专题03 直线的方程及其位置关系（ 16个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题03 直线的方程及其位置关系 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【知识点02】两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 【知识点03】两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 【知识点04】直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 【知识点05】直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 斜截式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 【知识点06】直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 截距式方程形式 适用条件 ， 【知识点07】直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 【知识点08】两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 【知识点09】两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 【知识点10】点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 【知识点11】两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（） ：（）间的距离. 【知识点12】对称问题 点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ②整理得： 【考点题型一】斜率与倾斜角变换关系 【例1-1】（26-27高二上·广东东莞·期中）设直线倾斜角为，斜率为，若，则直线倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】由直线倾斜角为，斜率为，且，可得， 因为，可得或， 所以直线倾斜角的取值范围是 【例1-2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】先讨论的情况，写出直线方程即可得倾斜角，再讨论的情况，将直线方程化为斜截式，根据斜率和倾斜角的关系用表示出，根据的范围即可求得的范围，两种情况的的范围取并集即可. 【详解】直线的方程为， 当()时，， 直线的方程为，此时直线的倾斜角为. 当()时，， 直线的方程可化为， 若倾斜角为，则斜率， 因为，所以， 所以， 又因为倾斜角， 所以， 综上所述，. 【变式1-1】（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）若直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的对应关系，结合正切函数的单调性分区间求解斜率范围. 【详解】 ① 当时，在该区间单调递增，因此，即； ② 当时，在该区间单调递增，因此，即， 综上，直线的斜率的取值范围是. 【变式1-2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是______ 【答案】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系，排除倾斜角为的情形，再利用正切函数的单调性求解取值范围． 【详解】当时，正切函数在该区间上单调递增，故． 当时，正切函数在该区间上单调递增，故． 当时，直线的斜率不存在． 综上，的取值范围为． 【变式1-3】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是______． 【答案】 【详解】设直线l的倾斜角为，由题意，则，因为，所以解得. 【考点题型二】直线与线段有公共点，求斜率取值范围 核心方法：图象法 【例2-1】（26-27高二上·甘肃兰州·期中）已知点，，过点的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用斜率公式计算直线、的斜率，结合直线绕点旋转，与线段相交时斜率在两个边界外侧即可求得. 【详解】， ， 直线与线段有交点，则斜率范围为：或，即. 【例2-2】（26-27高二上·江西上饶·阶段检测）已知直线及点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线方程变形求出定点，并计算出该点与线段端点连线的临界斜率和，结合图形分析，即可建立关于参数的不等式并求解. 【详解】，即，则直线经过定点， 作出图形如下：则，， 若直线与线段相交，则其斜率的范围为， 而，所以的取值范围为. 【变式2-1】（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据过两点的直线的斜率公式，结合图象求解即可. 【详解】，.    若直线与线段相交，结合图象可知，. 故直线的斜率的取值范围是. 【变式2-2】（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）设点， ，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，直线为轴与线段不相交，不符合题意，舍去； 当时，直线的斜率为， 直线的斜率为， 若直线与线段相交，则斜率满足或， 即实数的取值范围是. 【变式2-3】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知点，，若直线：与线段有交点，则直线斜率的取值范围_________________． 【答案】 【分析】先求出直线的定点，再结合图象利用斜率公式计算求解即可. 【详解】由直线：， 变形可得，由，解得， 可得直线恒过定点，则，， 若直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为. 【考点题型三】利用斜率的几何意义求代数值（范围） 核心方法：图象+转化 【例3-1】（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）若实数x，y满足，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据条件，求出x的范围，设，则与图象有交点，作出图象，分析即可得答案. 【详解】由题意，解得， 设，则与图象有交点， 当时，，当时，， 作出的图象，如图所示    由图象可得. 故答案为： 【例3-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将看成是平面直角坐标系中点与点连线的斜率，然后根据的范围求出斜率的范围，进而得出结果. 【详解】表示平面直角坐标系中点与点连线的斜率， 其中点在直线的的部分上，点在线段上， 取点，点的坐标为时，直线的斜率为， 当时，直线的斜率小于0且趋近于0， 所以的取值范围是． 故答案为：. 【变式3-1】（25-26高二上·河北雄安·期中）已知点是曲线上的动点，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由题意可知曲线表示的是一个半圆，可表示为点与点两点间的直线的斜率，数形结合求得的取值范围. 【详解】曲线可化为， 可知曲线表示为以为圆心，1为半径在直线上方的半圆， 又由， 可得表示点与点两点间的直线的斜率， 当直线与曲线相切时，设直线的方程为， 有，解得（舍去）或， 设曲线与直线的一个交点为， 因为点和点两点间的直线的斜率为， 所以，由图形可知的取值范围为， 可得的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-2】（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）函数的最大值为______，最小值为______． 【答案】 / 0 【分析】方法一，利用辅助角公式：（为辅助角）；方法二，利用几何意义求解. 【详解】 方法一：可化为，即， 即，解得． 方法二：的几何意义是过和两点的直线的斜率，而在单位圆上， 因此表示过点与圆上一点的直线的斜率，如图所示，要求的最值在直线和圆相切时取得． 显然直线的斜率存在，令直线方程为，即， 则原点到直线的距离为，即，解得或， 故函数的最大值为，最小值为0． 故答案为：①；②0. 【变式3-3】（2025高二上·河南安阳·专题练习）已知实数满足，则的最大值为______． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 【考点题型四】求直线方程 【例4-1】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为______. 【答案】 或 【分析】分直线过原点、不过原点两种情况讨论，结合截距之和为零的条件，代入点的坐标求解直线方程. 【详解】①当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距均为，满足截距之和为零. 此时直线斜率，直线方程为，即. ②当直线不经过原点时，设直线在轴上的截距为（），由截距之和为零，得轴上的截距为. 由截距式得直线方程为，整理得. 将点代入方程，得，解得，代入整理得直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 【例4-2】（26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，求下列直线的方程（最终化简成一般式）： (1)边所在直线的方程； (2)边上中线所在直线的方程； (3)边的垂直平分线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）直线过，两点， 由两点式得直线的方程为，即. （2）由，，得中点的坐标为. 边上中线过，两点， 由截距式得直线的方程为，即. （3）由，，得； 边的垂直平分线的斜率. 直线过边上的中点， 由斜截式得边的垂直平分线的方程为，即. 【变式4-1】（25-26高二上·甘肃武威·期末）过点且斜率为的直线一般式方程为______． 【答案】 【分析】由题意写出直线的点斜式方程，化简即可得解． 【详解】由直线的点斜式方程，可得，整理得. 故答案为：. 【变式4-2】（26-27高二上·山西朔州·阶段检测）已知在平行四边形中，． (1)求直线的方程； (2)求的边上的高所在直线的方程； 【答案】(1) . (2) . 【详解】（1）平行四边形中，则， 直线过点，则其方程为，即. （2）因的斜率，则边上的高所在直线的斜率为， 又因的边上的高经过，则其方程为，即. 【变式4-3】（26-27高二上·天津北辰·阶段检测）已知的顶点坐标分别是． (1)求BC边上的中线所在直线的方程； (2)求过点C且与直线AB平行的直线方程； (3)求AB边高所在直线方程. 【答案】(1) . (2) . (3) . 【详解】（1）由中点坐标公式得BC边中点,即， BC边上的中线过与，故斜率为，所以直线方程为，整理得. （2）直线AB的斜率为， 过与AB平行的直线的斜率等于直线的斜率， 由点斜式得，整理得. （3）边的高过点且与垂直，故高所在直线斜率为， 由点斜式得边上的高所在直线方程为，整理得. 【考点题型五】两条直线平行与垂直关系的判定 核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1 【例5-1】（多选）（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据直线平行的条件、直线垂直的条件逐项判断即可. 【详解】对于A，因为直线，的系数不为0，所以不垂直于轴，A错误； 对于B，当时，，与轴垂直，B正确； 对于C，当时，. 因为直线的斜率均为且不重合，所以两直线平行，C正确； 对于D，因为，所以，解得或. 当时，由C选项知两直线是平行的； 当时，，斜率均为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故时或，D错误； 故选：BC. 【例5-2】（多选）（25-26高二上·云南昆明·期中）已知直线，则（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线与之间的距离为 【答案】CD 【分析】根据直线过定点、两直线垂直和平行的条件以及两平行直线的距离公式进行判断计算即可. 【详解】对于A：变形为， 令得，因此直线过定点，故A错误； 对于B：当时，，， 因为，所以两直线不垂直，故B错误； 对于C：当时，， 因为，所以两直线平行，故C正确； 对于D：当时，则满足，得， 此时，， 则两直线间的距离为，故D正确. 故选：CD. 【变式5-1】（多选）（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 【答案】AB 【分析】应用直线平行和垂直的判定列方程求参数值，结合各项判断正误即可. 【详解】由，得，解得或， 当或时，与都不重合，则A正确，C、D错误. 由，则，得，则B正确. 故选：AB 【变式5-2】（多选）（25-26高二上·福建漳州·期末）已知直线：与：，则（   ） A．当时， B．当时，与重合 C．当时， D．当时，与间的距离为 【答案】BC 【分析】根据直线的一般式方程和的相关性质.若两直线平行，则且；若两直线垂直，则；若两直线重合，则且.对于两平行直线间的距离公式为.我们将根据这些概念来逐一判断选项. 【详解】对于A，当时，对于直线即，直线即.根据两直线平行的判定条件，，所以与不平行，A选项错误. 对于B，当时，直线，直线. 因为且，所以与重合，B选项正确. 对于C，当时，直线，直线. 根据两直线垂直的判定条件， 成立，所以与垂直，C选项正确. 对于D，当时，由，对于直线和，有，即，解得. 当时两直线重合， 当时，即，. 根据两平行直线间的距离公式，则，D选项错误. 故选：BC. 【变式5-3】（多选）（25-26高二上·浙江温州·期末）设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【分析】举出反例判断A；联立，结合是否为0，讨论方程组解的情况，判断直线的位置关系，判断，讨论是否为0，结合可判断两直线是否垂直，判断D. 【详解】对于A，时，若,,且时， 两直线：，：重合，A错误； 对于B，联立 ，可得, 当时，，此时方程组有唯一一组解， 故直线与相交，B正确； 对于C，时，若，则无解， 此时； 若，则有无数多组解， 此时重合，故C错误； 对于D，若，则由可得， 即两直线斜率之积等于，故； 若,则可得，此时满足， 直线：，：， 此时， 故当时，，D正确， 故选： 【考点题型六】根据两条直线平行与垂直关系求参数 核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1 【例6-1】（26-27高二上·天津北辰·阶段检测）设两直线与．若，则____，若_________． 【答案】 / 【分析】用两直线平行、垂直的等价条件列方程求解，平行时需排除两直线重合的情况. 【详解】对于一般式直线和，平行的充要条件为且或， 所以，，整理得，解得或； 当时，，，两直线重合，不符合题意舍去； 当时两直线不重合，满足平行条件，故； 两直线垂直的充要条件为， 所以，，整理得，解得. 所以，若，则；若，则. 【例6-2】（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）若直线与平行，则______． 【答案】或 【分析】由直线平行的条件求解参数，再将参数代入直线验证即可. 【详解】根据两直线平行，得，解出或. 当时，直线，，此时与平行； 当时，直线，，此时与平行. 【变式6-1】（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）已知直线：和直线：垂直，则________． 【答案】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件，结合直线一般式的系数关系列方程求解的值. 【详解】对于直线的一般式与， 两直线垂直的充要条件为. 由题意，与垂直， 所以 ， 解得. 【变式6-2】（26-27高二上·天津红桥·阶段检测）直线和互相垂直，则__________. 【答案】 或/或 【分析】根据两直线一般式垂直的充要条件列关于的方程，求解后验证解的合理性即可。 【详解】直线和互相垂直，得 ，整理得，即，解得或， 当时，即，为垂直于轴的直线；即，为垂直于轴的直线；故两直线垂直，符合条件； 当时，，斜率；即，斜率；满足，两直线垂直，符合条件； 故的取值为或. 【变式6-3】（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线与垂直，则实数的值为__________. 【答案】 【详解】由与垂直，得，解得. 【考点题型七】求平行，垂直的直线方程 核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1 【例7-1】（25-26高二上·天津·期中）过点，且平行于直线的直线方程为______. 【答案】 【分析】由平行得直线斜率，再由点斜式得直线方程并整理为一般式即可. 【详解】由直线可得直线斜率为， 由于所求直线经过点，且与直线平行， 可得直线方程为，整理得. 故答案为： 【例7-2】（26-27高二上·广东东莞·期中）过点且垂直于直线的直线方程为________． 【答案】 【详解】垂直于直线的直线方程设为， 将代入可得，解得， 故过点且垂直于直线的直线方程为. 【变式7-1】（25-26高二上·河北张家口·期中）过点与直线平行的直线方程为_____． 【答案】 【分析】先根据过定点的平行关系设所求直线方程，再代入点坐标解出变量，从而求出直线方程． 【详解】设过点与直线平行的直线方程为， 代入点坐标，得，解得， 所求直线方程为． 故答案为：． 【变式7-2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为__________． 【答案】 【分析】先求出直线的交点，再根据垂直关系求出斜率，利用点斜式求出直线方程． 【详解】设直线与相交于点，则 ，解得， 交点为， 所求直线与直线垂直，设所求直线斜率为， ，解得， 直线方程为：，即． 故答案为：． 【变式7-3】（25-26高二上·天津河西·期中）已知点，直线：，过点且垂直于直线的直线方程是___________. 【答案】/ 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再利用点斜式即可求出直线的方程. 【详解】直线：，斜率为 过点且垂直于直线的直线方程斜率为 则所求直线的方程为，即 故答案为： 【考点题型八】直线过定点问题 核心方法：两条直线相交交点坐标 【例8-1】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线 总是经过定点，则定点的坐标为________． 【答案】 【详解】由得. 对任意，总使得方程成立. 所以直线必经过定点. 【例8-2】（26-27高二上·河北·阶段检测）方程所表示的直线恒过的定点坐标为_________． 【答案】 【详解】方程，即，由 可得， 所以方程所表示的直线恒过的定点坐标为． 【变式8-1】（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）直线过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】直线过定点，即与参数无关，因此整理为关于的方程式即可求解. 【详解】由，得，所以，解得， 即． 【变式8-2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【答案】 【分析】对等式进行变形，通过解方程组进行求解即可. 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 【变式8-3】（25-26高二上·天津·期末）已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 【答案】 【分析】将方程变形为，即可求解. 【详解】由可得， 令，解得， 故定点为， 故答案为： 【考点题型九】直线与坐标轴围成图形面积问题（定值） 核心方法：三角形面积公式 【例9-1】（25-26高二上·广西·阶段检测）若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 【答案】4 【分析】根据给定条件，设出直线的截距式方程，进而求出该直线方程，再求出直线与坐标轴围成三角形面积. 【详解】依题意，直线不过原点，设的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为， 则在轴上的截距分别为4，2，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4. 故答案为：4 【例9-2】（25-26高二上·甘肃庆阳·阶段检测）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案； （2）借助（1）中求出的和，结合面积公式即可求. 【详解】（1）由于直线在两坐标轴上的截距之和为12， 因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为：，且，① 又因为直线过点， 所以，② 由①②解得或， 所以直线的方程为：或， 即或. （2）由（1）可知，当直线的方程为时， ； 当直线的方程为时， ， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或. 【变式9-1】（26-27高二上·海南儋州·阶段检测）已知直线：． (1)若直线：与垂直，求的值； (2)若直线：与平行，求直线与轴、轴围成的三角形面积． 【答案】(1)​ (2)​ 【分析】（1）先排除直线的斜率不存在的情形，再利用两直线垂直时斜率之积为求． （2）由两直线平行时斜率相等求，再求直线与两坐标轴的交点，利用直角三角形面积公式计算． 【详解】（1）若，则为轴，与斜率为的不垂直， 故． 此时的斜率为，由与垂直，得，解得． （2）直线的斜率为，由与平行可知，且，解得． 此时直线的方程为，化为， 所以它与轴、轴的交点分别为和． 直线的方程为，与不重合，故两直线确实平行． 因此，直线与两坐标轴围成的三角形面积为． 【变式9-2】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与直线垂直． (1)求的值； (2)求与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）由（1）可得直线的方程为， 令，得，令，得， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积为． 【变式9-3】（25-26高二上·福建莆田·开学考试）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为， 即， 整理得． 所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 【考点题型十】直线与坐标轴围成图形面积问题（最值） 核心方法：三角形面积公式+基本不等式 【例10-1】（24-25高二下·湖南·阶段检测）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 【例10-2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 【答案】 或． 4 【分析】先分两种情况讨论，当直线过原点，代入求出参数的值，当直线不过原点时，设出直线截距式，代点即可求解；利用三角形面积公式、基本不等式，求得面积的最小值． 【详解】当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为4． 故答案为：或；4. 【变式10-1】（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（     ） A．144 B．240 C．288 D．576 【答案】C 【分析】将点代入截距式得到等式，写出三角形面积表达式，用基本不等式求面积最小值. 【详解】依题意可得，当且仅当时，等号成立， 则，则所求三角形面积，其最小值为288. 【变式10-2】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B 【变式10-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【详解】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 【考点题型十一】易错点根据截距求直线方程 核心方法：分类讨论 【例11-1】（26-27高二上·江西上饶·阶段检测）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为______. 【答案】 【详解】当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为， 设直线方程为，代入点，，此时直线的斜率为； 当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为， 代入点解得，此时直线的斜率为. 所以 【例11-2】（24-25高二上·云南昆明·期中）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程____________. 【答案】或 【分析】分直线经过原点和不经过原点两种情况进行讨论求解. 【详解】当直线经过原点时，直线的方程为，化为， 当直线不经过原点时，设直线的截距式为， 把点代入可得：，解得， 所以直线的方程为：， 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或. 【变式11-1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【分析】分为直线过原点和不过原点两种情况，不过原点时，设直线方程为，根据题意即可求解. 【详解】当直线过原点时，符合题意，此时的直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为， 由题意知，将代入得，解得，， 所以直线方程为. 综上，直线方程为或. 【变式11-2】（26-27高二上·天津·期中）直线过点，且横截距a，纵截距b满足，则的方程为______． 【答案】或 【分析】本题要分截距都为 0和截距不为 0两种情况讨论，利用直线截距式或斜截式代入已知点求解，容易漏掉过原点的情况. 【详解】当直线横截距和纵截距都为0时，设直线为， 将点代入可得，即，此时直线方程为，即 当直线截距不为0时，可设直线为，因为横截距为纵截距的两倍，所以， 又因为直线过点，代入直线可得，解得， 所以直线方程为. 故答案为：或. 【变式11-3】（24-25高二上·湖北·期中）求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 【答案】或 【分析】注意直线过原点的情况，直线不过原点时用截距式结合题意列方程即可求解 【详解】当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则有，解得， 故直线方程为，即， 综上所述，所求直线方程为或． 故答案为：或． 【考点题型十二】点关于直线对称点 【例12-1】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为__________． 【答案】 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，已知直线的斜率为， 两条互相垂直的直线斜率乘积为，所以，即， 因为两点的中点在直线上，所以，即， 联立，解得，即坐标为. 【例12-2】（26-27高二上·黑龙江绥化·阶段检测）在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，． (1)求中边上中垂线的一般方程； (2)求点关于直线：对称的点的坐标． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）先求中点坐标和斜率，得到中垂线斜率后用点斜式化简为一般式； （2）利用对称点连线与对称轴垂直、连线中点在对称轴上两个条件列方程组求解. 【详解】（1）由，，得中点坐标为， 的斜率，故中垂线的斜率为， 由点斜式得中垂线方程， 即边上中垂线的一般方程为； （2）设对称点为，则线段的中点在直线l上且， 有，解得，， 所以点关于直线：对称的点的坐标为. 【变式12-1】点关于直线：的对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】设点的坐标为，由题意得到，求解可得. 【详解】因为点关于直线：的对称点为， 设点的坐标为，则，的中点为， 由题意得，即，解得：， 即对称点的坐标为. 【变式12-2】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【分析】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果. 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 【变式12-3】（26-27高二上·江西·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． (1)求直线方程； (2)求垂心关于直线的对称点坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得直线的斜率． 代入点斜式，得，所以． （2）由于在轴上，顶点到的高为． 又，所以过点且垂直于的高斜率为，其方程为． 两高交于． 设关于直线的对称点为． 由，得 ． 直线的方程为． 由对称性质，的中点在上，因此 ． 联立，解得，，所以关于直线的对称点坐标为． 【考点题型十三】直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 核心方法：方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 【例13-1】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 【答案】A 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解得， 因为在直线上，代入即可得， 化简得的，即对称直线方程为. 【例13-2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. 【答案】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 【变式13-1】（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 【变式13-2】（25-26高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为________． 【答案】 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 【变式13-3】已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【答案】 【分析】分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】在直线上任意取出两个点， 设点C关于对称的点为， 则，解得，所以， 同理可求得关于点对称点为，设， 由题意可得是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 所以所求直线方程为，即． 【考点题型十四】直线关于直线对称问题（两直线平行） 核心方法：直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 【例14-1】（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 【变式14-1】已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 【考点题型十五】直线关于直线对称问题（两直线相交） 核心方法：对称性 【例15-1】（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 【例15-2】（25-26高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 【变式15-1】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 【答案】 【分析】求出两直线的交点坐标，再求出直线上另外一点关于直线的对称点坐标，然后可得对称直线方程. 【详解】解方程组得，即直线和直线的交点坐标为， 又是直线上一点，设它关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 【变式15-2】已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为______． 【答案】 【分析】解法一：在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上，则在直线l上，且直线与直线l斜率的乘积等于，建立方程组解出，再由经过与的交点，由两点式可得直线的方程，即可得解； 解法二：利用二级结论，直线关于直线对称的直线方程，由式子决定，即可得到直线的方程. 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 【变式15-3】（25-26高二上·江苏连云港·开学考试）已知直线，试求： (1)直线关于点对称的直线方程 (2)直线关于直线的对称直线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线关于点的对称直线为，则，设直线的方程为，利用点到直线的距离可得答案； （2）先求得两直线的交点坐标，再在直线上取一点并求出其关于直线的对称点，即可求解． 【详解】（1）设直线关于点的对称直线为，则， 设直线的方程为， 根据题意，解得或（舍去）， 所以所求直线的方程为． （2）联立，解得， 即两直线的交点坐标为，在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则， 即， 解得，即， 所以，即， 所以直线关于直线的对称直线的方程为． 【考点题型十六】将军饮马问题 核心方法：对称性 【例16-1】（2026·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】根据两点间线段最短，结合中点坐标公式、互相垂直直线斜率的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：C 【例16-2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 【变式16-1】（25-26高二上·广东湛江·期中）著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查点关于直线对称、两点间距离的问题，利用数形结合，将函数转化为轴上动点到两定点距离之和，借助将军饮马模型求距离和最小值。 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知 ， 即的最小值为． 【变式16-2】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 【变式16-3】（多选）（25-26高二上·重庆·期中）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线所在直线方程，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 一、单选题 1．（26-27高二上·山西朔州·阶段检测）已知直线l经过点，则直线l的斜率为（      ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】直线l经过点，则直线l的斜率为. 2．（26-27高二上·全国·期中）已知直线:与直线:平行，则实数（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】因直线：与直线：平行， 则，解得. 3．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图中的直线的斜率分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线、、 的倾斜角分别为、、. 由图象可知，直线 从左向右下降，其倾斜角 为钝角，即，所以斜率. 直线 和 从左向右上升，其倾斜角、均为锐角，即. 观察图象可知，直线比直线更陡峭，即. 因为正切函数在区间上单调递增，所以，即. 综上，. 4．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 点关于轴对称点为，过点和的直线斜率为： ，故方程为，整理得． 5．（26-27高二上·云南昆明·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】已知，则， 且当时，斜率为，斜率为， 斜率乘积不为，两直线不垂直； 当时，斜率为，斜率为， 斜率乘积不为，两直线不垂直； 综上，. 6．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）过且倾斜角为的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的倾斜角为，所以该直线的斜率， 又因为直线经过点，由直线的点斜式方程可得：， 即. 7．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线与直线间的距离为1，则实数的值为（     ） A．14或 B． C． D．或6 【答案】D 【详解】可化为， 则两条直线与平行， 则由题意可得，解得或. 8．（26-27高二上·全国·期中）直线关于直线对称的直线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称的关系代入得到所求直线方程； 【详解】直线 关于直线 对称，互换 、得 ， 即 . 二、多选题 9．（26-27高二上·山西朔州·阶段检测）已知直线，则与l1平行且两直线间的距离为的直线为（      ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】 因为两条平行直线与之间的距离公式为. 故设与平行的直线方程为， 代入已知距离得：，化简得，解得或， 故对应的直线为或. 10．（2027高三·全国·专题练习）直线和无公共点，则a的值可以为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】AB 【分析】由题意，利用两直线平行的充要条件列方程求解验证即可. 【详解】依题意，直线和平行， 则，解得或，(舍去) 当时，直线与互相平行， 当时，直线与互相平行. 综上，的值为或. 三、填空题 11．（26-27高二上·全国·期中）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围是______. 【答案】 【详解】 由题意得，直线的斜率，直线的斜率. 结合平面直角坐标系，点在线段的左侧，若直线与线段相交，则其斜率的取值范围是，即. 由直线倾斜角的定义知，且. 当时，，得； 当时，，得. 综上所述，倾斜角的取值范围是. 12．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线经过点，且与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则的面积的最小值为________，此时直线的方程为________． 【答案】 【分析】设直线的截距式方程，用截距表示出三角形面积，利用基本不等式求最小值，再推导对应直线方程. 【详解】设直线在轴的正半轴与轴的正半轴上的截距分别为，，则直线的截距式方程为， 由直线经过点，，， ，，当即，时等号成立， 的面积的最小值为； 此时直线的方程为，整理为一般式得. 13．（26-27高二上·安徽安庆·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是______________ 【答案】 【详解】因为一条沿直线传播的光线经过点和， 所以入射光线所在的直线方程的斜率为， 所以入射光线所在的直线方程为，即， 由题意可知入射光线所在的直线与反射光线所在的直线关于轴对称， 所以反射光线所在的直线方程为 四、解答题 14．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知点，，点为平面直角坐标系上一点． (1)若点且三点共线，求实数的值； (2)若过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三点共线问题可转化为任意两点连线的斜率相等，通过建立方程求解未知参数；（2）求过定点的直线与线段相交的倾斜角范围，可先计算定点到线段两端点的直线倾斜角，再结合倾斜角的变化规律确定取值区间. 【详解】（1）由题意，斜率存在， 因为点，，三点共线，所以， 所以， 解得． 所以实数的值是． （2）设直线，，的倾斜角分别为，，，由图知． 可得，． 又， 所以，． 所以． 所以直线的倾斜角取值范围是． 15．（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）已知直线：与直线：，． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【详解】（1）解：或. （2）解： 第一个式子解得，或， 第二个式子解得， 所以，. （3）将点代入直线的方程：， 所以点为点， 当直线在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 将点代入直线的方程 所以直线方程为 当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线方程为 将点代入直线的方程 所以直线方程为即 所以直线的方程为或 16．（26-27高二上·云南·阶段检测）已知直线． (1)求证：无论取何值，直线始终经过第一象限； (2)若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)因为直线，即， 令，得，，即直线过定点， 所以无论取何值，直线始终经过第一象限． (2)4；． 【详解】（1）略 （2）因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，所以． 令，解得；令，得， 即，． 故． 因为，所以， 则，当且仅当，即时，取得等号， 则，所以，从而的最小值为4， 此时直线的方程为，即． 17．（26-27高二上·山东威海·阶段检测）（1）已知，， ①求边所在的直线方程； ②求边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）已知点，点，为直线上一动点，求的最小值并求此时点坐标 【答案】（1）①；② （2）最小值为，此时点坐标为 【分析】（1）先由两点坐标求斜率得直线方程，再求中点和垂直平分线斜率，推导垂直平分线方程； （2）通过对称点将同侧点的距离和转化为两点间线段长度求最小值，联立方程得对应点坐标. 【详解】（1）①已知，，所以， 代入点斜式方程得，化为一般式得； ②由中点坐标公式得的中点坐标：， 垂直平分线与垂直，故其斜率为， 代入点斜式方程得，化为一般式得. （2）设直线，则、在直线同侧， 设关于的对称点为，由对称性质可得： 直线与垂直，故，即， 的中点在上，故，即， 联立，解得，即, 由对称性质知，故， 当且仅当为与的交点时等号成立, ，即的最小值为； 直线的斜率，方程为，即， 联立，两式相减得，即，代入得， 故此时. 18．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， (1)求反射光线所在的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上运动，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）求出点A关于直线的对称点的坐标，根据两点的坐标即可写出直线方程； （2）求出线段AB的垂直平分线的方程，再与直线的方程联立，即可求出点P的坐标； （3）设整理之后为，转化为求的最小值，这是与线段中点的距离的平方，其最小值为到直线的距离的平方． 【详解】（1）如图所示： 设线段中点，点关于直线的对称点，直线与直线交于， 因为直线与直线垂直，并且过点， 所以其方程为，即， 由，，解得，，即坐标为， 因为、两点关于直线对称，所以关于点对称， 所以，， 点坐标为， 根据光线反射定律，反射光线经过、两点， 由直线的两点式方程得： 直线方程为， 即反射光线所在直线的方程为 （2）线段的垂直平分线为，因为， 所以点在直线上，又因为点在直线上， 所以点为直线与交点， 由，的坐标可知， 线段中点，直线斜率为， 所以其垂直平分线斜率， 因其经过点，由直线的点斜式方程得直线的方程为 ，即， 与直线的方程联立 解方程组得点坐标为 （3）设点坐标为，令， 则 ， 要使最小，则当且仅当最小， 可表示为点到点的距离的平方， 当，即计算点到直线的距离时取到最小值， 此时是点到直线的距离，由点到直线距离公式得 ， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线的方程及其位置关系 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【知识点02】两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 【知识点03】两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 【知识点04】直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 【知识点05】直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 斜截式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 【知识点06】直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 截距式方程形式 适用条件 ， 【知识点07】直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 【知识点08】两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 【知识点09】两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 【知识点10】点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 【知识点11】两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（） ：（）间的距离. 【知识点12】对称问题 点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ②整理得： 【考点题型一】斜率与倾斜角变换关系 【例1-1】（26-27高二上·广东东莞·期中）设直线倾斜角为，斜率为，若，则直线倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C．D． 【变式1-1】（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）若直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是__________． 【变式1-2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是______ 【变式1-3】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是______． 【考点题型二】直线与线段有公共点，求斜率取值范围 核心方法：图象法 【例2-1】（26-27高二上·甘肃兰州·期中）已知点，，过点的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（26-27高二上·江西上饶·阶段检测）已知直线及点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．D． 【变式2-1】（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）设点， ，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知点，，若直线：与线段有交点，则直线斜率的取值范围_________________． 【考点题型三】利用斜率的几何意义求代数值（范围） 核心方法：图象+转化 【例3-1】（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）若实数x，y满足，则的取值范围是_____. 【例3-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则的取值范围是________． 【变式3-1】（25-26高二上·河北雄安·期中）已知点是曲线上的动点，则的取值范围为_____. 【变式3-2】（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）函数的最大值为______，最小值为______． 【变式3-3】（2025高二上·河南安阳·专题练习）已知实数满足，则的最大值为______． 【考点题型四】求直线方程 【例4-1】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为______. 【例4-2】（26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，求下列直线的方程（最终化简成一般式）： (1)边所在直线的方程； (2)边上中线所在直线的方程； (3)边的垂直平分线的方程. 【变式4-1】（25-26高二上·甘肃武威·期末）过点且斜率为的直线一般式方程为______． 【变式4-2】（26-27高二上·山西朔州·阶段检测）已知在平行四边形中，． (1)求直线的方程； (2)求的边上的高所在直线的方程； 【变式4-3】（26-27高二上·天津北辰·阶段检测）已知的顶点坐标分别是． (1)求BC边上的中线所在直线的方程； (2)求过点C且与直线AB平行的直线方程； (3)求AB边高所在直线方程. 【考点题型五】两条直线平行与垂直关系的判定 核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1 【例5-1】（多选）（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 【例5-2】（多选）（25-26高二上·云南昆明·期中）已知直线，则（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线与之间的距离为 【变式5-1】（多选）（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 【变式5-2】（多选）（25-26高二上·福建漳州·期末）已知直线：与：，则（   ） A．当时， B．当时，与重合 C．当时， D．当时，与间的距离为 【变式5-3】（多选）（25-26高二上·浙江温州·期末）设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 【考点题型六】根据两条直线平行与垂直关系求参数 核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1 【例6-1】（26-27高二上·天津北辰·阶段检测）设两直线与．若，则____，若_________． 【例6-2】（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）若直线与平行，则______． 【变式6-1】（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）已知直线：和直线：垂直，则________． 【变式6-2】（26-27高二上·天津红桥·阶段检测）直线和互相垂直，则__________. 【变式6-3】（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线与垂直，则实数的值为__________. 【考点题型七】求平行，垂直的直线方程 核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1 【例7-1】（25-26高二上·天津·期中）过点，且平行于直线的直线方程为______. 【例7-2】（26-27高二上·广东东莞·期中）过点且垂直于直线的直线方程为________． 【变式7-1】（25-26高二上·河北张家口·期中）过点与直线平行的直线方程为_____． 【变式7-2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为__________． 【变式7-3】（25-26高二上·天津河西·期中）已知点，直线：，过点且垂直于直线的直线方程是___________. 【考点题型八】直线过定点问题 核心方法：两条直线相交交点坐标 【例8-1】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线 总是经过定点，则定点的坐标为________． 【例8-2】（26-27高二上·河北·阶段检测）方程所表示的直线恒过的定点坐标为_________． 【变式8-1】（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）直线过定点，则点的坐标为__________． 【变式8-2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【变式8-3】（25-26高二上·天津·期末）已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 【考点题型九】直线与坐标轴围成图形面积问题（定值） 核心方法：三角形面积公式 【例9-1】（25-26高二上·广西·阶段检测）若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 【例9-2】（25-26高二上·甘肃庆阳·阶段检测）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【变式9-1】（26-27高二上·海南儋州·阶段检测）已知直线：． (1)若直线：与垂直，求的值； (2)若直线：与平行，求直线与轴、轴围成的三角形面积． 【变式9-2】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与直线垂直． (1)求的值； (2)求与两坐标轴围成的三角形的面积． 【变式9-3】（25-26高二上·福建莆田·开学考试）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【考点题型十】直线与坐标轴围成图形面积问题（最值） 核心方法：三角形面积公式+基本不等式 【例10-1】（24-25高二下·湖南·阶段检测）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例10-2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 【变式10-1】（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（     ） A．144 B．240 C．288 D．576 【变式10-2】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【变式10-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】易错点根据截距求直线方程 核心方法：分类讨论 【例11-1】（26-27高二上·江西上饶·阶段检测）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为______. 【例11-2】（24-25高二上·云南昆明·期中）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程____________. 【变式11-1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【变式11-2】（26-27高二上·天津·期中）直线过点，且横截距a，纵截距b满足，则的方程为______． 【变式11-3】（24-25高二上·湖北·期中）求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 【考点题型十二】点关于直线对称点 【例12-1】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为__________． 【例12-2】（26-27高二上·黑龙江绥化·阶段检测）在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，． (1)求中边上中垂线的一般方程； (2)求点关于直线：对称的点的坐标． 【变式12-1】点关于直线：的对称点的坐标为______． 【变式12-2】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【变式12-3】（26-27高二上·江西·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． (1)求直线方程； (2)求垂心关于直线的对称点坐标． 【考点题型十三】直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 核心方法：方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 【例13-1】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 【例13-2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. 【变式13-1】（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为________． 【变式13-3】已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【考点题型十四】直线关于直线对称问题（两直线平行） 核心方法：直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 【例14-1】（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【变式14-1】已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【考点题型十五】直线关于直线对称问题（两直线相交） 核心方法：对称性 【例15-1】（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例15-2】（25-26高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 【变式15-2】已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为______． 【变式15-3】（25-26高二上·江苏连云港·开学考试）已知直线，试求： (1)直线关于点对称的直线方程 (2)直线关于直线的对称直线． 【考点题型十六】将军饮马问题 核心方法：对称性 【例16-1】（2026·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【例16-2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【变式16-1】（25-26高二上·广东湛江·期中）著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 【变式16-2】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【变式16-3】（多选）（25-26高二上·重庆·期中）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 一、单选题 1．（26-27高二上·山西朔州·阶段检测）已知直线l经过点，则直线l的斜率为（      ） A． B． C． D．1 2．（26-27高二上·全国·期中）已知直线:与直线:平行，则实数（　　） A． B． C．或 D． 3．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图中的直线的斜率分别为，则（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·云南昆明·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D． 6．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）过且倾斜角为的直线方程为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线与直线间的距离为1，则实数的值为（     ） A．14或 B． C． D．或6 8．（26-27高二上·全国·期中）直线关于直线对称的直线方程为（  ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高二上·山西朔州·阶段检测）已知直线，则与l1平行且两直线间的距离为的直线为（      ） A． B． C． D． 10．（2027高三·全国·专题练习）直线和无公共点，则a的值可以为（   ） A． B．0 C．1 D．3 三、填空题 11．（26-27高二上·全国·期中）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围是______. 12．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线经过点，且与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则的面积的最小值为________，此时直线的方程为________． 13．（26-27高二上·安徽安庆·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是______________ 四、解答题 14．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知点，，点为平面直角坐标系上一点． (1)若点且三点共线，求实数的值； (2)若过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围． 15．（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）已知直线：与直线：，． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程． 16．（26-27高二上·云南·阶段检测）已知直线． (1)求证：无论取何值，直线始终经过第一象限； (2)若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 17．（26-27高二上·山东威海·阶段检测）（1）已知，， ①求边所在的直线方程； ②求边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）已知点，点，为直线上一动点，求的最小值并求此时点坐标 18．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， (1)求反射光线所在的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上运动，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $