第03讲 导数大题经典题型汇总整理（8大重难点题型）期末讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第03讲 导数大题经典题型汇总整理 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一、利用导数研究函数恒成立问题 3 知识点二、利用导数研究函数零点问题 3 03 重难点题型 5 题型一：导数实际应用题型 5 题型二：不等式证明问题 6 题型三：恒成立类问题求解 7 题型四：存在性问题分析 8 题型五：多元变量综合问题 9 题型六：函数零点探究 10 题型七：新定义综合题型 11 题型八：极值点偏移问题 13 04 过关检测 15 知识点一、利用导数研究函数恒成立问题 1、分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． 2、直接讨论法 直接讨论法是指但成立问题中的函数结构并不是很复杂，可以通过直接求导得到极值点，再对极值点直接讨论，从而求得参数的取值情况．其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法；若无法求得极值时，常可利用零点存在性定理，确定零点的范围后再进行讨论，研究函数的单调性等． 3、放缩法 在解决导数问题时，如果出现了指数与对数、三角与对数、三角与指数，或其它超越函数的组合时，则会因函数结构的复杂使问题的解决变得困难．如果我们利用熟悉的不等式过渡，利用不等式进行放缩，将原函数的复杂结构转化为较为简单的结构，则可提高解题速度，使解题效率大幅度地提高．其主要的放缩手段有以下三种： （1）利用函数的有界性直接放缩； （2）对一阶导数进行放缩； （3）对二阶导数放缩． 知识点二、利用导数研究函数零点问题 1、利用导数确定函数零点的常用方法 （1）图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）． （2）利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 2、利用函数的零点求参数范围的方法 （1）分离参数（）后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图象的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解； （2）利用函数零点存在定理构建不等式求解； （3）转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 题型一：导数实际应用题型 例1．（25-26高二下·江苏镇江·期中）某种圆柱形饮料罐的容积固定为125π mL，底面半径为r cm，上、下底面用料成本均为0.4分，侧面用料成本为0.1分，忽略饮料罐的厚度，每毫升饮料可获利1分. (1)请用含r的式子表示每罐饮料的实际利润分； (2)当饮料罐的底面半径多大时，每罐饮料的实际利润最大？并求出最大实际利润. 注：每罐饮料的实际利润=每罐饮料获利-饮料罐用料总成本. 例2．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克. (1)求函数的解析式； (2)若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润. 例3．（25-26高二下·重庆万州·期中）已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车速应限制在0～120km/h， 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：. (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 变式1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形后，做成一个无盖的方形盒子，盒子的容积为. (1)建立关于的函数，并求的最大值； (2)在实际生产中，为控制包装成本，设无盖盒子的容积为，要使得无盖盒子的表面积最小，求截去的小正方形的边长的取值（用仅含的式子表示）. 题型二：不等式证明问题 例4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数，其中a为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，求证：当时，. 例5．（25-26高二上·湖南怀化·期末）设函数，其中． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，记为，且，求证：． (3)求证：． 例6．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数，，记的零点为. (1)求； (2)求数列中的最小项； (3)证明： 变式2．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数 (1)求的单调区间； (2)证明：当时，恒成立． 题型三：恒成立类问题求解 例7．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数. (1)证明：； (2)若对任意的，，都有恒成立，求的取值范围. 例8．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数. (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 例9．（25-26高二下·天津东丽·期中）已知函， (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：恒成立； (3)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 变式3．（25-26高二下·北京西城·期中）已知函数. (1)当时，求的极值点； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 题型四：存在性问题分析 例10．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，，其中． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； (3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 例11．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知函数，实数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. 例12．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若关于x的不等式在有解，求a的取值范围． 变式4．（25-26高二下·山东日照·期中）已知函数的一个极值点是. (1)当时，求的单调区间； (2)设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 题型五：多元变量综合问题 例13．（25-26高二下·湖北·期中）已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 例14．（25-26高二下·广东江门·期中）已知函数，为的导函数.若的两个极值点分别为和，且. (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 例15．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (3)若在上存在两个极值点，求的取值范围. 变式5．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 题型六：函数零点探究 例16．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围． 例17．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数，在处切线的斜率为. (1)求的值； (2)求的极小值； (3)讨论方程的实数解的个数. 例18．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若函数的图象上总存在两点关于对称，求的取值范围． 变式6．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，函数有两个零点，求的取值范围． 题型七：新定义综合题型 例19．（25-26高二下·四川成都·期中）（1）证明：当时，； （2）在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足，，…，，其中 为函数的阶导数．对于给定的正整数，，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为． 例如，（为常数）． （i）求的值并证明当时，； （ii）若数列满足，，记，求证：． 例20．（25-26高二下·江苏无锡·期中）函数的定义域为D，若对任意正实数，在定义域内存在实数，使得成立，则称具有“性质”．已知函数． (1)当， ①求曲线在处的切线方程； ②判断函数是否具有“性质”，并说明原因； (2)当时，设，且满足，求证：． 例21．（25-26高二下·安徽·期中）已知的横坐标是互为倒数的两点，且作函数图象的切线，过点的切线分别为. (1)若，点，，从点观察点，若观察的视线不被曲线挡住，求实数的取值范围. (2)若恰好为函数图象上相异的两点，且切线存在交点，则称这个交点为函数的“优点”. （i）若函数不存在“优点”，求实数的值； （ii）求函数的“优点”的横坐标的取值范围. 变式7．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 题型八：极值点偏移问题 例22．（25-26高二下·天津静海·期中）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 例23．（25-26高二下·全国·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)记函数，若，存在两个相异的正实数满足，求证：． 例24．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对所有成立，求a的最小值； (3)设,若有两个零点,求证：． 变式8．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 1．（25-26高二下·福建福州·期中）如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元（是常数，且），半球形部分每平方米的建造费用为万元. (1)容器的总建造费用为万元，请把表示为r的函数； (2)求该容器的总建造费用最少时的r值. （参考公式：，） 2．（25-26高二下·江苏苏州·期中）现有一块半径为的圆形铁皮，开展如下设计与优化问题： (1)若从该圆形铁皮中剪出一个内接等腰三角形（三角形的三个顶点均在圆周上），试问：当等腰三角形的顶角取何值时，该三角形的面积取得最大值？ (2)若从该圆形铁皮中剪出一个圆心角为的扇形（扇形的顶点与圆心重合，弧长对应圆周上的一段弧），并将该扇形制作成一个无盖的圆锥形容器（扇形的两条半径作为圆锥的母线，弧长作为圆锥底面的周长），试问：当扇形的圆心角取何值时，该圆锥形容器的容积取得最大值？ 3．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)证明：当时，． 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知 (1)设函数，讨论函数的单调性； (2)当，时，证明：． 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，为的导函数 (1)求的单调增区间； (2)记，.当时，证明：. 6．（25-26高二下·甘肃金昌·期中）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围. 7．（25-26高二下·河北保定·期中）已知函数． (1)若函数为的导函数，判断在上的零点个数； (2)证明：当时，； (3)设，若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 8．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若存在，，使得，求a的最大值． 9．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在使得成立，求的取值范围； 10．（25-26高二下·吉林长春·期中）给定函数， (1)判断函数的单调性，并求出的极值. (2)若方程有且只有2个不相等的实根，求参数a的取值范围. 11．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值； (2)若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围. 12．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数 (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数在区间的最大值和最小值； (3)若曲线与直线有3个不同的交点，求实数的取值范围． 13．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (3)若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 14．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 15．（25-26高二下·广东深圳·期中）用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数. (1)证明：若，则为函数； (2)若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论. (3)若有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明. 16．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知，，是自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：. 17．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求在内的极值； (3)设，若有2个零点，，且，求证：. 18．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数 (1)令对恒成立，求的最大值. (2)若有两个零点，求的范围，并证明： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 导数大题经典题型汇总整理 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一、利用导数研究函数恒成立问题 3 知识点二、利用导数研究函数零点问题 3 03 重难点题型 5 题型一：导数实际应用题型 5 题型二：不等式证明问题 8 题型三：恒成立类问题求解 12 题型四：存在性问题分析 15 题型五：多元变量综合问题 20 题型六：函数零点探究 25 题型七：新定义综合题型 30 题型八：极值点偏移问题 37 04 过关检测 44 知识点一、利用导数研究函数恒成立问题 1、分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． 2、直接讨论法 直接讨论法是指但成立问题中的函数结构并不是很复杂，可以通过直接求导得到极值点，再对极值点直接讨论，从而求得参数的取值情况．其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法；若无法求得极值时，常可利用零点存在性定理，确定零点的范围后再进行讨论，研究函数的单调性等． 3、放缩法 在解决导数问题时，如果出现了指数与对数、三角与对数、三角与指数，或其它超越函数的组合时，则会因函数结构的复杂使问题的解决变得困难．如果我们利用熟悉的不等式过渡，利用不等式进行放缩，将原函数的复杂结构转化为较为简单的结构，则可提高解题速度，使解题效率大幅度地提高．其主要的放缩手段有以下三种： （1）利用函数的有界性直接放缩； （2）对一阶导数进行放缩； （3）对二阶导数放缩． 知识点二、利用导数研究函数零点问题 1、利用导数确定函数零点的常用方法 （1）图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）． （2）利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 2、利用函数的零点求参数范围的方法 （1）分离参数（）后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图象的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解； （2）利用函数零点存在定理构建不等式求解； （3）转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 题型一：导数实际应用题型 例1．（25-26高二下·江苏镇江·期中）某种圆柱形饮料罐的容积固定为125π mL，底面半径为r cm，上、下底面用料成本均为0.4分，侧面用料成本为0.1分，忽略饮料罐的厚度，每毫升饮料可获利1分. (1)请用含r的式子表示每罐饮料的实际利润分； (2)当饮料罐的底面半径多大时，每罐饮料的实际利润最大？并求出最大实际利润. 注：每罐饮料的实际利润=每罐饮料获利-饮料罐用料总成本. 【解析】（1）因为圆柱形饮料罐的容积固定为， 所以，则， 则每罐饮料的获利为容积乘以每毫升利润分， 上下底面面积总共为，因为上、下底面用料成本均为0.4分，所以上下底面成本为分， 侧面面积为，成本0.1分，则侧面成本为分， 因此，总成本， 利润，则. （2）令，则， 令，解得，即， ，可得，因为，所以时，单调递增，时，单调递减， 故是极大值点，则代入，可得 ， 所以分，即当饮料罐的底面半径时，每罐饮料的实际利润最大，最大实际利润为分. 例2．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克. (1)求函数的解析式； (2)若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润. 【解析】（1）由题意可知，当时，，即， 解得，所以. （2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则 ， ， 令，得（舍去）或， 所以当时，在为增函数； 当时，在为减函数， 故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点， 此时元. 所以当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元. 例3．（25-26高二下·重庆万州·期中）已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车速应限制在0～120km/h， 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：. (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【解析】（1）将代入，得， 所以从甲地到乙地要耗油升. （2）设从甲地到乙地耗油为，则， 化简得， 而， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则当时，取得最小值，此时， 即当汽车速度为千米每小时时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升. 变式1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形后，做成一个无盖的方形盒子，盒子的容积为. (1)建立关于的函数，并求的最大值； (2)在实际生产中，为控制包装成本，设无盖盒子的容积为，要使得无盖盒子的表面积最小，求截去的小正方形的边长的取值（用仅含的式子表示）. 【解析】（1）∵底边长为，高为， . ， ， 令，即，解得（舍去. 当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 可得. （2）盒子的表面积， 由，得，即， 代入表面积公式得，则. 令，得，即，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，表面积最小. 题型二：不等式证明问题 例4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数，其中a为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，求证：当时，. 【解析】（1）当时，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）因为， 若，当趋近于时，趋近于，不合题意，所以， 因为， 且，则，，则， 可知在内单调递减，则， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. （3）令， 则， 因为，，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 因为，则，可得， 即，所以当时，. 例5．（25-26高二上·湖南怀化·期末）设函数，其中． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，记为，且，求证：． (3)求证：． 【解析】（1）法一：因为，， 所以，． ①当时，，函数在上单调递增， 且当时，．所以此时不可能恒成立． ②当时，由，得． 且当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减． 从而函数． 要使恒成立，则，解得． 综合上述：a的取值范围为． 法二：由题意对于恒成立，所以 令，，则． 由得,且当时，单调递增， 当时，单调递减． 所以的最大值为． 所以．即a的取值范围为． （2）因为，， 所以．又因为有两个极值点， 所以，且． 欲证，即证． 因为，所以上式等价于证明  ① 由，，得，则  ② 由①、②可知原问题等价于求证， 即证． 令，上式等价于求证． 令， 则， 所以在上单调递增．所以，即． 故原不等式成立，即． （3）， 则，函数在上单调递增， 所以，即有，令，则， 由（2）问证明过程可知，其中． 所以，． 综上所述， 例6．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数，，记的零点为. (1)求； (2)求数列中的最小项； (3)证明： 【解析】（1）当时，，定义域为， 在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以有唯一零点1， 即； （2）由的零点为， 得， 两式相减得：， 即， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以由，得到， 所以，所以数列是递增数列， 所以数列中的最小项是； （3）令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，即， 因为，所以, 所以， 所以， 所以， 所以. 变式2．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数 (1)求的单调区间； (2)证明：当时，恒成立． 【解析】（1）函数定义域为，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）当时，， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 因函数在上递增，则函数在上递增， 故，函数在上递增， 则，函数在上单调递增， 则， 所以当时，恒成立. 题型三：恒成立类问题求解 例7．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数. (1)证明：； (2)若对任意的，，都有恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， （2）因为， 所以， 令， 所以对任意的，，都有恒成立等价于在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以恒成立， 又当时，的最大值为， 所以. 例8．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数. (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即； （2）， 所以当时，，当时，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 又， 所以在上的最大值为， 对任意，恒成立等价于， 即，解得或，所以的取值范围为. 例9．（25-26高二下·天津东丽·期中）已知函， (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：恒成立； (3)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】（1）的定义域为. . 其中，则，故只需讨论的符号. 当时，，则，在上单调递增. 当时，令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，. . 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在处取得最小值，， 因此，即，所以. （3）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值，为. 若使恒成立，只需恒成立，即恒成立即可. 又，即恒成立. 令，则， 故在上单调递减，且， 所以. 故实数的取值范围为. 变式3．（25-26高二下·北京西城·期中）已知函数. (1)当时，求的极值点； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 【解析】（1）由题意得， 当时，令，得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则函数的极小值点为，极大值点为0. （2）由，得到， 因为，所以，则， 令，则， 当时，，即在区间上单调递增， 当时，，即在区间上单调递减，所以， 得到，所以，故的取值范围为． 题型四：存在性问题分析 例10．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，，其中． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； (3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由函数，可得其定义域为，且， 因为是函数的极值点，可得，即， 可得，解得，所以实数的值为. （2）由函数，可得其定义域为， 且， 令，即，所以， 因为，解得或， 当时，即时，， 在上单调递增，无极值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 综上可得，当即时，无极值点； 当时，是极大值点，是极小值点； 当时，是极大值点，是极小值点. （3）由，可得， 整理得，即， 令，则问题转化为，， 又由，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在或处取得最小值， 计算， 因为，所以， 因为存在，使得，所以， 所以实数的取值范围为 例11．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知函数，实数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为， 当时，，， 由可得，由得， 所以函数的减区间为，增区间为. （2）由，得， 令，则， 因为，所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 所以，存在，不等式成立， 则， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以实数的取值范围为. 例12．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若关于x的不等式在有解，求a的取值范围． 【解析】（1）由题意可知：函数的定义域为，且， 当时，则，可知在单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 可知在单调递增，在单调递减； 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. （2）由（1）可知：当时，在单调递增，在单调递减， 则， 若关于x的不等式在有解，则0，解得， 所以实数a的取值范围为. 变式4．（25-26高二下·山东日照·期中）已知函数的一个极值点是. (1)当时，求的单调区间； (2)设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）（）， ， 因为函数的一个极值点是， ，即，则有， 则（）， 当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； 综上：当时，函数在上单调递增，在和上单调递减． （2）由（1）知，，且， 在单调递增，在单调递减， 又，， 在上的最大值为，最小值为， 又时函数在单调递增， 在上的最大值为，最小值为， 因为存在，，使得成立， 即存在，，使得成立， 则， 又，解得， 所以实数的取值范围为． 题型五：多元变量综合问题 例13．（25-26高二下·湖北·期中）已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）由题意得的定义域为，， 当时，，则在区间内单调递增； 当时，由，得，（舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①依题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点， 可得方程在有两个不同根， 得到函数与函数的图象在上有两个不同交点， 又，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， 如图，的图象如下： 可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需． ②由①可知分别为方程的两个根，即，， 所以原式等价于． 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即， 所以原式等价于． 因为，原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立． 令，则． 当时，可见时，，所以在上单调递增， 又，在恒成立，符合题意； 当时，可见当时，；当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减． 又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 例14．（25-26高二下·广东江门·期中）已知函数，为的导函数.若的两个极值点分别为和，且. (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 【解析】（1），且定义域． 因为有两个极值点，所以是方程的两个正根， 即有两个正根. 令，则， 令，解得. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，为， 当时，， 又当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 所以时，的图象与直线有两个不同的交点，所以. （2）由（1）可知，且时，，又，所以. 令，则，在上单调递增，又， 所以时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，则， 又因为，所以， 所以，即. 例15．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (3)若在上存在两个极值点，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，定义域为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）的定义域是， 函数在定义域上单调递增，则对恒成立， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以时，恒成立，即在上单调递增. （3）在上有两个极值点， 则，即在上有两个不等实数根， 解得，且， 此时，， 令，则， 所以在上单调递减， 又由，由可知，即。 联立解得，所以。 且 所以的取值范围是. 变式5．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 【解析】（1），因为，若，即. 由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续， 故不仅是函数的最小值，同时也是极小值， 所以，解得. 检验：当时，，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 所以的最小值为，即成立， 综上，. （2）①当时，令， ， 令，解得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为； 当时，无解，当时，一解，都不符合题意； 当时，，， 因为，在上单调递减，所以在上唯一解； 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，即，所以， 所以 ，又， 因为，在上单调递增； 所以在上有唯一解； 综上所述，方程有两个不同的根时，； ②由题可知：，即且， 构造函数：， 则， 所以在上单调递减，故，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 因为在上单调递增，，， 所以，得 要证， 即证， 即，即， 即证， 因为，故只须证明：， 因为成立. 所以原不等式成立. 题型六：函数零点探究 例16．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围． 【解析】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当时，，可知在上单调递减； 当时，由得；由得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）当时，在上单调递减，则其最多有一个零点，不合题意，舍去，则； 由（1）可知当时在单调递减，在单调递增. 当时，，当时，. 若有两个零点，只需， 设，，因为在上单调递增， 则在上单调递增，且，则当时，， 当时，. 综上所述，当时，有两个零点. 例17．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数，在处切线的斜率为. (1)求的值； (2)求的极小值； (3)讨论方程的实数解的个数. 【解析】（1）， 因为在处切线的斜率为， 所以，则. （2）， 令，解得或， 当变化时，，变化情况如下： 1 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 故的极小值为. （3）由（2）知，在上单调递增，上单调递减，上单调递增. 当时，；当时，， 图象如下图所示，数形结合可得： 当或时，方程有1个实数解； 当或时，方程有2个实数解 当时，方程有3个实数解. 例18．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若函数的图象上总存在两点关于对称，求的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 令，， （ⅰ）当，即时，，即恒成立，在上单调递减； （ⅱ）当时，由，，， 得方程在有两解，且， 当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递减，在上单调递增； 综上可知当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. （2）与函数图象关于对称的图象对应函数为， 若函数的图象上总存在两点关于对称，根据对称性可知只需函数与函数在上有交点即可， 亦即方程在上有解，则函数在上有零点， 而， 令，当时，，令， 依题意，函数在上有零点，求导得， 函数在上单调递减，若在上有零点，而当从大于0的方向趋近于0时，， 则有，解得，此时在上存在唯一零点， 在上也存在唯一零点，从而在上存在唯一零点， 所以实数的取值范围是. 变式6．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，函数有两个零点，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，， 所以， 则曲线在点处的切线方程为，即． （2）的定义域为，． 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （3）由题意得，． 因为，所以关于的方程恰有一个正根和一个负根， 因为的定义域为，所以设关于的方程的正根为， 则，得，解得． 当时，单调递减； 当时，单调递增． 因为有两个零点，所以. 因为，所以，即． 设函数，则． 当时，单调递增； 当时，单调递减． 因为，所以由，得． 当时，， 因为，所以在上有唯一零点1， 因为， 所以，所以在上有唯一零点， 此时有两个零点，符合题意． 当时，， 因为，所以在上有唯一零点1， 设函数， 则单调递增，，且， 所以. 由函数在上单调递增， 得 所以，所以在上有唯一零点， 此时有两个零点，符合题意． 故的取值范围为． 题型七：新定义综合题型 例19．（25-26高二下·四川成都·期中）（1）证明：当时，； （2）在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足，，…，，其中 为函数的阶导数．对于给定的正整数，，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为． 例如，（为常数）． （i）求的值并证明当时，； （ii）若数列满足，，记，求证：． 【解析】（1）令，，则恒成立， 故在上单调递增，则， 即有在上恒成立； 令，，则恒成立， 故在上单调递增，则， 即有在上恒成立； 综上可得：当时，； （2）（i）根据帕德近似的定义，令，， 有，，， 令，可得，即有； 令，， 则， 令，， 则 ， 故在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 则当时，，即； （ii）当时，可令，，则， 当时，，且， 则，由在上单调递增，故， 即有，则，， ，，， 又， 故 ； 由（i）知，，则， 故，则， 故，即，则，，， 即， 即，又，故， 故， 故 ； 综上可得. 例20．（25-26高二下·江苏无锡·期中）函数的定义域为D，若对任意正实数，在定义域内存在实数，使得成立，则称具有“性质”．已知函数． (1)当， ①求曲线在处的切线方程； ②判断函数是否具有“性质”，并说明原因； (2)当时，设，且满足，求证：． 【解析】（1）①当时，， 则， ，， 所以切线方程为，即. ②函数具有“性质T”. 理由如下：假设函数具有“性质T”，则对任意正实数t，在定义域内存在实数， 使得成立，由，则， 所以，即， 化简得. 令，则， 由，得；，得； 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时取得极大值，也是最大值，即， 当时，；当时，， 所以存在，使得，所以函数具有“性质T”. （2）由，由， 当时，，即在为增函数； 当时，，即在为减函数. 可知， 若，则， 不符合题意；所以. 若，则； 若，，又因为在为减函数， 所以，所以； 综上所述， 又因为，由，所以， 即，即， 设， 所以， 方法一：设，所以， 因为在为单调递增， 当时，，，， 所以存在，使得，即， 又因为，，即在为减函数； 又因为，，即在为增函数； 所以， 又因为，则有， 又因为，， 所以，即在为增函数， 又因为，所以，即. 方法二： 设，因为在单调递增， 又因为所以 所以，即在为增函数， 又因为，所以，即. 例21．（25-26高二下·安徽·期中）已知的横坐标是互为倒数的两点，且作函数图象的切线，过点的切线分别为. (1)若，点，，从点观察点，若观察的视线不被曲线挡住，求实数的取值范围. (2)若恰好为函数图象上相异的两点，且切线存在交点，则称这个交点为函数的“优点”. （i）若函数不存在“优点”，求实数的值； （ii）求函数的“优点”的横坐标的取值范围. 【解析】（1）由，求导得. 设过点的曲线切线切点为， 切线斜率，切线方程为。 将代入切线方程，， 整理得，解得或. 因为点在右侧，所以取斜率为正的切线，即，， 对应切线方程为. 由题可知从点观察点视线不被曲线挡住，等价于点在切线下方. 将代入，得故， 即实数的取值范围是. （2）（i）因为函数不存在“优点”，则切线无交点. 所以对恒成立， 不妨取，则， 此时，， 所以恒成立，即，解得， 经验证符合题意. （ii）设，（且）， 在两点处的切线方程分别为，， 即，， 联立可得，解得， 因为，当时，；当时，， 所以， 即函数的“优点”的横坐标取值范围为. 变式7．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 【解析】（1）因为是上的下凸函数， 所以在 上恒成立， 即在 上恒成立， 所以在 上恒成立， 又因为在 上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）令， 则， 所以在上是下凸函数， 又因为， 所以， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； （3）因为正实数满足， 所以， 令， 则， 因为，所以 所以， 即 所以在上是下凸函数， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 题型八：极值点偏移问题 例22．（25-26高二下·天津静海·期中）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 【解析】（1）当时，，则 ， ，切线方程为 ，即. （2）（ⅰ）当时，若函数有个不同的零点，， ∴恰有个正实根，，即方程恰有个正实根，， 令，则与有两个不同交点， ∴， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又， 当从的右侧无限趋近于时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证， ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立， 令， ∴， ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 例23．（25-26高二下·全国·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)记函数，若，存在两个相异的正实数满足，求证：． 【解析】（1）当时，． 所以切线的方程是即． （2）可得． 令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 不妨设，令， 则， 所以函数在上单调递增，从而， 即时，恒成立． 而，从而，又， ，函数在上单调递减． ，得． 令，则，当时单调递增； 当时单调递减，所以，即， 由不等式得， 成立，所以． 例24．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对所有成立，求a的最小值； (3)设,若有两个零点,求证：． 【解析】（1）函数的定义域为，， 当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得, ，即在上单调递增. ，即在上单调递减. 综上， 当时,在上单调递增， 当时,在上单调递减，在上单调递增. （2）由，得对所有成立， 令，则， 令， 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值，. 因为恒成立， 所以,即的最小值为1. （3）. ，且， 令，得， 由有两个零点，且有唯一的正根，此时， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增. 所以是的极小值点，且，两个零点满足. 因为，解得， 又因为，，且是的极小值点， 所以，将代入得到， 若，则，与矛盾， 所以，即，可以得到. 所以位于的递增区间内. ， 将代入得，， 因为，所以， 又与都在的递增区间内， 所以有，即. 变式8．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 【解析】（1）由函数，得. 所以. 因为恒成立，且在上单调递增. 因为，所以在上有唯一零点. 所以的零点为0. 所以，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 若，且，则. . 令，则. 所以是增函数，所以. 由（1）知，所以，所以，即. 因为在上单调递增，所以，即. （ii）设，则 令，则. 令，则. 所以在上单调递增，即在上单调递增. 所以，所以在上单调递增. 所以. 所以，当时，恒成立，即. 即. 两边同乘以，得. 因为，所以， 所以， 即. 因为，所以，所以，即. 所以，. 因此，得证. 1．（25-26高二下·福建福州·期中）如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元（是常数，且），半球形部分每平方米的建造费用为万元. (1)容器的总建造费用为万元，请把表示为r的函数； (2)求该容器的总建造费用最少时的r值. （参考公式：，） 【解析】（1）由题设，则，且， 所以，且； （2）由（1）得 ， 且，令 当即时，在上恒成立，即在上单调递减，此时时取； 当即时，当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增，此时时有； 综上，当时，，该容器的总建造费用最少； 当时，，该容器的总建造费用最少. 2．（25-26高二下·江苏苏州·期中）现有一块半径为的圆形铁皮，开展如下设计与优化问题： (1)若从该圆形铁皮中剪出一个内接等腰三角形（三角形的三个顶点均在圆周上），试问：当等腰三角形的顶角取何值时，该三角形的面积取得最大值？ (2)若从该圆形铁皮中剪出一个圆心角为的扇形（扇形的顶点与圆心重合，弧长对应圆周上的一段弧），并将该扇形制作成一个无盖的圆锥形容器（扇形的两条半径作为圆锥的母线，弧长作为圆锥底面的周长），试问：当扇形的圆心角取何值时，该圆锥形容器的容积取得最大值？ 【解析】（1）设等腰三角形的顶角为，底边为，高为，则，， 所以，所以. 则三角形面积， . 令，即，解得或. 因为，所以，所以，此时. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取得最大值. 故当等腰三角形的顶角时，该三角形的面积取得最大值. （2）设圆锥形容器的底面半径为，高为，则，即， 所以. 所以圆锥形容器的容积为. 设， 则. 令，即，则，解得或（舍去）， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，该圆锥形容器的容积取得最大值. 故当扇形的圆心角时，该圆锥形容器的容积取得最大值. 3．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)证明：当时，． 【解析】（1）函数的定义域为， 所以， ，， 曲线在点处的切线方程为 ， 把代入，得； （2）当时，要证成立，即证成立， 记， 则，． 记，， 和在上均单调递减， 在上单调递减， 又，， 存在，使得，即， ，， 当时，，即，在上单调递增， 当时，，即，在上单调递减， ， ，故成立，原命题得证． 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知 (1)设函数，讨论函数的单调性； (2)当，时，证明：． 【解析】（1）由题可得：，其中. . 当时，令，， 则此时在上单调递减，在上单调递增； 当时，，则此时在上单调递增. 综上可得：时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增. （2）当时，，又，则， 则要证：， 即证 .令， 则，令. 则；， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而，即，从而命题得证. 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，为的导函数 (1)求的单调增区间； (2)记，.当时，证明：. 【解析】（1）. 令，得， 得， 因此单调递增区间为. （2），记. 由题意知，则，     从而. 当时，，，则，     因此，在区间上单调递减，. 当时， . 6．（25-26高二下·甘肃金昌·期中）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，，故， 由，得切线方程为，即； （2）原条件等价于对恒成立， 令，，则， ，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 计算得，，又， 所以，故的取值范围为. 7．（25-26高二下·河北保定·期中）已知函数． (1)若函数为的导函数，判断在上的零点个数； (2)证明：当时，； (3)设，若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题设，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，故在上的零点个数为0； （2）令且，则， 令，则，且在上单调递增， 结合（1）知时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以， 所以使， 综上，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以， 所以时，，得证； （3）由题设，在，上，， 由（1）知，在上，则在上单调递增，故最大值为， 由，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 综上，，即. 8．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若存在，，使得，求a的最大值． 【解析】（1）当时，，则， 故， 故在点处的切线方程为. （2）由题得，． 若，则在上恒成立，所以在上单调递减； 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）得，若存在，使得， 则必有，由得． 所以等价于， 即，化简得：． 设，， 则， 所以在上单调递减，所以， 此时，． 所以当，时等号成立，所以a的最大值为． 9．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在使得成立，求的取值范围； 【解析】（1）当时，， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）因为， 所以， 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，令得或， ①当时，，，所以在单调递增， ②当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ③当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （3）当时，， 若，则，即，不符合题意； 当时，在单调递减， ，则，解得， 又，所以； 当时，所以在单调递增，，不符合题意； 当时，， ①当时，在单调递增，在单调递减， 由题意得， 即，恒不成立，故无解， ②当时，在单调递减， ，则，解得：，不满足题意； 当时，在单调递增，，不符合题意； 所以的取值范围是. 10．（25-26高二下·吉林长春·期中）给定函数， (1)判断函数的单调性，并求出的极值. (2)若方程有且只有2个不相等的实根，求参数a的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，无极大值. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， ，当时，，且当时，，， 当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点，方程有2个不相等的实根， 所以参数a的取值范围是. 11．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值； (2)若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为函数的定义域为，且， 由题意可得：，解得， 则，， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数在处取得极小值，即符合题意， 综上所述：. （2）对于方程，即为，可得， 令，原题意等价于与有且仅有1个交点， 因为， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数的极大值为，极小值为， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 由图可知：或，所以实数的取值范围为. 12．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数 (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数在区间的最大值和最小值； (3)若曲线与直线有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【解析】（1），求导可得， 当时，，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即． （2）， 令，解得或， 当在区间上变化时，的变化情况如表所示： 0 2 3 -12 0 24 5 单调递减 单调递增 所以当时，在区间上取得最大值， 当时，在区间上取得最小值． （3）由（2）可知，当时，，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在处取得极大值， 在处取得极小值， 因为当时，，当时，， 所以若曲线与直线有3个不同的交点，则需介于极大值和极小值之间， 因此的取值范围为. 13．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (3)若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 【解析】（1）当时，函数的定义域为， ， 所以， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此，函数的极大值为，极小值为． （2）的定义域为， 则题意等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 由基本不等式知，时，， 当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为； （3）由已知， 因为有两个极值点， 所以为方程的两个不相等的实数根， 则，， 因为，所以， 又，解得， 所以 ， 设， 则， 所以在上单调递减， 又，， 所以， 即的取值范围为. 14．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题的定义域为，在恒成立，且的解不连续， 则， 所以的取值范围是； （2）当时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， 又由可得， 而， 令， 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数取值范围. 15．（25-26高二下·广东深圳·期中）用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数. (1)证明：若，则为函数； (2)若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论. (3)若有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明. 【解析】（1）由可得， 因，而， 即成立， 故为函数； （2）是函数.证明如下： 因.要证明，即证. 不妨设，只需证， 令，则需证. 考虑函数， ， 则函数为上的增函数， 当时，，即 ∴函数是函数； （3）法1， （i）有两个不同的零点等价于 方程有两个不同的解. 又.令，则. 因为函数是上的增函数， 所以有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点. ，当时，；当时，. 则在上单调递减，在上单调递增.故. 当时，时，. 故若直线与函数的图象有两个不同交点， 则. 又因为，是上的增函数， 故得，故实数的取值范围为. （ii）由题意，则. 由（2）知， 故且两式相乘得： ，故得证. 法2 （i）函数的定义域为. 对求导得. 令，即，解得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 由上述单调性可知，在处取得极小值，也是最小值为. 当时，，当时，. 因为函数有两个零点，故只需，解得. 故的取值范围是. （ii）不妨设，要证，即证. 因为在上单调递减，所以只需证. 又因为，所以只需证， 即证，令， 对求导，得 令，， 对求导得， 所以在上单调递增. ，故. 故在上单调递增，. 即，所以，所以， 即. 16．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知，，是自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：. 【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）方程，即，当时，方程不成立，则； 令，依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有两个交点， 求导得，当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 而当时，，当时，，且当时，取得极小值， 作出函数，的大致图象，如图， 观察图象，当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为； （3）当时，，求导得， 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增； 由，且，得， 令函数，， 求导得， 则函数在上单调递增，有，于是， 而，因此，即， 又，， 函数在上单调递增，所以， 所以. 17．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求在内的极值； (3)设，若有2个零点，，且，求证：. 【解析】（1）当时，，则， 因为，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）当时，，有， 由可得，即， 当时，，，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 有极大值，无最小值. （3），则. 若，则，单调递增，不可能有两个零点. 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以为的极小值点， 要使有2个零点，则需，即. 因为的2个零点为，，，所以. 要证，只需证， 因为，在上单调递增， 所以只需证， 因为，所以只需证， 即只需证，， 令，， 则， 设，则， 则在上单调递减， 又因为， 所以当时，，所以在上单调递增， 又因为， 所以当时，，即在上单调递减， 又因为，所以， 即，， 所以原命题得证. 18．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数 (1)令对恒成立，求的最大值. (2)若有两个零点，求的范围，并证明： 【解析】（1）由可得， 故由可得对恒成立， 故对恒成立， 由于得，故对恒成立， 进一步可得对恒成立， 记，，则， 当在单调递增，当在单调递减， 故， ，故， 因此，即，故的最大值为1， （2）由于， 由于， 当时，则，此时，在定义域内单调递减，此时不满足有两个零点， 当时，令，则此时在单调递减，，则此时在单调递增， 且当， 要使有两个零点，则，则 记，由于均为内的单调递增函数，因此函数在单调递增，由于， 因此时，， 故， 记函数，则 ， 由于，，所以， 因此函数在单调递增， 故， 进而可得，即可 由于，则， 由于，所以，又，在单调递减， 故， 即 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $