专题2.2 直线与圆的最值与范围8种题型归纳（期末复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

该高中数学期末复习讲义通过表格系统梳理直线与圆最值及范围的核心考点，明确复习目标与考情规律，分知识点模块呈现斜率与倾斜角、将军饮马等概念及关系，结合图示辅助理解，构建清晰知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于题型分类与解题技巧融合，如“代数式的几何意义”题型引导将代数问题转化为几何问题，培养数学思维，典例与变式选自各地月考及期末真题，分层设计基础、重难、综合练习，适配不同学生提升需求，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题2.2 直线与圆的最值与范围归纳（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线的斜率与倾斜角的取值范围 掌握直线的斜率与倾斜角的概念，以及两者之间的关系。 基本必考点，常出现在小题中，题目基础，容易在斜率的变换范围及边界上出错。 将军饮马解决距离最值问题 掌握从几何角度找出距离的最值，比如两点之间距离最短、将军饮马等。 基本必考点，常出现在小题中。 圆上的点到直线的距离的最值与范围 掌握直线与圆上点的距离的范围。 基本必考点，常出现在小题中。 由圆上点到直线距离为定值的个数求最值与范围 掌握圆上点到直线距离为定值的个数可转化成平行线与圆的交点个数问题。 重难必考点，常出现在小题中。 与圆的弦长有关的最值与范围 掌握最长最短的弦长的位置 基本必考点，常出现在小题中。 与圆的切线长有关的最值与范围 掌握切线长与圆心与动点距离的关系。 基本必考点，常出现在小题中。 代数式的几何意义 掌握距离公式，圆的公式等，能巧妙的把代数式转成几何问题。 基本必考点，常出现在小题中。 知识点01 直线的斜率与倾斜角 1、直线的倾斜角与斜率关系 倾斜角 斜率 倾斜角与斜率的变化关系 0 0 直线l与x轴平行或重合 斜率随着增大而增大 斜率不存在 直线l与x轴垂直 斜率随着增大而增大 2、根据直线有交点来确定直线斜率 画图定性：首先根据题意画出满足条件的直线大致位置，直观判断倾斜角的大致范围。 找临界：确定倾斜角变化的边界（通常是垂直或水平位置）。 转化求解：若已知的是斜率k的范围，则根据 k = tanα 的单调性求解。在 (0°, 90°) 和 (90°, 180°) 上，tanα 分别单调递增。若已知的是几何条件（如直线与线段相交、在两直线之间等），先求出斜率的范围，再转化为倾斜角范围。 注意直角：时刻检查是否存在斜率不存在（α = 90°）的情况，并判断它是否包含在范围内。 知识点02 将军饮马求距离最值 在求距离最值问题上，我们往往从几何角度出发，核心为“两点之间，线段最短”或“点到直线的距离，垂线段最短”这两个最基本的几何公理。还可以构造对称，运用将军饮马来求距离的最值。 知识点03 直线与圆上点的距离 圆上到直线距离最短的距离为过圆心与直线垂直的线|PA|的长度 知识点04 圆的弦长 过某定点A的直线与圆相交，截得的弦长，在过圆心时最长，在被直径垂直平分时最短。 知识点05 圆的切线长 过直线上的动点P做圆的切线长，根据勾股定理，可以由PC（动点与圆心连线），半径AC长来决定。由于半径不变，所以PA根据PC的变化而变化。PC在垂直直线时最短，这时候PA也是最短的切线长。 题型一 与斜率、倾斜角有关的范围问题 解｜题｜技｜巧 将题目中关于直线位置、变化的几何约束条件，准确地转化为关于斜率 或倾斜角  的不等式（或方程），然后通过求解这个不等式（或方程）来确定范围。 【典例1】（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线表示出斜率，求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【详解】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：C. 【典例2】（25-26高二上·四川成都·期中）已知点，.若直线：与线段相交，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出直线过定点，再求出临界点处直线的斜率，结合图象得到不等式组，解得即可. 【详解】因为直线：，即， 令，解得， 所以直线过定点， 又，，直线的斜率为， 要使直线与线段有公共点，由图可知，即的取值范围是. 故选：A 【变式1】（25-26高二上·广东广州·月考）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直线的方程得到直线过定点，再由直线与线段有交点得直线的斜率变化范围，进而可得直线倾斜角的范围. 【详解】由直线， 令，解得，所以直线经过定点. 由，则，， 要使直线与连接两点的线段总有公共点， 则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点.若三角形为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知直线斜率存在，设直线方程，联立两直线可得点，分情况讨论当为钝角时，则，当为钝角时，则，分别解不等式即可. 【详解】由已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限， 则直线斜率存在，设， 联立直线方程，解得，即， 由点在第一象限，所以，解得， 当为钝角时，由，， 则，解得； 当为钝角时，由，， 则，解得， 综上所述，， 故选：C. 题型二 将军饮马解决两点距离、点到直线的距离有关的最值 解｜题｜技｜巧 1、 找定点：如动直线过某定点，找到这个定点，就找到了问题的“锚点”。 2、 找轨迹：如题目给出动点，若能找到该动点的运动轨迹，问题就能迎刃而解了。 3、 运用将军饮马，构造对称，利用两点之间距离最短求最值。 【典例1】（25-26高二上·吉林长春·月考）已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】整理直线方程得到直线经过定点，当时，此时点到动直线的距离最大，由两点的距离公式求出最大距离. 【详解】直线方程可以整理为， 令，解得，即直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大距离为. 故选：D. 【典例2】（25-26高二上·河南·月考）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【详解】如图，在直线上， 设点关于直线的对称点为，设所在直线为， 代入点，可得，解得，故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点为，则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为，所以的最小值是. 故选：B.    【变式1】（25-26高二上·江西上饶·月考）已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用对称性变换，再结合两点之间线段最短，即可得最小值. 【详解】 作点关于直线的对称点为， 再作点关于轴的对称点为， 由的周长， 因为， 所以的周长, 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，可得， 由，则， 当且仅当共线时取等号，故最小值为10. 故选：D 题型三 将军饮马解决与圆有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 根据将军饮马构造对称，利用两点之间距离最短来求与圆有关的距离最值的问题 【典例1】（24-25高二上·青海海南·期中）已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的性质可知，求点C关于l的对称点为，根据对称性转化，并结合几何性质运算求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 设点C关于l的对称点为， 则，解得，即， 则， 所以的最小值为． 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据圆的方程，整理可得圆心和半径，结合动点可得其轨迹方程，根据轴对称结合图象，可得答案. 【详解】由，则其轨迹为直线， 由圆，整理可得圆， 可得圆心，半径， 设圆心关于直线成轴对称的对称点， 则线段的中点为，直线的斜率， 可得，解得，即， 结合题意，作图如下： 由圆与圆关于直线成轴对称，则， 由图可知， 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·湖南株洲·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】当时，：，：，此时交点为； 当时，由直线：，斜率为， 由直线：，斜率为，， 又：，直线恒过， ：，直线恒过， 若为，的交点，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点、点； 综合以上两种情况，点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为，即， 又，，易知，在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， ， ， 又， ， 如图，当且仅当，，三点共线，且位于，之间时，等号成立， 即的最小值为. 故选： 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·期末）若P为直线上动点，，B在圆上，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】先求出点关于直线对称的点，再数形结合有求最小值. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 圆的圆心为，半径为1， 则， 当且仅当P、、B、C四点共线，且B在线段上时取得最小值，为 故选：D 题型四 圆上的点到直线的距离的最值与范围 解｜题｜技｜巧 将直线平行平移，当与圆有交点时，有两个相切的状态，这时的切点到直线的距离即使最短与最长的状态。 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆，是圆上的一条动弦，且，设中点为，则到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点的轨迹圆的方程，求出圆心到直线的距离，再加上圆的半径，即为点到直线距离的最大值. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为是圆上的一条动弦，且，且中点为，则， 所以， 故点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 圆心到直线的距离为， 故到直线距离的最大值. 故选：C. 【典例2】（25-26高二上·广西玉林·月考）已知直线与直线的交点为，则点到直线距离的最大值为 【答案】 【分析】由题意，交点的轨迹为圆（不含点），利用圆上点到直线距离的最值求解. 【详解】由题意，直线分别过定点， 由可得互相垂直，且直线的斜率一定存在， 所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点）， 这个圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因此点到直线距离最大值为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， ,所以由垂径定理可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·贵州铜仁·期末）最新发布的Figure 02实体机器人在平面内的运行轨迹方程为圆O：，则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是 . 【答案】/ 【分析】首先求出直线的方程并计算圆心到直线的距离，再由平面几何知识得出结论. 【详解】由直线的截距式可知，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相离， 所以圆上的一点到直线距离的最小值为， 则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是， 故答案为： 题型五 由圆上点到直线距离为定值的个数求参数范围 解｜题｜技｜巧 1. 几何转化：圆上点到直线的距离为  的点的轨迹，是与 平行且距离为  的两条直线 和 。 2. 问题等价于 “圆与两条平行直线 和 有几个公共点”。 分类讨论：通过比较圆心  到直线 的距离 与圆的半径 ，以及定值  之间的关系，来确定交点个数。 【典例1】（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）若经过点且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由圆与两坐标轴相切和过点求出圆的方程，再由圆的对称性得到圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于可转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列不等式求解即可. 【详解】由题意，可设圆心为，则半径为，故， 则圆的方程为，又圆经过点， 所以有，化简得：（舍）或5， 所以圆的方程为， 因为该圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于， 所以圆心到直线的距离， 即，解得：. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆上恰有个点到直线的距离等于，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系列不等式，求解即可得的取值范围. 【详解】圆心到直线的距离为， 若圆上恰有个点到直线的距离等于， 所以，则，解得。 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·上海闵行·月考）已知圆上恰好存在2个到直线的距离为1的点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，整理直线方程为一般式，求得圆心到直线的距离，结合题意，可得答案. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 由直线，则一般式为， 圆心到直线的距离， 由题意可知，解得. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·福建福州·期中）已知圆，直线，圆上至少有三个点到直线的距离都等于2，则b的范围是 . 【答案】 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，求得圆心到直线的距离，由题意建立不等式，可得答案. 【详解】由圆，可得圆心与半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得，解得. 故答案为：. 题型六 与圆的弦长有关的最值与范围 解｜题｜技｜巧 通常问题是求过定点的直线与圆的相交弦长的最短与最长。 1、 当直线过圆心时，与圆的相交弦是最长的，为直径的长度 2、 当直线垂直于定点与圆心的连线时，此时的相交弦时最短的，根据半径与定点与圆心连线的长度可求得。 【典例1】（24-25高二上·湖北·期末）已知圆，直线，若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点，再借助圆的弦长公式求出最长弦与最短弦即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 直线l为，由得l恒过定点， 当l过圆心C时，截得弦长最大为直径，即， 当时，截得弦长最短，而，则， 所以. 故选：D 【典例2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】由圆的方程求得圆心和半径，由直线过定点，易得弦心距的最大值，可得的最小值. 【详解】由圆，可得圆心、半径为， 直线过定点，要使弦长最小，只有弦心距最大， 弦心距的最大值为， 所以弦的的最小值为. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍．动点的轨迹与直线交于两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据列等式，整理得动点的方程，根据直线的方程得到直线恒过定点，根据几何知识可得当时，最小，最后求弦长即可. 【详解】 设，则，整理得， 所以动点的轨迹为圆心为，半径为的圆， 直线的方程可整理为， 令，解得， 所以直线恒过定点， 有几何知识可得当时，最小， ，所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求动点轨迹的方法： ①定义法：根据曲线定义得到曲线类型，然后计算； ②列等式法：设动点坐标，然后根据题设列等式，整理即可. 【变式2】（24-25高二上·天津·期末）若直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线所过定点为，为使弦长最小，只有，进而可求出结果. 【详解】可化为， 令，解得，所以恒过定点， 因为，所以点在圆内部， 设圆心到直线的距离为， 则弦长，为使最小，必有取最大值； 当时，， 当不垂直时，必有； 因此时，最小，此时. 故选：B. 题型七 与圆的切线长相关的最值与范围 解｜题｜技｜巧 根据切线、动点与圆心的连线，半径构造的勾股定理，讨论切线长的最值可以由动点与圆心的连线的长的最值来决定。 【典例1】（多选）（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（   ） A．线段的最小值为 B．线段的最大值为 C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为 D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为 【答案】AD 【分析】根据圆的切线的几何性质可求得，确定，可求得的取值范围，即可判断AB；当直线与圆相切时，设直线的方程，利用和圆相切可得，继而求得原点到直线的距离，判断C；当直线平分圆的周长时, 直线过点，设直线方程，可得，由此求得原点到直线的距离，判断D. 【详解】如图示：、，    根据直角三角形的等面积方法可得，， 因为，，即， 故，故A正确，B错误； 当直线与圆相切时，由题意可知的斜率存在， 故设的方程为，则有 ，即， 即或， 设原点到直线的距离为，则， 当时， ；当时，，故C错误； 当直线平分圆的周长时，即直线过点, 则直线斜率存在，设直线方程为，即 ， 则 ，即，则， 故原点到直线的距离为,则 ，故D正确. 故选：AD. 【点睛】结论点睛：若点是半径为的圆外的一点，则点到圆的上一点的距离的取值范围是. 【典例2】（多选）（24-25高二上·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，过圆外的动点作圆的两条切线，切点为，则下列结论正确的有（   ） A．若点，则四边形的面积是 B．若点，则四边形的外接圆方程是 C．若点在直线上，则所在圆的直径的最小值是 D．当取得最小值时，点到圆心的距离为 【答案】AC 【分析】对于A，即可求解；对于B，由四边形的外接圆的直径是，即可求解；对于C，当与直线垂直时，直径最小，即可求解；对于D,由到圆心的距离为，确定 为正方形，可判断； 【详解】若，则，又，，， 所以，所以，A正确； 四边形的外接圆直径是，若，则，圆心为， 故外接圆方程是，B不正确； 因为原点O到直线的距离为， 所以当为垂足时，以为直径的圆的直径最小，为，C正确； 若点到圆心O的距离为，易得：，此时四边形是正方形，此时， 易知，当时，，，故D不正确， 故选：AC．    【变式1】（25-26高二上·山东济宁·期中）已知圆，若点是轴上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当取得最大值时，面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据已知画出示意图，且、，取得最大值化为取最小，进而求出的最大值，即可求三角形面积. 【详解】由，则，故，半径，    如上图示，，且，则， 要使最大，即最大，故只需最小， 而，故只需最小， 由图知，要使最小，即轴，此时，则， 所以，在中，最大，即 ，故最大， 所以取得最大值时，是边长为的等边三角形， 所以. 故答案为： 【变式2】（多选）（25-26高二上·福建福州·期中）设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 【答案】ACD 【分析】A令可得；BC根据直线与过点和的直线垂直判断；D利用数量积的几何意义求出. 【详解】对于A：由有， 令有，所以，所以直线过定点，故A正确； 对于B：点在圆内，圆的圆心为， 当取得最小值时，直线与过点和的直线垂直， 所以，解得，故B错误； 对于C：当最小时，此时最小， 则， 由余弦定理有，故C正确； 对于D：， 即的最大值为24，故D正确. 故选：ACD. 题型八 代数式的几何意义与最值与范围 解｜题｜技｜巧 将代数式转化为几何意义，然后进行数形结合来求最值。 1、 若遇到带平方跟开方的，联想到两点间的距离公式，把它构造成两个点。 2、 遇到跟x、y有关的代数式，可以联想到点到直线的距离，两平行直线的距离公式 3、 熟悉圆的方程、直线方程，把代数式转化成圆上点或者直线上点，将代数问题转化为几何问题。 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）已知实数满足方程，则（   ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为-20 D．的最大值为 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系式，令，则.可求最小值，以判断A；将可看作是半圆上的点与点连线的斜率，以判断B；将可看作是半圆上的点到点 的距离，以判断C；可看作半圆上的点到直线的距离，以判断D. 【详解】由，得 对于A，令，则. 因为，所以当时，取得最小值，此时取得最小值，最小值为. 所以选项A不正确； 对于B，如图所示，表示以为圆心，3为半径的半圆，可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，所以的范围是. 所以选项B错误； 对于C，. 可看作是半圆上的点到点 的距离，如图所示，其最小值为. 所以的最小值为. 所以选项C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为. 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为. 所以，的最大值为. 所以的最大值为 所以选项D不正确. 故选：C. 【典例2】（25-26高二上·河南·月考）已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，根据题意可得点的轨迹，再将看作点到直线的距离的倍即可求解. 【详解】 由题知，圆的圆心为，半径为2， 取的中点，连接，则， 因为，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，其方程为. 因为可分别看作点到直线的距离， 所以当点在直线同侧时，是点到直线的距离的2倍， 又点到直线的距离，所以的最大值为， 所以的最大值为； 当点在直线异侧时，， 所以的最大值为. 因为，所以的最大值为. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·山西太原·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最小值5 D．有最大值 【答案】D 【分析】根据两函数式结构构造动点到定点的距离形式，结合三角形三边关系一一分析选项即可. 【详解】易知，， 不妨设, 可将看作是，则， 当且仅当三点共线，且在线段上时取得等号，所以A，B错误； 可将看作是，则， 且存在点A使得，即C错误，D正确. 故选：D 【变式2】（25-26高二上·广东江门·月考）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【详解】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·山西忻州·月考）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为， 令，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，    将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 2．（25-26高二上·广东汕头·月考）已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】由题意可得两点在直线的同侧，求出点关于直线的对称点，所以当点P为直线与直线的交点时，取得最小值为，利用距离公式即可求解. 【详解】如图，    可得两点在直线的同侧，设点关于直线的对称点， 则， 所以取得最小值为， 因为，直线为，所以，点， 所以， 所以的最小值是4. 故选：C 3．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先求出点的轨迹方程，然后判断直线恒过定点，再将距离的最大值转化为两点间的距离. 【详解】设，又，得， 即点的轨迹为以圆心，以1为半径的圆， 又过定点，又，所以P在圆外， 所以点到直线的距离的最大值为， 故选：C 4．（24-25高二下·湖北·月考）已知圆，直线，圆上至少有三个点到直线的距离等于，则的范围是 ． 【答案】 【分析】作出图形，计算出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为圆上至少有三个点到直线的距离等于，则，即， 解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 5. （25-26高二上·辽宁·月考）直线，圆，则直线被圆截得的弦长的取值范围为 ．（用区间表示） 【答案】 【分析】求出直线恒过的定点，易知直线过圆心时弦长最大，当圆心与定点连线与直线垂直时，弦长最小，由勾股定理得到最短弦长，即可得解 【详解】直线：， 令，所以直线恒过点， 因为，则点在圆C内部，直线与圆C相交， 圆心，半径，当截得弦长最长时，直线过圆心，即为直径长度6， 当圆心与点连线与直线垂直时，弦长最短，最短弦长为. 所以弦长的取值范围为． 故答案为： 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线恒过定点及两直线垂直，可求得点P的轨迹方程，分析可得，要使四边形面积的最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】变形为，恒过， 变形为，恒过， 因为，所以， 所以交点P的轨迹是以和为直径端点的圆， 则圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：C 2．（25-26高二上·广西南宁·月考）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得直线恒过定点，求得圆心到直线的距离的最大值可求的最大值. 【详解】由，得圆心，半径， 由直线，可得直线恒过定点， 又越小，则圆心到直线的距离越大， 又， 所以圆心到直线的距离的最大值为，此时， 所以， 所以的最大值为. 3.（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆的方程为，直线恒过定点若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值（   ） A．9 B．12 C．15 D． 【答案】A 【分析】首先求出直线恒过的定点，然后求出点关于直线的对称点，根据两点之间线段最短，的最小值等于（为圆的半径）. 【详解】将直线方程变形为，令，解得，所以定点. 设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以. 圆的方程为，圆心，半径. 的最小值等于， ，， ， 所以的最小值为. 故选：A. 4．（24-25高二上·广东韶关·月考）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，再求出到圆上的点的距离最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 的中点为， 故，解得，即， 依题意即为点到军营最短的距离， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 5．（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）已知直线和圆，则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过点 B．直线与圆恒有两个交点 C．存在实数，使得直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【分析】A.由判断；B. 由判断；C.由判断；D.由当圆心与定点的连线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最短判断. 【详解】A.，即为 ，所以直线恒过点，故错误； B. 因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆恒有两个交点，故正确； C.当时，直线与直线垂直，故正确； D. 当圆心与定点的连线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最短， 最短弦长为，故正确； 故选：BCD 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 2．（多选）（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知，则（    ） A． B．的最大值为26 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】变形为，从而可得表示圆上一点与定点所在直线的斜率加上，进而可判断A；结合的范围即可判断B；表示圆上一点到直线的距离的倍，进而可判断C；化简D选项可知D表示圆上一点到点距离之差的2倍，由此求解可判断D. 【详解】圆的圆心为，半径， 对于A，， 则表示圆上一点与定点所在直线的斜率加上，    由图可知，过点与圆相切得的线斜率存在， 设切线方程为，即， 则，解得或， 由图可知，， 所以，故A正确； 对于B，由，得， 则， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，圆上一点到直线的距离为， ，所以求的最小值，即求， 所以即为到直线的距离减半径， 到直线的距离为， 所以， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，因为， 所以 ， 表示圆上一点到点距离之差的2倍， 所以， 当（在两点中间）三点在一条直线上时取等， 所以的最大值是，故D正确. 故选：ABD. 3．（多选）（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（   ） A．若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B．线段PM的长度的最小值为 C．四边形PMCN的面积的最小值为 D．直线MN过定点 【答案】ACD 【分析】选项A，求出圆心和半径，分别讨论过的直线无斜率和有斜率，利用圆心到直线的距离等于半径求解；选项B，求出，求的最小值转化为求的最小值，由点P是直线l：上一动点，转化为的最小值为圆心到直线的距离，求解即可；选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成，则四边形PMCN的面积，利用最小时最小，求解即可；选项D，设，得到直线MN的方程为， 求出直线MN过定点即可. 【详解】选项A，圆C：的圆心为，半径为， 当过的直线无斜率时，此直线方程为，圆心到的距离为2， 故直线与圆相切； 当过的直线有斜率时，设此直线方程为， ，圆心到的距离为， 直线方程为与圆相切，， ，，过的切线方程为， 即， 综上可知，若P的坐标为，则PM，PN的方程为和， 故选项A正确； 选项B，，求的最小值转化为求的最小值， 点P是直线l：上一动点， 的最小值为圆心到直线的距离， ，故选项B错误； 选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成， 则四边形PMCN的面积， 当最小时，最小，由选项B中可知，， 即则四边形PMCN的面积的最小值为，故选项C正确； 选项D，点P是直线l：上一动点，设， 过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N， 直线MN的方程为， 即， 整理得， ，解得，则直线MN过定点，故选项D正确. 故选：ACD. 4．（多选）（25-26高三上·黑龙江·月考）过直线上的动点，作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ） A．直线恒过点 B．线段的中点在一个定圆上运动 C．的取值范围是 D．四边形面积的最小值 【答案】ABD 【分析】A：根据圆的方程和相交弦方程的特征进行求解判断即可；B：由垂径定理可知，则中点在以为直径的圆上运动；C：根据弦长公式即可判断；D：由四边形的面积等于，再确定的最值即可． 【详解】设点，则两切点连线的直线方程为， 因为，所以， 所以直线的方程为， 即， 所以当，即时，直线恒过定点，故A正确； 由垂径定理可知，因为直线经过定点， 所以，所以中点在以为直径的圆上运动，故B正确； 设圆的半径为，则， 因为，而， 所以的取值范围是，故C错误； 因为四边形的面积等于， 因为，所以， 即四边形面积的最小值等于，故D正确． 故选：ABD． 5．（多选）（25-26高二上·黑龙江鸡西·期中）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A． B．直线与圆相离 C．从点向圆引切线，切线长的最小值是 D．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】ABC 【分析】对A，先求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质，即可判断A；对B，根据直线与圆的位置关系的判断方法，即可求解；对C，利用切线长为，从而求出的最小值，即可求解；对D，根据条件得点在圆内，从而可得当过点的直线与垂直时，该直线被圆截得的弦长最短，即可求解. 【详解】由，得到，所以圆心为，半径为， 对于A，因为圆心到直线的距离为， 所以，故A正确， 对于B，由选项A知圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，故B正确， 对于C，从点向圆引切线，切线长为， 所以当时，切线长最小，最小值是，故C正确， 对于D，因为，所以在圆内， 当过点的直线与垂直时，该直线被圆截得的弦长最短， 又因为和圆心的距离为， 所以最短弦长为，故D错误. 故选：ABC． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 直线与圆的最值与范围归纳（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线的斜率与倾斜角的取值范围 掌握直线的斜率与倾斜角的概念，以及两者之间的关系。 基本必考点，常出现在小题中，题目基础，容易在斜率的变换范围及边界上出错。 将军饮马解决距离最值问题 掌握从几何角度找出距离的最值，比如两点之间距离最短、将军饮马等。 基本必考点，常出现在小题中。 圆上的点到直线的距离的最值与范围 掌握直线与圆上点的距离的范围。 基本必考点，常出现在小题中。 由圆上点到直线距离为定值的个数求最值与范围 掌握圆上点到直线距离为定值的个数可转化成平行线与圆的交点个数问题。 重难必考点，常出现在小题中。 与圆的弦长有关的最值与范围 掌握最长最短的弦长的位置 基本必考点，常出现在小题中。 与圆的切线长有关的最值与范围 掌握切线长与圆心与动点距离的关系。 基本必考点，常出现在小题中。 代数式的几何意义 掌握距离公式，圆的公式等，能巧妙的把代数式转成几何问题。 基本必考点，常出现在小题中。 知识点01 直线的斜率与倾斜角 1、直线的倾斜角与斜率关系 倾斜角 斜率 倾斜角与斜率的变化关系 0 0 直线l与x轴平行或重合 斜率随着增大而增大 斜率不存在 直线l与x轴垂直 斜率随着增大而增大 2、根据直线有交点来确定直线斜率 画图定性：首先根据题意画出满足条件的直线大致位置，直观判断倾斜角的大致范围。 找临界：确定倾斜角变化的边界（通常是垂直或水平位置）。 转化求解：若已知的是斜率k的范围，则根据 k = tanα 的单调性求解。在 (0°, 90°) 和 (90°, 180°) 上，tanα 分别单调递增。若已知的是几何条件（如直线与线段相交、在两直线之间等），先求出斜率的范围，再转化为倾斜角范围。 注意直角：时刻检查是否存在斜率不存在（α = 90°）的情况，并判断它是否包含在范围内。 知识点02 将军饮马求距离最值 在求距离最值问题上，我们往往从几何角度出发，核心为“两点之间，线段最短”或“点到直线的距离，垂线段最短”这两个最基本的几何公理。还可以构造对称，运用将军饮马来求距离的最值。 知识点03 直线与圆上点的距离 圆上到直线距离最短的距离为过圆心与直线垂直的线|PA|的长度 知识点04 圆的弦长 过某定点A的直线与圆相交，截得的弦长，在过圆心时最长，在被直径垂直平分时最短。 知识点05 圆的切线长 过直线上的动点P做圆的切线长，根据勾股定理，可以由PC（动点与圆心连线），半径AC长来决定。由于半径不变，所以PA根据PC的变化而变化。PC在垂直直线时最短，这时候PA也是最短的切线长。 题型一 与斜率、倾斜角有关的范围问题 解｜题｜技｜巧 将题目中关于直线位置、变化的几何约束条件，准确地转化为关于斜率 或倾斜角  的不等式（或方程），然后通过求解这个不等式（或方程）来确定范围。 【典例1】（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·四川成都·期中）已知点，.若直线：与线段相交，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广东广州·月考）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点.若三角形为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 将军饮马解决两点距离、点到直线的距离有关的最值 解｜题｜技｜巧 1、 找定点：如动直线过某定点，找到这个定点，就找到了问题的“锚点”。 2、 找轨迹：如题目给出动点，若能找到该动点的运动轨迹，问题就能迎刃而解了。 3、 运用将军饮马，构造对称，利用两点之间距离最短求最值。 【典例1】（25-26高二上·吉林长春·月考）已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A．3 B． C． D．5 【典例2】（25-26高二上·河南·月考）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【变式1】（25-26高二上·江西上饶·月考）已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为 ． 【变式2】（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 题型三 将军饮马解决与圆有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 根据将军饮马构造对称，利用两点之间距离最短来求与圆有关的距离最值的问题 【典例1】（24-25高二上·青海海南·期中）已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1】（24-25高二上·湖南株洲·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·期末）若P为直线上动点，，B在圆上，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．2 题型四 圆上的点到直线的距离的最值与范围 解｜题｜技｜巧 将直线平行平移，当与圆有交点时，有两个相切的状态，这时的切点到直线的距离即使最短与最长的状态。 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆，是圆上的一条动弦，且，设中点为，则到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·广西玉林·月考）已知直线与直线的交点为，则点到直线距离的最大值为 【变式1】（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·贵州铜仁·期末）最新发布的Figure 02实体机器人在平面内的运行轨迹方程为圆O：，则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是 . 题型五 由圆上点到直线距离为定值的个数求参数范围 解｜题｜技｜巧 1. 几何转化：圆上点到直线的距离为  的点的轨迹，是与 平行且距离为  的两条直线 和 。 2. 问题等价于 “圆与两条平行直线 和 有几个公共点”。 分类讨论：通过比较圆心  到直线 的距离 与圆的半径 ，以及定值  之间的关系，来确定交点个数。 【典例1】（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）若经过点且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆上恰有个点到直线的距离等于，则的取值范围是 . 【变式1】（24-25高二上·上海闵行·月考）已知圆上恰好存在2个到直线的距离为1的点，则的取值范围是 . 【变式2】（24-25高二上·福建福州·期中）已知圆，直线，圆上至少有三个点到直线的距离都等于2，则b的范围是 . 题型六 与圆的弦长有关的最值与范围 解｜题｜技｜巧 通常问题是求过定点的直线与圆的相交弦长的最短与最长。 1、 当直线过圆心时，与圆的相交弦是最长的，为直径的长度 2、 当直线垂直于定点与圆心的连线时，此时的相交弦时最短的，根据半径与定点与圆心连线的长度可求得。 【典例1】（24-25高二上·湖北·期末）已知圆，直线，若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【变式1】（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍．动点的轨迹与直线交于两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·天津·期末）若直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型七 与圆的切线长相关的最值与范围 解｜题｜技｜巧 根据切线、动点与圆心的连线，半径构造的勾股定理，讨论切线长的最值可以由动点与圆心的连线的长的最值来决定。 【典例1】（多选）（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（   ） A．线段的最小值为 B．线段的最大值为 C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为 D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为 【典例2】（多选）（24-25高二上·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，过圆外的动点作圆的两条切线，切点为，则下列结论正确的有（   ） A．若点，则四边形的面积是 B．若点，则四边形的外接圆方程是 C．若点在直线上，则所在圆的直径的最小值是 D．当取得最小值时，点到圆心的距离为 【变式1】（25-26高二上·山东济宁·期中）已知圆，若点是轴上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当取得最大值时，面积为 ． 【变式2】（多选）（25-26高二上·福建福州·期中）设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 题型八 代数式的几何意义与最值与范围 解｜题｜技｜巧 将代数式转化为几何意义，然后进行数形结合来求最值。 1、 若遇到带平方跟开方的，联想到两点间的距离公式，把它构造成两个点。 2、 遇到跟x、y有关的代数式，可以联想到点到直线的距离，两平行直线的距离公式 3、 熟悉圆的方程、直线方程，把代数式转化成圆上点或者直线上点，将代数问题转化为几何问题。 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）已知实数满足方程，则（   ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为-20 D．的最大值为 【典例2】（25-26高二上·河南·月考）已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·山西太原·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最小值5 D．有最大值 【变式2】（25-26高二上·广东江门·月考）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·山西忻州·月考）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东汕头·月考）已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是（   ） A． B．3 C．4 D． 3．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二下·湖北·月考）已知圆，直线，圆上至少有三个点到直线的距离等于，则的范围是 ． 5. （25-26高二上·辽宁·月考）直线，圆，则直线被圆截得的弦长的取值范围为 ．（用区间表示） 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西南宁·月考）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆的方程为，直线恒过定点若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值（   ） A．9 B．12 C．15 D． 4．（24-25高二上·广东韶关·月考）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 . 5．（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）已知直线和圆，则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过点 B．直线与圆恒有两个交点 C．存在实数，使得直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知，则（    ） A． B．的最大值为26 C．的最小值是 D．的最大值是 3．（多选）（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（   ） A．若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B．线段PM的长度的最小值为 C．四边形PMCN的面积的最小值为 D．直线MN过定点 4．（多选）（25-26高三上·黑龙江·月考）过直线上的动点，作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ） A．直线恒过点 B．线段的中点在一个定圆上运动 C．的取值范围是 D．四边形面积的最小值 5．（多选）（25-26高二上·黑龙江鸡西·期中）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A． B．直线与圆相离 C．从点向圆引切线，切线长的最小值是 D．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $