专题05 椭圆、双曲线、抛物线（选填）（ 14个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题05 椭圆、双曲线、抛物线（选填） （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 【知识点02】椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 【知识点03】双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【知识点04】双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 【知识点05】抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 【知识点06】抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 【考点题型一】椭圆,双曲线，抛物线定义辨析 【例1-1】（25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【例1-2】（2026·重庆永川·模拟预测）方程表示的图形是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．线段 【变式1-1】（26-27高二上·云南昆明·期中）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ） A．双曲线的左支 B．两条射线 C．双曲线的右支 D．整个双曲线 【变式1-2】（25-26高二上·四川遂宁·期末）与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【变式1-3】（25-26高二上·湖南·期中）与圆及圆都内切的圆的圆心在（    ） A．双曲线上 B．直线上 C．圆上 D．椭圆上 【考点题型二】利用圆锥曲线定义求轨迹方程 【例2-1】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（26-27高二上·广东深圳·期中）椭圆的两个焦点坐标分别为 ，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 20，则此椭圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】圆锥曲线上点到焦点距离及最值 【例3-1】（2026·云南·模拟预测）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A．9 B．11 C．13 D．16 【例3-2】（25-26高二上·浙江宁波·期末）设F是椭圆的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 【考点题型四】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（周长问题） 核心方法：圆锥曲线定义+余弦定理 【例4-1】（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【例4-2】（25-26高二下·广东广州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式4-1】（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线的右支于，两点，且．若，则的周长为（    ） A．68 B．72 C．76 D．80 【变式4-3】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【考点题型五】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（面积问题） 核心方法：圆锥曲线定义+正、余弦定理+面积公式+基本不等式 【例5-1】（26-27高二上·江苏·阶段检测），为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的面积（     ） A．25 B．48 C．24 D．12 【例5-2】（26-27高二上·江苏·阶段检测）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为______. 【变式5-1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·河南焦作·一模）已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．2 【变式5-3】（26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【考点题型六】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（其他问题） 【例6-1】（2027高三·全国·专题练习）已知为椭圆上一点，分别为左、右焦点．若，则________，________． 【例6-2】（25-26高二上·全国·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别是、，P是右支上的点．若，则的值为______． 【变式6-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 【变式6-2】（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，为椭圆：的两个焦点，点在上，若，则___. 【变式6-3】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知是等轴双曲线的右焦点，关于原点对称的点，均在上，且，则_____. 【考点题型七】求圆锥曲线方程 【例7-1】（26-27高二上·全国·课后作业）与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【例7-2】（26-27高二上·全国·课后作业）与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 【变式7-1】（26-27高二上·天津河西·阶段检测）已知椭圆：的一个顶点是，离心率为，则椭圆的标准方程是________． 【变式7-2】（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________． 【变式7-3】（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）若顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线的焦点与双曲线：的右焦点相同，则抛物线的标准方程为________． 【考点题型八】判断方程为椭圆、双曲线的条件 【例8-1】（26-27高二上·甘肃白银·期中）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是______． 【例8-2】（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知曲线且.若为双曲线，则的一个取值为___________；若为椭圆，则的所有可能取值为___________. 【变式8-1】（26-27高二上·山东菏泽·阶段检测）方程若表示圆，实数的取值为___________，若表示椭圆，则实数的取值范围为___________． 【变式8-2】（25-26高二上·安徽·期中）若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________． 【变式8-3】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）若曲线表示双曲线，则实数m的取值范围为________． 【考点题型九】圆锥曲线中的离心率（定值） 【例9-1】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆 的上、下焦点分别为 ，右顶点为A，为锐角三角形且面积为 则椭圆E的离心率为____________. 【例9-2】（26-27高二上·河南南阳·期中）已知双曲线：（，）的右焦点为，点，分别在的左、右两支上，且直线平行于轴．若，，则的离心率为__________． 【变式9-1】（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知A为椭圆C：的左顶点，P为抛物线E：上任意一点，，记Q的轨迹方程为M，若M的顶点与椭圆C的左焦点重合，则椭圆C的离心率是______． 【变式9-2】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 【变式9-3】（26-27高二上·全国·期中）已知双曲线上两点M，N关于原点对称，P为双曲线上的点，且直线PM，PN的斜率分别为，若，则该双曲线的离心率为_____ 【考点题型十】圆锥曲线中的离心率（最值+范围） 【例10-1】（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 【例10-2】（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 【变式10-1】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线（，）右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 【变式10-2】（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点和，且焦点，到直线的距离之和为，则双曲线离心率的最小值为________. 【考点题型十一】抛物线中的和差最值问题 【例11-1】（2026·陕西·模拟预测）已知为抛物线的焦点，为上的动点，过点的直线与相交于两点，记线段的中点为，则的最小值为__________. 【例11-2】（2026·河北邢台·一模）已知直线与抛物线（）交于A，B两点，且，若C上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为______. 【变式11-1】（25-26高二下·河北保定·开学考试）抛物线上有一动点P，其焦点为，，则的最小值为________． 【变式11-2】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知抛物线是的焦点，是上一个动点，点，动点满足，则的最小值为__________. 【变式11-3】（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为_______ 【考点题型十二】抛物线中焦半径问题 【例12-1】（25-26高二下·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例12-2】（25-26高三上·福建漳州·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，是坐标原点，若的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式12-1】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，的焦点为，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D．3 【变式12-2】（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式12-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【考点题型十三】抛物线的标准方程 【例13-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【例13-2】（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点且在第一象限，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【变式13-1】（23-24高三上·四川乐山·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高二上·江西南昌·阶段检测）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为________ 【变式13-3】（23-24高二上·山东泰安·期末）已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为_____________． 【考点题型十四】圆锥曲线中新定义题（小题） 【例14-1】方程的曲线即为函数的图象，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是；④若函数和的图象关于原点对称，则由方程确定．其中所有正确的命题序号是（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【例14-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆：（）是“西瓜椭圆”，则______.若“西瓜椭圆”：（）的右焦点为，直线（）与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则______. 【变式14-1】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2025·内蒙古赤峰·三模）出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 【变式14-3】（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如图所示的曲线为卡西尼卵形线且过坐标原点，其中两定点为，，曲线上点在第一象限内且满足的面积为，则______ 一、单选题 1．（26-27高二上·云南昆明·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆C的上顶点为M，且，点P在椭圆C上，若，则的面积为（   ） A． B． C．4 D． 2．（26-27高二上·河南南阳·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，，为上两点，且，，三点共线，若线段的中点在轴上，，，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上．若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限交于点，若，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）在复平面中，满足等式的所对应点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．线段 D．射线 6．（26-27高二上·云南昆明·期中）已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·青海黄南·模拟预测）设为抛物线的焦点，点为的准线上一点，点在上，若，则（    ） A．3 B． C．2 D． 8．（26-27高三上·江西·阶段检测）若动点在抛物线上，抛物线的焦点为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高二上·河南南阳·期中）已知抛物线：的焦点为，是上一动点，点，动直线与交于，两点，准线与轴交于点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．若直线经过点，则准线上满足为锐角的点恰有个 C．若直线经过点，且，则直线的斜率为 D．若直线经过点，则的最小值为 10．（26-27高二上·云南玉溪·期中）已知方程为，则（ ） A．若为圆方程，则该圆面积为. B．若，则方程的焦距为． C．若为焦点落在轴的椭圆，则实数的取值范围为． D．若，则方程渐近线方程为. 三、填空题 11．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则________． 12．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的离心率为________． 13．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为的右支上的动点，点，则的最小值为________． 14．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M在双曲线左支上，点N为圆上一点，则的最小值为______． 15．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是________． 16．（2027·湖南衡阳·一模）已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 17．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知是抛物线：上一点，，是圆：上的两点，则的最大值为__________． 18．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则_______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆、双曲线、抛物线（选填） （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 【知识点02】椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 【知识点03】双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【知识点04】双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 【知识点05】抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 【知识点06】抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 【考点题型一】椭圆,双曲线，抛物线定义辨析 【例1-1】（25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【分析】由的意义及椭圆的定义即可求解. 【详解】由点满足可知， 动点到定点的距离之和为， 即，且， 根据椭圆的定义可知动点的轨迹是椭圆， 故选：A. 【例1-2】（2026·重庆永川·模拟预测）方程表示的图形是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．线段 【答案】D 【分析】根据关系式的几何意义判断. 【详解】设，， 则即， 所以动点到定点的距离之和等于， 故点的轨迹是线段， 即方程表示的图形是线段， 故选：D. 【变式1-1】（26-27高二上·云南昆明·期中）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ） A．双曲线的左支 B．两条射线 C．双曲线的右支 D．整个双曲线 【答案】C 【分析】先把根式理解为点到两个定点的距离，对比双曲线定义，判断距离差与两定点间距的大小，再根据差的正负判断是左支还是右支即可. 【详解】表示点到点的距离，表示点到点的距离. 由条件得，两定点，，所以. 因为，满足双曲线定义里距离之差为定值且小于焦距的条件，又，说明点到更远，对应双曲线的右支. 【变式1-2】（25-26高二上·四川遂宁·期末）与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】C 【分析】先判断两圆外离，根据圆与圆及圆都外切，可得，再根据双曲线的定义可得答案. 【详解】设与圆 （圆心 ，半径 ）和 圆 （即 ，圆心 ，半径 ） 都外切的圆的圆心为 ，半径为， 由题意得，消去 得， 这表示点P到两定点和的距离之差为常数，且， 由双曲线的定义知：点的轨迹为双曲线， 又由知：，因此点的轨迹为双曲线的一支. 故选： C 【变式1-3】（25-26高二上·湖南·期中）与圆及圆都内切的圆的圆心在（    ） A．双曲线上 B．直线上 C．圆上 D．椭圆上 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义确定正确答案. 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径为． ，圆心为，半径为． 设所求圆的圆心为，半径为， 则，，， 所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的椭圆． 故选：D．    【考点题型二】利用圆锥曲线定义求轨迹方程 【例2-1】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 【例2-2】（26-27高二上·广东深圳·期中）椭圆的两个焦点坐标分别为 ，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 20，则此椭圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，椭圆焦点在轴上，， 又∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，∴，即， ，椭圆的标准方程为. 【变式2-1】（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 【变式2-3】（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 【考点题型三】圆锥曲线上点到焦点距离及最值 【例3-1】（2026·云南·模拟预测）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A．9 B．11 C．13 D．16 【答案】D 【分析】根据椭圆定义求解，再结合圆上一点到圆外一点的距离的最大值为该点到圆心距离加半径，最小值为该点到圆心距离减半径，分别分析和的最值范围，进而结合不等式性质求解即可. 【详解】如图，椭圆的两个焦点坐标为，为两个圆的圆心坐标，圆的半径为，圆的半径为，由椭圆的定义可得. 因为满足： ，即 ，即 所以两式相加得：， 代入，可得，即不可能为16. 【例3-2】（25-26高二上·浙江宁波·期末）设F是椭圆的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义将转化为，进而转化为到直线的距离减去6，再用点到直线的距离公式解得. 【详解】如图：由F是椭圆的右焦点，所以，设. 由椭圆的定义，所以， ， 所以的最小值就等价于的最小值， 就等价于到直线的距离减去6， ，所以的最小值为4. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标可求，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】因为右焦点为，所以，即； 设双曲线的左焦点为，则；由双曲线的定义得， 所以，当三点共线时，有最小值， 最小值为，所以的最小值为. 【变式3-3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用双曲线的定义推出，结合曲线与圆的位置关系推出，进而求出最大值． 【详解】双曲线方程为，则， ， ，， 又、分别是圆和上的点， 即、在以为圆心，半径为的圆上， ， ． 故选：D． 【考点题型四】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（周长问题） 核心方法：圆锥曲线定义+余弦定理 【例4-1】（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】先由与的关系推导椭圆离心率，结合垂直平分线性质将的周长转化为，再联立直线与椭圆方程利用弦长公式求，即可得到周长. 【详解】由题设，结合椭圆参数关系，得，即, 由椭圆性质得，又，故为等边三角形； 因为过且垂直于，所以是的垂直平分线，因此 ，， 则的周长为， 根据椭圆定义，对椭圆上任意点有，故，， 因此 ， 代入周长表达式得的周长为。 接下来求的值： 直线的斜率，则直线的斜率， 又过 ，则的方程为， 联立与椭圆方程 ，整理得 ， 设，由韦达定理得，， 由弦长公式， 代入数值计算得：， 由题设，得，解得，故的周长为. 【例4-2】（25-26高二下·广东广州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先求，进而利用椭圆的定义即可求解. 【详解】由，所以，所以， 所以椭圆的方程为：，又过点， 所以，解得，即， 所以， 又， 所以的周长为：. 【变式4-1】（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 【变式4-2】（26-27高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线的右支于，两点，且．若，则的周长为（    ） A．68 B．72 C．76 D．80 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及双曲线的定义列式求解. 【详解】双曲线的实半轴长，令，由，得， 由双曲线的定义，得，． 在中，，由余弦定理，得， 即，整理得，则， 因此，，，所以的周长为72． 【变式4-3】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可求得的周长. 【详解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12． 故选：B.    【考点题型五】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（面积问题） 核心方法：圆锥曲线定义+正、余弦定理+面积公式+基本不等式 【例5-1】（26-27高二上·江苏·阶段检测），为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的面积（     ） A．25 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【分析】方法一：先求出双曲线的，再利用中三边关系求出，再由直角三角形面积公式即得结果. 方法二：利用公式求结论. 【详解】方法一：设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为， 则，，， 故， 在中， 所以， 所以. 方法二：设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为， 则， 因为点在双曲线上，且， 所以的面积. 【例5-2】（26-27高二上·江苏·阶段检测）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为______. 【答案】 【分析】由椭圆的定义有，结合可得，，又，则三角形面积可求. 【详解】由椭圆，有. 由椭圆的定义有，又， 所以，，又. 在中，， 所以为直角三角形， 的面积为 . 【变式5-1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线和双曲线关于原点中心对称得出点坐标. 【详解】由双曲线定义，，所以， 又直线和双曲线都关于原点中心对称，所以交点也关于原点对称， 不妨设，且，又，所以， 代入双曲线方程，得出， 所以的面积为. 【变式5-2】（2026·河南焦作·一模）已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】法一：设，，利用双曲线定义与余弦定理可计算出，再利用面积公式计算即可得解；法二：利用双曲线焦点三角形面积公式计算即可得. 【详解】法一：设，，则由双曲线定义可得， ，则， ，即， 则，故. 法二：由双曲线焦点三角形面积公式可得. 【变式5-3】（26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【答案】 【详解】由椭圆，得，可得， 即，则， 设，则有，， ， ， 【考点题型六】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（其他问题） 【例6-1】（2027高三·全国·专题练习）已知为椭圆上一点，分别为左、右焦点．若，则________，________． 【答案】 / / 【分析】解法1：依托椭圆定义与余弦定理处理焦点三角形，结合向量中线性质可同步求解夹角与点到原点的距离；解法2：坐标法的核心是将几何条件代数化，代入椭圆方程消元后即可解出点的坐标特征量；解法3：焦半径公式能直接建立横坐标与焦点距离的关系，是简化椭圆焦点类运算的常用技巧. 【详解】解法1：在中，由及余弦定理，得． ， ， 则． 解法2：设点的坐标为，不妨令，由题知， 则，将代入得，同理可得． 所以，解得，则，所以． 解法3：设，由椭圆方程得，离心率，由第二定义以及焦半径公式可得， 可得，所以． 【例6-2】（25-26高二上·全国·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别是、，P是右支上的点．若，则的值为______． 【答案】1 【分析】根据双曲线的定义写出与，然后代入求解，利用向量数量积运算即可求解. 【详解】由题可知,所以，， 所以由余弦定理 . 所以. 故答案为：1. 【变式6-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可求解 【详解】 已知椭圆，则，， 由椭圆的定义得，， 由于，所以， 则. 【变式6-2】（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，为椭圆：的两个焦点，点在上，若，则___. 【答案】2 【分析】根据列方程得到点坐标，然后利用等面积的思路求. 【详解】设，则，由题意知，，， 所以，， ，解得，， 所以，则. 故答案为：2. 【变式6-3】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知是等轴双曲线的右焦点，关于原点对称的点，均在上，且，则_____. 【答案】 【分析】设的左焦点为，得四边形是平行四边形，则，结合双曲线定义可求得，在中，利用余弦定理求得，进而得到求得答案. 【详解】等轴双曲线，则，则. 设的左焦点为，根据对称性易得四边形是平行四边形， 则. 由得或 在中，，则， 得. 故答案为：. 【考点题型七】求圆锥曲线方程 【例7-1】（26-27高二上·全国·课后作业）与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【答案】或 【分析】先求抛物线的焦点坐标，再根据抛物线的焦点坐标求解其标准方程. 【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以直线与坐标轴的交点即抛物线的焦点，令，得；令，得，所以抛物线的焦点坐标为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． 【例7-2】（26-27高二上·全国·课后作业）与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 【答案】 【分析】设所求双曲线的方程为，再待定系数求解即可. 【详解】因为所求双曲线与双曲线共焦点， 所以，设所求双曲线的方程为． 因为方程经过点， 所以，解得或（舍去）， 所以所求双曲线的方程为． 【变式7-1】（26-27高二上·天津河西·阶段检测）已知椭圆：的一个顶点是，离心率为，则椭圆的标准方程是________． 【答案】或 【分析】直接分椭圆的长轴在轴上和椭圆的短轴在轴上两种情况，并结合离心率及椭圆性质计算可得. 【详解】若椭圆的长轴在轴上：此时椭圆的长半轴长，由离心率定义，得半焦距. 根据椭圆的基本关系，代入得， 此时椭圆标准方程为，满足的条件. 若椭圆的短轴在轴上：此时短半轴长，由， ​解得，此时椭圆标准方程为，满足的条件. 综上，椭圆的标准方程是或. 【变式7-2】（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________． 【答案】 【详解】设所求椭圆的方程为． 将两点，的坐标代入，得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为． 【变式7-3】（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）若顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线的焦点与双曲线：的右焦点相同，则抛物线的标准方程为________． 【答案】 【分析】先根据双曲线的标准方程求出，利用算出半焦距，从而确定右焦点坐标；再根据抛物线顶点在原点且焦点在轴正半轴上，设出标准方程，利用焦点坐标求出参数，即可得到抛物线方程. 【详解】已知双曲线，则， 由，解得半焦距.故双曲线的右焦点坐标为. 因为抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在轴正半轴上， 所以设抛物线的标准方程为，其焦点坐标为. 由题意知，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，即，解得. 所以抛物线的标准方程为. 【考点题型八】判断方程为椭圆、双曲线的条件 【例8-1】（26-27高二上·甘肃白银·期中）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据椭圆标准方程的成立条件，列出关于的不等式组，即可求解. 【详解】因为方程表示椭圆，所以， 解得且， 故实数的取值范围是. 【例8-2】（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知曲线且.若为双曲线，则的一个取值为___________；若为椭圆，则的所有可能取值为___________. 【答案】 3（答案不唯一） 【分析】由双曲线和椭圆的方程性质结合题意列不等式组可得； 【详解】若为双曲线，则，解得或， 又，所以的一个取值可能为3； 若为椭圆，则，解得且， 又，所以的所有可能取值为； 故答案为：3（答案不唯一）；. 【变式8-1】（26-27高二上·山东菏泽·阶段检测）方程若表示圆，实数的取值为___________，若表示椭圆，则实数的取值范围为___________． 【答案】 6 【分析】利用圆与椭圆的定义求解即可. 【详解】方程若表示圆，则，解得：，此时实数的取值为6 方程若表示椭圆，则，解得：，或，此时实数的取值范围为. 【变式8-2】（25-26高二上·安徽·期中）若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程直接可得. 【详解】由曲线表示焦点在轴上的椭圆， 所以，即的取值范围是． 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）若曲线表示双曲线，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据方程表示双曲线列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】若曲线表示双曲线， 则，解得或， 的取值范围是. 故答案为：. 【考点题型九】圆锥曲线中的离心率（定值） 【例9-1】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆 的上、下焦点分别为 ，右顶点为A，为锐角三角形且面积为 则椭圆E的离心率为____________. 【答案】 /0.5 【分析】先利用三角形面积公式建立的等量关系，再结合锐角三角形的约束条件求解离心率，舍去不符合要求的解即可。 【详解】椭圆的焦点在轴上，半焦距c满足，上焦点、下焦点、右顶点. 因为的底为，高为点到轴的距离，所以面积， 又因为为锐角三角形且面积为 ，所以. 将两边分别平方，得， 将代入，得，两边同除以，得，整理得， 令离心率，所以有，整理得，解得或 ，因为，所以或. 结合锐角三角形条件筛选离心率范围： 由题上、下焦点分别为 F₁，F₂，右顶点为A，知为等腰三角形，，仅需顶角为锐角， 即，将，得，即，整理得， 即，得， 所以不合题意，舍去. 符合题意，故. 【例9-2】（26-27高二上·河南南阳·期中）已知双曲线：（，）的右焦点为，点，分别在的左、右两支上，且直线平行于轴．若，，则的离心率为__________． 【答案】 【分析】由于直线平行于轴，结合双曲线定义及双曲线的对称性可知，，在左支、在右支，为右焦点，故；在中对用余弦定理直接求出，建立与的关系；再由对称性得点横坐标，将代入双曲线方程求出纵坐标，最后用两点间距离公式建立关于的方程求解. 【详解】 设，（），双曲线的左焦点为， 由于直线平行于轴，根据双曲线的对称性可知， 由双曲线定义：，在左支、在右支，为右焦点，故，， 在中，，由余弦定理： ， 故，于是，得，从而，， 由平行于轴及双曲线关于轴对称，、横坐标互为相反数，又在右支， 故点横坐标， 将代入双曲线方程，得，解得， 右焦点，由两点间距离公式， 代入得：， 将代入，， 展开得，整理为， 两边除以，令，得，解得或，双曲线离心率，舍去，故. 【变式9-1】（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知A为椭圆C：的左顶点，P为抛物线E：上任意一点，，记Q的轨迹方程为M，若M的顶点与椭圆C的左焦点重合，则椭圆C的离心率是______． 【答案】 【分析】利用向量关系将抛物线上的点坐标用动点表示，代入抛物线方程求得轨迹的方程；再求出的顶点坐标，由其与椭圆左焦点坐标重合建立的等量关系，进而求得离心率. 【详解】由题可知，设点，因为，所以， 可得，则， 代入抛物线E得，即，其顶点为， 所以，所以． 【变式9-2】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用点差法求得中点的轨迹方程，再利用得到中点的横坐标，最后代回直线方程求离心率. 【详解】设，那么， 又，所以即， 因为，所以点在中垂线上，故， 又直线：经过椭圆的左焦点， 所以，又点M在直线：上， 所以，代入得 ，即， 则. 【变式9-3】（26-27高二上·全国·期中）已知双曲线上两点M，N关于原点对称，P为双曲线上的点，且直线PM，PN的斜率分别为，若，则该双曲线的离心率为_____ 【答案】 【分析】设,则，结合点在双曲线上得到，于是离心率. 【详解】设,则，所以， 又因为，，两式相减可得， 所以，因为，所以. 所以双曲线离心率为. 【考点题型十】圆锥曲线中的离心率（最值+范围） 【例10-1】（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】设，则，由椭圆定义可得即，由余弦定理可得，两式相除可得，再根据对勾函数的性质可得的范围，进而可得椭圆离心率的取值范围. 【详解】设，由椭圆定义可得， 设，则，所以，即， 因为，所以， 即， 两式相除得：， 所以，因为，所以， 根据对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以，所以， 所以，所以，所以. 【例10-2】（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 【答案】 【分析】设双曲线上的点，可得，利用点到直线的距离公式可求得，由恒成立可得，从而可求得离心率的取值范围. 【详解】双曲线：（，）的两条渐近线的方程为和， 点到两条渐近线的距离之积为， 而恒成立，又因为的最小值为， 故只需，又点满足双曲线的方程， ，，即， 则的离心率，. 【变式10-1】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线（，）右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 【答案】 【分析】根据过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，得到渐近线的倾斜角范围，进而得到关于，的不等式，利用，进而得到关于，的不等式，可求得离心率的取值范围. 【详解】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点， 所以双曲线经过第一象限的渐近线的倾斜角不小于， 即， 所以， 所以离心率， 即. 【变式10-2】（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点和，且焦点，到直线的距离之和为，则双曲线离心率的最小值为________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用直线截距式方程求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式及双曲线离心率的意义求解. 【详解】依题意，直线的方程为，即， 焦点到直线的距离之和，得， 则，即，因此，整理得，解得， 所以双曲线的离心率，其最小值为. 【考点题型十一】抛物线中的和差最值问题 【例11-1】（2026·陕西·模拟预测）已知为抛物线的焦点，为上的动点，过点的直线与相交于两点，记线段的中点为，则的最小值为__________. 【答案】5 【分析】设直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理把点坐标用直线的斜率表示出来，由抛物线的定义知：，然后数形结合，可得到的最小值为点到准线的距离，然后再计算点到准线的距离的最小值即可. 【详解】过点的直线设为，即， 将直线方程代入抛物线方程： ， 设交点， ，由韦达定理： 线段的中点的横坐标： 将代入直线方程得纵坐标：， 因此，中点的坐标为 ， 分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 过点作的垂线，垂足为， 易得：，当且仅当三点共线时取等号， 由抛物线的定义知：， ， 而 ， 当时，取到最小值5， 此时取到最小值5. 【例11-2】（2026·河北邢台·一模）已知直线与抛物线（）交于A，B两点，且，若C上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为______. 【答案】 【分析】由弦长求出的值，的最大值转化为的最大值求解. 【详解】将代入，得， 因为，所以. 设，，则，， 则， 因为，所以. 故抛物线C的焦点为，点在C的上方， 由抛物线的定义知，，则， 当P，F，M三点共线且F位于P，M之间时，取得最大值. 【变式11-1】（25-26高二下·河北保定·开学考试）抛物线上有一动点P，其焦点为，，则的最小值为________． 【答案】16 【分析】由抛物线的定义将转化为，则有三点共线时取最小值. 【详解】由题意得，准线为，过向准线作垂线，垂足为，且有， 因为，则， 所以当三点共线时，最小，如图： 即. 【变式11-2】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知抛物线是的焦点，是上一个动点，点，动点满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先求得点的轨迹，进而得，再根据抛物线的定义转化求解即可. 【详解】设，因为点，动点满足， 所以，整理得， 即， 所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为抛物线，焦点，准线方程为， 过点准线的垂线，垂足为，则， 因为，当且仅当三点共线且在点之间时等号成立， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式11-3】（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为_______ 【答案】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形和抛物线的定义，求出的最小值． 【详解】过点作准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，当且仅当、、三点共线时，的最小值为. 如图所示，过点作准线，垂足为， 则， 当且仅当、、三点共线时， 取得最小值. 故答案为： 【考点题型十二】抛物线中焦半径问题 【例12-1】（25-26高二下·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】作出图形，结合图形得出求出的值，即可求出的值. 【详解】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以. 【例12-2】（25-26高三上·福建漳州·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，是坐标原点，若的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由焦点坐标得出，从而得出抛物线方程，设出的坐标，结合三角形面积公式计算出坐标值，进而利用两点间距离公式求解． 【详解】   ， ，即，抛物线的方程为． 设，则的面积为： ，解得，将代入，解得， ． 故答案为：D． 【变式12-1】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，的焦点为，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】由抛物线的定义可得，取线段的中点，连接， 则， 因为，所以， 因为的面积为，所以， 所以 【变式12-2】（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由点在抛物线上得的方程为，再根据，得，进而得，即可得. 【详解】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以 故选：B 【变式12-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先求出焦点 坐标，设，利用中点坐标公式得，利用抛物线的定义即可求出弦长. 【详解】抛物线方程为 ，焦点坐标为 ，准线方程为 ， 设 ，由中点坐标公式得： ，因此 ， 根据抛物线的定义得， 故弦长. 【考点题型十三】抛物线的标准方程 【例13-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为，再结合和及抛物线定义知识可求得，即可求解. 【详解】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为， 因为，所以，即， 由于，所以， 由可知，所以，而， 由可知，即的方程为．故C正确. 故选：C. 【例13-2】（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点且在第一象限，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【答案】 【分析】设点在准线上的射影点为，连接，分析可知为等边三角形，求得，结合，可得出的值，即可得出的值，由此可得出抛物线的方程. 【详解】设点在准线上的射影点为，连接，如下图所示： 由抛物线的定义可得， 因为，易知轴，则， 故为等边三角形，则，所以，且， 设准线与轴的交点为，易知，，故， 易知，故抛物线的标准方程为. 【变式13-1】（23-24高三上·四川乐山·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用可求得，从而可得答案． 【详解】如图，连接，设准线与轴交点为    抛物线的焦点为，准线： 又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形， 所以， 所以在中，，则，所以抛物线的方程为. 故选：C. 【变式13-2】（24-25高二上·江西南昌·阶段检测）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为________ 【答案】 【分析】根据题意过点做轴垂线垂足为，做直线垂线垂足为，则根据抛物线定义可得点坐标为或，再根据面积为即可求解. 【详解】根据题意过点做轴垂线垂足为，做直线垂线垂足为， 由抛物线定义可得, 所以可得点坐标横坐标为，代入抛物线可得点纵坐标为， 又因的面积为，所以可得， 所以可求得，则抛物线方程为. 故答案为： 【变式13-3】（23-24高二上·山东泰安·期末）已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为_____________． 【答案】 【分析】利用抛物线定义化斜为直，转化已知条件到中，建立关于的方程求解即可. 【详解】 抛物线，则焦点，准线. 过点作准线，垂足为，作轴，垂足为，准线与轴交点为. 由抛物线定义可知，又， 在中，， 则有，得，解得， 故所求抛物线的方程为. 故答案为：. 【考点题型十四】圆锥曲线中新定义题（小题） 【例14-1】方程的曲线即为函数的图象，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是；④若函数和的图象关于原点对称，则由方程确定．其中所有正确的命题序号是（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】由题对分正负求解方程，根据解析式确定单调性及值域可确定①③；对于②，由①得三种情况，结合双曲线性质即可判定；对于④，利用对称性，得到的方程即可. 【详解】对于①，当，方程为不成立； 当时，方程，解得， 又，所以此时函数在上单调递减； 当时，方程，解得， 又，所以此时函数在上单调递减； 当时，方程，解得， 此时函数在上单调递减； 易知函数连续，所以在上单调递减，故①正确； 对于②，，即， 由①知，时，，而无交点； 而和，方程为或都代表双曲线， 且它们有相同的渐近线方程，此时也无交点， 所以函数不存在零点，故②正确； 对于③，当时，，易得， 时，，易得， 又函数连续，所以函数的值域是，故③正确； 对于④，设上的点为，上的点为， 又它们关于原点对称，所以， 所以，即， 所以由方程确定，故④错误； 故选：D. 【例14-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆：（）是“西瓜椭圆”，则______.若“西瓜椭圆”：（）的右焦点为，直线（）与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则______. 【答案】 9 【分析】第一空直接利用椭圆离心率公式列方程求；第二空利用椭圆的对称性将“圆过右焦点”转化为圆的半径，再联立直线、圆与椭圆方程消去交点坐标，代入由离心率确定的比例关系即可解出斜率. 【详解】对于椭圆，由题意得其离心率，，，所以， 进而，解得， 对于椭圆，由题意得其离心率，进而， 且，进而有， 因为直线过原点，所以是线段的中点， 因为以线段为直径的圆过点，所以， 即以线段为直径的圆的方程为， 设点，则有，，， 将代入后两式得，联立整理得， 将与代入得，即， 结合，解得. 【变式14-1】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆上点的横坐标范围，利用距离公式求解最小值，根据新定义即可得解. 【详解】记，设椭圆上的点为，由椭圆的性质可知， 则 ， 当时，最小，，所以. 故选：B. 【变式14-2】（2025·内蒙古赤峰·三模）出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知的轨迹关于轴对称，也关于轴对称，进而先研究其在时的函数解析式，并画出其图象，结合对称性可将图象补充完整，数形结合求解即可. 【详解】由题意可知，的轨迹关于轴对称，也关于轴对称． 当时，， 即 画出此函数的图象，并结合对称性可得点的轨迹是如图所示的六边形． 由图可知，的最小值为图中点到直线的距离． 故选：A 【变式14-3】（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如图所示的曲线为卡西尼卵形线且过坐标原点，其中两定点为，，曲线上点在第一象限内且满足的面积为，则______ 【答案】 【分析】根据卡西尼卵形线的定义及曲线过原点求出常数，利用三角形面积公式求出点的纵坐标，代入曲线方程求出横坐标，最后利用两点间距离公式计算即可． 【详解】设曲线上任意一点， 由题意可知，（为常数），即． 因为曲线过坐标原点， 所以， 解得， 所以曲线的方程为． 设点， 由题意知，， 因为，， 所以， 已知的面积为， 所以， 将代入曲线的方程，得， 两边平方得， 整理得，即， 化简得，即， 所以， 解得， 因为， 所以， 所以． 一、单选题 1．（26-27高二上·云南昆明·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆C的上顶点为M，且，点P在椭圆C上，若，则的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由椭圆上顶点到焦点的距离为长半轴长求出,再由焦距求出,进而得;然后由椭圆定义与余弦定理求出,最后用三角形面积公式求解. 【详解】椭圆的上顶点为,左焦点为,所以. 由得. 由得,所以. 设,,由椭圆定义得. 因为. 在中,由余弦定理得. 所以,即. 于是,从而. 所以. 2．（26-27高二上·河南南阳·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，，为上两点，且，，三点共线，若线段的中点在轴上，，，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析得知为等边三角形，再根据椭圆的定义即可得到椭圆方程． 【详解】设椭圆的标准方程为， 因为，分别为，的中点，则， 又，则，即，可得， 又，且为的中点，则，所以为等边三角形， 又，则，， 所以，， 即，，则， 所以椭圆的标准方程为． 3．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上．若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】结合椭圆的定义和可求解. 【详解】因为，所以． 由椭圆的定义及题意，得在中， ，， 所以． 4．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限交于点，若，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知点在以为直径的圆上，则而， 故， 由双曲线的定义可得. 5．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）在复平面中，满足等式的所对应点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．线段 D．射线 【答案】D 【分析】利用表示复数对应的点到点和到点的距离之差等于，得到的轨迹是一条射线． 【详解】复数满足条件， 设，为虚数单位， 则， 它表示复数Z对应的点到点和到点的距离之差等于， 故点的轨迹是一条射线. 6．（26-27高二上·云南昆明·期中）已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义转化得到距离差，由双曲线的定义判定轨迹，再根据确定只取双曲线下支，写出带范围的轨迹方程． 【详解】，，， ，，， 因为都在椭圆上，所以，， 所以的轨迹是以为焦点的双曲线的下支（，动点离更近）， 由，，得， 所以的轨迹方程是． 7．（2026·青海黄南·模拟预测）设为抛物线的焦点，点为的准线上一点，点在上，若，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先确定抛物线的焦点和准线，利用向量共线关系求出点E的横坐标，结合抛物线定义计算|EF|，再根据线段比例求出|DE|后作差即可. 【详解】对于抛物线，由得，因此焦点，准线方程为， 设，根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，故， 设准线上的点，由，，，得，解得， 故， 由可知三点共线且在线段上，故， 因此， 所以. 8．（26-27高三上·江西·阶段检测）若动点在抛物线上，抛物线的焦点为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点距离公式，结合导数判断函数单调性，即可求解最值 【详解】设，则， 由于,则， 设 设则，故单调递增， 由于，故当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，故的最小值为， 因此的最小值为8，故的最小值为 二、多选题 9．（26-27高二上·河南南阳·期中）已知抛物线：的焦点为，是上一动点，点，动直线与交于，两点，准线与轴交于点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．若直线经过点，则准线上满足为锐角的点恰有个 C．若直线经过点，且，则直线的斜率为 D．若直线经过点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】由抛物线方程确定焦点与准线；A利用抛物线定义及三角形不等式求最值；B构造过焦点的特殊直线进行判断；C联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理及向量数量积求斜率；D通过交点参数的乘积求线段长度积的最小值. 【详解】抛物线的焦点为，准线为，所以. 对于A，过作准线的垂线，垂足为. 由抛物线定义可知，故 当时，、、三点依次共线，两个等号同时成立，最小值为，A正确. 对于B，取过焦点的直线，则交点为、. 任取准线上一点，则，，所以 当时，均为锐角，满足条件的点有无穷多个，B错误. 对于C，过的竖直线与抛物线无交点，水平线与抛物线只有一个交点. 因此直线的斜率存在且不为零，设其方程为. 联立抛物线方程，整理得 记两交点为、， 由，得， 由韦达定理得，. 又（），所以 因此 由，得，即. 此时方程判别式为，确有两个不同交点，C正确. 对于D，若直线不垂直于轴，设其斜率为，则的方程为. 因直线与抛物线交于两点，故. 令，则. 代入得 记交点、对应的两根为、，则. 又，，所以 若直线垂直于轴，则，与抛物线交于和，此时 因此最小值为，D正确. 10．（26-27高二上·云南玉溪·期中）已知方程为，则（ ） A．若为圆方程，则该圆面积为. B．若，则方程的焦距为． C．若为焦点落在轴的椭圆，则实数的取值范围为． D．若，则方程渐近线方程为. 【答案】ACD 【分析】根据二元二次方程表示圆，椭圆，双曲线的条件，结合圆面积，椭圆焦距，双曲线渐近线方程的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对于A，若方程表示圆，则，解得，此时圆方程为，半径为， 该圆的面积为，故A正确； 对于B，若，原方程为，其表示焦点在轴上的双曲线，， 故，解得，故焦距，故B错误； 对于C，若为焦点落在轴的椭圆，则，即，也即， 则实数的取值范围为，故C正确； 对于D，若，原方程为，其表示焦点在轴上的双曲线，，， 则渐近线方程为，故D正确. 三、填空题 11．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则________． 【答案】 【分析】由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即. 12．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【分析】根据题意，以为直径的圆的方程为和渐近线的方程，联立方程组求得的坐标，由，得到直线的斜率为，利用斜率公式，求得，结合双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线的左右焦点分别为，满足， 且左右顶点为，则双曲线的其中一条渐近线方程为， 以为直径的圆的方程为， 联立方程组，整理得，解得， 代入渐近线方程，可得，即， 因为点与的横坐标相同，所以直线垂直于轴， 又因为，可得直线的倾斜角为，即斜率为， 因为，可得，所以， 所以双曲线的离心率为. 13．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为的右支上的动点，点，则的最小值为________． 【答案】6 【分析】由双曲线定义可知，当三点共线时即可求出. 【详解】 因为点P在双曲线的右支上，所以， 所以，连接， 又，，所以， 当且仅当点在线段上时取“＝”， 故的最小值为6． 14．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M在双曲线左支上，点N为圆上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用双曲线定义将转化为，结合圆的性质放缩，再通过两点之间线段最短求解最小值. 【详解】双曲线中，，，故，， 左焦点，右焦点， 因动点在双曲线左支上，由双曲线定义得， 即， 圆的圆心为，半径， 对圆上任意点，有， 当且仅当共线且在之间时取等号， 由两点之间线段最短，， 当且仅当为线段与双曲线左支的交点时取等号， 代入得，等号可同时成立，故最小值为. 15．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据椭圆定义及基本不等式得出，再根据离心率公式即可求解． 【详解】因为，所以， 又 ， 当且仅当时取等号， 所以， 由椭圆定义知，又， 所以，又， 所以离心率的取值范围为． 16．（2027·湖南衡阳·一模）已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 【答案】 【分析】过点作垂直准线，交准线于点，利用圆的几何性质以及抛物线的定义可得，当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号，且、、三点共线时两个等号成立，求出直线的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，进而可求得的值. 【详解】由题可得显然在抛物线内部，圆的圆心为，半径为， 圆心恰为抛物线的焦点， 过点作垂直准线，交准线于点， 所以， 当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号， 又，当且仅当、、三点共线时取等号， 此时直线的方程为，联立，可得，即点， 所以，，所以. 17．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知是抛物线：上一点，，是圆：上的两点，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】根据当均为圆的切线时，取得该点对应的最大值，可将问题转化为求所有对应的切线夹角的最大值， 设点坐标，计算点到圆心的距离，结合抛物线的性质，求的最小值，进而得到的最大值. 【详解】如图所示，圆的圆心为，半径， 圆上任意两点，当是圆的两条切线时，取得最大值， 则在直角三角形中：， 因为，所以要让最大，只需让取最小值即可， 设抛物线上点坐标为，满足，则： ， 抛物线中，因此当时，取最小值4，即, 代入得：，即， 因此. 18．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则_______． 【答案】 【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以， 所以抛物线的方程为.又点在抛物线上，所以， 由得，，即，则， 由焦半径公式可得. 学科网（北京）股份有限公司 $