第01讲 导数基础知识与切线类问题（7大重难点题型）期末讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第01讲 导数基础知识与切线类问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一、基本概念 3 知识点二、基本初等函数的导数公式 3 知识点三、导数的运算法则（和、差、积、商） 4 知识点四、复合函数的导数 4 知识点五、导数的几何意义 4 03 重难点题型 5 题型一：导数概念与基础运算 5 题型二：函数在定点处的切线求解 6 题型三：函数过定点的切线求解 8 题型四：切线条件下的参数求解 9 题型五：曲线公切线问题 12 题型六：切线条数判定问题 15 题型七：切线平移法求解距离最值 18 04 过关检测 21 知识点一、基本概念 1、导数的概念 设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数在处的导数，记作或即 2、导数的几何意义 函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中为切线的倾斜角，如图所示，过点的切线方程为 3、导数的物理意义：设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度．若令，则可以认为，即就是时刻的瞬时速度． 知识点二、基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式如表 ，为正整数 为有理数 注： 知识点三、导数的运算法则（和、差、积、商） 设均可导，则 （1）（2） （3）（4） 注： 知识点四、复合函数的导数 复合函数的导数与函数的导数之间具有关系，该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”，也就是先把当作一个整体，把对求导，再把对求导，这两者的乘积就是复合函数对的导数，即． 知识点五、导数的几何意义 函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为． 题型一：导数概念与基础运算 例1．（25-26高二下·河南驻马店·期中）已知函数的部分图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的图像可知，在上单调递增且增长得越来越慢，如图： 根据导数的几何意义可知，， 即． 例2．（25-26高二下·广东韶关·期中）函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【解析】． 例3．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，又因为，所以， 即，解得，故C正确. 变式1．（25-26高二下·河北唐山·期中）设函数的图象在点处的切线方程为，则（     ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以， 所以. 变式2．（25-26高二下·广东广州·期中）在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则，所以， 故该运动员在时的瞬时速度为. 题型二：函数在定点处的切线求解 例4．（25-26高二下·河南郑州·期中）曲线在点处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】的导函数为，， 将代入导函数，得， 即曲线在处的切线斜率为2. 例5．（25-26高二下·天津蓟州·期中）如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得，解得， 故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为． 例6．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，则 因为是奇函数，满足， 所以 当时，即切点为 对求导得，切线斜率 由点斜式得切线方程，整理得. 变式3．（25-26高二下·陕西榆林·期中）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以曲线在点处的切线方程斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即得； 变式4．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 题型三：函数过定点的切线求解 例7．（25-26高二上·福建厦门·期末）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设切点坐标为，则， 对函数求导得，切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得，解得，故切点坐标为. 故选：A. 例8．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 例9．（24-25高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设切点为，因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又该切线经过点，所以， 整理得，解得或， 所以切线方程为或. 故选：C 变式5．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 变式6．（24-25高二下·广东深圳·期中）将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：是过原点的切线， 设切点坐标为， 由，则，所以切线方程为， 则，解得，则，所以. 故选：C 题型四：切线条件下的参数求解 例10．（25-26高二下·河北唐山·期中）若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】/ 【解析】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为， 则①， 曲线求导得，则②，解得， 代入①得，，故， ， 当时，取得最小值，最小值为． 例11．（25-26高二下·吉林长春·期中）设函数在点处的切线恰与曲线相切，则实数的值为_____． 【答案】 【解析】对于曲线，， 所以，， 所以曲线在点处的切线为，即， 因为与曲线相切， 所以得，即， 所以，解得 所以实数的值为 例12．（25-26高二下·四川成都·期中）若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________． 【答案】 【解析】对曲线函数求导得，对曲线函数求导得， 设切点，， 因为直线与曲线相切于点P，所以. 因为直线与曲线相切于点Q，所以. 所以，得到， 化简得，解得，所以. 变式7．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知曲线的一条切线方程为，则实数__________. 【答案】 【解析】， 设切点为，因为切线，所以 ， 解得，（舍去），代入曲线得， 所以切点为，代入切线方程解得. 变式8．（25-26高二下·云南德宏·期中）若函数在处的切线斜率为 ，则 ______. 【答案】3 【解析】由题可知，，解得. 变式9．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________． 【答案】 【解析】由，得，，故曲线在处的切线方程为； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线重合，则，解得． 题型五：曲线公切线问题 例13．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为__________. 【答案】 【解析】设曲线上的切点为，因为， 所以直线为，即. 设曲线上的切点为， 因为，所以直线为，即， 所以，解得， 所以， 所以在轴上的截距为. 例14．（25-26高二下·四川成都·期中）如果存在两条不同的直线与曲线和都相切，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】设直线与曲线和分别相切于点， 和的导数分别为，， 切线方程为：， ， ，，， ，则， ，即， 存在两条不同的直线与两曲线都相切，方程有两个不等实根， ， 设，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减；， 又当时，；当时，， 可得图象如下图所示， 则当，即时，与有两个不同交点， 即方程有两个不等实根， 实数的取值范围为. 例15．（25-26高二下·陕西渭南·期中）已知直线是曲线与的公切线，则______． 【答案】1 【解析】对曲线求导得：，对曲线求导得：， 设直线与曲线相切于点， 则过点的切线方程为：，即：； 设直线与曲线相切于点， 则过点的切线方程为： ， 即： 因为是公切线，所以 化简得：，即：，所以. 变式10．（25-26高二下·湖北·期中）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】设切点分别为， ，即， ，即， ，则， 设， 在单调递减，在单调递增， ， 又为正实数， . 变式11．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】因为求导得由求导得， 设与相切的切点为，与曲线相切的切点为， 则有公共切线的斜率（*）， 又因为，，代入（*），得， 即，则， 又因为，所以， 因为存在两条公切线，该方程在上有两解， 令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以函数在处取极大值，也是最大值，， 当时，,当时，， 因为存在两条公切线，即与有两个交点，则， 所以实数的取值范围为. 题型六：切线条数判定问题 例16．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【解析】设过原点作函数的切线的切点为， 而，则， 因此切线方程为， 由切线过原点，得， 则或，当时，切线方程为； 由，得或， 当时，切线方程为； 当时，切线方程为， 所以过原点可作函数图象的切线条数为3. 例17．（25-26高二下·重庆·阶段检测）若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】对函数求导得，设切点坐标为 ， 则切线方程为 .因为切线经过原点， 将 代入得 ，即 . 而，那么，化简得， 由于曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线， 所以判别式，解得或. 例18．（25-26高二下·山东济宁·期中）若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入点可得，即， 令，原题意等价于与有3个交点， 因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则的极小值为，极大值为， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 可得，所以t的取值范围是. 变式12．（26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为， 因切线经过点，则得，化简得，显然，则得， 又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点. 的定义域为，函数求导得， 则当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，，当时，，当时，，当时，. 作出函数的图象如下： 由图知，过作函数的切线恰好能作两条等价于或，解得或. 故选：D. 变式13．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点不在函数的图象上，得，则， 设过点的直线与的图象相切于点，， 切线方程为，则， 整理得，令，依题意，函数只有一个零点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 要使仅有一个零点，当且仅当， 解得或，所以实数的取值范围为 故选：C 题型七：切线平移法求解距离最值 例19．（25-26高二下·四川成都·期中）点为曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】当过点的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 求导可得，设， 则，解得，代入可得， 点到直线的距离为， 所以点到直线距离的最小值为. 例20．（25-26高二下·江苏扬州·期中）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，即，解得，代入曲线方程求得， 故切点为，斜率为1的切线方程为， 两平行直线和的距离为， 所以的最小值为. 例21．（25-26高二上·江苏南京·期末）函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，令，即， 令，，恒成立， 故函数在上单调递增，且，故函数仅有一个零点， 令，，即切点横坐标为， 代入，切点坐标为，切线方程为：， 切线与直线之间的距离. 故选：C 变式14．（24-25高二下·广东深圳·期末）若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 【答案】B 【解析】由，求导得，其中直线的斜率为2， 令，解得： 当时，则，故到直线的距离最小， 由点到直线的距离公式得最小值为，解得或， 且时，曲线与直线有交点，距离最小值为0，舍去． 故选：B. 变式15．（24-25高二上·江苏南京·期末）实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，又， 所以，的最小值转化为 上的点与上的点的距离的平方的最小值， 由，得， 与平行的直线的斜率为， 由，解得或（舍），可得切点为， 切点到直线的距离的平方，即为的最小值， 所以，的最小值为． 故选：D. 变式16．（24-25高二下·河南·期中）若函数，点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的定义域为，求导可得， 所以在R上单调递增，又在R上单调递增， 故随增大，增长速度逐渐变快， 令，可得，又， 易知曲线上斜率为2的切线，对应切点坐标为． 所以切线方程为，即为，显然与直线平行， 点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 1．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】设公切线与的切点为， 因为，所以， 因为，所以， 则，得. 2．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【答案】D 【解析】设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①. 分别对两函数求导可得及， 由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等， 即，即，解得或. 将代入①可得；将代入①可得，解得， 所以的值为0或1. 3．（25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】， ， 又函数在处的切线方程为， ，解得，则， ， 将点代入切线方程得，即， ． 4．（25-26高二下·天津静海·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，又在点处的切线与直线垂直， ，解得． 5．（25-26高二下·重庆·期中）函数在处的切线与轴平行，则实数（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】函数的定义域为，. 由题意知，，即，解得. 6．（25-26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以，且， 根据图象得． 7．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 设切线斜率为，则， 又因为切线与直线垂直， 所以，即，解得. 8．（25-26高二下·广东佛山·期中）某函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可知，函数单调递增，所以图象上每个点的导数都大于0，又函数在某点的导数的几何意义等于该点切线的斜率，从图象可得该函数切线的斜率是随着自变量的增大而逐渐增大的，因此函数的切线斜率是递增的，. 9．（多选题）（25-26高二下·河北唐山·期中）已知，下列说法不正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递增区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 【答案】BD 【解析】由，得， 对于A，， 所以在处的切线方程为，故A正确； 对于B，令，则，所以的单调递增区间为，故B错误； 对于C，令，则，所以函数的单调递减区间为， 所以的极大值为，故C正确； 对于D，方程的解的个数， 即为函数图象交点的个数， 当时，，当时，且， 如图，作出函数的大致图象， 由图可知，方程仅有一个解，故D错误. 10．（多选题）（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有3条 【答案】ACD 【解析】A：令，或， 因为方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根，显然不是该一元二次方程的实数根， 因此有3个零点，所以本选项说法正确； B：因为 所以的图象关于点对称，因此本选项说法不正确； C：， 令，解得，或，所以函数在区间，上单调递增； 令，解得，所以函数在区间上单调递减， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以本选项说法正确； D：设函数的切点为， 所以过该切点的切线斜率为， 切线方程为，把代入，得 ，化简，得 ， 解得，或，所以经过点且与的图象相切的直线有3条，因此本选项说法正确. 11．（多选题）（25-26高二下·广东江门·期中）已知函数，则（     ） A．曲线在处的切线方程为 B．在上单调递增 C．对任意的，有 D．对任意的，，则 【答案】BCD 【解析】A.由题意可知：，，则， 则曲线在处的切线方程为.故A错误； B.由题可知，时有恒成立，所以在上单调递增，故B正确； C.令，则 ， 则在上单调递增， 则 ，则 ， 所以，故C正确； D.易知. 令，则， 令， 则， 则在上单调递增，则， 则，则在上单调递增， 令，则， 令，则 ， 则在上单调递增﹐则 ，则， 则在上单调递增，则，故D正确. 12．（25-26高二下·上海·期中）函数，则 ______. 【答案】 【解析】因为，所以， 根据导数的定义可知. 13．（25-26高二下·吉林长春·期中）在曲线上的点处的切线方程为__________________ 【答案】 【解析】，所以，即切线斜率为2， 所以曲线上的点处的切线方程为，整理得. 14．（25-26高二下·广东江门·期中）曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 【答案】 【解析】已知，则， 设切点坐标为，则切线斜率为， 此时切线方程为， 因为曲线的一条切线经过点， 所以，即， 因为恒成立，所以，此时切线斜率，切点坐标为， 则该切线方程为，即. 15．（25-26高二下·新疆喀什·期中）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________. 【答案】0或1 【解析】令，， 则，可得，， 则在点处的切线方程为， 令，则， 由题意可知方程有且仅有一个解， 若，则有且仅有一个解，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：或1. 16．（25-26高二下·吉林长春·期中）设函数，其中．已知在处取得极值． (1)求的解析式； (2)求在点处的切线方程． 【解析】（1）. 因为在处取得极值， 所以，即， 整理得，解得，经检验满足题意. 所以． （2）因为，所以点在上. 由（1）知，，则， 所以切线方程为，即. 17．（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知抛物线与直线． (1)求两曲线的交点； (2)求抛物线在交点处的切线方程． 【解析】（1）联立抛物线与直线方程： ， 消去得：，整理为一元二次方程： ， 因式分解得，解得 ， 将代入得对应 ， 因此两曲线交点为和； （2）对求导，得： ， 在交点处： 切线斜率 ， 由点斜式得切线方程： ，整理得； 在交点处： 切线斜率， 由点斜式得切线方程： ，整理得 . 综上：在处切线方程；在处切线方程. 18．（25-26高二下·河南南阳·期中）（1）求函数的导函数； （2）求曲线在点处的切线方程． 【解析】（1）设，根据求导的乘法法则，可得，∴ （2）设，根据导数公式表及导数的四则运算法则，可得 ∴，∴切线方程为即． 19．（25-26高二下·江西上饶·期中）已知曲线． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 【解析】（1）已知曲线，先求导：, 验证点在曲线上：，点在曲线上． 求该点的切线斜率：, 由点斜式得：, 整理得切线方程：. （2）设切点为，即， 切点处的斜率：, 所以切线方程为， 切线过原点，即， 整理得，解得或． 当时，切点为，斜率，切线方程为： 当时，切点为，斜率， 切线方程为： 因此，过原点的切线方程为和． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 导数基础知识与切线类问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一、基本概念 3 知识点二、基本初等函数的导数公式 3 知识点三、导数的运算法则（和、差、积、商） 4 知识点四、复合函数的导数 4 知识点五、导数的几何意义 4 03 重难点题型 5 题型一：导数概念与基础运算 5 题型二：函数在定点处的切线求解 5 题型三：函数过定点的切线求解 6 题型四：切线条件下的参数求解 6 题型五：曲线公切线问题 7 题型六：切线条数判定问题 7 题型七：切线平移法求解距离最值 8 04 过关检测 10 知识点一、基本概念 1、导数的概念 设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数在处的导数，记作或即 2、导数的几何意义 函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中为切线的倾斜角，如图所示，过点的切线方程为 3、导数的物理意义：设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度．若令，则可以认为，即就是时刻的瞬时速度． 知识点二、基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式如表 ，为正整数 为有理数 注： 知识点三、导数的运算法则（和、差、积、商） 设均可导，则 （1）（2） （3）（4） 注： 知识点四、复合函数的导数 复合函数的导数与函数的导数之间具有关系，该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”，也就是先把当作一个整体，把对求导，再把对求导，这两者的乘积就是复合函数对的导数，即． 知识点五、导数的几何意义 函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为． 题型一：导数概念与基础运算 例1．（25-26高二下·河南驻马店·期中）已知函数的部分图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·广东韶关·期中）函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 例3．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高二下·河北唐山·期中）设函数的图象在点处的切线方程为，则（     ） A．1 B．2 C． D．4 变式2．（25-26高二下·广东广州·期中）在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 题型二：函数在定点处的切线求解 例4．（25-26高二下·河南郑州·期中）曲线在点处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例5．（25-26高二下·天津蓟州·期中）如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 例6．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·陕西榆林·期中）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型三：函数过定点的切线求解 例7．（25-26高二上·福建厦门·期末）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 例8．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例9．（24-25高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 变式5．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 变式6．（24-25高二下·广东深圳·期中）将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（ ） A． B． C． D． 题型四：切线条件下的参数求解 例10．（25-26高二下·河北唐山·期中）若直线与曲线相切，则的最小值为________． 例11．（25-26高二下·吉林长春·期中）设函数在点处的切线恰与曲线相切，则实数的值为_____． 例12．（25-26高二下·四川成都·期中）若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________． 变式7．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知曲线的一条切线方程为，则实数__________. 变式8．（25-26高二下·云南德宏·期中）若函数在处的切线斜率为 ，则 ______. 变式9．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________． 题型五：曲线公切线问题 例13．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为__________. 例14．（25-26高二下·四川成都·期中）如果存在两条不同的直线与曲线和都相切，则实数的取值范围为______. 例15．（25-26高二下·陕西渭南·期中）已知直线是曲线与的公切线，则______． 变式10．（25-26高二下·湖北·期中）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________. 变式11．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是__________． 题型六：切线条数判定问题 例16．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 例17．（25-26高二下·重庆·阶段检测）若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 例18．（25-26高二下·山东济宁·期中）若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式12．（26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式13．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七：切线平移法求解距离最值 例19．（25-26高二下·四川成都·期中）点为曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 例20．（25-26高二下·江苏扬州·期中）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例21．（25-26高二上·江苏南京·期末）函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式14．（24-25高二下·广东深圳·期末）若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 变式15．（24-25高二上·江苏南京·期末）实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式16．（24-25高二下·河南·期中）若函数，点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 2．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 3．（25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 4．（25-26高二下·天津静海·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·重庆·期中）函数在处的切线与轴平行，则实数（     ） A． B． C．0 D．1 6．（25-26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·广东佛山·期中）某函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高二下·河北唐山·期中）已知，下列说法不正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递增区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 10．（多选题）（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有3条 11．（多选题）（25-26高二下·广东江门·期中）已知函数，则（     ） A．曲线在处的切线方程为 B．在上单调递增 C．对任意的，有 D．对任意的，，则 12．（25-26高二下·上海·期中）函数，则 ______. 13．（25-26高二下·吉林长春·期中）在曲线上的点处的切线方程为__________________ 14．（25-26高二下·广东江门·期中）曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 15．（25-26高二下·新疆喀什·期中）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________. 16．（25-26高二下·吉林长春·期中）设函数，其中．已知在处取得极值． (1)求的解析式； (2)求在点处的切线方程． 17．（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知抛物线与直线． (1)求两曲线的交点； (2)求抛物线在交点处的切线方程． 18．（25-26高二下·河南南阳·期中）（1）求函数的导函数； （2）求曲线在点处的切线方程． 19．（25-26高二下·江西上饶·期中）已知曲线． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $