， 则由，又是的中点， 所以， 所以即， 所以的轨迹方程为. 故答案为： 【题型3：椭圆上点到焦点与定点的距离和差最值】 （23-24高二上·广东深圳·期末）已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 .经典例题例题 【答案】10 【分析】利用点与圆的位置关系，结合椭圆的定义，转化，利用数形结合，即可求的最大值. 【详解】设点为椭圆的左焦点，点为圆的圆心， 点为圆外的点，的最大值为,,即， 的最大值为， 如图，当四点共线时,“=”成立， ，,, 所以的最大值为. 故答案为：10 （25-26高二上·江苏·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解. 【详解】 如图，椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点为， 故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值. 故选：B. （24-25高二上·湖北咸宁·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：A （24-25高二上·河北沧州·期末）已知为椭圆的上焦点，是椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的下焦点为，结合椭圆的定义有，进而可得，注意等号成立条件，即可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径，设椭圆的下焦点为， 如图，由椭圆的定义知，所以， 所以， 当且仅当，，三点共线，且点在线段的延长线上时取等号， 因为，，所以，故， 故选：D 【题型4：椭圆的焦点三角形周长面积问题】 （24-25高三上·广东揭阳·月考）设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（ ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，，由椭圆、双曲线的定义求出，，再由余弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】由曲线：的方程可得 ，， 由椭圆的定义可得． 又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，不妨设在双曲线右支上， 双曲线的定义可得．，， 在中，由余弦定理可得， ， 的面积为.    故选：A （23-24高二上·山东青岛·期中）若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（    ）小试牛刀1 A． B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】利用椭圆定义得到，再利用余弦定理得到，两者联立解出，再利用三角形面积公式求出面积即可. 【详解】由椭圆的标准方程，可得，所以， 又因为，即， 因为， 在，根据余弦定理可得， 即， 又因为，所以， 所以， 故选：A （24-25高二下·福建厦门·期末）已知分别是内角的对边，，则面积的最大值是（　　）小试牛刀2 A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】用正弦定理和余弦定理，计算得到，得到，再利用椭圆的定义，求得椭圆的标准方程，进而求得面积的最大值. 【详解】因为， 由正弦定理、余弦定理可得， 解得，即 又由椭圆的定义，可得点点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中且长轴长为，焦距为，短轴长为，可得椭圆的方程为， 当点在短轴端点时，面积最大，最大值. 故选：B. （23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则 ．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】求出点关于直线的对称点,代入椭圆方程求得，利用余弦定理结合椭圆定义求得，代入三角形面积公式得答案. 【详解】由椭圆，知，∴， ∴点关于直线的对称点， 由题意得：，∴， ∵，， ，∴， ∴在中， ， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 【题型5：椭圆焦点三角形的综合问题】 （2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用角平分线定理分析得出，结合三角形的面积公式可求出的值； 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由结合三角形的面积公式可求出的值. 【详解】依题意，，， 解法一：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 因为平分，由角平分线定理可得，故， 所以，即， 故，所以. 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 由，得， 所以. 故选：B. 【多选题】（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆上一点，、分别为左、右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（   ）小试牛刀1 A．若，则 B．若，则满足题意的点有四个 C．椭圆内接矩形周长的最大值为 D．若为钝角三角形，则 【答案】AC 【分析】利用余弦定理、椭圆定义结合三角形面积公式推导出，可判断A选项；设，可得出，结合，求出的值，判断点的位置，可判断B选项；利用椭圆的参数方程结合辅助角公式可判断C选项；对各内角为钝角进行分类讨论，求出的范围，可求得的范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，则， 由椭圆的定义可得，，且、， 设，，且，， 在中，由余弦定理可得， 所以，， 所以，， 所以，， 因为，则，所以，，解得，A对； 对于B选项，设，则，且，解得， 此时点为椭圆短轴的顶点，故满足条件的点只有两个，B错； 对于C选项，设椭圆内接矩形的一个顶点为， 则椭圆内接矩形周长为， 其中为锐角，且， 由得， 当时，，此时椭圆的内接矩形周长取最大值为，故C正确； 对于D选项，若为钝角，，， 则 ，解得，所以，， 此时，； 若为钝角，且，， 则，可得， 又因为，所以，，则，可得， 此时，； 当为钝角时，同理可知. 因此，的取值范围是，D错. 故选：AC. 【多选题】（24-25高二上·山东青岛·月考）已知椭圆的左右两个焦点分别为，左右两个顶点分别为，点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ）小试牛刀2 A． B．的最大面积为 C．存在点，使得 D．的周长最大值是 【答案】AD 【分析】设，表示出和，利用椭圆方程化简即可判断AC；结合图形求解可判断B；利用椭圆定义将的周长转化为，结合图形求解可判断D. 【详解】对A，由题知，，则， 设，， 则，A正确； 对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B错误； 对C，， 则，C错误； 对D，由椭圆定义可知，，所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确. 故选：AD 【多选题】（24-25高二上·江西抚州·月考）已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）小试牛刀3 A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为 D．最大值为 【答案】BCD 【分析】由椭圆方程得到的值，根据离心率的定义可判断A，根据椭圆的定义可判断B， 根据勾股定理和椭圆的定义可得到，从而由三角形面积公式可判断C，由对勾函数可判断D. 【详解】由椭圆方程可知，，，， 所以椭圆的离心率，故A错误； 由椭圆定义知，故B正确； 又，因为，所以， ， 解得：，所以的面积为，故C正确； 因为，即， 设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【题型6：椭圆的有界性求范围】 （25-26高二上·浙江温州·期中）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. （24-25高二上·辽宁·期末）点是椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，求的取值范围 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据圆的性质可得，设，结合两点间距离公式求的最值，即可得结果. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为点是圆上任意一点， 则，即， 又因为点是椭圆上任意一点，设， 可得， 当时，取到最小值； 当时，取到最大值5； 可得，所以的取值范围为. 故答案为：. （24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】设椭圆上的点，，由点到直线距离公式和三角函数的性质求出椭圆上的点到直线的取值范围. 【详解】设椭圆上的，， 则到直线：的距离： ，其中， 因为，则，可得， 所以点到直线：距离的取值范围为. 故答案为：. （24-25高二上·上海浦东新·月考）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，则的最小值为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】设点，则，利用两点间的距离公式以及的取值范围可求得的最小值. 【详解】由题意知，，，则，设点，则， 所以，， 因此，的最小值为. 故答案为：. 【题型7：椭圆与平面向量的最值】 （23-24高三上·河北保定·月考）设是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上一个动点，且的取值范围为，则椭C的长轴长为 ．经典例题例题 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律，结合椭圆的范围求得，再列式计算即得. 【详解】椭圆的半焦距为c，为的中点， ，显然，于是， 因此，即，解得，，即， 所以椭圆C的长轴长为. 故答案为： 【多选题】（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则（    ）小试牛刀1 A． B．的最大值为8 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】CD 【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式判断AB；设出点的坐标，利用向量的坐标运算，结合椭圆的范围计算判断CD. 【详解】由椭圆定义得，，，A错误； ，当时取等号，B错误； ，设，则，，， ，由，得，C正确； ，，D正确. 故选：CD 【多选题】（25-26高二上·河北保定·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为上的动点，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．的最大值为0 B．的最大值为 C．若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 D．若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 【答案】ABD 【分析】设，，对A和B，利用数量积的坐标运算及，直接求出和，再利用的取值范围，即可求解；对C和D，根据条件得，结合的取值范围，得，即可判断出C和D的正误. 【详解】由题知，设， 对于A，因为， 则，又， 则， 又，所以，故A正确， 对于B，因为， 则，又， 则， 又，所以，故B正确， 若，的斜率分别为，，又，且， 则，整理得到，由，得到， 所以选项C错误，选项D正确， 故选：ABD. 【多选题】（24-25高二上·浙江·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义，，将转化为二次函数，即可求解范围，判断A，利用坐标表示，转化为二次函数求解B，利用向量的运算可知，，根据的范围，即可求解，判断C，利用焦半径的最值，即可判断D. 【详解】，，，，，设，，则，， A．，范围是，故A正确； B．设，则，故B错误； C．设为原点，则；故C正确； D．和的最大值为，最小值为 ，所以的最大值为，最小值为，，故D正确. 故选：ACD 【题型8：求椭圆的离心率】 （25-26高二上·江苏·期末）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，是上的一点，若，且，则的离心率为 ．经典例题例题 【答案】 【分析】设，根据题目信息求出，，从而有，再结合，可得到，即可求解. 【详解】过点作轴的垂线，垂足为， 设，，又，， 则，， 设椭圆方程为， 将点代入方程得，又，整理得， 所以，椭圆的离心率为. 故答案为：. （25-26高二上·江苏·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件结合椭圆定义得出，设焦距，根据余弦定理，化简计算，即可求出离心率. 【详解】 因为，又因为，所以， 设焦距，因为， 所以，， 因为在中，， 所以， 则 所以，所以. 故选：D. 【多选题】（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，的延长线交于点，且，则（   ）小试牛刀2 A．的离心率为 B．直线的斜率为 C．为等腰三角形 D． 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义、的关系及余弦定理对选项逐一分析即可. 【详解】对于C：，，则， 所以， 所以为等腰三角形，故C正确； 对于A：， 所以，解得， 所以，所以，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于D：，所以， 所以，所以，故D正确.    故选：. （24-25高二下·河南南阳·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平方分线及椭圆定义计算结合，最后计算得出离心率即可. 【详解】延长交的延长线于，连接， 由题意知：，， 所以，则的轨迹为以为圆心、为半径的圆， 所以与短轴顶点的最短距离为， 所以，所以， 则. 故选：C. 【题型9：求椭圆离心率的取值范围】 （2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ．经典例题例题 【答案】 【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案. 【详解】 法一：因为，所以． 设，（不妨设），， 依题意有，，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为． 法二：因为，所以． 对于焦点三角形，根据椭圆的性质可得其面积， 根据双曲线的性质可得，所以， 所以，整理可得． 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为． 故答案为：. （24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的定义可得，进而可得，可求椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由椭圆的定义得，又，所以， 又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立， 所以，即，则，即， 即椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. （24-25高三上·湖南娄底·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆C交于P，Q两点，记的面积为S，若时，，则椭圆C的离心率的取值范围为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】连接，，由题意可得四边形为矩形，利用已知可得，利用椭圆的几何性质与勾股定理可得，可得，结合题意可得有，可求椭圆C的离心率的取值范围. 【详解】连接，，由题意得，， 所以四边形为矩形，所以，故， 又，由勾股定理得， 即， 则，故， 即，即，解得， 又点P在直线上，且，所以，即， 所以，，解得， 综上，椭圆C的离心率的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用已知得到，进而利用椭圆的几何性质与勾股定理可得，进而计算即可，需注意. （24-25高二上·河南焦作·期末）阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数.若，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，，，进而得到则，， ，代入，结合计算即可. 【详解】设椭圆的方程为，，，， 则，， ，所以， 而，则． 由得，又，可得. 故选：B. 【题型10：椭圆的中点弦问题】 （24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程． 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内， 设，则， 两式相减得，而， 因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故选：A （24-25高二上·浙江舟山·期末）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且 ，，则直线的方程为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】由题意与的中点重合，若且，，结合已知有，，进而有，再应用点差法得到，联立所得各式求参数，即可得直线方程. 【详解】由 ，易知与的中点重合，若且， 令，则，即， 所以且， 令，则，作差得， 所以， 综上，代入，则，故， 所以，整理得. 故答案为： （24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点差法结合直线斜率可求出，即可得到椭圆的离心率. 【详解】 由题意得，. 设，则， ∵点在椭圆上，∴， 两式相减得，，即， ∴，∴， ∴C的离心率. 故选：B. （24-25高二上·吉林·期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的方程为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】由抛物线方程确定椭圆的焦点坐标，再由点差法确定与的关系，列出关于，，的方程组，解方程组即可求解椭圆的方程． 【详解】抛物线的焦点坐标为， 所以椭圆C的右焦点坐标为， 设椭圆的半焦距为，则 设，，因为点，在椭圆上， 所以，两式相减得， 即， 因为点是的中点，且直线的斜率为， 所以，，， 所以，则，解得， 所以椭圆的方程为 故答案为： 【题型11：椭圆的焦点弦及焦半径】 （24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明焦半径公式，然后根据内切圆的性质求得，进一步得，从而，由得离心率，利用求解即可. 【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：， 由椭圆上任意点及左、右焦点、， 得 ； 同理，； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，， 如图,设的内切圆与三边切于点， 由圆的性质可知， 则， 又，所以，所以，又， 则，由得，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：D （23-24高二下·安徽·月考）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明椭圆的焦半径公式，记与圆相切于点，，，，即可推出，从而得到的周长为，即可求出、，从而求出离心率. 【详解】首先证明椭圆（）上任意一点到左、右两焦点、的距离，（焦半径公式）； 证明：因为、， 所以 ； 同理可得； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，； 记与圆相切于点，，，， 则，又， 所以，则，， 所以，同理可得，故的周长为． 所以，则，又焦距，所以， 所以离心率. 故选：D （2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，用弦长公式表示出，用两点间的距离公式结合点在椭圆上的条件表示出，代入题干条件即可求解. 【详解】设，则，由， 消去，得， 注意到，则.于是， 同理，. 因此. 的倾斜角为，∴直线的斜率， 根据弦长公式，可得. 由，可得，故. ． 故选：A （2025高三·全国·专题练习）抛物线有一性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么类比抛物线，对于椭圆，若存在实数，使得成立，则实数（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当直线的斜率为0时，直接求出，当直线的斜率不为0时，故可设直线的方程为，设，，利用焦半径公式结合韦达定理可得结论. 【详解】由题意可知，且当直线的斜率为0时，， ，则； 当直线的斜率不为0时， 故可设直线的方程为，由消去，整理得， 设，，所以，， 由得， ， ，， ， 即，． 故选：B． 【题型12：椭圆的光学性质】 （25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）经典例题例题    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是 ， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 【多选题】（24-25高二下·福建厦门·月考）（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ）小试牛刀1 A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 【答案】ACD 【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长，交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：，，. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，取到最大， 所以的最大值为7，故B错误； 对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则，， 可得，，，， 则， 即， 整理可得，解得或， 当时，，与重合，不合题意， 所以，即，故C正确： 对于D：如图，延长，交于点， 则在中，，， 则且为中点，连， 在中， ， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确. 故选：ACD. 【多选题】（2025·广西·模拟预测）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（   ）小试牛刀2 A．面积的最大值为 B．的最大值为7 C．若，则 D．若，垂足为，则 【答案】ABC 【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得，当且仅当为线段与椭圆的交点时，取到最大，所以的最大值为7，故B正确； 对于C：由椭圆的光学性质，得点 P与l垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则， 可得， 则， 即, 整理可得，解得或， 当时，，M与O重合，不合题意， 所以，即，故C正确； 对于D：如图，延长交于点， 则在中，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D错误. 故选：ABC. （2025·江西景德镇·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线均为，求出点到的距离，结合椭圆的定义得到原点到点处切线的距离，得到方程，求出，，由余弦定理，，得到，求出离心率. 【详解】如图，是的平分线，则⊥， 设，则， 根据椭圆的光学性质，点处切线与直线均为， 故点到的距离分别为， ， ∵为的中点， ∴由梯形中位线性质得，原点到点处切线的距离为 ， ∴，故，， 又，由余弦定理，可得 ， ∴，即，故， ∴ 的离心率为. 故选：C． 【点睛】求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 1 学科网（北京）股份有限公司 $