专题02 导数及其应用全章15大题型（期末复习讲义）高二年级数学下学期人教A版

专题02 导数及其应用全章15大题型（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 公切线问题 题型02 具体函数的单调性、极值最值 题型03 利用导数求含参可分离函数的单调性 题型04 利用导数求含参不可分离函数的单调性 题型05 由函数单调性求参数 题型06 由极值、极值点、最值求参数 题型07 恒成立问题 题型08 能成立（有解）问题 题型09 恒成立问题中的整数最值问题 题型10 利用导数证明不等式 题型11 导数与函数的零点 题型12 方程的根与图象交点 题型13 隐零点设而不求 题型14 导数中的极值点偏移问题 题型15 数列、三角函数、概率与导数交汇问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 导数的基本计算 能熟练运用基本初等函数导数公式和四则运算法则，求简单函数的导数 基础必考点，常以选择题、填空题或解答题第一问出现，易错点在于复合函数求导漏乘内层导数 求切线方程 能根据函数解析式与切点坐标（或切线过某点），正确求出切线方程 高频考点，注意区分“在点处”与“过点处”的切线，后者需设切点求解 由切线求参数 能利用切线方程与函数的关系（切点在曲线上、斜率等于导数值），建立方程（组）求参数 常与导数计算结合，考查方程思想，易错点在于忽略切点同时在切线和曲线上 公切线问题 能解决两个函数存在公共切线的问题，通过设切点、联立方程求解参数或判断存在性 难度中上，常作为小题或解答题中间步骤，关键点在于正确表达两条切线相同 导函数与原函数的图象关系 能根据原函数图象判断导函数图象的正负区间、极值点，或由导函数图象还原原函数单调性与极值 小题高频考点，易错点在于混淆极值点与导数为零点的对应关系 具体函数的单调性、极值最值 能通过求导、解不等式确定具体函数（无参数）的单调区间、极值与闭区间最值 基础综合考点，要求步骤规范，易错点在于忘记定义域或导数分母不为零 利用导数求含参可分离函数的单调性 能对含参函数进行参变分离，转化为讨论不含参函数的单调性问题 中档考点，考查转化思想，注意分离后参数与变量的范围限制 利用导数求含参不可分离函数的单调性 能直接对含参函数求导，通过分类讨论参数范围，确定导函数符号，从而得到单调区间 高频压轴考点，分类讨论是难点，易错点在于讨论不完整或区间合并不当 二阶导 能正确计算二阶导数，并利用二阶导符号判断函数图象的凹凸性，辅助研究极值、拐点 常以小题或大题中间步骤出现，考查对导数深层意义的理解 由函数单调性求参数 能根据函数在给定区间上单调（增、减或非单调），转化为导函数恒成立或存在零点问题，求参数范围 重要考点，常结合分离参数或分类讨论，易错点在于等号是否可取 由极值和极值点求参数 能利用极值点处导数为零，并结合极值定义或极值点位置，建立方程（组）或不等式求参数 中高频考点，易错点在于验证极值点两侧导数符号变化 由最值求参数 能根据函数在闭区间上的最值条件（已知最值或最值位置），建立关于参数的方程或不等式求解 常见于解答题第二问，需结合单调性讨论，注意区间端点与极值点比较 恒成立问题 能将“f(x)≥0（或≤0）在区间上恒成立”转化为函数最值问题，或通过分离参数求解参数范围 解答题核心考点，常与分类讨论、最值、构造新函数结合，易错点在于最值点是否在区间内 能成立（有解）问题 能将“存在x使f(x)≥0成立”转化为函数最大值非负或分离参数后的值域问题 与恒成立对称考查，注意“存在”与“任意”的逻辑转换，易混淆条件 利用导数证明不等式 能通过构造函数、求导判断单调性或最值，证明与函数相关的不等式（常见如单变量、双变量） 压轴题常见题型，考查构造能力与代数变形，易错点在于构造函数不恰当 参变分离 能在恒成立或有解问题中，将参数与变量分离，转化为求不含参函数的最值或值域 重要解题技巧，简化分类讨论，注意分离后函数定义域及极限情况 洛必达法则 能使用洛必达法则求解分式型函数在端点处未定式（0/0或∞/∞）的极限，用于确定参数范围 高端技巧，部分压轴题可用，需注意使用条件（可导且分母导数不为零） 端点效应（假性端点）与必要性探路 能利用区间端点函数值或导数值满足的条件，先求出参数的必要范围，再验证充分性，简化讨论 压轴题优化策略，可快速锁定参数范围，易错点在于忘记验证充分性 恒成立问题中的整数最值问题 能结合函数单调性与整数特性，求解使不等式恒成立的参数整数最值（如最大整数、最小整数） 常与分离参数、估值结合，考查数感与逼近思想，易错点在于整数端点取舍 导数与函数的零点（方程的根、图象交点） 能利用导数研究函数单调性、极值与最值，判断零点个数或根据零点情况求参数范围 压轴高频考点，常结合零点存在定理，易错点在于漏看定义域或单调区间不连续 隐零点设而不求 能在导数零点无法显式表达时，设出隐零点，利用零点满足的方程进行化简、代换，解决极值或不等式问题 高端解题技巧，突破传统求根限制，考查代数整体代换能力 利用导数研究双变量 能处理两个独立变量的问题，通过构造新函数、统一变量或利用单调性转化为单变量问题 难度较大，常与不等式证明结合，易错点在于变量代换后不等号方向 利用导数研究多变量问题 能通过消元、主元法或构造函数，将多个变量问题转化为函数最值或单调性问题 综合压轴题型，考查变量控制思想，需灵活选择主元 导数中的极值点偏移问题 能识别极值点偏移特征（如f(x1)=f(x2)且x1≠x2，极值点不在中点），通过构造对称函数或比值代换证明不等式 导数压轴经典题型，考查对数平均不等式或构造函数对称性，难度大 数列、三角函数、概率与导数交汇问题 能综合运用数列求和、三角函数性质、概率分布与导数工具，解决跨章节综合问题 新高考趋势题型，考查知识迁移与综合应用能力，常以创新情境出现 知识点1 平均变化率 对于函数，设自变量x从变化到 ，相应地，函数值y从变为 ，这时，x的变化量为，y的变化量为．我们把比值，即 叫做函数从到的平均变化率． 知识点2 瞬时变化率 设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为，当无限接近于0时，若平均变化率无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数在处的瞬时变化率． 记作：当时，． 上述过程，通常也记作 ． 知识点3 导数的定义 函数在处的导数定义式： 实质：函数在处的导数即函数在处的 瞬时变化率 ． 知识点4 割线斜率与切线斜率 设函数的图象如图所示，直线AB是过点与点的一条割线，此割线的斜率是 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的 切线 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝ 知识点5 导数的几何意义 就是曲线在点（也称处）处的切线的 斜率 ，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是 ． 知识点6 常用基本初等函数的求导公式 原函数 导函数 （c为常数） （，且） （，且） 知识点7 导数的运算法则 已知为可导函数，且． （1） ． （2） ，特别地， ． （3），特别地，． 知识点8 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作 ． （2）复合函数的求导法则 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于 对 的导数与对的导数的乘积 ． 知识点9 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 知识点10 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [常用结论] 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 知识点11 极值的定义 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 大 ， 0 .而且在点附近的左侧 0，右侧 0.我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 小 ， 0 ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程 的根； （3）列表； （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点12 极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 知识点13 函数的最值与导数 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的 极值 ； （2）将函数的各 极值 与 端点 处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识点14 二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 知识点15 恒成立问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 知识点16 能成立（有解）问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 知识点17 端点效应的类型 1.如果函数 在区间 上恒有 ，则端点值满足 且 。 2.（左端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，且 在 处可导，则 。 （右端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，且 在 处可导，则 。 3.（左端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，，且二阶可导，则 。 （右端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，，且二阶可导，则 。 知识点18 洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 题型一 公切线问题 解｜题｜技｜巧 分别设两曲线的切点，由斜率相等得一个方程，再由同一直线（截距相等或两点共线）得另一个方程，联立求解。注意可能同一公共切点的情况。 【典例1】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则______． 【答案】 【分析】设直线与函数图象的切点为，设直线与函数图象的切点为，利用导数的几何意义可得出关于直线的两种形式，求出、的值，可得出、的值，即可得出结果. 【详解】设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 所以，由可得， 所以，解得，故， 则，故. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段检测）直线与函数和的图象都相切，则________ 【答案】 【分析】设直线与函数的切点为，与函数的切点为，根据导数的几何意义可求的值. 【详解】， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 由可得， 由，可得， 又，所以， 由，得， 所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知圆C：与曲线的公切线为直线（），则圆C的半径为______，______． 【答案】 1 【分析】根据圆的一般方程的二次项系数的特点求出，设出直线和的切点，根据导数的几何意义和点到直线的距离列方程求解 【详解】由圆C的方程，得，即，所以圆C：的半径为， 则点到直线的距离，得． 和相切，设切点为， ．由，得，得， 因为，所以． 设，则，当时，，当时，， 则在上递减，在上递增， 所以，所以． 故答案为： 题型二 具体函数的单调性、极值最值 解｜题｜技｜巧 先求定义域，求导后令导数为零，划分区间列表，判断导数符号得单调区间和极值。最值需比较极值与端点值。 【典例1】（24-25高二下·北京石景山·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调增区间为：和，单调递减区间为： (2), 【分析】(1)利用导数可求出函数的单调区间； (2)由（1）可得函数极值，比较区间端点的函数值与极值的大小可得结果. 【详解】（1）， 令，解得或， 所以当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数的单调增区间为：和，单调递减区间为：. （2）由（1）知，函数的极大值为，极小值为， 又， 所以在区间上的最大值和最小值分别为,. 【典例2】（24-25高二下·甘肃张掖·期末）已知函数（）. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间是，无单调递减区间 (2) 【分析】（1）对函数求导，构研究导函数符号确定的单调区间； （2）构造函数，将原问题进行等价转化，利用导数求最值，根据题意求出的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 则. 令，则. 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增. 故的单调递增区间是，无单调递减区间. （2）因为（），定义域为， 所以. 若有两个极值点，，则方程有两个根，， 所以方程有两个根，， 即函数的图象与直线有两个交点. 故， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以. 又因为当时，，， 所以当时，，当时，. 要使函数的图象与直线有两个交点，则，解得， 即实数a的取值范围是. 【变式1】（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积； (2)求在上的单调性与最值． 【答案】(1)4 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意求得，进一步得切线方程即可求解； （2）直接求导得函数单调性，进一步得函数最值. 【详解】（1）因为，所以，所以， 解得，而， 所以曲线在处的切线为， 令，解得，令，解得， 故所求为； （2）由（1）可知，设， 求导得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而， 注意到， 所以在上的最小值为，最大值为. 【变式2】（24-25高二下·北京通州·期末）已知函数为偶函数． (1)求实数a的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义求出的值. （2）对函数求导，分别讨论情况下函数的单调性和极值. 【详解】（1）因为函数（）是偶函数， 所以， 所以，即. （2）由（1）知函数的解析式为（）. 当时，，求导得. 令，；令，. 此时函数在上单调递增，在上单调递减. 令，因为，所以，根据单调性可知函数在处取极小值，无极大值. 当时，，求导得. 令，；令，. 此时函数在上单调递减,在上单调递增.此时函数在处取极小值，无极大值. 题型三 利用导数求含参可分离函数的单调性 解｜题｜技｜巧 将参数分离到一边，转化为不含参的函数研究其单调性。常见于参数仅影响整体乘除因子，或可通过恒等变形分离。 【典例1】（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数，. (1)若，求函数的最小值； (2)若，讨论函数的单调性. 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【分析】（1）计算导数，通过导数的符号判断原函数的单调性； （2）计算导数，对，分情况讨论即可. 【详解】（1），. ，. ， 令得， 即当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以 （2），， ， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，若，则，函数在区间上单调递增， 若，则，函数在区间上单调递减 【典例2】（24-25高二下·山东淄博·期末）已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若，求证：当时，. 【答案】(1)1 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数判断原函数的单调性，进而求解最值即可. （2）对参数范围分类讨论，求解不同情况下的单调性即可. （3）法一构造函数，对函数多次求导，判断其单调性，再结合端点值证明不等式即可，法二先对目标不等式合理变形，构造函数，对其求导并结合判断其导数的正负，再得到其单调性，最后结合端点值证明不等式即可，法三对目标不等式合理变形，构造，对其求导后，再构造函数证明，结合余弦函数性质证明，进而判断其导函数的正负，最后结合端点证明不等式即可，法四对目标不等式右侧进行放缩，得到，再构造函数，利用导数结合端点值证明，最后证明原不等式即可. 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为， 当时，，则， 由，解得，由，解得；由，解得， 则单调递减区间为，单调递增区间为， 故函数的最小值为. （2）由题意得， 则 令，解得或， 当时，， 由，解得或，由，解得， 则在上单调递减，上单调递增，上单调递减. 当时，，得到，在上单调递减， 当时，，由，解得或， 由，解得， 则在上单调递减，在上单调递增，上单调递减 综上所述：当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减，在上单调递增. （3）当时，要证，， 即证，， 法一：令，， 而，令， 则，因为，所以，，， 则，故在上单调递减， 而，得到在上单调递减， 故， 即不等式，在上成立. 法二：要证不等式，， 即，， 令，，， 由（1）知，所以， 则在上单调递增，且， 故，不等式成立， 法三：欲证不等式，在上成立， 即证不等式，在上成立， 构造函数，， 而， 令， 当时，此时由余弦函数性质得， 令，而， 则在上单调递增，故，即， 得到，即， 则在上单调递增，且，即， 所以不等式，成立. 法四：由（1）证得，当时，，即，故， 则，令，， 得到，由（1）知， 则在上单调递减，， 得到，，故，，原不等式成立. 【变式1】（24-25高二下·江西·期末）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数值为切线斜率，即可求参数； （2）利用分类讨论思想，即可判断导数正负，从而可得函数单调区间. 【详解】（1）求导得：． 由题意得，所以． （2）的定义域为． 当时， 令，解得，此时在上单调递增， 令，解得，此时在上单调递减． 当时，令，解得或1． ①当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； ②当，即时， 在上恒成立，所以在上单调递增； ③当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【变式2】（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知函数． (1)求的极小值； (2)若． （ⅰ）讨论的单调性； （ⅱ）当时，设的极大值是，求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明过程见解析 【分析】（1）求导，令得，从而得到函数的极小值； （2）（ⅰ）求定义域，求导，分，，和四种情况，得到函数单调性； （ⅱ）在（ⅰ）基础上，得到，求导，得到其单调性，故. 【详解】（1）的定义域为，， 令得， 令得，令得， 故的极小值为； （2）（ⅰ），定义域为， ， 若，则，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 若，令得或， 当时，，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，，令得或， 令得， 故在上单调递减，在，上单调递增； 当时，，令得或， 令得， 故在上单调递减，在，上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； （ⅱ）由（ⅰ）可得当时，在上单调递减，在，上单调递增； 故时，取得极大值，故， ， 因为，所以， 令得，解得，即， 令得，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故. 【变式3】（24-25高二下·广东佛山·期末）已知函数（，）. (1)当时，求证：； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）构造函数结合函数单调性得出函数最小值证明求解； （2）求出导函数，再分，，，四种情况，得到函数的单调性； （2）参变分离得到，构造函数，求导得到其单调性和最大值，从而得到答案. 【详解】（1）当时，设， 所以单调递增， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以， 所以； （2）函数的定义域为，求导得， 当时，， 当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，，     令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，，     令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，，     令，解得， 当时，单调递增； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； （3）当时，符合题意； 当时，，则等价于恒成立， 令， ， 由（1）知，所以，， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则， 因为恒成立，所以， 所以， 实数的取值范围为. 题型四 利用导数求含参不可分离函数的单调性 解｜题｜技｜巧 对导数中的参数进行分类讨论。分类依据：二次型讨论开口、判别式、根的大小；分式型讨论分母符号；指数/对数型讨论参数与1的关系等。 【典例1】（24-25高二下·河南郑州·期末）设函数. (1)讨论的单调性； (2)若，为的两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求导，分，，讨论导数的正负，得解； （2）由（1）以及有两个极值点，可得，且，代入并化简，结合基本不等式即可求得的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 令，由， 当时，，由，得， 令，得， 令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 当时，，则，所以在R上单调递减； 当时，，则，故，所以在R上单调递减； 综上，当时，在上单调递增，在和上单调递减. 当时，所以在R上单调递减. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，且满足，不妨设， 则， 因为，且，所以， 所以， 所以的取值范围为. 【变式1】（24-25高二下·重庆·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)当时，，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求导，分和讨论导数的正负得解； （2）由题，问题转化为，当时，上式对恒成立，当时，上式转化为恒成立，令，易判断是偶函数，只需对恒成立即可，构造函数利用导数证明，即可得解. 【详解】（1）由，则，， 令， 当时，有，即，所以在R上单调递减； 当时，，， 方程的两根为，，且， 当和时，，即， 当时，，即， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在R上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，， 所以不等式，即， 两边取对数可得， 当时，上式对恒成立， 当时，上式转化为恒成立， 令，由，知是偶函数， 所以只需对恒成立即可， 令，， 则， 令，则， ，则，故，则， 所以在上单调递减，故，即， 所以在上单调递减， 所以，则，对， 所以， 即可. 所以的取值范围为. 【变式2】（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数. (1)讨论的单调性： (2)若有两个极值点，，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性； （2）表示出，通过求导进行证明． 【详解】（1）由，， 则， 不妨设， 则关于的方程的判别式， 当时，，，故， 函数在上单调递增； 当时，，方程有两个不相等的正根，， 且，， 当时，， 当时，， 在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在，上单调递增， 在单调递减； 当时，在上单调递增. （2）由（1）知当且仅当时，有极大值和极小值， 且，是方程的两个正根，，， ， 令， 当时，， 则在内单调递减， 故，则． 题型五 由函数单调性求参数 解｜题｜技｜巧 已知 在区间 上单调递增（减），转化为 （）在 上恒成立，且不在任何子区间恒为零。常用分离参数或求最值法解出参数范围。 【典例1】（24-25高二下·山东淄博·期末）若函数是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用在恒成立，再结合基本不等式得结论． 【详解】由题意在时恒成立，即恒成立， 又时，，当且仅当时等号成立， 所以， 故选：C 【典例2】（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得在上有解，进而得到在上有解，再利用导数工具求出函数的最小值即可得解. 【详解】由题得在上有解， 即在上有解， 因为， 所以当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【变式1】（24-25高二下·河南信阳·期末）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题可转化成在上恒成立，通过参变分离结合利用导数求函数的值域求解. 【详解】由题意，在上恒成立， 即在上恒成立． 设，，， 所以，函数在是单调递减， ，．． 故的最大值为. 故选：A． 【变式2】（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得在上恒成立，据此可得答案. 【详解】，由题，恒成立， 即在上恒成立， 则. 对于函数， 其在上单调递减，在上单调递增，所以， 则. 故选：B 题型六 由极值、极值点、最值求参数 解｜题｜技｜巧 极值点处 ，且两侧导数变号。结合给定极值数值（如 ）列方程求解，最后验证变号条件。 常用方法：① 分离参数转化为 或 恒成立，求 的最值；② 直接构造函数 ，求其最小值 。 【典例1】（24-25高三上·湖北武汉·阶段检测）已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据在区间上有极值，由在区间上有不等根求解. 【详解】解：因为， 所以， 因为函数在区间上有极值， 所以在区间上有变号根， 即在区间上有变号根， 令，则， 令，得或（舍去）， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以当时，取得极小值，又，， 所以，则， 又当时，， 递增，无极值， 所以实数的取值范围是， 故选：B 【典例2】（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【详解】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 【变式1】（24-25高二下·福建·期末）若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数来判断函数的单调区间，然后依题意即可得参数满足的不等式,求解即可. 【详解】由， 则当时，，当时，， 所以函数的减区间为，增区间为， 则依题意有，可得， 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】 因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为.故A正确. 故选：A. 题型七 恒成立问题 解｜题｜技｜巧 常用方法：① 分离参数转化为 或 恒成立，求 的最值；② 直接构造函数 ，求其最小值 。 【典例1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)若函数在处的切线斜率为3，求该切线方程； (2)若时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程； （2）根据不等式恒成立转化为，再构造函数结合导函数得出函数的单调性得出最值即可求解. 【详解】（1），所以， ，切点为， 切线方程为，即； （2）， 设， 设在上单调递增； 时，即在上单调递减； 时，即在上单调递增， . 【典例2】（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数，． (1)证明：在上存在唯一极值点； (2)，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用导数研究函数只有唯一变号零点，即可得证； （2）原问题等价于在上恒成立， 故成立，解法一：原问题等价于，其中，解法二：原问题等价于，其中，解法三：原问题等价于，其中，分别利用导数分段证明问题成立, 【详解】（1）， 易知且为单调递增函数， 故在上存在唯一极值点. （2）在上恒成立. 原问题等价于在上恒成立，故成立. （解法一）原问题等价于，其中. （i）当时，在上单调递增， 故： 令，则， 对分子化简得： 分子 当时：，则，故在上单调递减，即，故成立. （ii）当时，，显然恒成立. （iii）当时，，令， 在上单调递增，且，；， 故在上存在唯一零点，设该零点为.①若，则， 此时，成立结论与（i）中过程相仿，这里不过多赘述. ②若，此时， 证明：证明：，变形得：， 令，求导得：成立， 显然，即：. 接下来证明，即证明，即证明， 因为，且. 故成立.综上所述，的取值范围为. （解法二）原问题等价于，其中. （i）当时，此时为开口向上的二次函数，对称轴为，故在上单调递增， 即： 令，求导可得：，对分子化简得： 分子. 当时：，则，故在上单调递减， 即，故成立. （ii）当时，，显然恒成立. （iii）当时，此时开口向下，对称轴为. 令，求导可得， 故在上单调递增，且，， 故在上存在唯一零点， 设该零点为.①若，则, 此时，成立结论与（i）中过程相仿，这里不过多赘述. 若，此时， 证明证明：，变形得：， 令，求导得：成立， 显然，即：. 接下来证明，即证明，即证明， 因为，且. 故成立.综上所述，的取值范围为. （解法三）原问题等价于，其中， 令，. 需证明在上恒成立. 因为的对称轴为，开口向下且. （i）若，即，此时在处取得最大值， 即， 令， 求导得：，对分子化简得： 分子. 当时：，则，故在上单调递减， 即，故成立. （ii）若，即，此时在在处取得最大值， 即.令， 求导得：，故在上单调递增， 故.因为， 且. 故成立.综上所述，的取值范围为. 【变式1】（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）令，在上恒成立，利用得，求得的范围，再检验满足题意即得. 【详解】（1），，，， 故切线方程：. （2）恒成立，即恒成立. 令，求导得，因为，故 ，，又，解得. 当时，导函数递增，，，所以必存在唯一使得. 故在上递减，在上递增. 又因为，所以在上恒成立，所以的取值范围为. 【变式2】（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知函数（自然常数）． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合（2）分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 而，则， 所以函数在处的切线方程为．即. （2）由，， 则，显然， 当时，， 所以函数在上单调递增，无极值点； 当时， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数有1个极大值点，无极小值点. 综上所述，当时，函数无极值点； 当时，函数有1个极大值点，无极小值点. （3）由（2）知，当时，函数在上单调递增， 且时，，显然不满足恒成立； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 设， 则， 所以函数在上单调递增，又， 要使恒成立，则， 所以a的取值范围为. 题型八 能成立（有解）问题 解｜题｜技｜巧 存在 使 有解 。分离参数后， 有解 ； 有解 。 【典例1】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)极大值是，极小值是； (2) 【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值； （2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围. 【详解】（1），由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是， 所以的极大值是，极小值是； （2）由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，， 若存在，使得不等式成立，则， 所以. 【典例2】（24-25高二下·北京延庆·期末）已知函数，其中. (1)当时，写出的单调递增区间； (2)若函数的极大值为0，且对，成立，求实数的最大值； (3)若过原点至少存在1条直线与曲线相切，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将代入函数解析式，利用导函数求单调性即可； （2）利用导函数求出函数的单调性，由极大值为0可得，再利用导数解决恒成立问题； （3）分类讨论和两种情况，当时，，曲线过原点，存在至少一条切线；当时，设出切点坐标，利用导数以及两点坐标求得切线斜率构造出等式，将问题转化成方程有解，利用导数解决能成立问题即可. 【详解】（1）当时，，定义域， 则，令，得， 所以的单调递增区间是. （2）由题意，函数定义域为，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取极大值，即，所以. 对任意的，成立，即对任意的，， 记，， 则， ①时，此时， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，取极大值也是最大值，，不符合题意. ②当时，此时， 当时，，单调递增； 当时，，符合题意， 综上可得，所以实数的最大值为. （3）当时，，曲线过原点，存在至少一条切线. 当时，过原点作曲线的切线，切点设为，， ，所以， 要使过原点作曲线的切线，至少存在一条， 则方程至少存在一个解，即至少存在一个解， 令，， 则， 所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，最大值为， 要至少一个解，则，即， 此时，，，在存在一个解. 综上，. 【变式1】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，并因式分解，分、、讨论，并比较两根大小，根据的取值范围，求函数的单调区间； （2）根据题意得，根据函数性质分别求出两函数的最大值，比较大小得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， . ①当时，由可得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为； ②当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为； ③当时，即当时，对任意的，恒成立且不恒为零， 此时，函数的单调递增区间为； ④当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为. （2）若，，使得，则， ，故在上单调递增， 当时，取得最大值1，即. 由（1）知，当时，， 令，得，故. 当时，无最大值，不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 【变式2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可； （3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，则， 则在上有，故在上是增函数，得证； （2）由题设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以最小值为时，最大值为时； （3）由题设在上能成立，则， 对于，则在上恒成立， 故在上单调递增，且时，即在上恒成立， 所以在上能成立， 令且，则， 对于且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，，即在上恒成立， 在上恒成立，则在上单调递增，故， 所以. 题型九 恒成立问题中的整数最值问题 解｜题｜技｜巧 先利用必要性（如代入特殊值）估计整数范围，再分离参数并分析函数值所在区间，结合整数特性逐步验证。常用“临界值”两侧整数试探。 【典例1】（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）先求出，再对进行分类讨论得出的单调性，得出的极值情况，进而求得最值的情况； （2）先将不等式转化为恒成立，再令，由求出的最小值，即可得出的最大值． 【详解】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． （2）当时，，代入，得， 因为，所以，所以，即 令，则， 整理：所以 由（1）知，当时，在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以在上存在唯一零点，且， 故在上也存在唯一零点且为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上，， 且，代入，得： ， 因为，所以， 因为且为整数， 所以的最大值为2． 【典例2】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：； (3)若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）通过对函数求导，根据导函数的符号即可判断函数的单调性； （2）设函数，利用求导判断得到，设，求导判断函数单调性得到，故可得，从而得证； （3）先就恒成立，取，结合条件推出，在时，设，通过求导推得，即得在上恒成立，再证当时，，可得不等式恒成立，从而确定整数a的最小值. 【详解】（1）当时， ，其定义域为，且， 由可得，由可得， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）设，函数的定义域为， 且， 因，由可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 设，则， 由可得，由可得， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 即当时，，则，故有. （3）不等式恒成立等价于恒成立， 则，即，又因是整数，则. 当时，设，则， 由可得，由可得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故， 即在上恒成立， 下证当时，. 证明：设，则，故函数在上单调递增， 则，即. 故当时，在上恒成立，即不等式恒成立，符合题意. 故整数a的最小值为1. 【变式1】（24-25高二下·河南·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)若恰有3个零点，求的取值范围； (3)若在定义域上单调，求整数的最大值． 【答案】(1) 的极小值为，无极大值 (2)且 (3)1 【分析】直接对 求导，分析导数的符号变化即可确定极值点及极值. 分析 的单调性和极值，结合图像判断参数 的范围. 函数 在定义域上单调，需要求导并保证导数恒正或恒负，分离参数，利用隐零点的方法可以确定函数最值的取值范围，从而得到整数 的最大值. 【详解】（1）函数 的定义域为 , ， ， 又因为在上单调递增，所以在小于0，在大于0； 所以在单调递减，在单调递增； 所以 的极小值为；无极大值. （2）函数 可因式分解为： 显然， 是一个零点. 零点由 和方程 的解组成. 令，求导：， 令导数为零：； 又因为在R上单调递增， 所以在小于0，在大于0， 所以在单调递减，在单调递增， 所以. 又，，; 当 ，； 的解的个数： 当 ，有两个解： 和一个在 ； 当 且，有两个解：一个在 ，一个在 ； 当 ，有一个解（)； 当 ，无解. 讨论的零点个数： 总是零点； 分析：当 ，是二重根（但仍是同一个点）和一个在 ，共两个零点； 当 且，一个在 ，一个在 ，再加上,一共三个零点； 当 ，有与两个零点； 当 ，只有一个零点. 因此， 恰有三个零点（不同的实根）当且仅当且. （3）函数 ，定义域为 . 求导：， 化简得：， 在定义域上单调，有两种情况单调递减与单调递增； 当在定义域上单调递减时，在定义域上恒小于等于0， 而时，，所以这种情况不成立； 所以只可能在定义域上单调递增； 所以对恒成立， 即恒成立， 令 ，则只需 求导：， 易知在上单调递增，且, ,所以存在,使， 所以在上小于0，在大于0； 所以在上单调递减，在单调递增； 所以,又代入得 , 又，所以, 又且， 所以. 故整数的最大值为1. 【变式2】（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求函数的极值； (3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)； (2)当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. (3)4. 【分析】（1）当时，，求出其导函数，通过判断导函数的正负区间，得到函数的单调性，进而可求得其最小值； （2）将函数代入，得的解析式，求出其导函数，通过讨论得范围，求出函数的单调区间，进而可得其极值； （3）代入得值，将问题转化为对任意恒成立，令，即恒成立，通过求导，判断其单调性，求得得最小值即可. 【详解】（1）当时，，其定义域为， 则， 令，即，解得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，即， 所以当时，的最小值为，此时. （2）由题意得，，其定义域为， 则， ①当时，恒成立，所以函数在上单调递增， 所以不存在极值； ②当时，令，解得， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，当时，存在极大值，无极小值； 综上所述，当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. （3）由题意知，当时，不等式在上恒成立， 即，等价于在上恒成立， 设，即 则， 令，则， 当时，恒成立，则在上单调递增， 又，， 所以，使，即， 当，，即， 当，，即， 即在上单调递减，在上单调递增， 当，存在最小值，即， 由，得， ， 所以， 又，所以的最大值为4. 题型十 利用导数证明不等式 解｜题｜技｜巧 构造辅助函数 ，求导分析单调性与最值，证明 或 。若一阶导不够，可多次求导或使用放缩。 【典例1】（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）确定函数定义域，求导，根据导数的符合判断函数单调性，从而确定单调区间； （2）由（1）可得，然后利用导数证明其小于等于0即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为，且， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 综上可知，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）易得在处取得极大值，即最大值， ， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ，即， 由（1）知，所以. 【典例2】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为实数，函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减，在单调递增 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，判断导数正负得解； （2）设，求导得，令，分和讨论，验证； （3）由（2），当时，，令，可得，得，求和得证. 【详解】（1）由， 令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在单调递增. （2）设，， 则，，令， ①当即时，令，故在上单调递增， 故，所以在上单调递增，故，符合题意； ②当即时，当时，，即单调递减， 故，单调递减，故，不符合题意； 综上，. （3）由（2），当时，，当且仅当时，等号成立， 令，则， 整理得， 所以， 即. 【变式1】（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分解因式，进而分，可确定单调性； （2）由题意可求得，进而证明，令，利用导数可证结论. 【详解】（1）， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，令，得， 时，在单调递增； 时，在单调递减； 综上所述，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）由（1）可得，当时，， 即证，即证， 令，则， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， ，即， . 【变式2】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数. (1)若，求实数k的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）将题设等价于对恒成立，从而利用导数工具求出即可得解； （2）由（1）可得对恒成立，进而得，再结和累加法即可求证. 【详解】（1）若，则由题对恒成立， 因为， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. 所以实数的取值范围为：. （2）证明：由（1）可得对恒成立，且当且仅当时， 所以，即， 所以 . 题型十一 导数与函数的零点 解｜题｜技｜巧 求导分析单调区间与极值，结合区间端点函数值符号，利用零点存在定理判断零点个数或位置。注意极值点处函数值为零时可能为重根。 【典例1】（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)若有两个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切点和斜率求得曲线在点处的切线方程； （2）先判断的单调性，结合零点个数列不等式，由此求得的取值范围． 【详解】（1）时，，则， 所以，又， 则曲线在点处的切线方程为. （2），若若有两个不同的零点，即， 则令，解得， 所以在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递增， 所以的极小值也即是最小值为， 因为当时，；当时，， 又因为函数有两个不同的零点，所以的最小值， 即，所以， 即的取值范围是． 【典例2】（24-25高二下·内蒙古·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：在上存在极小值． (3)判断在上是否存在零点，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)在上无零点，理由见解析 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式方程求解即可. （2）根据零点存在定理得在上必存在一个异号零点，然后根据极小值的概念判断即可. （3）根据对数函数和正弦函数的性质得，然后令函数，利用导数法求得，从而，即可得解. 【详解】（1）因为，所以． 又因为，所以所求切线方程为，即． （2）， 因为的图象是一条连续不断的曲线， 所以在上必存在一个异号零点， 即存在正数，使得，且当时，， 当时，， 所以在处取得极小值，即在上存在极小值． （3）在上无零点． 理由如下： 当时，，可得． 令函数，则， 当时，单调递增． 又，所以， 从而，所以在上无零点． 【变式1】（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，讨论零点的个数. 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）利用切线的斜率是导数的值结合直线的方程求解即可， （2）单调递增转化为函数在这个区间内导函数大于或者等于零求解出范围即可， （3）利用导数结合极值点和最值点以及函数零点的存在定理求解即可. 【详解】（1）当时，，， 所以切点为（0，0） 所以，， 即切线的斜率为1，由点斜式直线方程得，所以切线方程为； （2）因为，由函数在上单调递增，则， 即在上恒成立. 令，，. 当时，，所以恒成立. 所以在上单调递增，所以 所以，a的取值范围； （3）由，则. 所以是的一个零点. 因为，由（2）知，函数在上单调递增，，无零点. ①当时，∵，∴，∴，无零点. ②当时，∵，设，， ∴在上递增，又∵，， ∴存在唯一零点，使得 当时，，在上递减； 当时，，在上递增，所以， 又，，， 所以，函数在上有且仅有1个零点. 综上，当时，函数有且仅有2个零点. 【变式2】（24-25高二下·四川眉山·期末）已经函数，其中． (1)若，求的极值； (2)讨论的零点个数，求的取值范围； (3)当时，证明：不等式恒成立． 【答案】(1)极大值为1，无极小值 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，得出的单调区间，再利用极值的定义，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成与的图象有两个交点，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得其图象，数形结合，即可求解； （3）构造函数，利用导数与函数单调性，可得，构造函数，利用导数与函数单调性，可得，即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 又的定义域为， 令，得到，由，解得，由，解得， 所以当时，的增区间为，的减区间为， 则的极大值为，无极小值． （2）因为有两个零点，即方程有两个解， 等价于方程有两个解；等价于与的图象有两个交点， 因为，令，解得， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 则当时，取到最大值，且， 又当时，且时，， 当时，，且时，， 的图象如图所示， 所以当时，有没有零点； 当或时，有1个零点； 当时，有两个零点． （3）当时，要证明不等式恒成立， 即证明恒成立； 令，∴， 当，∴，即在上单调递增， ∴，即． 令，∴， ∵，∴，即在上单调递增， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴成立， 即当时，不等式恒成立． 题型十二 方程的根与图象交点 解｜题｜技｜巧 将方程化为 ，转化为函数零点问题。注意根的个数与导数零点（临界点）的关系，以及根的重数判定（一阶导也为零）。 两函数 与 的交点个数等价于 的零点个数。按零点问题处理。 【典例1】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于x的方程在区间内有根，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是； (2). 【分析】（1）对函数求导，利用导数的区间符号研究函数的单调区间； （2）问题化为与在上有交点，利用导数研究的值域，即可得参数范围. 【详解】（1）依题意，，， 由，得；由，得， 故函数的单调增区间是，单调减区间是； （2）原方程可化为，即，亦即， 若原方程在有实根，则与在上有交点， 因为，所以在上单调递增，又， 且时，且速度远远快于x，所以，所以， 所以要使与在上有交点，则， 综上，当时，关于x的方程在区间内有实根. 【典例2】（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知函数，. (1)若的图象在点处的切线方程为，求的值； (2)若在其定义域上不具有单调性，求实数的取值范围； (3)若与的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由导数的几何意义得出，将切点坐标代入函数解析式以及切线方程，即可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值； （2）求得，令，可知函数在上有异号零点，利用导数分析函数在上的单调性，计算得出，只需，由此可得出实数的取值范围，再结合函数极值点的定义验证即可； （3）令，则原方程可化为，结合函数单调性可知方程恰有个不同的实根，令，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1），，，则. ，，，. （2）由题可知的定义域为，. 令，其中，则函数在上有异号零点， 则对任意的恒成立，故函数在上单调递减， 因为，故只需即可， 即，由零点存在定理可知，存在，使得，即， 当时，，，即函数在上单调递增， 当时，，，即函数在上单调递减， 此时为函数的极大值点， 故当在其定义域上不具有单调性，的取值范围是. （3）若与的图象恰有两个不同的交点，则关于的方程恰有个不同的实根. ， 关于的方程即方程恰有个不同的实根. 设，方程恰有个不同的实根. 对任意的恒成立，是增函数， 方程，即恰有个不同的实根. 设，则的图象与直线恰有个交点，， 令，可得， 当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，， 又，当时，，当趋向于时，趋向于，如下图所示： 当时，的图象与直线恰有2个交点， 即实数的取值范围为. 【变式1】（24-25高二下·青海西宁·期末）已知函数 (1)求的单调区间； (2)分析关于的方程的根的个数并说明理由. 【答案】(1)单调递减为和，单调递增为 (2)答案见解析 【分析】（1）求导，讨论导数符号即可得单调区间； （2）分离参数，结合函数单调性、极值情况即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 1 - 0 + 0 - 极小值 极大值 所以在和上单调递减；在上单调递增； （2）原方程等价于， ， 时，，时，， 所以x轴和y轴均为的渐近线， ①当时，方程没有根； ②当时，方程有一个根； ③当时，方程有两个根； ④当时，方程有三个根. 【变式2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)求的极值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2) (3)． 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出极值情况； （2）求导，得到的单调性和最小值，得到，求出； （3）同构得到，设函数，则上式为，由单调性得到，令，，由（1）知函数的单调性和极值情况，从而得到，求出答案. 【详解】（1），，则， 当时，；当时，； 故在上递增，在上递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）由有意义可得， 因为，令得，令得， 故在递减，在上递增， 故对于恒成立， 则； （3）由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根， 整理得，则， 即， 设函数，则上式为， 因为在上单调递增，所以，即， 令，， 由（1）可知在上递增，在上递减， 的最大值为， 又因为，，，， 所以要想有两个根，只需要， 解得，所以的取值范围为． 题型十三 隐零点设而不求 解｜题｜技｜巧 当导函数零点无法显式解出时，设零点为 ，利用 进行代换（如 或 ），将原函数表达式简化，再证明不等式或求范围。 【典例1】设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出其单调区间即可. （2）通过导数及零点存在定理判断函数在上单调递减，在上单调递增，且，等式两边取对数并使用基本不等式证明即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 令 因为， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，注意到， 所以当时，； 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）证明：， 即， 的定义域为， 且． 在上单调递增， 当时，在上单调递增， 故在上单调递增， 又，当趋近于0时，， 根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点， 设该零点为．当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值． ，即， 两边同时取对数得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故当时，， 即． 【典例2】（24-25高二下·河北·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，且，都有，求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）设，得到在上单调递增，所以恒成立，由基本不等式求出，从而得到，求出答案； （3）变形得到，构造函数，求导，结合零点存在性定理得到，当且仅当时取等号，其中，当时，成立. 当时，，所以，推出矛盾，从而得到答案. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，解得；由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2），即， 设，则， 因为，所以在上单调递增， 所以恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 所以的取值范围为. （3），即. 设，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 又，所以，当且仅当时取等号. 令，则在上单调递增， 又因为，，所以存在唯一， 使得，① 所以，当且仅当时取等号. 当时，成立. 当时，由①知，， 所以与恒成立矛盾，不符合题意. 综上，的取值范围为. 【变式1】（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)设函数， ①证明：有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据可求出a的值； （2）①讨论和时函数的单调性或函数值的正负，结合零点存在性定理可证明函数有且只有一个零点； ②由①可得，结合的范围分析函数单调性可证明不等式. 【详解】（1）由题意得，， ∴，即恒成立，∴. （2）①当时，函数与函数均在上单调递增， ∴在上单调递增， 又，， ∴存在唯一零点. 当时，，，∴， 当时，，，∴， ∴当时，无零点， 综上，有且只有一个零点，且该零点. ②由①可知，且，故， ∴， 令，则. 当时，，∴在上单调递增， ∴，即得证. 【变式2】（24-25高二下·浙江·阶段检测）已知函数，，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求k的最大整数解． 【答案】(1)答案见解析 (2)0 【分析】（1）求定义域，求导，分和，解不等式，求出函数单调性； （2）分离得到在上恒成立，令，，求导得到其单调性，结合零点存在性定理得，换元得到，求导得到其单调性，求出，故只需，其中，得到答案. 【详解】（1）的定义域为， ， 当时，恒成立，故在上单调递增， 当时，令，即，解得， 令，即，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题意得， 即在上恒成立， 令，， 则， 令，， 则恒成立， 故在上单调递增， 又，， 故由零点存在性定理得，使得，即， 当时，，，当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则 ， 令，下面可证其在上单调递增， 在上恒成立，故在上单调递增， 则，故， 其中在上恒成立， 所以在上单调递减， 故， 由于在上恒成立， 故只需，其中， 故k的最大整数解为0. 题型十四 导数中的极值点偏移问题 解｜题｜技｜巧 已知 ，极值点为 ，证明 或 。常用对称函数法：构造 ，研究其单调性；或对数平均不等式、拉格朗日中值定理。 【典例1】（24-25高二下·江苏扬州·阶段检测）已知函数，，是自然对数的底数. (1)讨论函数的极值； (2)当时，若，（其中）满足，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导得，对分类讨论即可得解； （2）分析得只需证明，构造函数（），利用导数即可得证. 【详解】（1）求导得， 当时，恒成立，此时函数在上单调递增， 此时函数无极值； 当时，，， 所以在单调递增，在单调递减， 此时极大值，无极小值. 综上所述，时，无极值，当时，极大值，无极小值. （2）当时， ， 在单调递增，在单调递减， 又且， ∴要证，即证， 即证，即证， 设（）， ， ∴在单调递增，又， ∴，又， ∴，∴. 【典例2】（24-25高二下·福建莆田·阶段检测）已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合参变分离得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数在不同取值下，函数的零点个数； （2）由题意可得得，要证明，只需证明，设，则，即证即可，令，利用导数分析函数的单调性，结合函数的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 且，由可得， 令，其中，则， 由可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，的极小值为， 且当时，；当时，. 如下图所示： 当时，即当时，直线与函数只有一个公共点， 当时，即当时，直线与函数有两个公共点， 当时，即当时，直线与函数无交点. 综上所述，当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数无零点. （2）由，即，得， 要证明，只需证明， 而， 令，则，欲证明， 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 令，当时，， 则在单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即，所以. 【变式1】（24-25高二下·河北邯郸·阶段检测）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)增区间为，减区间为，极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【分析】（1）利用函数的单调性、极值与导数的关系可得答案； （2）令，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，设，可得出，进一步得出，结合函数在上的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为，其中，则， 令，解得，当变化时，、的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 所以，的增区间为，减区间为. 故函数在处取得极大值，无极小值. （2）构造辅助函数，， 则， 当时，，，则，则， 所以，在上单调递增，当时，， 故当时，，（*） 由，， 因为函数的增区间为，减区间为， 可设，将代入（*）式可得， 又，所以，． 又，，而在上单调递增， 所以，，即． 【变式2】已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把问题转化为在定义域上恒成立，即，然后利用导数求出的最大值即可； （2）由，令，问题转化为在上恒成立，构造函数，只需利用导数证明在上单调递增即可. 【详解】（1）∵在上是减函数， ∴在定义域上恒成立， ∴，设，则， 由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴．∴． 故实数m的取值范围是． （2）由（1）知， ∵函数在上存在两个极值点，，且， 则由，两式相加、相减分别可得与， ∴，∴， 设，则，要证， 只需证，只需证，只需证， 构造函数，则， ∴在上单调递增， ∴，即，∴． 题型十五 数列、三角函数、概率与导数交汇问题（跨章节） 解｜题｜技｜巧 数列：视 为函数 在整数点取值，求导研究单调性、最值。 三角函数：求导后周期性，结合三角恒等变形。 概率：对似然函数或期望函数求导求最值。 综合题需灵活调用各模块知识，构造函数后利用导数工具分析。 【典例1】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数，，记的零点为. (1)求； (2)求数列中的最小项； (3)证明： 【答案】(1)1 (2)最小项为 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，确定单调性即可求解； （2）由通过作差得到，构造函数利用其单调性，确定数列单调性即可求解； （3）令，求导确定单调性，得到，化简计算即可证. 【详解】（1）当时，，定义域为， 在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以有唯一零点1， 即； （2）由的零点为， 得， 两式相减得：， 即， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以由，得到， 所以，所以数列是递增数列， 所以数列中的最小项是； （3）令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，即， 因为，所以, 所以， 所以， 所以， 所以. 【典例2】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)求证：函数在上有最大值； (3)在（2）的结论下，若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）直接求导后得到其单调性，则得到其最大值； （2）证明其为周期函数，则可得到其有最大值； （3）分和进行分类讨论即可. 【详解】（1），， 故在上单调递增. 最大值为. （2）由于， 所以是以为周期的函数. 故 又因为在上连续，所以必然存在最大值. 故存在. （3） 由（2）可知是以为周期的函数. 又，所以是奇函数. 故只需考虑在的单调性. 设, . 故在上单调递减. ，，， ，， 令，得. 令，得. 令，得. ①当时， ,. 则在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 由于是奇函数，由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 故. ， 同理可得 故设，. 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， ，，， ，. 故，， 故 先证，即证 而，得证. 故 由于，故， ，故， 故 即 ②当时， ，. 则在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 由于是奇函数，由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 故. 同理可得， 即 由①可知在上单调递增 ， 故 综上所述的取值范围为 【典例3】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为. (1)求乙第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使得成立，求整数的最小值. 【参考：，，，】 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可； （2）由已知得当时，，再利用构造法，结合等比数列通项公式求出 （3）由已知得，令，利用导数可判断在上递减，则问题转化为求的最大值，进而求得答案. 【详解】（1）依题意，甲第2局赢的概率为， 所以乙赢的概率为. （2）当时，， 整理得，又， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. （3）不等式， 令，求导得， 函数和在上递减，则函数在上递减， 而，则当时，，即函数在上递减， 又，因此当取最大值时，取最小值， 又，则当为偶数时，， 当为奇数时，，且是单调递减的，， 因此的最大值为，依题意，， 又， 所以满足的整数的最小值为. 【变式1】（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知且，函数. (1)设，，为数列的前项和，当时，求； (2)当时，证明：； (3)当且时，讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1，答案见解析 【分析】（1）先列出的表达式，然后根据等比数列和等差数列的前项和公式进行分组求和即可. （2）先列出的表达式，然后求导，判断单调性，即可证明不等式成立. （3）讨论和的函数的单调性，即可判断函数的零点个数. 【详解】（1）当时，， 则 . （2）由题意知，的定义域为. 当时，， 令，则， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，于是， 所以，函数在上单调递增，又， 因此时，，当时，， 所以当时，. （3）①若，则函数在上单调递增，且， 所以函数有且仅有一个零点； ②若，当时，，当时，. 由（2）知：当时，， 当时，， 且，所以函数只有一个零点. 综上所述：当且时，函数的零点个数为1个. 【变式2】（25-26高一下·上海·期中）设，函数. (1)当时，求函数的值域； (2)讨论函数的零点个数； (3)若函数恰有两个零点，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）化简函数，令，利用二次函数的性质计算值域； （2）化简函数，令，得到，结合，得到，分类讨论，结合余弦函数的性质，即可求解； （3）由有两个零点可得，再结合余弦函数的性质即可证明. 【详解】（1）， 令，则， 因为的值域为， 即的值域为； （2）易知， 令，则， 令，则. 当或，即或时，（*）无解，故无零点； 当，即时，（*）仅一解，故仅有一个零点； 当，即时，（*）有两解， ，故有两个零点. （3）若恰有两个零点，令， 所以为方程的两个根，所以， 所以，由于，所以， 所以，所以， 即，而， 所以，因为在上单调递减， 所以，即. 【变式3】（24-25高二下·江苏扬州·期末）甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． (1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 【答案】(1)的分布列见解析，， (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据超几何分布和二项分布，分别求出甲、乙的分布列，计算期望. （2）（i）根据条件概率公式，由（1）中各事件概率，求出条件概率. （ii）根据甲乙通过项目数的分布列，分别求出甲乙两人合格和优秀时的概率，根据其单调性，列出不等式，证明结果. 【详解】（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ， ， X的数学期望． 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望． （2）（i）因为， 所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是． （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则， 可知， 当时，，在上单调递增， 又，所以． 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则在上单调递增， 又，所以． 综上，． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高二下·江苏镇江·期末）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用导数运算法则及复合函数求导法则求解. 【详解】依题意，. 故选：D 2．（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 即的取值范围为. 故选：C 3．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【答案】A 【分析】由可判断函数的单调性即可得出结论. 【详解】由题意恒成立，所以在上单调递增，既无极大值也无极小值. 故选：A 4．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）由即可计算求解； （2）由函数单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数，所以， 因为函数在处有极值，所以， 此时，则时，当时， 所以函数在处有极值，所以. （2）由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的最小值为，最大值为. 5．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求的单调区间及最值； (2)求出方程的解的个数． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间和最值即可； （2）根据（1）得到函数大致图象，数形结合并讨论参数判断解的个数. 【详解】（1）由题设，故时有，时有， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当趋向时趋向，趋向时趋向，故， 综上，的递减区间为，递增区间为，最小值为，无最大值； （2）由（1）分析，可得的大致图象如下： 当时，无解； 当时，有两个不同解； 当或时，有且仅有一个解. 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 多选题 6．（24-25高二下·河北唐山·期末）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．是的极小值点 B．函数有且只有1个零点 C．在上单调递减 D．设，则 【答案】BD 【分析】利用导数求出函数的单调区间及极小值点判断AC；利用导数确定单调性求出零点判断B；利用导数求出最小值判断D. 【详解】对于AC，函数的定义域为，求导得， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 函数的极小值点为，AC错误； 对于B，函数定义域为， ，函数在上单调递减， 又当时，其函数值为，因此函数有且只有1个零点，B正确； 对于D，函数定义域为，求导得， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 则当时，函数取得最小值，因此，D正确. 故选：BD 7．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 【答案】ABD 【分析】先求导，按、、三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可. 【详解】由题意得， 若，即时，得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，得或；得， 在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，，则在上单调递增； A选项，当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确； B选项，若在处取到极大值，则，故B正确； C选项，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 又，则， 又在区间内取到最大值，则且， 即，故C错误； D选项，若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 当时，，故，故这样的不存在； 若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 则，故，故这样的不存在； 若，则在区间内既无最大值又无最小值； 综上可知，不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：ABD 8．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知函数在处取得极小值，． (1)求和的值； (2)对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用导函数，根据极值的定义直接计算可得，经检验满足题意； （2）分别求函数在上的值域与在上的值域，根据题意列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）由已知， 则， 又函数在处取得极小值， 则， 解得， 所以，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 即此时满足函数在处取得极小值， 所以，； （2）由（1）得和随的变化情况如下表： 3 极大值 极小值 所以当时，的值域为， 当时，的值域为． 因为对任意，总存在，使得， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 9．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若方程有两个不相等的实数根，，且，求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由函数解析式求导，从而求出切线斜率与切点坐标，可得答案； （2）由导数与函数单调性的关系，分情况讨论，可得答案； （3）由题意明确参数的取值范围，法1：整理方程，构造函数，利用导数研究新函数的性质，可得答案；法2：由函数的单调性求得函数最值，结合题意进一步明确参数的取值范围，整理所证的不等式，利用函数的单调性构造函数，根据导数求得最值，可得答案. 【详解】（1）因为，所以，又因为， 所以在处的切线方程为，即． （2）因为， ①若，则恒成立，所以在单调递减，无增区间． ②若，令得，令得， 所以在单调递减，在单调递增． 综上所述，当时，在单调递减，无增区间； 当时，在单调递减，在单调递增. （3）若，由（2）知在单调递减，方程至多有一个实根，不符题意， 所以． 法1．由题意知，所以，且． 要证，只要证，只要证， 只要证，只要证． 令，，， 所以在单调增，， 因为，所以，即， 所以得证． 法2．由（2）得在单调递减，在单调递增， 所以，所以． 因为，所以， 要证，只要证，只要证， 只要证． 而， 令，，， 所以在单调增，， 所以时，恒成立，令得， 所以． 所以得证． 10．（24-25高二下·山东烟台·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 【答案】(1)单减区间为，的单增区间为 (2) 【分析】（1）先求出定义域，方法一：利用导数求解函数的单调性即可；方法二：利用复合函数的单调性法则：同增异减来进行求解； （2）将恒成立问题，转化为最值问题来求解即可． 【详解】（1）令，解得或． （法一）， 令，得，结合的定义域，得． 令，得，结合的定义域，得． 综上，单减区间为，的单增区间为． （法二）令，， 在其定义域内为增函数， 的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 所以，当时，单调递减，当时，单调递增． 由复合函数单调性性质，当时，单调递减，当时，单调递增， 综上，单减区间为，的单增区间为． （2）由题意． 由（1）知，当时，单增，所以． 于是，即，解得，故m的取值范围为． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 11．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)设函数，函数在处取得极小值． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）是否存在，使得成立？说明理由． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是． (2)（ⅰ）；（ⅱ）不存在，理由见解析 【分析】（1）求出导数，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）（i）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，分析导数在附近的变化，结合极小值点的定义可求得实数的取值范围； （ii）假设存在，使得成立，构造函数，可得出，结合（i）中的结论知在上单调递增，即可推出矛盾，进而可得出结论成立. 【详解】（1）由得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）（ⅰ）由函数得， ． ①若，则， 所以在上单调递增，此时函数无极值点； ②若，则当时，， 所以，所以不是的极小值点； ③若，由（1）知， 在上单调递减，在上单调递增， 故，且当时，． 若，即，则， 即（当且仅当时，等号成立）． 所以当时，； 当时，． 所以在处取得极小值． 若，即，令， 因为，且在上单调递增， 所以，，故当时，． 所以当时，； 当时，． 所以在处取得极小值． 综上可知，的取值范围是． （ii）不存在，理由如下： 假设存在，使得成立， 则有． 令，则． 由（2）中（ⅰ）知，函数在上单调递增， 所以由得，即，这与矛盾，所以假设不成立． 所以不存在，使得成立． 12．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当的最大值为0时，求； (3)当时，正实数满足，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）只需求得即可得解； （2）分析得知的最大值为，其中，说明即可求解； （3）利用导数说明，结合已知得，结合是正实数即可得证. 【详解】（1）当时，，求导得， 所以， 故所求为； （2），求导得， 若，则恒成立， 这意味着此时在上单调递增，但这与的最大值为0矛盾， 故， 当时，， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 记，则 所以的最大值为， 设， 因为都是增函数， 所以是增函数， 注意到， 所以，解得， 综上所述，当的最大值为0时， ； （3）当时，正实数满足， 即， 进一步变形得， 令，求导得， ，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 解得或， 但由于都是正实数， 所以. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数及其应用全章15大题型（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 公切线问题 题型02 具体函数的单调性、极值最值 题型03 利用导数求含参可分离函数的单调性 题型04 利用导数求含参不可分离函数的单调性 题型05 由函数单调性求参数 题型06 由极值、极值点、最值求参数 题型07 恒成立问题 题型08 能成立（有解）问题 题型09 恒成立问题中的整数最值问题 题型10 利用导数证明不等式 题型11 导数与函数的零点 题型12 方程的根与图象交点 题型13 隐零点设而不求 题型14 导数中的极值点偏移问题 题型15 数列、三角函数、概率与导数交汇问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 导数的基本计算 能熟练运用基本初等函数导数公式和四则运算法则，求简单函数的导数 基础必考点，常以选择题、填空题或解答题第一问出现，易错点在于复合函数求导漏乘内层导数 求切线方程 能根据函数解析式与切点坐标（或切线过某点），正确求出切线方程 高频考点，注意区分“在点处”与“过点处”的切线，后者需设切点求解 由切线求参数 能利用切线方程与函数的关系（切点在曲线上、斜率等于导数值），建立方程（组）求参数 常与导数计算结合，考查方程思想，易错点在于忽略切点同时在切线和曲线上 公切线问题 能解决两个函数存在公共切线的问题，通过设切点、联立方程求解参数或判断存在性 难度中上，常作为小题或解答题中间步骤，关键点在于正确表达两条切线相同 导函数与原函数的图象关系 能根据原函数图象判断导函数图象的正负区间、极值点，或由导函数图象还原原函数单调性与极值 小题高频考点，易错点在于混淆极值点与导数为零点的对应关系 具体函数的单调性、极值最值 能通过求导、解不等式确定具体函数（无参数）的单调区间、极值与闭区间最值 基础综合考点，要求步骤规范，易错点在于忘记定义域或导数分母不为零 利用导数求含参可分离函数的单调性 能对含参函数进行参变分离，转化为讨论不含参函数的单调性问题 中档考点，考查转化思想，注意分离后参数与变量的范围限制 利用导数求含参不可分离函数的单调性 能直接对含参函数求导，通过分类讨论参数范围，确定导函数符号，从而得到单调区间 高频压轴考点，分类讨论是难点，易错点在于讨论不完整或区间合并不当 二阶导 能正确计算二阶导数，并利用二阶导符号判断函数图象的凹凸性，辅助研究极值、拐点 常以小题或大题中间步骤出现，考查对导数深层意义的理解 由函数单调性求参数 能根据函数在给定区间上单调（增、减或非单调），转化为导函数恒成立或存在零点问题，求参数范围 重要考点，常结合分离参数或分类讨论，易错点在于等号是否可取 由极值和极值点求参数 能利用极值点处导数为零，并结合极值定义或极值点位置，建立方程（组）或不等式求参数 中高频考点，易错点在于验证极值点两侧导数符号变化 由最值求参数 能根据函数在闭区间上的最值条件（已知最值或最值位置），建立关于参数的方程或不等式求解 常见于解答题第二问，需结合单调性讨论，注意区间端点与极值点比较 恒成立问题 能将“f(x)≥0（或≤0）在区间上恒成立”转化为函数最值问题，或通过分离参数求解参数范围 解答题核心考点，常与分类讨论、最值、构造新函数结合，易错点在于最值点是否在区间内 能成立（有解）问题 能将“存在x使f(x)≥0成立”转化为函数最大值非负或分离参数后的值域问题 与恒成立对称考查，注意“存在”与“任意”的逻辑转换，易混淆条件 利用导数证明不等式 能通过构造函数、求导判断单调性或最值，证明与函数相关的不等式（常见如单变量、双变量） 压轴题常见题型，考查构造能力与代数变形，易错点在于构造函数不恰当 参变分离 能在恒成立或有解问题中，将参数与变量分离，转化为求不含参函数的最值或值域 重要解题技巧，简化分类讨论，注意分离后函数定义域及极限情况 洛必达法则 能使用洛必达法则求解分式型函数在端点处未定式（0/0或∞/∞）的极限，用于确定参数范围 高端技巧，部分压轴题可用，需注意使用条件（可导且分母导数不为零） 端点效应（假性端点）与必要性探路 能利用区间端点函数值或导数值满足的条件，先求出参数的必要范围，再验证充分性，简化讨论 压轴题优化策略，可快速锁定参数范围，易错点在于忘记验证充分性 恒成立问题中的整数最值问题 能结合函数单调性与整数特性，求解使不等式恒成立的参数整数最值（如最大整数、最小整数） 常与分离参数、估值结合，考查数感与逼近思想，易错点在于整数端点取舍 导数与函数的零点（方程的根、图象交点） 能利用导数研究函数单调性、极值与最值，判断零点个数或根据零点情况求参数范围 压轴高频考点，常结合零点存在定理，易错点在于漏看定义域或单调区间不连续 隐零点设而不求 能在导数零点无法显式表达时，设出隐零点，利用零点满足的方程进行化简、代换，解决极值或不等式问题 高端解题技巧，突破传统求根限制，考查代数整体代换能力 利用导数研究双变量 能处理两个独立变量的问题，通过构造新函数、统一变量或利用单调性转化为单变量问题 难度较大，常与不等式证明结合，易错点在于变量代换后不等号方向 利用导数研究多变量问题 能通过消元、主元法或构造函数，将多个变量问题转化为函数最值或单调性问题 综合压轴题型，考查变量控制思想，需灵活选择主元 导数中的极值点偏移问题 能识别极值点偏移特征（如f(x1)=f(x2)且x1≠x2，极值点不在中点），通过构造对称函数或比值代换证明不等式 导数压轴经典题型，考查对数平均不等式或构造函数对称性，难度大 数列、三角函数、概率与导数交汇问题 能综合运用数列求和、三角函数性质、概率分布与导数工具，解决跨章节综合问题 新高考趋势题型，考查知识迁移与综合应用能力，常以创新情境出现 知识点1 平均变化率 对于函数，设自变量x从变化到 ，相应地，函数值y从变为 ，这时，x的变化量为，y的变化量为．我们把比值，即 叫做函数从到的平均变化率． 知识点2 瞬时变化率 设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为，当无限接近于0时，若平均变化率无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数在处的瞬时变化率． 记作：当时，． 上述过程，通常也记作 ． 知识点3 导数的定义 函数在处的导数定义式： 实质：函数在处的导数即函数在处的 ． 知识点4 割线斜率与切线斜率 设函数的图象如图所示，直线AB是过点与点的一条割线，此割线的斜率是 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝ 知识点5 导数的几何意义 就是曲线在点（也称处）处的切线的 ，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是 ． 知识点6 常用基本初等函数的求导公式 原函数 导函数 （c为常数） （，且） （，且） 知识点7 导数的运算法则 已知为可导函数，且． （1） ． （2） ，特别地， ． （3），特别地，． 知识点8 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作 ． （2）复合函数的求导法则 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于 ． 知识点9 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 知识点10 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [常用结论] 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 知识点11 极值的定义 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， .而且在点附近的左侧 0，右侧 0.我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程 的根； （3）列表； （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点12 极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 知识点13 函数的最值与导数 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的 ； （2）将函数的各 与 处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识点14 二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 知识点15 恒成立问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 知识点16 能成立（有解）问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 知识点17 端点效应的类型 1.如果函数 在区间 上恒有 ，则端点值满足 且 。 2.（左端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，且 在 处可导，则 。 （右端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，且 在 处可导，则 。 3.（左端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，，且二阶可导，则 。 （右端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，，且二阶可导，则 。 知识点18 洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 题型一 公切线问题 解｜题｜技｜巧 分别设两曲线的切点，由斜率相等得一个方程，再由同一直线（截距相等或两点共线）得另一个方程，联立求解。注意可能同一公共切点的情况。 【典例1】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则______． 【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段检测）直线与函数和的图象都相切，则________ 【变式2】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知圆C：与曲线的公切线为直线（），则圆C的半径为______，______． 题型二 具体函数的单调性、极值最值 解｜题｜技｜巧 先求定义域，求导后令导数为零，划分区间列表，判断导数符号得单调区间和极值。最值需比较极值与端点值。 【典例1】（24-25高二下·北京石景山·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【典例2】（24-25高二下·甘肃张掖·期末）已知函数（）. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，求实数a的取值范围. 【变式1】（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积； (2)求在上的单调性与最值． 【变式2】（24-25高二下·北京通州·期末）已知函数为偶函数． (1)求实数a的值； (2)求函数的单调区间和极值． 题型三 利用导数求含参可分离函数的单调性 解｜题｜技｜巧 将参数分离到一边，转化为不含参的函数研究其单调性。常见于参数仅影响整体乘除因子，或可通过恒等变形分离。 【典例1】（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数，. (1)若，求函数的最小值； (2)若，讨论函数的单调性. 【典例2】（24-25高二下·山东淄博·期末）已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若，求证：当时，. 【变式1】（24-25高二下·江西·期末）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 【变式2】（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知函数． (1)求的极小值； (2)若． （ⅰ）讨论的单调性； （ⅱ）当时，设的极大值是，求证：． 【变式3】（24-25高二下·广东佛山·期末）已知函数（，）. (1)当时，求证：； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求a的取值范围. 题型四 利用导数求含参不可分离函数的单调性 解｜题｜技｜巧 对导数中的参数进行分类讨论。分类依据：二次型讨论开口、判别式、根的大小；分式型讨论分母符号；指数/对数型讨论参数与1的关系等。 【典例1】（24-25高二下·河南郑州·期末）设函数. (1)讨论的单调性； (2)若，为的两个极值点，求的取值范围. 【变式1】（24-25高二下·重庆·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)当时，，求a的取值范围． 【变式2】（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数. (1)讨论的单调性： (2)若有两个极值点，，求证：. 题型五 由函数单调性求参数 解｜题｜技｜巧 已知 在区间 上单调递增（减），转化为 （）在 上恒成立，且不在任何子区间恒为零。常用分离参数或求最值法解出参数范围。 【典例1】（24-25高二下·山东淄博·期末）若函数是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·河南信阳·期末）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六 由极值、极值点、最值求参数 解｜题｜技｜巧 极值点处 ，且两侧导数变号。结合给定极值数值（如 ）列方程求解，最后验证变号条件。 常用方法：① 分离参数转化为 或 恒成立，求 的最值；② 直接构造函数 ，求其最小值 。 【典例1】（24-25高三上·湖北武汉·阶段检测）已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·福建·期末）若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 题型七 恒成立问题 解｜题｜技｜巧 常用方法：① 分离参数转化为 或 恒成立，求 的最值；② 直接构造函数 ，求其最小值 。 【典例1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)若函数在处的切线斜率为3，求该切线方程； (2)若时，恒成立，求的取值范围. 【典例2】（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数，． (1)证明：在上存在唯一极值点； (2)，恒成立，求实数的取值范围． 【变式1】（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，恒成立，求的取值范围. 【变式2】（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知函数（自然常数）． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若恒成立，求a的取值范围． 题型八 能成立（有解）问题 解｜题｜技｜巧 存在 使 有解 。分离参数后， 有解 ； 有解 。 【典例1】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【典例2】（24-25高二下·北京延庆·期末）已知函数，其中. (1)当时，写出的单调递增区间； (2)若函数的极大值为0，且对，成立，求实数的最大值； (3)若过原点至少存在1条直线与曲线相切，求的取值范围. 【变式1】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 【变式2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 题型九 恒成立问题中的整数最值问题 解｜题｜技｜巧 先利用必要性（如代入特殊值）估计整数范围，再分离参数并分析函数值所在区间，结合整数特性逐步验证。常用“临界值”两侧整数试探。 【典例1】（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【典例2】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：； (3)若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值． 【变式1】（24-25高二下·河南·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)若恰有3个零点，求的取值范围； (3)若在定义域上单调，求整数的最大值． 【变式2】（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求函数的极值； (3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 题型十 利用导数证明不等式 解｜题｜技｜巧 构造辅助函数 ，求导分析单调性与最值，证明 或 。若一阶导不够，可多次求导或使用放缩。 【典例1】（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 【典例2】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为实数，函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 【变式1】（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【变式2】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数. (1)若，求实数k的取值范围； (2)证明：. 题型十一 导数与函数的零点 解｜题｜技｜巧 求导分析单调区间与极值，结合区间端点函数值符号，利用零点存在定理判断零点个数或位置。注意极值点处函数值为零时可能为重根。 【典例1】（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)若有两个不同的零点，求的取值范围． 【典例2】（24-25高二下·内蒙古·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：在上存在极小值． (3)判断在上是否存在零点，并说明理由． 【变式1】（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，讨论零点的个数. 【变式2】（24-25高二下·四川眉山·期末）已经函数，其中． (1)若，求的极值； (2)讨论的零点个数，求的取值范围； (3)当时，证明：不等式恒成立． 题型十二 方程的根与图象交点 解｜题｜技｜巧 将方程化为 ，转化为函数零点问题。注意根的个数与导数零点（临界点）的关系，以及根的重数判定（一阶导也为零）。 两函数 与 的交点个数等价于 的零点个数。按零点问题处理。 【典例1】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于x的方程在区间内有根，求实数a的取值范围． 【典例2】（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知函数，. (1)若的图象在点处的切线方程为，求的值； (2)若在其定义域上不具有单调性，求实数的取值范围； (3)若与的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【变式1】（24-25高二下·青海西宁·期末）已知函数 (1)求的单调区间； (2)分析关于的方程的根的个数并说明理由. 【变式2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)求的极值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 题型十三 隐零点设而不求 解｜题｜技｜巧 当导函数零点无法显式解出时，设零点为 ，利用 进行代换（如 或 ），将原函数表达式简化，再证明不等式或求范围。 【典例1】设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 【典例2】（24-25高二下·河北·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，且，都有，求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 【变式1】（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)设函数， ①证明：有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明：． 【变式2】（24-25高二下·浙江·阶段检测）已知函数，，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求k的最大整数解． 题型十四 导数中的极值点偏移问题 解｜题｜技｜巧 已知 ，极值点为 ，证明 或 。常用对称函数法：构造 ，研究其单调性；或对数平均不等式、拉格朗日中值定理。 【典例1】（24-25高二下·江苏扬州·阶段检测）已知函数，，是自然对数的底数. (1)讨论函数的极值； (2)当时，若，（其中）满足，求证：. 【典例2】（24-25高二下·福建莆田·阶段检测）已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 【变式1】（24-25高二下·河北邯郸·阶段检测）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 【变式2】已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 题型十五 数列、三角函数、概率与导数交汇问题（跨章节） 解｜题｜技｜巧 数列：视 为函数 在整数点取值，求导研究单调性、最值。 三角函数：求导后周期性，结合三角恒等变形。 概率：对似然函数或期望函数求导求最值。 综合题需灵活调用各模块知识，构造函数后利用导数工具分析。 【典例1】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数，，记的零点为. (1)求； (2)求数列中的最小项； (3)证明： 【典例2】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)求证：函数在上有最大值； (3)在（2）的结论下，若，求的取值范围． 【典例3】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为. (1)求乙第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使得成立，求整数的最小值. 【参考：，，，】 【变式1】（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知且，函数. (1)设，，为数列的前项和，当时，求； (2)当时，证明：； (3)当且时，讨论函数的零点个数. 【变式2】（25-26高一下·上海·期中）设，函数. (1)当时，求函数的值域； (2)讨论函数的零点个数； (3)若函数恰有两个零点，证明：. 【变式3】（24-25高二下·江苏扬州·期末）甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． (1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高二下·江苏镇江·期末）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 4．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 5．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求的单调区间及最值； (2)求出方程的解的个数． 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 多选题 6．（24-25高二下·河北唐山·期末）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．是的极小值点 B．函数有且只有1个零点 C．在上单调递减 D．设，则 7．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 8．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知函数在处取得极小值，． (1)求和的值； (2)对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 9．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若方程有两个不相等的实数根，，且，求证：． 10．（24-25高二下·山东烟台·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 11．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)设函数，函数在处取得极小值． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）是否存在，使得成立？说明理由． 12．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当的最大值为0时，求； (3)当时，正实数满足，证明：. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $