2025-2026学年高二数学上学期期末自编模拟试卷（北师大版）

**基本信息** 立足高二数学核心内容，以电动汽车销量、杨辉三角等真实情境与文化素材为载体，通过梯度化试题设计考查抽象能力、推理能力及数据观念，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|计数原理、概率、线性回归|第3题结合销量数据考查回归方程，体现数据观念| |多选题|3/18|向量运算、二项分布、抛物线|第11题综合抛物线焦点弦性质，考查逻辑推理| |填空题|3/15|直线定点、圆上距离、比赛概率|第14题以诗词擂台赛为背景，融合概率应用| |解答题|5/77|直线与圆、排列组合、独立性检验、立体几何、双曲线|第17题通过列联表分析治疗效果，第19题探究双曲线中直线过定点及面积最值，突出综合应用能力|

北师大版2025-2026学年高二数学上学期期末测试试卷答案 一、单选题 1．甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】C 【详解】甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座， 即每人去听一个讲座共有种选择，则三人各选一个讲座种数为． 故选：C． 2．设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，20%，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（    ） A．0.0275 B． C． D． 【答案】D 【详解】设“取到编号为1的工厂的产品”， “取到编号为2的工厂的产品”， “取到编号为3的工厂的产品”， 则. 设“取到产品是次品”，则. 由全概率公式 . 故选：D. 3．近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 8 a 12 b 23 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，则等于（   ） A．28 B．33 C．34 D．35 【答案】B 【详解】依题意，， 又回归直线方程过点，所以， 解得. 故选：B. 4．已知直线，，且，则（    ） A．或1 B． C．6 D．1或 【答案】C 【详解】由知，，解得. 故选：C． 5．如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得：， 又因为分别是四面体的棱的中点， 所以， 又因为， 所以， 故选：A. 6．已知椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，， 又，所以，整理得， 所以， 所以双曲线E的渐近线方程为， 故选：D. 7．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 【答案】A 【详解】在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，A正确； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，D错误. 故选：A 8．如图，正方体的棱长为1，为棱的中点，点在面对角线上运动（点异于点），以下说法错误的是（   ） A．平面 B． C．点到面的距离为 D．二面角的余弦值为 【答案】D 【详解】选项A：连接，交于点O，连接，如图所示， 因为分别为，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，故A正确； 选项B：连接，因为点在面对角线上运动， 所以平面， 连接，因为正方体， 所以，平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，同理可证， 又平面， 所以平面， 又平面，所以，故B正确； 选项C：因为正方体， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为点在面对角线上运动， 所以点P到平面的距离不变，不妨令P为的中点，即， 所以， 所以点到面的距离，故C正确； 选项D：以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 因为平面ABCD， 所以为平面ABCD的法向量，即为平面ABC的法向量， 所以， 由图象得，二面角为钝二面角， 所以二面角的余弦值为，故D错误； 故选：D 二、多选题 9．已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】ACD 【详解】对于A：由模长公式得，，A正确； 对于C：由题意得，因为，则存在实数，使得，即， ，C正确； 对于B：由题知，B错误； 对于D：向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：ACD 10．下列结论正确的是（   ） A．数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 B．随机变量服从二项分布，，则 C．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D．随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为，，，，…，的平均数为，故A选项错误； 对于B选项，，.故B选项正确； 对于C选项，已知各项系数和为，则令，得：，解得：. 由的展开式中第项为，当时，得：，即项的系数为.故C选项正确. 对于D选项，服从正态分布，，所以，故D选项正确. 故选：BCD 11．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，直线经过焦点，则下列结论正确的（   ） A．点的坐标为 B． C．若，则直线的倾斜角为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】A选项，，故，故焦点坐标为，A正确； B选项，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立得，， ， 故，B正确； C选项，由焦半径公式可得， 由于，则，故，即， 又，所以，解得，负值舍去， 则， 又，所以， 解得，故直线的倾斜角为或，C错误； D选项，因为，所以， ， 所以，故， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 又，故此时，满足要求， 综上，的最小值为，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．已知直线：.则直线经过定点 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 13．已知两点分别在圆和圆上，则的最大值为 . 【答案】18 【详解】因为，， 所以， 所以圆与圆外离，    所以最大值为13+3+2=18 故答案为：18 14．某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为 . 【答案】 【分析】由题意分析得每局第一个答题是甲或乙，概率均为，设事件表示一局比拼中甲获胜，甲得分有两种情况：3分或2分，分类求出一局后甲获胜的概率，再由独立事件乘法公式求这场比赛甲获胜的概率. 【详解】由题意，每局第一个答题是甲或乙，概率均为，且每局不可能出现平局， 设事件表示某一局甲获胜，则甲得分有两种情况：3分或2分， 若甲第一个答题， 甲得3分：3题甲都答对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为甲对甲对甲错、甲对甲错乙错、甲错乙错甲对，故其概率为， 若乙第一个答题， 甲得3分：3题对错依次为乙错甲对甲对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为乙对乙错甲对、乙错甲对甲错、乙错甲错乙错，故其概率为， 综上，一局比拼，甲获胜的概率为， 所以甲在这场比赛中获胜的概率为. 故答案为： 四、解答题 15．（13分）直线经过两直线和的交点. (1)（6分）若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)（7分）若直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）联立两直线和的方程，解得，，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 16．（15分）甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)（4分）6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? (2)（5分）6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)（6分）6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 【答案】(1)144 (2)144 (3)90 【详解】（1）将甲、乙、丙组成一个整体，再与其余3人全排列， 共有种排列方案； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）名学生平均分配到三项不同的社区有种方法. 17．（15分）为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)（6分）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； (2)（9分）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)治疗效果与选择甲、乙方案有关联． (2)分布列见解析，1 【详解】（1）零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． （2）根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名， 的取值分别为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 ． 18．（17分）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)（4分）证明：． (2)（6分）求平面和平面所成角的余弦值． (3)（7分）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【详解】（1）证明：在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，. （2）解：以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. （3）解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（2）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 19．（17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. (1)（4分）求的方程； (2)设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①（6分）证明：直线过定点； ②（7分）若都在的左支上，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②9 【详解】（1）由题知，解得， 所以的方程为. （2）如图： ①证明：由（1）知，设的坐标分别为. 当直线的斜率为0时，，则，， 当时，，解得，则中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为0； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则， 由，知 解得或2， 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. ②解：由①知当时，， 由，得， 的面积为 ， 又， 设，则，， 因为在上单调递减，，， 所以. 即， 所以，当时，等号成立， 所以面积的最小值为9. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版2025-2026学年高二数学上学期期末测试试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 2．设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，20%，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（    ） A．0.0275 B． C． D． 3．近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 8 a 12 b 23 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，则等于（   ） A．28 B．33 C．34 D．35 4．已知直线，，且，则（    ） A．或1 B． C．6 D．1或 5．如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　）   A． B． C． D． 6．已知椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 7．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 8．如图，正方体的棱长为1，为棱的中点，点在面对角线上运动（点异于点），以下说法错误的是（   ） A．平面 B． C．点到面的距离为 D．二面角的余弦值为 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．向量在向量上的投影向量为 10．下列结论正确的是（   ） A．数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 B．随机变量服从二项分布，，则 C．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D．随机变量服从正态分布，且，则 11．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，直线经过焦点，则下列结论正确的（   ） A．点的坐标为 B． C．若，则直线的倾斜角为 D．的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12．已知直线：.则直线经过定点 13．已知两点分别在圆和圆上，则的最大值为 . 14．某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（13分）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程. 16．（15分）甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? (2)6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 17．（15分）为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； (2)在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18．（17分）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求平面和平面所成角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. (1)求的方程； (2)设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①证明：直线过定点； ②若都在的左支上，求面积的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $