专题2.1 直线与圆的方程全章16种题型（期末复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

该高中数学复习讲义通过表格系统梳理直线与圆的方程核心考点，将倾斜角与斜率、直线方程、圆的方程等知识按“基础概念-位置关系-综合应用”递进组织，用对比表呈现直线方程五种形式的适用条件，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于15类题型的分层设计，如“数形结合求斜率范围”“几何法求弦长”等，结合数学思维中的逻辑推理能力，例题如直线与线段相交求斜率范围，配套变式训练帮助不同层次学生提升，易错点提醒助力教师精准教学，支持高效复习。

专题2.1 直线与圆的方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线的倾斜角与斜率 1、理解直线倾斜角定义与范围；2、掌握斜率公式并精准计算； 3、能根据斜率判断两直线平行、垂直关系 基础必考点，小题为主； 易错点：倾斜角与斜率对应关系混淆、两直线平行/垂直斜率条件考虑不全 直线的方程 1、掌握各类直线方程的适用条件； 2、能根据已知条件选写直线方程； 3、实现直线方程互化并写出一般式 高频考点，小题、大题均有涉及（大题中多作为解题第一步）； 易错点：忽略方程的适用条件、截距概念理解偏差（截距非距离） 两条直线的位置关系 1、能根据直线方程判断两直线位置关系； 2、熟练计算两直线交点坐标； 3、会求解点到直线、平行直线间距离 基础必考点，小题为主；命题趋势：结合距离公式考最值；易错点：距离计算时直线方程未化一般式、平行直线系数未统一 圆的方程 1、理解圆的标准方程与一般方程的几何意义； 2、能由一般方程判断圆并求圆心半径； 3、能根据条件求圆的方程 高频核心考点，小题大题均有；命题趋势：结合平面几何性质求圆方程；易错点：记错一般方程圆心坐标、忽略圆的存在条件 直线与圆的位置关系 1、掌握直线与圆位置关系的判断方法； 2、能求解直线与圆相交的弦长； 3、熟练求解圆的切线方程 期末必考，大题高频； 命题趋势：综合考查弦长、切线及最值 易错点：遗漏过圆外点的切线、弦长计算未用垂径定理 圆与圆的位置关系 1、理解两圆位置关系与圆心距、半径的关系； 2、能判断两圆位置关系； 3、能求解两圆公共弦方程与弦长 中频考点，小题为主； 易错点：混淆两圆位置关系的数量关系、忽略公共弦存在条件 直线与圆的综合应用 1、能用直线与圆知识解决最值问题 2、能求解动点轨迹方程； 3、能将实际问题转化为数学模型求解 压轴考点，解答题末问为主； 命题趋势：跨知识综合考查； 知识点01 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0． （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 ·易错点：混淆 “截距” 与 “距离”：截距可正、可负、可为0，距离一定非负， ·示例：如直线在轴上的截距是−2，而非2． 知识点02 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2． ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2． （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． ·易错点：求解两直线平行/垂直问题时，忽略斜率不存在的特殊情形 ·示例：直线与直线平行，与直线垂直 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． ·易错点：求平行线间距离时，需保证两直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0中A,B系数完全相同，易因系数不一致直接代入导致错误． 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 知识点03 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 知识点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 ① ② （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝． 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 题型一 直线的倾斜角与斜率求解 解｜题｜技｜巧 求解直线的倾斜角与斜率，核心是紧扣斜率与倾斜角的关系k=tanα（α∈[0,π)） 已知两点、时，直接代入斜率公式k＝计算，注意时直线垂直轴，倾斜角为，斜率不存在． 已知斜率求倾斜角时，需结合正切函数在[0，2π)和(2π，π)上的单调性分析，避免因忽略倾斜角的取值范围导致结果错误． 【例题1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为.故选：B 【变式1-1】（25-26高二上·广东梅州·月考）若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率，解得.故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意：向量所在的直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，所以可得倾斜角为．故选：D 【变式1-3】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为 ． 【答案】 【解析】依题意，直线的斜率， 所以直线l的倾斜角为. 题型二 直线与线段相交求斜率范围 解｜题｜技｜巧 核心思路是数形结合+临界分析，通过确定直线绕定点旋转时与线段两端点相交的临界位置，结合斜率变化规律求解范围． 1、找临界直线：设直线过定点P，线段端点为A、B，分别求出直线PA、PB的斜率、，这两条直线是直线与线段AB相交的临界状态； 2、分析斜率变化规律：结合图像观察直线绕定点P旋转时斜率的变化趋势，重点关注倾斜角为（斜率不存在）的情况。若临界直线斜率一正一负，或旋转过程中经过垂直轴的直线，斜率范围会出现“两段区间”；若斜率同号，则为连续区间； 3、验证端点是否可取：根据题目中线段是否包含端点，确定斜率范围的开闭区间． 【例题2】（24-25高二上·河北·月考）已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于, 结合图形关系可知：要使直线过点且与线段相交， 则直线的斜率或，故选：B 【变式2-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，， 则，，所以.故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·天津滨海新·月考）直线l过点且与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当直线l过点时，， 当直线l过点时，， 要使直线l与以为端点的线段相交， 则直线的斜率的取值范围.故选：D 【变式2-3】（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知点，若直线与线段AB相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，恒过点且斜率为，如下图示， 所以，， 由图知，要使直线与线段有交点， 则或，故或.故选：C 题型三 直线方程方程的求解 解｜题｜技｜巧 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程； （3）分类讨论：涉及斜率时，必须分斜率存在和斜率不存在两种情况． 【例题3】（24-25高二上·重庆·期末）过 、 两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线方程为， 由题意， 即直线方程为：，故选：A 【变式3-1】（24-25高二上·湖北·期末）直线的一个方向向量的坐标为，直线过点且与垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得直线的方向向量为直线的法向量， 由点法式方程可得， 所以.故选：A. 【变式3-2】（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】由直线与直线平行，设直线的方程为， 由直线经过点，得，解得， 所以直线的方程为. 【变式3-3】（24-25高二上·广西河池·期末）已知三角形三顶点，，，求： (1)直线AB的一般式方程; (2)边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），， 直线AB的方程为， 化简得； （2）直线AB的斜率为， 边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即 题型四 直线平行与垂直的判定及应用 解｜题｜技｜巧 1、斜率法：若两直线斜率都存在，平行⇔且；垂直⇔ 2、一般式法：对直线，，平行⇔且；垂直⇔． 【例题4】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线，若，则的值为（    ） A． B．3 C．-1 D．3或-1 【答案】A 【解析】当或时两直线不平行， 当且时， 因为，所以，故选:A． 【变式4-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B 【解析】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”.故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·江西抚州·期末）已知直线，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】由直线，，满足可得， ，可得，故选：A. 【变式4-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 【答案】2 【解析】已知直线和互相垂直， 则，解得. 题型五 点到直线、平行线间的距离问题 解｜题｜技｜巧 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【例题5】（25-26高二上·云南文山·月考）（多选）若两平行线分别经过点，则两平行线之间的距离可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为两平行线分别经过点， 易知当两平行线与两点所在直线垂直时，两平行线间的距离最大， 即，所以， 故距离可能等于.故选：AB. 【变式5-1】（24-25高二上·安徽·期末）两平行直线与之间的距离是，则（    ） A．-2 B．-12 C．12 D．14 【答案】C 【解析】因为直线与平行， 所以，即，得：， 将变形为：， 则直线与之间的距离是， 所以， 所以，解得或（舍去）， 所以.故选C. 【变式5-2】（24-25高二上·重庆长寿·期末）点到直线的距离为 ． 【答案】 【解析】由得到， 所以点到直线的距离为. 【变式5-3】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知直线过点，且点到直线的距离相等，写出满足条件的一条直线的方程 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】当直线与平行时，因为，可得， 所以直线的方程，即； 当直线过线段的中点时，因为，则的中点为， 可得，所以直线的方程，即， 综上可得，直线的方程为或. 故答案为：（答案不唯一）. 题型六 点与直线、直线与直线对称问题 解｜题｜技｜巧 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【例题6】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得.故选：C. 【变式6-1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（    ） A．2 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【解析】易知直线的方程为， 设点关于直线的对称点， 则且，解得，即， 又点关于轴的对称点， 由光的反射规律可知，共线，共线，从而共线， 所以光线所经过的路程长为 .故选：A. 【变式6-2】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【答案】或 【解析】 易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或. 【变式6-3】（25-26高二上·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为 . 【答案】 【解析】因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 题型七 圆的方程的求法 解｜题｜技｜巧 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【例题7】（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则， 所以.故选：D. 【变式7-1】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过三点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的方程为， 由圆过三点，得，解得， 则圆的方程为， 所以该圆的标准方程为.故选：A 【变式7-2】（25-26高二上·山东青岛·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得圆的圆心坐标为，半径为． 设点关于直线对称的点， 则，解得，． 由轴对称的性质得新圆的半径为， 对称的圆的方程为，故A正确.故选：A 【变式7-3】（25-26高二上·北京·期中）圆心在直线上，并且经过原点和的圆的方程为 【答案】 【解析】设，则中点， 过点作直线，使得，则， 联立方程组，解得，即圆心， 半径， 所以圆的方程为. 题型八 与圆有关的轨迹问题 解｜题｜技｜巧 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 【例题8】（24-25高二上·重庆·期末）方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 【答案】D 【解析】由于，故或， 当时，则，平方可得， 表示圆心为半径为2的右半圆， 当时，则，平方可得， 表示圆心为半径为2的左半圆，故选：D 【变式8-1】（25-26高二上·安徽·月考）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点， 所以，代入可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程.故选：A 【变式8-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（    ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【答案】B 【解析】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）.故选：B 【变式8-3】（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知P为圆上的动点，点，，若为常数，则 . 【答案】 【解析】设动点，则有， 由， 由于为常数,所以， 解得或，因为，所以， 故答案为：. 题型九 直线与圆的位置关系判断 解｜题｜技｜巧 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【例题9】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【解析】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心，故选：A 【变式9-1】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知集合，集合．则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程可化为， 该方程表示的曲线是以点为圆心，半径为的圆， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交， 因此，的元素个数.故选：C. 【变式9-2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【解析】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交.故选：B . 【变式9-3】（24-25高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】B 【解析】点在圆上，故， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相切.故选：B 题型十 根据直线与圆的位置关系求参数 解｜题｜技｜巧 第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式． 第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法． 第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围． （1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式； （2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等式解”与“隐含限制”的交集． 【例题10】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以.故选：B. 【变式10-1】（24-25高二下·安徽·期末）若直线与圆相切，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】圆即圆，所以， 且圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相切， 则，解得.故选：A. 【变式10-2】（25-26高二上·广东梅州·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】曲线，等价于，即以原点为圆心，半径为的圆的上半部分， 又直线，过定点， 直线与曲线恰有2个交点时位置关系如下， 当直线与曲线左边界相交到直线与曲线左侧相切（不含切点）的范围内恰有两个交点， 当直线与曲线左边界相交时，直线过点，此时，解得； 当直线与曲线左半边相切时，原点到直线的距离为， 即，整理得，解得， 直线与曲线恰有两个交点时实数的取值范围是，故A正确．故选：A． 【变式10-3】（24-25高二上·河北沧州·期末）若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，可得， 由，得， 因为关于的方程有两个不相等的实根 所以直线与曲线有2个公共点， 如图，当直线经过点时，，恰好有两个交点； 当时，最多有一个交点，舍去； 当直线与曲线相切时， 得到，解得（舍），或， 由图可知，当直线与曲线有2个公共点时， 实数的取值范围为. 题型十一 与圆的弦长有关的问题 解｜题｜技｜巧 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|． 【例题11】（24-25高二上·安徽宣城·期末）过坐标原点O作倾斜角为的直线l，则直线l被圆所截得的弦长为 . 【答案】 【解析】由题意可得直线l的方程为，即，即， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l被圆所截得的弦长为 【变式11-1】（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆圆心坐标为，半径为， 所以点到直线的距离可以求得弦心距为， 所以根据几何法得弦长为．故选：B. 【变式11-2】（24-25高二上·江西抚州·期末）已知过原点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【解析】由，即原点在已知圆内部，且圆心，， 若原点为，要使最小，只需直线，而， 所以最小.故选：D 【变式11-3】（24-25高二上·河北邯郸·期末）过圆内一点作互相垂直的两条直线AB，CD，与圆分别交于A，B，C，D四点，则的最大值是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【解析】过点O分别作AB，CD的垂线，垂足为M，N，则四边形OMPN为矩形， 所以． 设，，则，， 所以，，所以． 因为 （当且仅当时取得最大值），所以的最大值为，故选：A． 题型十二 圆的切线问题 解｜题｜技｜巧 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 【例题12】（24-25高二上·天津·期末）已知圆C 直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 . 【答案】或 【解析】当切线的斜率存在时，可设直线：， 即， 圆心到直线的距离为，解得， 故直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线：，圆心到直线的距离为1，符合题意； 所以直线l的方程为或. 【变式12-1】（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即.故选：A 【变式12-2】（24-25高二上·河南焦作·期末）过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径， 由题意可得，则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， 则，所以.故选：B. 【变式12-3】（24-25高二上·福建南平·期末）过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径， 由切线性质可得，，， 又点的坐标为， 所以， 所以， 所以的面积， 的面积， 所以四边形的面积.故选：D. 题型十三 圆与圆的位置关系判断 解｜题｜技｜巧 可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）集合法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系． 【例题13】（24-25高二上·贵州黔西·期末）圆：与圆：的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【解析】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 则，所以两圆相交.故选：B 【变式13-1】（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为， 故其圆心为，半径为， 故， 故圆与圆的位置关系为相切.故选：B. 【变式13-2】（24-25高二上·陕西西安·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为， 故圆与圆外切.故选：C. 【变式13-3】（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（    ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【解析】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含.故选：C 题型十四 两圆的公共弦问题 解｜题｜技｜巧 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 【例题14】（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（    ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【解析】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或.故选：B. 【变式14-1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径， 因为，则，所以两圆相交， 则两圆的公共弦方程为， 则到的距离， 所以.故选：A 【变式14-2】（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求．故选：B. 【变式14-3】（24-25高二上·吉林四平·期末）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【解析】：和圆：的圆心和半径 分别为, 故，故两个圆相交， 因此公共弦所在的直线方程为，即. 题型十五 两圆的切线问题 解｜题｜技｜巧 两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 【例题15】（24-25高二上·青海西宁·期末）已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 所以，圆内切， 所以与圆都相切的直线只有1条．故选：A． 【变式15-1】（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】两圆圆心分别为，半径分别为2和3， 而圆心距为5，故两圆外切， 所以两圆的公切线共有3条，故选：C 【变式15-2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或.故选:D. 【变式15-3】（25-26高二上·甘肃兰州·月考）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两圆方程得：圆心，，半径， 两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条； 两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行， 经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：， ，解得：或，即公切线方程为：或； ，与平行的公切线方程为，即， ，解得：，即公切线方程为或； 综上所述：两圆的公切线方程为：或或或.故选：C. 题型十六 与圆有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 求解与圆有关的最值问题步骤 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解． 【例题16】（24-25高二上·福建漳州·期末）已知点和，若动点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为点和，动点P满足， 设点，所以，整理得， 所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为直线恒过点， 当直线和直线OC垂直时点P到直线的距离取得最大值， 所以最大值为,故选：C 【变式16-1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）（多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【解析】表示圆心为，半径为的圆，A错误； ，解得，即的最大值为，B正确； 表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 圆上点到定点的距离的最大值为，C正确； 由得， 代入得，， 因为函数在上单调递增， 所以的最大值为，D错误.故选：BC 【变式16-2】（24-25高二上·山东青岛·月考）已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以 ， 则， 相当于圆上的任一点到点与的距离之和，如图， 因为，当在线段与圆的交点处时，即为所求， 所以所求最小值为. 【变式16-3】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知圆，点，，点为圆上的动点，则的最大值是 . 【答案】74 【解析】设点.∵点，，， 其中的几何意义为：点到原点的距离的平方. ∵点为圆上的动点，圆心到原点的距离为5， ∴点到原点的距离的最大值为5+1=6， 的最大值为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线经过和两点，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，解得.故选：D 2．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】由题点到直线的距离为.故选：D. 3．（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【答案】A 【解析】由题可得，圆心为，又点满足直线方程， 即直线经过圆心， 所以直线与圆相交.故选：A. 4．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交.故选：C. 5．（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为 ． 【答案】 【解析】设，则中点坐标为，又和关于直线对称， 所以有，解得，即对称点坐标为. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】法一：点到直线的距离为， ， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点， 则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即.故选：C. 2．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：表示圆， 可得：，解得：， 又在圆外，所以，得：， 所以k的取值范围为，故选：C 3．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得，故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. （2）设点， 则由点M是线段AB的中点得，所以①， 因为点B在圆C上运动，所以②，将①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时.故选：C 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B. 3．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【解析】因为直线与轴交于，与轴交于， 所以，所以， 圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 故，解得； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 直线与圆的方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线的倾斜角与斜率 1、理解直线倾斜角定义与范围；2、掌握斜率公式并精准计算； 3、能根据斜率判断两直线平行、垂直关系 基础必考点，小题为主； 易错点：倾斜角与斜率对应关系混淆、两直线平行/垂直斜率条件考虑不全 直线的方程 1、掌握各类直线方程的适用条件； 2、能根据已知条件选写直线方程； 3、实现直线方程互化并写出一般式 高频考点，小题、大题均有涉及（大题中多作为解题第一步）； 易错点：忽略方程的适用条件、截距概念理解偏差（截距非距离） 两条直线的位置关系 1、能根据直线方程判断两直线位置关系； 2、熟练计算两直线交点坐标； 3、会求解点到直线、平行直线间距离 基础必考点，小题为主；命题趋势：结合距离公式考最值；易错点：距离计算时直线方程未化一般式、平行直线系数未统一 圆的方程 1、理解圆的标准方程与一般方程的几何意义； 2、能由一般方程判断圆并求圆心半径； 3、能根据条件求圆的方程 高频核心考点，小题大题均有；命题趋势：结合平面几何性质求圆方程；易错点：记错一般方程圆心坐标、忽略圆的存在条件 直线与圆的位置关系 1、掌握直线与圆位置关系的判断方法； 2、能求解直线与圆相交的弦长； 3、熟练求解圆的切线方程 期末必考，大题高频； 命题趋势：综合考查弦长、切线及最值 易错点：遗漏过圆外点的切线、弦长计算未用垂径定理 圆与圆的位置关系 1、理解两圆位置关系与圆心距、半径的关系； 2、能判断两圆位置关系； 3、能求解两圆公共弦方程与弦长 中频考点，小题为主； 易错点：混淆两圆位置关系的数量关系、忽略公共弦存在条件 直线与圆的综合应用 1、能用直线与圆知识解决最值问题 2、能求解动点轨迹方程； 3、能将实际问题转化为数学模型求解 压轴考点，解答题末问为主； 命题趋势：跨知识综合考查； 知识点01 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0． （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 ·易错点：混淆 “截距” 与 “距离”：截距可正、可负、可为0，距离一定非负， ·示例：如直线在轴上的截距是−2，而非2． 知识点02 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2． ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2． （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． ·易错点：求解两直线平行/垂直问题时，忽略斜率不存在的特殊情形 ·示例：直线与直线平行，与直线垂直 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． ·易错点：求平行线间距离时，需保证两直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0中A,B系数完全相同，易因系数不一致直接代入导致错误． 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 知识点03 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 知识点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 ① ② （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝． 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 题型一 直线的倾斜角与斜率求解 解｜题｜技｜巧 求解直线的倾斜角与斜率，核心是紧扣斜率与倾斜角的关系k=tanα（α∈[0,π)） 已知两点、时，直接代入斜率公式k＝计算，注意时直线垂直轴，倾斜角为，斜率不存在． 已知斜率求倾斜角时，需结合正切函数在[0，2π)和(2π，π)上的单调性分析，避免因忽略倾斜角的取值范围导致结果错误． 【例题1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·广东梅州·月考）若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为 ． 题型二 直线与线段相交求斜率范围 解｜题｜技｜巧 核心思路是数形结合+临界分析，通过确定直线绕定点旋转时与线段两端点相交的临界位置，结合斜率变化规律求解范围． 1、找临界直线：设直线过定点P，线段端点为A、B，分别求出直线PA、PB的斜率、，这两条直线是直线与线段AB相交的临界状态； 2、分析斜率变化规律：结合图像观察直线绕定点P旋转时斜率的变化趋势，重点关注倾斜角为（斜率不存在）的情况。若临界直线斜率一正一负，或旋转过程中经过垂直轴的直线，斜率范围会出现“两段区间”；若斜率同号，则为连续区间； 3、验证端点是否可取：根据题目中线段是否包含端点，确定斜率范围的开闭区间． 【例题2】（24-25高二上·河北·月考）已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·天津滨海新·月考）直线l过点且与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知点，若直线与线段AB相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 直线方程方程的求解 解｜题｜技｜巧 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程； （3）分类讨论：涉及斜率时，必须分斜率存在和斜率不存在两种情况． 【例题3】（24-25高二上·重庆·期末）过 、 两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·湖北·期末）直线的一个方向向量的坐标为，直线过点且与垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 【变式3-3】（24-25高二上·广西河池·期末）已知三角形三顶点，，，求： (1)直线AB的一般式方程; (2)边上的高所在直线的一般式方程. 题型四 直线平行与垂直的判定及应用 解｜题｜技｜巧 1、斜率法：若两直线斜率都存在，平行⇔且；垂直⇔ 2、一般式法：对直线，，平行⇔且；垂直⇔． 【例题4】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线，若，则的值为（    ） A． B．3 C．-1 D．3或-1 【变式4-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【变式4-2】（24-25高二上·江西抚州·期末）已知直线，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式4-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 题型五 点到直线、平行线间的距离问题 解｜题｜技｜巧 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【例题5】（25-26高二上·云南文山·月考）（多选）若两平行线分别经过点，则两平行线之间的距离可能等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·安徽·期末）两平行直线与之间的距离是，则（    ） A．-2 B．-12 C．12 D．14 【变式5-2】（24-25高二上·重庆长寿·期末）点到直线的距离为 ． 【变式5-3】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知直线过点，且点到直线的距离相等，写出满足条件的一条直线的方程 . 题型六 点与直线、直线与直线对称问题 解｜题｜技｜巧 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【例题6】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（    ） A．2 B．6 C．3 D．2 【变式6-2】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【变式6-3】（25-26高二上·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为 . 题型七 圆的方程的求法 解｜题｜技｜巧 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【例题7】（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过三点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·山东青岛·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·北京·期中）圆心在直线上，并且经过原点和的圆的方程为 题型八 与圆有关的轨迹问题 解｜题｜技｜巧 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 【例题8】（24-25高二上·重庆·期末）方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 【变式8-1】（25-26高二上·安徽·月考）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（    ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【变式8-3】（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知P为圆上的动点，点，，若为常数，则 . 题型九 直线与圆的位置关系判断 解｜题｜技｜巧 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【例题9】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【变式9-1】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知集合，集合．则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【变式9-3】（24-25高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 题型十 根据直线与圆的位置关系求参数 解｜题｜技｜巧 第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式． 第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法． 第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围． （1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式； （2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等式解”与“隐含限制”的交集． 【例题10】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高二下·安徽·期末）若直线与圆相切，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式10-2】（25-26高二上·广东梅州·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高二上·河北沧州·期末）若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为 . 题型十一 与圆的弦长有关的问题 解｜题｜技｜巧 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|． 【例题11】（24-25高二上·安徽宣城·期末）过坐标原点O作倾斜角为的直线l，则直线l被圆所截得的弦长为 . 【变式11-1】（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-2】（24-25高二上·江西抚州·期末）已知过原点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【变式11-3】（24-25高二上·河北邯郸·期末）过圆内一点作互相垂直的两条直线AB，CD，与圆分别交于A，B，C，D四点，则的最大值是（    ） A． B． C． D．8 题型十二 圆的切线问题 解｜题｜技｜巧 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 【例题12】（24-25高二上·天津·期末）已知圆C 直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 . 【变式12-1】（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25高二上·河南焦作·期末）过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【变式12-3】（24-25高二上·福建南平·期末）过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 题型十三 圆与圆的位置关系判断 解｜题｜技｜巧 可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）集合法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系． 【例题13】（24-25高二上·贵州黔西·期末）圆：与圆：的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【变式13-1】（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【变式13-2】（24-25高二上·陕西西安·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【变式13-3】（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（    ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 题型十四 两圆的公共弦问题 解｜题｜技｜巧 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 【例题14】（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（    ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【变式14-1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（24-25高二上·吉林四平·期末）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 . 题型十五 两圆的切线问题 解｜题｜技｜巧 两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 【例题15】（24-25高二上·青海西宁·期末）已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式15-1】（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式15-2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（25-26高二上·甘肃兰州·月考）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型十六 与圆有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 求解与圆有关的最值问题步骤 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解． 【例题16】（24-25高二上·福建漳州·期末）已知点和，若动点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式16-1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）（多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【变式16-2】（24-25高二上·山东青岛·月考）已知实数满足，则的最小值为 . 【变式16-3】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知圆，点，，点为圆上的动点，则的最大值是 . 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线经过和两点，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 3．（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 4．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 5．（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为 ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $