专题07 等差数列与等比数列 （13个高频考点） 期末复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题07 等差数列与等比数列 （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 【知识点02】等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 【知识点03】等差数列的四种判断方法和两种证明方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 【知识点04】等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 【知识点05】等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 【知识点06】等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【知识点07】等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 【知识点08】等比数列的判断（证明） 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 【知识点09】等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 【知识点10】等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 【知识点11】等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列 核心方法：定义法 【例1-1】（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知等差数列的首项，取子数列，（，，，…），则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是公比为2的等比数列 D．存在，使是等比数列 【答案】D 【分析】对AB，举反例当时，数列既不成等差数列，也不成等比数列；对C，当时，可得数列的公比为1，可判断；对D，当时，，可判断. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以. 对于AB，当时，，，，数列既不成等差数列，也不成等比数列，故A，B错误； 对于C，当时，数列为常数列且，所以数列的公比为1，故C错误； 对于D，当时，，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 【例1-2】（多选）（26-27高二上·重庆江北·阶段检测）记为数列的前项和，则（   ） A．当时，数列为等比数列 B．当时，数列为等差数列 C．若，当时，数列为等差数列 D．若，当时，数列为等比数列 【答案】AB 【分析】利用数列第项与前项和的关系，结合等差数列、等比数列的定义逐项判断即可． 【详解】对于A，由，当时，，而满足上式， 因此，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确； 对于B，由，当时，，而满足上式， 因此，，数列是首项为，公差为的等差数列，故B正确； 由，且，则，两式相除得，即， 因此是周期为的数列，即，，，，…，则，， 对于C，若为等差数列，则，即，仅当时成立，不具有普遍性，故C错误； 对于D，若为等比数列，则，即，解得，或，这两种情况都得，，与矛盾，故D错误． 【变式1-1】（2026高三·全国·专题练习）若向量，则数列是（   ） A．等差数列 B．既是等差数列又是等比数列 C．等比数列 D．既非等差数列又非等比数列 【答案】A 【分析】利用向量数量积的坐标表示，余弦的二倍角公式，同角三角函数关系平方和为“1”以及等差数列的定义分析即可. 【详解】由， 所以 ， 所以， 令， 则， 所以数列是以公差为的等差数列. 【变式1-2】（多选）（26-27高三上·辽宁·开学考试）记为数列的前项和，则（    ）． A．当时，数列为等比数列 B．当时，数列为等差数列 C．当时，数列为等比数列 D．当为等差数列时，存在使得数列为等差数列 【答案】ABD 【分析】利用数列第项与前项和的关系，结合等差数列、等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，当时，，而满足上式， 因此，，数列为等比数列，A正确； 对于B，，当时，，而满足上式， ，，数列为等差数列，B正确； 对于C，取符合题设，但等比数列的各项均不为0，C错误； 对于D，记的公差为d，则，取， 令，则，为常数， 因此数列为等差数列，D正确． 【变式1-3】（多选）（2026·江苏无锡·三模）已知等差数列的前项和为，各项均为正数的等比数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．对任意，，数列为等差数列 B．对任意，，数列为等比数列 C．存在，，使得数列为等比数列 D．存在，，使得数列为等差数列 【答案】AC 【分析】对于A，利用等差数列的定义判断；对于B，举反例，，再结合等比中项的性质即可判断；对于C，举例，，再结合等比数列的定义即可判断；对于D，利用反证法判断是否为关于的一次函数即可判断． 【详解】设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，， 对于A，由， 故数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，取，，则，前项分别为，，， 又，所以此时数列不为等比数列，故B错误； 对于C，取，，则，，则， 所以此时数列是以为首项，为公比的等比数列，故C正确； 对于D，若存在，，使得数列为等差数列，则是关于的一次函数， 若，则，显然不可能是关于的一次函数； 若，则，显然不可能是关于的一次函数， 故不存在，，使得数列为等差数列，故D错误． 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列 核心方法：定义法 【例2-1】（26-27高二上·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 【答案】(1)证明：因为，所以数列是等差数列 (2) 【分析】（1）根据等差数列定义结合题意计算即可证明； （2）根据等差数列通项公式求法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，数列是以为首项，2为公差的等差数列，故，解得． 【例2-2】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知数列满足：，，n∈N*. (1)求证：数列为等比数列； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）由，得，即， 又， 所以数列为等比数列，首项为，公比为. 【变式2-1】（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； 【答案】(1)略 【详解】（1）证明：由， 两边同时除以，得，即， 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 【变式2-2】（25-26高二下·云南大理·期末）在数列中，，． (1)求证：数列是等差数列； 【答案】(1)略 【详解】（1）由，则 可得，又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列． 【变式2-3】（24-25高三·全国·一轮复习）已知数列的前项和为，满足. (1)证明：数列为等比数列； 【答案】(1)略 【详解】（1）证明：由题可知，①， ②， ①-②得， 即. 当时，由①知， 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性 核心方法：作差法 【例3-1】（25-26高二下·湖南邵阳·期末）设若是单调递增的等比数列，则常数（     ） A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】B 【详解】设，， ，因为是等比数列，所以， 即，两边同时除以， ， 整理得， 因为是一个变量，所以也是一个变量， 是一个常量，要使该等式对任意都成立， 则有：①， ②. 可解得，或，， 若，， 则是公比为3的单调递减数列，不符合题意，舍去. 若，可得，是公比为5的单调递增数列，符合题意. 【例3-2】（多选）（2026·江苏常州·三模）设为等差数列的前项和，且，若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用等差数列的求和公式，结合题意，化简得到，得到数列为递增数列，再由，求得且，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】因为为等差数列的前项和，可得， 又因为，可得， 即，可得，所以数列为递增数列， 因为，且数列为递增数列，可得且， 由， 对于A，因为数列为递增数列，所以无最大值，所以A不正确； 对于B，由，可得时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，可得，所以C正确； 对于D，由，可得，所以D正确. 【变式3-1】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知是无穷等比数列，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别判断充分性和必要性，必要性由递增数列定义直接得证，充分性通过构造反例说明不成立. 【详解】首先证明必要性：若“是递增数列”，则根据递增数列的定义可知， 任意，均有，故，必要性成立. 充分性不成立，理由如下：数列，若， 那么，满足，但数列是摆动数列，不是递增数列. 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 【变式3-2】（多选）（2026·广东肇庆·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递增数列 B． C． D．的最大值为 【答案】ABC 【详解】因为，故，故B正确； 因为，所以，即等差数列为递增数列，故A正确； 因为，故C正确； 因为时，，当时，，所以的最小值为，故D错误. 【变式3-3】（25-26高二下·辽宁·阶段检测）与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 【答案】 【分析】根据等差数列的性质，是以13为首项，14为公差的等差数列，再结合函数的单调性判断最小项. 【详解】是以13为首项，14为公差的等差数列，. 令， 根据在上单调递减，上单调递减， 又时，，时，，最小值为. 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项 核心方法： 【例4-1】（25-26高三上·河北·期中）已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时，__________． 【答案】3 【分析】由等比数列通项公式的基本量计算得到通项公式，再利用数列的单调性可求何时数列取最大值. 【详解】， 设数列公比为， 则，解得，即或（舍去） ∴，∴，∴， 设，则， 当时，，当时，， 故当时，取最大值， 故答案为：3 【例4-2】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 【答案】(1) 证明：因为数列满足，即， 可得， 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列. (2)；最小项为. 【分析】（1）根据题意化简得到，即，结合等差数列的定义，即可求解； （2）由（1）求得，根据，得到数列为递增数列，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：数列表示首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 由 ， 当时，可得，即，所以数列为递增数列， 所以当时，数列的最小项为，即数列的最小项为. 【变式4-1】（2026·四川泸州·模拟预测）设为等比数列的前项和，若，，则的最小值为________． 【答案】 【详解】令公比为，且，则， 而，所以， 当为奇数时，当为偶数时， 所以最小出现在为偶数的情况，显然最小为. 【变式4-2】（25-26高二·全国·随堂练习）已知等差数列的通项公式为． (1)求首项和公差； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的增减性． 【答案】(1)，； (2) (3)单调递减. 【分析】（1）利用给定的通项公式计算即得. （2）在直角坐标系内作出数列的图象. （3）利用数列单调性定义判断单调性即得. 【详解】（1）等差数列的通项公式为，所以首项， 公差. （2）数列的图象，如图， （3）由，，得， 因此，所以数列是单调递减数列. 【变式4-3】（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）数列的前项和为，已知且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用即可求解； （2）判断数列的单调性即可求解. 【详解】（1）∵①， ∴②， ①-②得：，， 为公比为的等比数列， ②中令，则， ∴. 当时不符合题意， 所以. （2）当时，， 当时，由（1）知：， 则， 令，即，解得， 所以当时，；当时，；当时，； 所以当时，有最大值. 【考点题型五】等差数列角标和性质 核心方法：若，则（特别的，当，有） 【例5-1】（2026·四川资阳·一模）在等差数列中，若，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】由数列为等差数列，， 则，解得. 【例5-2】（26-27高二上·全国·期中）在等差数列 中，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列为等差数列，所以， 因为，. 【变式5-1】（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等差数列中，若，则，因此. 已知，代入上式得，解得. 由等差数列前项和公式，可得. 又，得，代入得. 【变式5-2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知等差数列（）满足，，则（     ） A．4 B．7 C．8 D．2026 【答案】C 【详解】由等差数列的性质可知，， 则，即. 【变式5-3】（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列，均为等差数列，且，，则_____． 【答案】 【分析】利用等差数列的等差中项性质，将两个已知等式相加，整体转化为所求式的倍数关系求解. 【详解】设等差数列的公差为，等差数列的公差为，其中. 根据等差数列的等差中项性质：对于任意等差数列，若，则. 将已知两个等式相加，可得： ， 又，. 所以 ，所以. 【考点题型六】等比数列角标和性质 核心方法：若，则（特别的，当，有） 【例6-1】（26-27高二上·全国·期中）等比数列 中，、是方程 的两根，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦达定理以及等比中项即可求解. 【详解】由韦达定理以及、为方程两根可得， ，且 ， 由等比中项可得，，解得， 若，则，解得或，若， 则，则，，满足题意； 若，则，则，，满足题意； 若，则，解得或， 当时，，此时，， 此时，，满足题意； 当时，，此时，， 此时，，满足题意，故. 【例6-2】（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列为正项等比数列，，则的值为（    ） A．10 B．16 C．15 D．11 【答案】D 【详解】数列为正项等比数列，所以， ，得. 又，得. 所以. 【变式6-1】（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）各项为正数等比数列中，，则取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用等比数列性质计算结合基本不等式计算求解. 【详解】正数等比数列中，， 则，当且仅当时取等号， 又因为，设公比为，所以， 则取最小值时，. 【变式6-2】（25-26高二下·四川南充·期末）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，得或（舍）， 则. 【变式6-3】（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则（    ） A．-1013 B．1014 C．-1014 D．1013 【答案】B 【详解】，求导可得， 和是的两个极值点，即和是的两个根， 根据韦达定理可得，， 因为是等比数列，所以， 因此． 【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算 核心方法：前项和公式 【例7-1】（26-27高二上·甘肃白银·期中）已知数列是等差数列，，． (1)求的通项公式； (2)记的前n项和为，求满足等式的n的值． 【答案】(1)() (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为． 由得 ，即． 代入，得，解得． 所以． （2）由（1）知，所以. 由得， 即，整理得， 即，解得或． 又，所以不合题意，舍去，故． 【例7-2】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解出即可得解； （2）根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，， 由，得， 整理得， 即. 又，则，解得或. 由题知，所以， 所以数列的通项公式. （2）由题知， 令，得， 故. 【变式7-1】（26-27高二上·全国·课堂例题）在等差数列中，已知，，，求和． 【答案】， 【分析】由等差数列求和公式、通项公式代入求解即可． 【详解】由题意得，解得． 又，解得， 因此，． 【变式7-2】（24-25高二上·海南海口·阶段检测）设等差数列的公差为，前项和为， (1)若，，求； (2)若，求； (3)若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），， ， ； （2）由题意得：，，解得，， ，即； （3）， ，， ， ， ， ，又， . 【变式7-3】（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）在正项数列中，已知. (1)证明：为等比数列； (2)若，，求的前项和. 【答案】(1) 因为，所以，所以， 因为，所以，，所以为等比数列. (2). 【分析】（1）利用对数性质将等式转化为，然后利用等比数列定义证明等比数列； （2）由已知求出公比和首项，再用等比数列求和公式得. 【详解】（1）略 （2）设公比为，因为，，所以， 所以，所以，所以， 所以的前项和为. 【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质） 核心方法：设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 【例8-1】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）若表示等差数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可知，且，，，也为等差数列，根据等差中项可得，，即可得结果. 【详解】因为，则，且，即， 又因为为等差数列的前项和，则，，，也为等差数列， 可得，即，则， 且，即， 可得，即， 所以. 【例8-2】（25-26高二下·云南玉溪·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______________． 【答案】 【分析】利用等差数列前项和的性质求解. 【详解】若为等差数列，其前项和满足：仍成等差数列， 所以，则 解得. 【变式8-1】（26-27高三上·广西河池·阶段检测）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．2729 B．2730 C．2731 D．2732 【答案】B 【详解】由等差数列的性质：仍成等差数列； 计算得：， 由等差中项性质：， 代入数值：，即， 解得：. 【变式8-2】（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一用等差数列片段和性质. 方法二用等差数列的基本量计算. 【详解】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列. 因为，，所以， 所以，， 所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得， 所以. 【变式8-3】（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意及等差数列的片段和性质，设，从而求出，，进而即可得到答案． 【详解】由等差数列的片段和性质知，，，，···是等差数列， 由，不妨设，则， 所以，，，，···，依次为，，，，···， 所以， 所以． 【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值） 核心方法：已知等差数列和的前项和分别为，，则. 【例9-1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，设， 则，， 故． 【例9-2】（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因此， 因为， 因此， 所以原式化简为， 而，所以原式为， 而因为，所以， 则，， 代入得，， 而已知， 设，(为非零常数)，，， 所以. 【变式9-1】（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，不妨设，，其中， 所以 【变式9-2】（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 【变式9-3】（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且. 所以可设. 所以，所以. 【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质） 核心方法：设等比数列的公比为，数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 【例10-1】（26-27高二上·全国·期中）等比数列的前项和为，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法1：由等比数列 的前 项和为 ，公比为q， 当时，，但，故； 、、是等比数列，公比为， ， 故公比为，，， 法2：由题设有，解得， . 【例10-2】（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （   ） A． B．12 C．21 D． 【答案】B 【分析】利用等比数列连续等长片段和仍为等比数列的性质，结合公比平方的非负特性排除增根求解. 【详解】 由等比中项性质可得： ， 已知，， 设，代入得： ，展开整理为一元二次方程： ， 解得或，又，其中， 结合，故，舍去增根，即. 【变式10-1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用等比数列前项和的分段等比性质列方程求解，结合公比偶次幂的正性排除负解即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，， 根据等比数列前项和的性质： 当时，仍为等比数列，取，则成等比数列， 已知，，设，由等比中项性质可得： ， 展开整理得，解得或，又因为，其中， 故，结合，可得，因此舍去，即. 【变式10-2】（26-27高三上·贵州·阶段检测）记是等比数列的前项和，若，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】由于为等比数列，所以， 令，则，从而， 从而. 【变式10-3】（25-26高二下·陕西汉中·期中）设为等比数列的前n项和，已知，，则的值为______. 【答案】63 【分析】应用等比数列前n项和的性质，，，仍成等比数列求解即可. 【详解】根据片段和性质，有，则，解得. 【考点题型十一】等比数列前项和性质（奇偶项和性质） 核心方法：设等比数列的公比为，当是偶数时, ;当是奇数时, 【例11-1】（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 【例11-2】（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为341，所有偶数项的和为170，则______________. 【答案】4 【详解】， 因此， 而，所以， 该数列前项的和为，解得. 【变式11-1】（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】/ 【分析】设等比数列共有项，则可表示出、，再利用等比数列性质计算即可得. 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 【变式11-2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 【变式11-3】（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比______. 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 【考点题型十二】数列中新文化题 【例12-1】（2026·广东广州·模拟预测）若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为的等差数列，则称数列为“—等差数列”．已知为“—等差数列”，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则数列是公差为3的等差数列， 由已知得，故的通项公式为： ， 根据累加法，当时，，代入得： ， 其中是首项为3，末项为，项数为7的等差数列， 其和为， 因此： . 【例12-2】（多选）（26-27高三上·安徽·开学考试）数的进制是人们利用符号来计数的方法．我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数有个数码：，，…．在计算机中用的是二进制，只有两个数码，．如二进制中，，相当于十进制中的，简记为．则（    ） A． B．满足，，…中有且只有个的所有二进制数有个 C．满足，，…中有且只有个的所有二进制数在十进制下的和为 D．由个和个组成的所有二进制数在十进制下的和为 【答案】ACD 【分析】对于A直接套用定义即可；对于B，需要按照两个相邻与两个不相邻讨论；对于C，分在，，，这四个位置讨论，最后将所有情况加起来即可；对于D，采用正难则反的思路，所有数的十进制和全的位二进制数的总和减去所在位置的权重和即可得到结果. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，当两个相邻时，有种； 当两个不相邻时，有种，共有种，故B错误； 对于C，由于不能为首位，分在，，，这四个位置讨论， 即可得总和为，故C正确， 对于D，若不出现在最高位，可以占据第位（，，，...，）， 共个这样的二进制数， 所有数的十进制和全的位二进制数的总和减去所在位置的权重和. 全1的位二进制数的十进制值为，总和为； 减去的权重和为； 因此总和为，故D正确. 【变式12-1】（25-26高二下·安徽淮南·期末）已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先利用和的关系，求得数列的通项公式，由，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为数列的前项和为，满足， 当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又因为，可得，所以， 因为，所以， 所以数列的所有“和谐项”的平方和为： . 【变式12-2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）在数列中，如果，都有（K为常数），那么这个数列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 【答案】3377 【详解】由题可知，即，， 可知，可得， 所以， ， ， 所以. 【变式12-3】（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）对于数列，，若（为常数），则称是的“和数列”.已知为等差数列，，且是的“和数列”，则，数列的前项和________. 【答案】 【分析】先求等差数列的通项公式，结合“和数列”的定义推导的通项，判断为等比数列后利用等比数列前项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，. 根据等差数列通项公式，有，代入，，解得， 因此. 由“和数列”的定义可知，故，即. 因此是首项为，公比为的等比数列，代入等比数列前项和公式得： 一、单选题 1．（2026·湖北·模拟预测）已知等差数列的首项，公差为正数，当子数列（）为等比数列，则的前10项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用等比中项性质求出等差数列的公差，再确定子数列的首项和公比，最后用等比数列前n项和公式计算前10项和. 【详解】由题意得等差数列的通项公式为，其中，. 由子数列为等比数列，且，取前三项得：， ，. 根据等比数列的等比中项性质，，代入得：， 展开整理得，解得（舍去）. 因此，， 即是首项为，公比为的等比数列. 根据等比数列前项和公式得. 2．（26-27高二上·全国·期中）已知等差数列 的前 项和为 <<，且数列 有最大值，则使 取最小正值时 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题先确定为等差递减数列，前项均为正，从第项开始为负，满足，由此得出是最小的正值，从而得出值. 【详解】因为等差数列的前项和有最大值，说明该数列是公差的递减数列. 由，得， 因为，即，得. 因为，所以， 因为，又因为，所以， 因为该数列为等差递减数列，前项均为正，从第项开始为负，前项和从第项及后续项开始递减，满足， 由此得出是最小的正值，所以在处首次由正转负前取最小正值，即 . 3．（26-27高二上·全国·期中）已知数列 的前 项和为 ，且 （），则 的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用 消去 求递推，再累乘求通项. 【详解】时， ， 即 ，， 时，， ， 相减得 ， 即 ，故 ， 累乘得 ， 当时，也成立， 所以. 4．（26-27高二上·全国·期中）已知数列中，，且，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两边同除以 得为等差数列，再结合等差数列通项公式求解即可. 【详解】因为， 所以，两边同除以得，即 是公差为，首项为的等差数列， 所以，，即 . 所以 . 5．（2026·青海黄南·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为. 由，得， 因为，，化简得，即. 由，得，因为，所以. 则. 所以. 6．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）在等比数列中，，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列性质将直接整体代换为，把原等式直接转化为关于和的完全平方式；再结合推断出为正数，开平方即可直接得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得：，，， 所以，即， 因为，且，所以； 同理，所以， 所以. 7．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则n的最小值为4051 【答案】D 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误. 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于1，一项小于1， 又，故同号且，结合，可得， 所以数列单调递减，因此. 对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，由等比数列性质可得，又，所以，故B错误； 对于C，因为，数列单调递减，， 所以当时，，当时，， 所以，， 因此数列的最大项是，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以使得的的最小值为，故D正确. 8．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）记为数列的前项和，若，且为等比数列，则（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】A 【详解】∵为等比数列，且， 得到的首项为，第二项为，∴的公比为2，∴， 当时，，验证可得时，上式也符合， ∴，∴. 二、多选题 9．（26-27高二上·全国·期中）已知等差数列 的前 项和为 ，若 <<，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．数列 中的最大项为 【答案】AC 【详解】得 ；得 ， 故 ，于是公差 ， 正确. ，因为，所以，错误. ，因为，所以， 正确. 由可知数列是递减数列，前6项均为正，从第7项开始为负，因此前 项和最大项为，错. 10．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，，则下列结论正确的是（     ） A． B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 【答案】ACD 【分析】用累乘法，计算出，对于A选项，；对于B选项，，不是常数；对于C选项，，是常数；对于D选项，，是常数. 【详解】由可得，，则， ， 即， 因为，所以，两边乘，可得， 则，所以， 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，则， 则， 所以不是等比数列，故B错误； 对于C选项，，则， 则， 所以为等差数列，故C正确； 对于D选项，，则， 则， 所以为等比数列，故D正确. 三、填空题 11．（四川省部分学校2026-2027学年高三上学期11月学情检测数学试题）记为等差数列的前项和.若，，则______. 【答案】/ 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由得，两边同除以，得， 由得，两边同除以，得， 将两边乘，得， 用减去，得，即， 将代回，得， 所以. 12．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知正项等比数列满足，，成等差数列，则_______． 【答案】2 【详解】设正项等比数列的公比为，由成等差数列， 得，则，即，解得， 所以. 13．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，且 ，则_____. 【答案】/ 【分析】利用等差数列的公差，等比数列的公比，将题设等式全转化成的方程组求解. 【详解】由题知，， 由，解得， 由，结合，即，解得， 于是. 14．（2026·广东广州·模拟预测）已知等比数列满足，且，为数列的前n项和．若，，成等差数列，则_______________． 【答案】 【分析】先由与求出公比与首项，写出通项及前项和，再把"、、成等差数列"化为，整理成，由正整数条件确定与. 【详解】设等比数列的公比为，由得，因为，所以，. 又， 所以，从而. 于是. 因为、、成等差数列，所以，即， 两边同乘得，即. 因为、，所以，只能、，即、. 四、解答题 15．（26-27高二上·云南昆明·期中）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)求及其最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据等差数列及其前项和的性质，列出方程组，求出首项和公差，写出通项公式； （2）根据数列首项和公差，直接写出前项和公式，进而根据二次函数性质，求出最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，可得，解得， 所以. （2）可得， 可知，所以当时，取得最小值． 16．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为． (1)若，则是等差数列吗？ (2)若，则是等差数列吗？ 【答案】(1)是 (2)不是 【解析】略 17．（25-26高二下·北京延庆·期中）在数列中，已知． (1)若数列是等差数列，求数列的通项公式及前项和； (2)若数列是等比数列，求数列的通项公式及前项和； (3)若数列的前项和，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2)或，或 (3) 【分析】（1）根据已知条件求得首项和公差，由此求得数列的通项公式及前项和； （2）根据已知条件求得首项和公比，由此求得数列的通项公式及前项和； （3）利用求得数列的通项公式． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则， 解得． 所以． . （2）设等比数列的首项为，公比为，则， 解得，或， 所以或， 或. （3）由已知得； 当时， 有， 又因为， 所以． 18．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）求下列数列的通项公式及前项和． (1)若等差数列满足，求数列的通项公式及前项和． (2)若等比数列满足，求数列的通项公式及前项和． 【答案】(1)； (2),. 【分析】（1）利用等差数列的定义求出公差和首项，再求出通项公式与前项和； （2）利用等比数列的定义求出公比，再求出通项公式与前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以. 所以，． 所以数列的通项公式为，前项和． （2）设等比数列的公比为， 因为，所以. 所以，. 所以数列的通项公式为，前项和为. 19．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（1）在等比数列中，若，，求和公比q． （2）在等差数列中，，，求． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）利用等比数列通项公式和前n项和公式列式求解； （2）利用等差数列的前n项和性质求解. 【详解】（1）由，，得，即，又， 于是，解得或. （2）∵数列为等差数列， ∴，，，…，也成等差数列， 设其公差为d，由此数列的前10项之和为 ， 即（*）．又∵，代入（*）式，解得， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 等差数列与等比数列 （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 【知识点02】等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 【知识点03】等差数列的四种判断方法和两种证明方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 【知识点04】等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 【知识点05】等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 【知识点06】等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【知识点07】等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 【知识点08】等比数列的判断（证明） 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 【知识点09】等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 【知识点10】等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 【知识点11】等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列 核心方法：定义法 【例1-1】（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知等差数列的首项，取子数列，（，，，…），则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是公比为2的等比数列 D．存在，使是等比数列 【例1-2】（多选）（26-27高二上·重庆江北·阶段检测）记为数列的前项和，则（   ） A．当时，数列为等比数列 B．当时，数列为等差数列 C．若，当时，数列为等差数列 D．若，当时，数列为等比数列 【变式1-1】（2026高三·全国·专题练习）若向量，则数列是（   ） A．等差数列 B．既是等差数列又是等比数列 C．等比数列 D．既非等差数列又非等比数列 【变式1-2】（多选）（26-27高三上·辽宁·开学考试）记为数列的前项和，则（    ）． A．当时，数列为等比数列 B．当时，数列为等差数列 C．当时，数列为等比数列 D．当为等差数列时，存在使得数列为等差数列 【变式1-3】（多选）（2026·江苏无锡·三模）已知等差数列的前项和为，各项均为正数的等比数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．对任意，，数列为等差数列 B．对任意，，数列为等比数列 C．存在，，使得数列为等比数列 D．存在，，使得数列为等差数列 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列 核心方法：定义法 【例2-1】（26-27高二上·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 【例2-2】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知数列满足：，，n∈N*. (1)求证：数列为等比数列； 【变式2-1】（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； 【变式2-2】（25-26高二下·云南大理·期末）在数列中，，． (1)求证：数列是等差数列； 【变式2-3】（24-25高三·全国·一轮复习）已知数列的前项和为，满足. (1)证明：数列为等比数列； 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性 核心方法：作差法 【例3-1】（25-26高二下·湖南邵阳·期末）设若是单调递增的等比数列，则常数（     ） A．2 B．3 C．5 D．10 【例3-2】（多选）（2026·江苏常州·三模）设为等差数列的前项和，且，若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 【变式3-1】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知是无穷等比数列，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（多选）（2026·广东肇庆·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递增数列 B． C． D．的最大值为 【变式3-3】（25-26高二下·辽宁·阶段检测）与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项 核心方法： 【例4-1】（25-26高三上·河北·期中）已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时，__________． 【例4-2】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 【变式4-1】（2026·四川泸州·模拟预测）设为等比数列的前项和，若，，则的最小值为________． 【变式4-2】（25-26高二·全国·随堂练习）已知等差数列的通项公式为． (1)求首项和公差； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的增减性． 【变式4-3】（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）数列的前项和为，已知且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的最大值. 【考点题型五】等差数列角标和性质 核心方法：若，则（特别的，当，有） 【例5-1】（2026·四川资阳·一模）在等差数列中，若，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 【例5-2】（26-27高二上·全国·期中）在等差数列 中，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知等差数列（）满足，，则（     ） A．4 B．7 C．8 D．2026 【变式5-3】（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列，均为等差数列，且，，则_____． 【考点题型六】等比数列角标和性质 核心方法：若，则（特别的，当，有） 【例6-1】（26-27高二上·全国·期中）等比数列 中，、是方程 的两根，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列为正项等比数列，，则的值为（    ） A．10 B．16 C．15 D．11 【变式6-1】（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）各项为正数等比数列中，，则取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二下·四川南充·期末）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则（    ） A．-1013 B．1014 C．-1014 D．1013 【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算 核心方法：前项和公式 【例7-1】（26-27高二上·甘肃白银·期中）已知数列是等差数列，，． (1)求的通项公式； (2)记的前n项和为，求满足等式的n的值． 【例7-2】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【变式7-1】（26-27高二上·全国·课堂例题）在等差数列中，已知，，，求和． 【变式7-2】（24-25高二上·海南海口·阶段检测）设等差数列的公差为，前项和为， (1)若，，求； (2)若，求； (3)若，求． 【变式7-3】（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）在正项数列中，已知. (1)证明：为等比数列； (2)若，，求的前项和. 【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质） 核心方法：设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 【例8-1】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）若表示等差数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 【例8-2】（25-26高二下·云南玉溪·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______________． 【变式8-1】（26-27高三上·广西河池·阶段检测）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．2729 B．2730 C．2731 D．2732 【变式8-2】（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值） 核心方法：已知等差数列和的前项和分别为，，则. 【例9-1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（   ） A． B． C． D． 【例9-2】（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质） 核心方法：设等比数列的公比为，数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 【例10-1】（26-27高二上·全国·期中）等比数列的前项和为，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【例10-2】（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （   ） A． B．12 C．21 D． 【变式10-1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式10-2】（26-27高三上·贵州·阶段检测）记是等比数列的前项和，若，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式10-3】（25-26高二下·陕西汉中·期中）设为等比数列的前n项和，已知，，则的值为______. 【考点题型十一】等比数列前项和性质（奇偶项和性质） 核心方法：设等比数列的公比为，当是偶数时, ;当是奇数时, 【例11-1】（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【例11-2】（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为341，所有偶数项的和为170，则______________. 【变式11-1】（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【变式11-2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 【变式11-3】（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比______. 【考点题型十二】数列中新文化题 【例12-1】（2026·广东广州·模拟预测）若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为的等差数列，则称数列为“—等差数列”．已知为“—等差数列”，且，，则（     ） A． B． C． D． 【例12-2】（多选）（26-27高三上·安徽·开学考试）数的进制是人们利用符号来计数的方法．我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数有个数码：，，…．在计算机中用的是二进制，只有两个数码，．如二进制中，，相当于十进制中的，简记为．则（    ） A． B．满足，，…中有且只有个的所有二进制数有个 C．满足，，…中有且只有个的所有二进制数在十进制下的和为 D．由个和个组成的所有二进制数在十进制下的和为 【变式12-1】（25-26高二下·安徽淮南·期末）已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为． A． B． C． D． 【变式12-2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）在数列中，如果，都有（K为常数），那么这个数列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 【变式12-3】（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）对于数列，，若（为常数），则称是的“和数列”.已知为等差数列，，且是的“和数列”，则，数列的前项和________. 一、单选题 1．（2026·湖北·模拟预测）已知等差数列的首项，公差为正数，当子数列（）为等比数列，则的前10项和为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·全国·期中）已知等差数列 的前 项和为 <<，且数列 有最大值，则使 取最小正值时 的值为（　　） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·全国·期中）已知数列 的前 项和为 ，且 （），则 的通项公式为（　　） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·全国·期中）已知数列中，，且，则 （　　） A． B． C． D． 5．（2026·青海黄南·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）在等比数列中，，，则 （   ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则n的最小值为4051 8．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）记为数列的前项和，若，且为等比数列，则（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 二、多选题 9．（26-27高二上·全国·期中）已知等差数列 的前 项和为 ，若 <<，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．数列 中的最大项为 10．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，，则下列结论正确的是（     ） A． B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 三、填空题 11．（四川省部分学校2026-2027学年高三上学期11月学情检测数学试题）记为等差数列的前项和.若，，则______. 数列满足，，成等差数列，则_______． 13．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，且 ，则_____. 14．（2026·广东广州·模拟预测）已知等比数列满足，且，为数列的前n项和．若，，成等差数列，则_______________． 四、解答题 15．（26-27高二上·云南昆明·期中）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)求及其最小值． 16．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为． (1)若，则是等差数列吗？ (2)若，则是等差数列吗？ 17．（25-26高二下·北京延庆·期中）在数列中，已知． (1)若数列是等差数列，求数列的通项公式及前项和； (2)若数列是等比数列，求数列的通项公式及前项和； (3)若数列的前项和，求数列的通项公式． 18．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）求下列数列的通项公式及前项和． (1)若等差数列满足，求数列的通项公式及前项和． (2)若等比数列满足，求数列的通项公式及前项和． 19．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（1）在等比数列中，若，，求和公比q． （2）在等差数列中，，，求． 学科网（北京）股份有限公司 $