期末培优：利用二次求导法解决导数问题复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

期末培优：利用二次求导法解决导数问题复习讲义 期末培优：利用二次求导法解决导数问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 基本定义 设原函数 - 一阶导数：，判断单调性、极值、切线； - 二阶导数：，即对一阶导再次求导。 2. 二阶导数核心作用 1. 判断一阶导的单调性 在区间上单调递增 在区间上单调递减 1. 分析原函数凹凸性、拐点（选填常用） 1. 解决难点题型：一阶导零点无法直接求解、含参恒成立/存在性、极值个数、零点问题。 二、适用题型（必考场景） 1. 一阶导 形式复杂，无法直接解方程 ； 1. 判断 的最值、正负、零点个数； 1. 含参数恒成立、不等式证明； 1. 讨论函数极值点、单调性。 三、标准解题步骤（通用模板） 1. 求一阶导 ，初步观察式子结构； 1. 二阶求导 得 ，分析 在定义域内的正负； 1. 由 符号，确定 的单调区间； 1. 求出 的最值/极限值，判断 整体正负； 1. 回推原函数 的单调性、极值、最值，求解题目。 例题分析 例1．（25-26高二下·山东聊城·期中）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，试判断函数是否存在极值，并说明理由； (2)当时，证明：对任意； (3)若函数在定义域内存在极小值点，且满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在极值，理由见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）代入后对目标函数求导，通过证明导数在定义域内恒大于零，说明函数单调递增从而不存在极值； （2）构造作差函数，并通过多次构造辅助函数进行求导，利用单调性逐步证明差函数在指定区间内恒大于零； （3）利用“隐零点”代换思想，由极值点条件将参数消去并用表示，代入构造关于的单变量函数求出的范围，进而求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 当时，在上单调递增． 因此，不存在极值． （2）当时，． 令，则． 在区间单调递减，． 令 , 令，则，令． 单调递增，，则在区间单调递增． ．故不等式得证． （3），则， 的极小值点满足，显然． 设，则在上单调递增， 当时，，当时，， ，使得． 当单调递减； 当单调递增； 所以函数在定义域内存在极小值点，此时． ， ． 令，则等价于． 令，令，则． 当时，单调递增； 此时，则，此时， 因为且，所以， 因此恒成立， 当时，单调递减． 当时，． ∴由得，即． ，令， 在单调递增,． 例2．（25-26高二下·四川凉山·期中）已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)若函数存在两个不同的极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可； （2）（i）根据函数极值的定义，利用转化法进行求解即可；（ii）根据函数极值的定义，结合对数的运算性质，利用构造函数法、二次求导法进行求解运算证明即可. 【详解】（1） ， 因为是的极值点， 所以 ，即， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以是的极小值点，符合题意； （2）（i）， 函数的定义域为， 令， 设， 因为函数 存在两个不同的极值点， 所以直线与函数的图象有两个不同的交点， ， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， ，当时，，且当时，， 当时，，且当时，，函数的图象如下图所示： 要想直线与函数的图象有两个不同的交点， 只需， 所以实数的取值范围为； （ii）因为函数 存在两个不同的极值点， 所以不妨设， 且， ， 于是有， ， 因为，所以令， 所以有 要想证明，只需证明， 所以只要证明 在上恒成立， 即 在上恒成立， 设 ， 令， 因为，所以，因此函数在上单调递增， 于是当时，， 即，因此函数在上单调递增， 于是当时，， 因此在上恒成立， 所以 在上恒成立， 因此 . 例3．（25-26高二下·安徽合肥·期中）定义两种双曲函数：双曲正弦函数，双曲余弦函数，类比三角函数的性质，得到双曲函数许多性质，例如：①定义域均为②为奇函数，为偶函数；③；④等． (1)证明：时，； (2)，使得能成立，求的取值范围； (3)设，对，恒成立，求的最小值． 【答案】(1)时，成立，证明过程见详解 (2) (3) 【分析】（1）构造两个函数与，分别求导，利用单调性结合证得不等式； （2）将问题转化为，其中，多次求导分析单调性，得到在处取最大值，从而； （3）利用和代换，化为关于的二次不等式，令，利用“对所有成立”的条件，消去，在时得到，得最小值. 【详解】（1）令，， 在上递增，， 令，， 在上递增，， 故时，； （2）令，， 设，则， 设，则， 由（1）可得，当时，同理，当时， 在上递增，在上递减， ，即在上递减，注意到， 当时，，在区间上递增， 当时．，在区间上递减， ，成立． 故 （3）令 ， 令，则， ，在恒成立， 令，则，， 对恒成立，即， 取，则与无关， 此时，， 验证时，取，则：对恒成立， 故. 例4．（25-26高二下·河南鹤壁·期中）已知函数，. (1)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围； (2)证明：有且仅有一个极值点，且. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）先求得，将已知恒成立转化为在时为恒成立，进而由求解即得； （2）令，利用导数分析得到在上有唯一零点，并利用分析的单调性得到有且仅有1个极值点，再结合同角三角函数关系即可求得，从而得证. 【详解】（1）因为， 所以. 因为在时恒成立， 所以在时恒成立. 因为当时，， 所以，即m的取值范围是. （2）由（1）可知. 令，则. 当时，，所以，单调递增， 当时，，所以，单调递减. 又则，，则， 所以，即在上有且仅有一个零点，设为， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 所以有且仅有1个极值点. 因为，所以， 两边平方得，即，解得， 因为，所以，则. 所以. 变式训练 变式1．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知函数，其中. (1)讨论的极值点个数； (2)若，且有两个零点，比较与的大小，并证明你的结论； (3)当时，若，证明：. 【答案】(1)当时，无极值点；当时，有一个极值点； (2)，证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）分和两种情况讨论，时要通过极限思想判断导数的零点. （2）由有两个零点，得，进而得，再由导数的单调可得. （3）由，得，再令，只需证即可. 【详解】（1）因为的定义域为，故时不为的极值点， 当时，. ①当时，因，得恒成立，则在定义域上单调递增，无极值点； ②当，因为在上单调递增，在单调递减， 所以在上单调递增. 当，， 则存在唯一的，使得， 所以当，，当，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以为的极小值点，此时有一个极值点. 综上所述，当时，无极值点；当时，有一个极值点. （2），下给出证明： 因为有两个零点，且由（1）知，且，则必有. 因为，得. 所以， 因为，，，所以. 因为时，在上单调递增，，， 所以，得，得. 故. （3）当时，由（1）知，有一个极小值点， 因为，令，必有， 由（1）知，存在，满足，所以， 若，由（1）知，，不符合题意，所以. 所以只需证. 因为，得，所以. 令，， 令，，在单调递增， 所以，所以，在单调递增. 注意到，且，得， 令，，在上单调递减， 故，且，得， 所以，即，且，， 所以，且在单调递增，，故. 所以. 变式2．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极大值； (3)若，求证：的所有零点之和大于且小于． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，并求出，得切点和切线的斜率，再利用点斜式可得直线方程； （2）对求导，通过导函数分析函数的单调性，进而得到的极大值； （3）对求导，结合的单调性，确定的零点，从而得函数的极值点分布.根据函数的单调性，结合零点存在定理即可确定函数的零点个数及范围，利用三角函数与指数函数的单调性得到的所有零点之和与的大小关系即可证得结论. 【详解】（1）由得，，则， ∴切点为，切线的斜率， ∴所求切线方程为，即． （2）由，得． 令，得，解得或； 令，得，解得. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 故的极大值为． （3）由，得． 记，则， 记，则． 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． ， 所以，使得， 当时，，从而； 当时，，从而． 所以在和单调递增，在单调递减， ， 所以，使得， 当时，，从而在和上单调递减； 当时，，从而在上单调递增． ， 所以存在两个零点和，且，从而． 由，得且， 由，知，从而， 而在上单调递增， 所以，从而． 综上可知，的所有零点之和大于且小于． 变式3．（24-25高二下·山东烟台·期末）已知函数． (1)当时，求曲线切线斜率的最小值； (2)若有两个不同的极值点，． （i）求a的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）代入，求导，然后继续求导判断； （2）（i）对求二阶导，分，，讨论判断；（ii）依据题意得到，代入，对证明的式子两边取自然对化简为，然后换元，求导即可. 【详解】（1）当时，，． 令，则， 令，解得． 当时，，单减；当时，，单增． 所以，当时，取得极小值也是最小值， 所以，曲线切线斜率的最小值为． （2）（i），则， 若有两个不同的极值点，则在上存在两个变号零点． 令． 当时，，单增，此时至多存在一个零点，舍去． 当时，．当时，，单增，当时，，单减．所以，当时，取极大值． 令，则，所以时，，单减， 当时，单增，所以存在极小值也是最小值． 所以，对，恒有的极大值． 当时，，的图象在连续不断， 由零点存在定理，存在，使得．当时，， 同理，存在，使得． 所以，对，在上存在两个不同的变号零点． 综上，a的取值范围为． （ii）不妨设，是的两个零点，且， 则，， 两式相减得：，两式相加得：， 于是要证，只需证，只需证， 即证，即证（*）． 事实上，令，，， 所以，所以不等式（*）成立，所以原不等式成立． 变式4．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知函数. (1)当时， （i） 求曲线在点处的切线方程; （ii） 当时， 求函数的最大值; (2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）;（ii）在 处函数取得最大值为. (2) 【分析】（1）（i）利用导数的几何意义，根据条件的解析式，求出、的值即可求出; （ii）分析出的单调区间，得到极值，分析得出最值即可. （2）利用，，联立解出不等式即可. 【详解】（1）（i）当时，，， ，， 切线方程的点斜式为：， 整理得：. （ii），，对任意实数恒成立 的符号由决定： 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递减. 是极小值点，时，， 时，，故， ∴当时，在 处函数取得最大值为. （2）, , 是函数的极大值点, ， ， ,化简得. 设， , 为了确保是极大值点,还需满足， ， ，解得：， 的取值范围是. 实战演练 1．（25-26高二下·北京大兴·期中）已知函数. (1)设曲线在点处的切线为. （ⅰ）求切线的方程； （ⅱ）证明：除切点外，曲线在切线的下方； (2)设，令函数，求函数的单调区间. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 (2)单调减区间为和，无增区间. 【分析】（1）（ⅰ）利用导数的几何意义求其切线方程即可； （ⅱ）将问题转化为，利用导数研究函数单调性，结合最值即可证； （2）求出，设，利用导数即可求出函数单调性. 【详解】（1）（ⅰ）因为，所以， 所以，.所以切线l的方程是， （ⅱ）因为， 令，则除切点之外，曲线在直线的下方等价于， ， 当时，，，所以，故单调递减； 当时，，，所以，故单调递增. 所以， 所以除切点之外，曲线在直线的下方. （2）由知，的定义域为， 所以， 设，则. 当时，，所以，故单调递增； 当时，，所以，故单调递减. 所以. 故对于，. 所以的单调减区间为和，无增区间. 2．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值； (2)当时，证明：． 【答案】(1) (2) 证明：，设，则， 因为，所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 时，，即， ，， 所以当时，. ，， 所以存在唯一的，使得，即， 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值， 所以， 因为，所以，故， 则，得证． 【分析】（1）利用导数的几何意义在某一点处的导数即为在这点处的切线斜率求解切线方程，再将代入方程，即可求出实数a的值. （2）二次求导，利用导数判断函数的单调性，写出函数的最小值，判断最小值大于即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，，所以， 又， 所以在处的切线方程为， 将点代入得，解得． （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末培优：利用二次求导法解决导数问题复习讲义 期末培优：利用二次求导法解决导数问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 基本定义 设原函数 - 一阶导数：，判断单调性、极值、切线； - 二阶导数：，即对一阶导再次求导。 2. 二阶导数核心作用 1. 判断一阶导的单调性 在区间上单调递增 在区间上单调递减 1. 分析原函数凹凸性、拐点（选填常用） 1. 解决难点题型：一阶导零点无法直接求解、含参恒成立/存在性、极值个数、零点问题。 二、适用题型（必考场景） 1. 一阶导 形式复杂，无法直接解方程 ； 1. 判断 的最值、正负、零点个数； 1. 含参数恒成立、不等式证明； 1. 讨论函数极值点、单调性。 三、标准解题步骤（通用模板） 1. 求一阶导 ，初步观察式子结构； 1. 二阶求导 得 ，分析 在定义域内的正负； 1. 由 符号，确定 的单调区间； 1. 求出 的最值/极限值，判断 整体正负； 1. 回推原函数 的单调性、极值、最值，求解题目。 例题分析 例1．（25-26高二下·山东聊城·期中）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，试判断函数是否存在极值，并说明理由； (2)当时，证明：对任意； (3)若函数在定义域内存在极小值点，且满足，求实数的取值范围． 例2．（25-26高二下·四川凉山·期中）已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)若函数存在两个不同的极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 例3．（25-26高二下·安徽合肥·期中）定义两种双曲函数：双曲正弦函数，双曲余弦函数，类比三角函数的性质，得到双曲函数许多性质，例如：①定义域均为②为奇函数，为偶函数；③；④等． (1)证明：时，； (2)，使得能成立，求的取值范围； (3)设，对，恒成立，求的最小值． 例4．（25-26高二下·河南鹤壁·期中）已知函数，. (1)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围； (2)证明：有且仅有一个极值点，且. 变式训练 变式1．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知函数，其中. (1)讨论的极值点个数； (2)若，且有两个零点，比较与的大小，并证明你的结论； (3)当时，若，证明：. 变式2．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极大值； (3)若，求证：的所有零点之和大于且小于． 变式3．（24-25高二下·山东烟台·期末）已知函数． (1)当时，求曲线切线斜率的最小值； (2)若有两个不同的极值点，． （i）求a的取值范围； （ii）求证：． 变式4．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知函数. (1)当时， （i） 求曲线在点处的切线方程; （ii） 当时， 求函数的最大值; (2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围. 实战演练 1．（25-26高二下·北京大兴·期中）已知函数. (1)设曲线在点处的切线为. （ⅰ）求切线的方程； （ⅱ）证明：除切点外，曲线在切线的下方； (2)设，令函数，求函数的单调区间. 2．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值； (2)当时，证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $