专题09 导数的概念意义及运算（ 9个高频考点） 期末复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题09 导数的概念意义及运算 （9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】函数的平均变化率 定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 【知识点02】函数在处的导数（瞬时变化率） 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 【知识点03】导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 【知识点04】曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【考点题型一】求平均变化率 【例1-1】（25-26高二下·广东深圳·期中）函数在区间上的平均变化率为（     ） A．3 B．15 C．10 D．30 【例1-2】（26-27高一上·辽宁大连·期中）已知，则在上的平均变化率是__________． 【变式1-1】（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式1-2】（25-26高二下·广东韶关·期中）函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式1-3】（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．4 B．12 C． D． 【考点题型二】求瞬时变化率 【例2-1】（25-26高二下·陕西榆林·期中）假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高二下·上海·期中）物体位移（单位：米）和时间（单位：秒）满足函数关系，则当（秒）时，物体的瞬时速度为__________米/秒. 【变式2-1】（25-26高二下·河北唐山·期中）一物体做变速运动，其位移s随时间t的变化关系为指数复合函数：（其中为自然对数的底，单位：s为米，t为秒），求当秒时，该物体的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·天津武清·期中）一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，则在点处的瞬时变化率为__________． 【考点题型三】导数概念中极限的简单计算 核心方法： 【例3-1】（26-27高三上·江西抚州·阶段检测）已知函数，则 （    ） A． B．8 C． D．4 【例3-2】（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数，则_________________ 【变式3-1】（25-26高二下·北京东城·阶段检测）设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）定义在上的函数，若，则（    ） A．-1 B．1 C．2026 D．-2026 【变式3-3】（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）设函数的导函数为，若，则__________ 【考点题型四】求在某一点处的切线 核心方法： 【例4-1】（26-27高三上·安徽淮南·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（26-27高三上·河北·阶段检测）曲线在点处的切线方程为______． 【变式4-1】（2026·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二下·吉林·期末）函数在处的切线方程为（    ） A． B． C．. D．. 【变式4-3】（25-26高二下·山西太原·期末）曲线在点处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 、 【考点题型五】求过某一点处的切线 核心方法：计算切线斜率 【例5-1】（25-26高二下·广东江门·期中）过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【例5-2】（25-26高二下·四川成都·期中）函数过的切线方程为_______________． 【变式5-1】（25-26高二下·贵州贵阳·期中）已知函数，则过点且与曲线相切的直线的方程为________. 【变式5-2】（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程为______ 【变式5-3】（25-26高二下·山东济南·阶段检测）已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 【考点题型六】已知切线求参数 【例6-1】（2026·四川资阳·一模）已知直线与曲线相切，则实数（     ） A．-2 B．1 C．2 D．4 【例6-2】（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）函数与曲线相切，则______． 【变式6-1】（26-27高三上·重庆·阶段检测）若直线与曲线相切，则实数a的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式6-2】（2026·广西百色·一模）若直线与曲线相切，则________． 【变式6-3】（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）已知直线与曲线相切，则实数的值为____． 【考点题型七】已知某点处的导数值求参数 【例7-1】（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知，若，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例7-2】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数，则___________． 【变式7-1】（24-25高二下·海南·阶段检测）已知函数，若，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式7-2】（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-3】（24-25高二上·河南安阳·期末）已知函数，若，则（    ） A．e B． C．1 D． 【考点题型八】导数的加减乘除，复合运算 【例8-1】（多选）（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例8-2】（多选）（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）下列求导运算正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式8-1】（多选）（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）（25-26高二下·江苏镇江·期中）下列求函数的导数正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（多选）（25-26高二下·安徽合肥·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】已知切线的条数求参数 【例9-1】（25-26高二下·河南南阳·期末）过点与曲线相切的直线恰有3条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（25-26高二上·山东泰安·期末）函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 【变式9-1】（24-25高二下·江苏镇江·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选）（24-25高二下·山东·阶段检测）过点的曲线的切线有2条，则的值可能是 （    ） A． B．-3 C．1 D．3 【变式9-3】（25-26高二下·江苏无锡·期中）过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 一、单选题 1．（2026·浙江金华·一模）过点作曲线的切线，则切点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川泸州·一模）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆渝中·模拟预测）曲线在点处的切线方程为，的导函数为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 4．（26-27高三上·新疆巴州·期中）已知是函数的导函数，且，则等于（） A． B． C． D． 5．（2027·江西·模拟预测）已知直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·河南·阶段检测）已知是定义在R上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·安徽·阶段检测）设函数，曲线在处的切线方程为，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 10．（25-26高二下·全国·单元测试）已知：函数的自变量处的改变量，函数值的改变量为在处的导数值，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（2026·湖北·模拟预测）曲线在处的切线斜率为，则实数的值为________________． 12．（26-27高三上·天津宝坻·阶段检测）已知函数的导数为，且满足，则_________． 四、解答题 13．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知，. (1)当时，判断函数的奇偶性； (2)若函数在处的切线方程为，求的值. 14．（25-26高二下·北京延庆·期末）求满足下列条件的直线的方程． (1)为曲线在点处的切线； (2)的斜率为且与曲线相切； (3)过原点且与曲线相切． 15．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知函数，且，求： (1)的值； (2)曲线在点处的切线方程； 16．（25-26高二下·北京西城·期中）已知函数（），且. (1)求函数的解析式； (2)若曲线的切线与x轴平行，求该切线的方程. 17．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知函数； (1)求曲线在点的切线方程． (2)求曲线过点的切线方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 导数的概念意义及运算 （9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】函数的平均变化率 定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 【知识点02】函数在处的导数（瞬时变化率） 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 【知识点03】导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 【知识点04】曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【考点题型一】求平均变化率 【例1-1】（25-26高二下·广东深圳·期中）函数在区间上的平均变化率为（     ） A．3 B．15 C．10 D．30 【答案】B 【详解】函数在区间上的平均变化率为． 【例1-2】（26-27高一上·辽宁大连·期中）已知，则在上的平均变化率是__________． 【答案】 【详解】 易知，； 代入平均变化率公式可得. 【变式1-1】（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】. 【变式1-2】（25-26高二下·广东韶关·期中）函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【详解】． 【变式1-3】（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．4 B．12 C． D． 【答案】A 【详解】函数在区间上的平均变化率为： . 【考点题型二】求瞬时变化率 【例2-1】（25-26高二下·陕西榆林·期中）假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，. 当时，， 所以当时，“高原版”复兴号动车的加速度为. 【例2-2】（25-26高二下·上海·期中）物体位移（单位：米）和时间（单位：秒）满足函数关系，则当（秒）时，物体的瞬时速度为__________米/秒. 【答案】80 【分析】根据导数的物理意义，位移对时间的导数为瞬时速度，对给定的位移函数求导后代入计算即可. 【详解】由导数的物理意义可知，位移函数对时间的导函数即为瞬时速度函数， 所以，故， 即物体的瞬时速度为80米/秒. 【变式2-1】（25-26高二下·河北唐山·期中）一物体做变速运动，其位移s随时间t的变化关系为指数复合函数：（其中为自然对数的底，单位：s为米，t为秒），求当秒时，该物体的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用瞬时速度是位移函数的导函数这一物理意义，通过复合函数求导法则计算处的导数值即可 【详解】根据导数的物理意义，做变速运动的物体的瞬时速度为位移函数对时间的导数， ，则， 将代入导函数得， 即秒时，物体的瞬时速度为米每秒. 【变式2-2】（25-26高二下·天津武清·期中）一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的含义：在一点处的导数值指的是在这点处的瞬时变化率，故计算瞬时速度利用导数计算即可． 【详解】因为，则在时的瞬时速度为， 故质点A在时的瞬时速度为． 【变式2-3】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，则在点处的瞬时变化率为__________． 【答案】 【详解】函数，求导得， 所以在点处的瞬时变化率为. 【考点题型三】导数概念中极限的简单计算 核心方法： 【例3-1】（26-27高三上·江西抚州·阶段检测）已知函数，则 （    ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【分析】先求导，计算，再结合导数的定义求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以． 【例3-2】（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数，则_________________ 【答案】 【详解】由，得，所以 . 【变式3-1】（25-26高二下·北京东城·阶段检测）设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上可导，所以 . 【变式3-2】（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）定义在上的函数，若，则（    ） A．-1 B．1 C．2026 D．-2026 【答案】C 【详解】 【变式3-3】（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）设函数的导函数为，若，则__________ 【答案】 【详解】根据导数的定义， ， 已知，因此. 【考点题型四】求在某一点处的切线 核心方法： 【例4-1】（26-27高三上·安徽淮南·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入求解，进而得函数表达式，即可求导，根据点斜式求解切线方程. 【详解】，解得，则，，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即。 【例4-2】（26-27高三上·河北·阶段检测）曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】先求出切点坐标，再求出切线的斜率，即得解. 【详解】因为，所以， 当时，，， 所以曲线的切线方程为，解得. 【变式4-1】（2026·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，求出的值，然后求切点坐标与切线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，故切点为， 又切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：即. 【变式4-2】（25-26高二下·吉林·期末）函数在处的切线方程为（    ） A． B． C．. D．. 【答案】B 【详解】，则， 所以函数在处的切线方程为，即. 【变式4-3】（25-26高二下·山西太原·期末）曲线在点处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的解析式可得， 所求切线的斜率为．由于切点坐标为， 故切线方程为，即为． 【考点题型五】求过某一点处的切线 核心方法：计算切线斜率 【例5-1】（25-26高二下·广东江门·期中）过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【答案】D 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或． 【例5-2】（25-26高二下·四川成都·期中）函数过的切线方程为_______________． 【答案】或 【分析】分点是切点和点不是切点两种情况讨论，再分别求出这两种情况时的切线的斜率即可求出对应的切线方程． 【详解】由， 又，则点在函数的图象上， 又， 当是切点时，切线的斜率为， 此时函数的切线为，即； 当不是切点时，设切点为，， 则切线的斜率为， 整理得，解得，或（舍去）， 则切线的斜率， 此时函数的切线为，即． 综上，切线方程为或． 【变式5-1】（25-26高二下·贵州贵阳·期中）已知函数，则过点且与曲线相切的直线的方程为________. 【答案】或 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 整理得， 故有， 整理得， 故或， 当时，直线的方程为，即； 当时，直线的方程为， 即； 即直线的方程为或. 【变式5-2】（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程为______ 【答案】和 【分析】设切点，写出切线方程，将点代入切线方程，即可求出切点，则可得答案. 【详解】设切点， 因为，所以，则， 所以切线方程为：， 将点代入得：， 化简得：即： 解得：或 当时，切线方程为：，化简得：， 当时，切线方程为：，化简得：. 所以过点且与曲线相切的直线方程为和. 【变式5-3】（25-26高二下·山东济南·阶段检测）已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 【答案】和 【分析】设出切点，利用导数的几何意义与直线的点斜式方程可表示出切线方程，再将点代入计算即可得切点坐标，即可得解. 【详解】，设切点为，则切线方程为， 由该直线过点，则，整理得， 即为，解得或， 则切线方程为与， 即为与. 【考点题型六】已知切线求参数 【例6-1】（2026·四川资阳·一模）已知直线与曲线相切，则实数（     ） A．-2 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】设切点为，对，求导， 切线斜率为，所以，得， 即，， 切点既在曲线上，也在切线上：，， 联立：。解得， 又，所以. 【例6-2】（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）函数与曲线相切，则______． 【答案】 【分析】设切点坐标为，求得，根据题意，得到，得到切点坐标，代入曲线方程，即可求解. 【详解】设切点坐标为，由函数，可得，所以 因为函数与曲线相切，可得，则， 可得，所以切点坐标为， 将点代入曲线，可得，解得. 【变式6-1】（26-27高三上·重庆·阶段检测）若直线与曲线相切，则实数a的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由得， 令，得，所以切点坐标为， 代入曲线得，所以. 【变式6-2】（2026·广西百色·一模）若直线与曲线相切，则________． 【答案】 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得， 则，即切点坐标为， 把代入直线可得，解得. 【变式6-3】（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）已知直线与曲线相切，则实数的值为____． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解，求出的导数，设切点为，则，此斜率和直线的斜率相等得到，又切点在直线和曲线上，通过代入求解即可. 【详解】设切点为， 曲线的导数为，则斜率， 又的斜率为，则，即，得； 又切点在曲线上，则， 又切点在直线上，则，解得， 则. 【考点题型七】已知某点处的导数值求参数 【例7-1】（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知，若，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出导函数，代入求解即可. 【详解】已知，求导得， 又，所以，即，解得. 【例7-2】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数，则___________． 【答案】或 【分析】求得导数，代入列式求解即得. 【详解】， ，∴，解得或 故答案为：或. 【变式7-1】（24-25高二下·海南·阶段检测）已知函数，若，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据复合函数求导原则，结合代入法进行求解即可. 【详解】. 故选：D 【变式7-2】（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求导，得到，求出答案. 【详解】，，解得. 故选：B 【变式7-3】（24-25高二上·河南安阳·期末）已知函数，若，则（    ） A．e B． C．1 D． 【答案】A 【分析】求出，再由可得答案. 【详解】， 若，则， 解得. 故选：A. 【考点题型八】导数的加减乘除，复合运算 【例8-1】（多选）（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为是一个具体的值，故，则A选项错误； 对于B选项，故B选项正确； 对于C选项，， ，故C选项正确； 对于D选项，，故D选项正确. 【例8-2】（多选）（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）下列求导运算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D， ，D错误． 【变式8-1】（多选）（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据导数的四则运算和复合函数运算进行判断． 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C错误； D选项，根据复合函数求导法则可得，故D正确． 【变式8-2】（多选）（25-26高二下·江苏镇江·期中）下列求函数的导数正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A：因为是一个常数，所以； 选项B：对数函数的导数公式为， 代入，可得； 选项C：； 选项D：. 【变式8-3】（多选）（25-26高二下·安徽合肥·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算逐项分析即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误， 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 【考点题型九】已知切线的条数求参数 【例9-1】（25-26高二下·河南南阳·期末）过点与曲线相切的直线恰有3条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设及导数的几何意义，将问题化为有3个不同实根，即与有3个交点求参数范围. 【详解】由，则， 设切点为，切线斜率， 切线过点，则，整理得， 问题转化为有3个不同实根， 令，求导得，令，得， 当，，在上单调递增，， 当，，在上单调递减，， 当，，在上单调递增，， 所以极大值，极小值，且时， 所以与有3个交点，即恰有3条切线，此时. 【例9-2】（25-26高二上·山东泰安·期末）函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 【答案】 【分析】设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 故答案为：. 【变式9-1】（24-25高二下·江苏镇江·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义表示出切线方程，结合切线方程过原点且有两解即可求解. 【详解】设切点坐标为，， 所以切线斜率为， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点， 所以， 整理得， 又曲线有2条过原点的切线，所以该方程有2个实数解， 所以，解得或. 故选：. 【变式9-2】（多选）（24-25高二下·山东·阶段检测）过点的曲线的切线有2条，则的值可能是 （    ） A． B．-3 C．1 D．3 【答案】AD 【分析】设切点为，求得，得到切线方程为，根据切线过点，求得，由切线有2条，利用，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】设切点为，由函数，可得， 则切线的斜率，切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 因为切线有2条，所以，解得或， 结合选项知，选项A、D符合题意. 故选：AD. 【变式9-3】（25-26高二下·江苏无锡·期中）过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】 设切点为,切线斜率 切线方程： 过： 化简可得 即 切线有条方程有个不等实根,即 即或即或 故 一、单选题 1．（2026·浙江金华·一模）过点作曲线的切线，则切点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点，得到切线方程，代入得到方程，求出答案 【详解】设切点为，则，故切线斜率为， 过点作曲线的切线方程为， 将代入得，解得， 则切点的横坐标为1. 2．（2026·四川泸州·一模）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为奇函数，所以对任意，都有，即恒成立，故． 此时，，所以，又，因此所求切线方程为． 3．（2026·重庆渝中·模拟预测）曲线在点处的切线方程为，的导函数为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】由切线方程可知，切点坐标为，切线斜率为1， 所以，得. 4．（26-27高三上·新疆巴州·期中）已知是函数的导函数，且，则等于（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知为一个常数，设其为，将代入原函数解析式，对其求导后令，即可建立关于的方程求解. 【详解】设.代入原函数得. 对求导，得. 令，得. 又已知，故，解得，即. 5．（2027·江西·模拟预测）已知直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，先由切线斜率求出切点横坐标，再将切点坐标代入曲线方程求. 【详解】设切点坐标为，因为，所以，解得. 将代入切线方程，得，因此切点坐标为. 将代入曲线方程得，解得 6．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义可得答案. 【详解】函数的导数为， 则曲线在点处的切线的斜率 所以切线方程为，即. 7．（26-27高三上·河南·阶段检测）已知是定义在R上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由导数定义，令， 则，解得． 8．（26-27高三上·安徽·阶段检测）设函数，曲线在处的切线方程为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】，， 切线方程为，当时，， 即①， ，， 将代入得到， 切线斜率，故， 将代入 ①，得到，解得，解得，即 则. 二、多选题 9．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】AD 【分析】设切点为，求导，由得，再根据,求出即可求解. 【详解】设切点为，求导，由得， ， 所以或．当时，，得； 当时，，得，所以或． 10．（25-26高二下·全国·单元测试）已知：函数的自变量处的改变量，函数值的改变量为在处的导数值，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算即可判断. 【详解】根据导数的定义可知，A正确； 若令，当，则， 则，B正确； 根据导数的定义，C错误； 根据导数的定义可知，D正确． 故选：ABD. 三、填空题 11．（2026·湖北·模拟预测）曲线在处的切线斜率为，则实数的值为________________． 【答案】 【分析】先对函数求导，利用曲线在某点处的切线斜率等于该点的导数值，代入已知条件求解参数. 【详解】由，得， 由曲线在处的切线斜率为，得， 即 ，解得. 12．（26-27高三上·天津宝坻·阶段检测）已知函数的导数为，且满足，则_________． 【答案】 【分析】根据导数的运算法则求导，再将代入即可求出. 【详解】， 则，所以. 故答案为：. 四、解答题 13．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知，. (1)当时，判断函数的奇偶性； (2)若函数在处的切线方程为，求的值. 【答案】(1)是非奇非偶函数 (2) 【分析】（1）根据与的关系，判断函数的奇偶性； （2）导数的几何意义为切点处的导数等于切线的斜率，因此根据切线方程，可求参数m. 【详解】（1）当时，，， 因为且，所以是非奇非偶函数； （2）， ，则① ，将代入切线方程可得：②， 联立①②解得：，. 14．（25-26高二下·北京延庆·期末）求满足下列条件的直线的方程． (1)为曲线在点处的切线； (2)的斜率为且与曲线相切； (3)过原点且与曲线相切． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以． 又因为，所以所求切线方程为，即． （2）设切点为，因为，所以切线的斜率为． 所以． 因为，所以切点为． 所以切线方程为，即的方程为． （3）设切点为，因为，所以切线的斜率为． 又因为，所以直线的方程为， 将原点代入上式并整理，可得，解得， 因此切点为，切线方程为，即的方程为． 15．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知函数，且，求： (1)的值； (2)曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用列方程求得. （2）根据导数的几何意义结合已知条件可求得切线方程. 【详解】（1）. ，解得：. （2）由（1）知，所以， 曲线在点处的斜率为， 所以切线方程，即，即. 16．（25-26高二下·北京西城·期中）已知函数（），且. (1)求函数的解析式； (2)若曲线的切线与x轴平行，求该切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求导，再结合可得，进而求解即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，即， 则. （2）由，得， 设切点为，则，解得或， 则切点为或，切线斜率为0， 所以该切线的方程为或. 17．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知函数； (1)求曲线在点的切线方程． (2)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1). (2)或. 【详解】（1）由题可得，切点为点，所以所求切线斜率为， 所以所求切线方程为，即. （2）设切点为，则所求切线斜率为， 当时，所求切线切点为，斜率为4， 则所求切线方程为，即. 当时，所求切线切点为，斜率为， 则所求切线方程为，即. 综上，曲线过点的切线方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $