期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组（并项求和） 考点一 裂项相消法 【知识点解析】 一、适用条件 通项可拆成两项之差，累加时中间项相互抵消，只剩首尾少量项；多用于分式、根式、对数型数列。 二、常用裂项公式 1）等差基础型 特例： 2）奇偶分母型 3）根式有理化裂项 4）三阶分式 5）对数裂项： 三、标准解题步骤 ① 对通项变形拆分，补齐前面的系数； ② 写出前 2～3 项、最后 2 项展开 ； ③ 消去成对重复的中间项； ④ 合并剩下的首、尾项并化简。 四、解题技巧 1. 分母两项差值为 ，前面必须乘 ，极易漏写； 1. 多写几项再抵消，防止剩余项判断错误； 1. 分子不为 1 时，先提取常数再裂项； 1. 含 交替数列，分开奇偶讨论剩余项。 五、易错提醒 1. 拆分后遗漏前置系数； 1. 抵消结束，剩余正负项写错； 1. 根式裂项有理化分子分母颠倒。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)因为，对一切正整数成立， 所以，即， 因为，，所以， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列． (2) (3) 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证； （2）结合（1）利用等比数列定义可得，然后利用累加法求解即可； （3）先得到，利用裂项相消法得到，进而得，即可求解以实数的最小值． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以通过累加得 ， 当 时，，满足上式， 综上所述，． （3）， 从而， 所以， 当无限增大，的值越来越趋近于0 且小于0，所以的值越来越趋近于且小于， 所以对任意正整数 ，不等式恒成立时，， 即实数的最小值为． 例2．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求、的值； (2)求数列的通项； (3)设数列的前项和为，求的取值范围． 【答案】(1)-2，-4 (2) (3) 【分析】（1）利用公式求解； （2）利用公式，分为奇数和偶数求解； （3）利用裂项相消法求解. 【详解】（1）由条件知， ，． （2）当为奇数且时，，也符合， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以数列． （3）由题可知，所以， 所以数列的前项和， 由，所以， 又因为单调递减，所以当时，有最大值， 所以的取值范围为． 例3．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知正项数列的前n项和为，满足（）． (1)求和； (2)若，求证：（）． 【答案】(1)，； (2)由（1）可知，则      于是有： ． 【分析】（1）应用计算得出，进而得出通项公式及前n项和； （2）应用裂项相消法求解证明. 【详解】（1）（），①， （），②， 由②-①得（）， 即． 又，所以，． 又，解得或0（舍）， 故，． （2）略 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）应用等差数列的前n项和公式求基本量，即可得通项公式，根据递推式得，从而有，作差即可得； （2）根据（1）得，应用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得， ； ， ， 当且时，， 两式相减得，则； 当时，，满足； 综上所述：； （2）， 则； 变式2．（25-26高二下·山西·阶段检测）已知数列为等差数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公差为，利用已知条件建立方程组求解和； （2）将裂项为，再求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由得， 由得， 解得，. 所以. （2），则， 所以. . 变式3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 【答案】(1) (2)证明：因为， 所以， 所以． 因为，所以， 因为数列单调递增，所以， 所以． 【分析】（1）利用与已知建立等式，得出是等差数列，进而求出，再根据与的关系求通项； （2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再结合数列单调性证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以． 当时，， 也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）略 考点二 错位相减法 【知识点解析】 一、适用条件 通项 = 等差数列 × 等比数列，形式 。 二、标准解题步骤 ① 写出前 项和： ② 等式两边同乘等比公比 ，得到 ； ③ 两式对齐同次指数项，做差 ； ④ 中间一段为普通等比数列，套用等比求和公式； ⑤ 左边提取 ，整理单独解出 。 三、解题技巧 1. 书写时相同指数对齐，空位留出，避免错位； 1. 相减后中间等比数列只有 项； 1. 算出结果后代 代入验证是否成立。 四、易错提醒 1. 乘 时首项、末项漏乘； 1. 后式整体变号，正负号计算失误； 1. 最后忘记除以 ，没有分离出 ； 1. 不能用错位相减，直接用等差求和。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系化简原式求解； （2）错位相减法求前项和 【详解】（1）因为， 所以， 两式相减并整理得， 则， 当时，，则， 所以， 所以数列为首项为的等比数列，故各项均为，则， 所以. （2）由（1）知，， 则， ， 两式相减得 ， 故. 例2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，． (1)证明：求，的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，， 证明：当时，可得， 当时，可得， 因为，，， 所以，， 所以数列为首项为，公比为的等比数列． (2) 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）得，， 则，， 所以 ， 所以， 则， 所以， 即． 例3．（2026·重庆江北·模拟预测）已知满足，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）用等差数列通项公式求解；利用等比数列通项公式列方程求解，再得到的通项公式； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由对任意正整数成立，可知是首项、公差的等差数列，由等差数列通项公式得：； 设等比数列公比为，已知，故，代入得： 等比数列公比，两边同除以，可得， 即，解得，因此. （2）由题意得， ① ② ②①得： . 【变式训练】 变式1．（24-25高三上·四川德阳·阶段检测）已知数列 . (1)令 ，证明数列 是等差数列，并求出通项公式； (2)求数列 的前 项和 . 【答案】(1)证明： ， 两端除以 ，得 ，即 ， 由 ，得 ， 所以数列 是以 4 为首项，3 为公差的等差数列， (2) . 【分析】（1）由数列递推式变形后，利用等差数列定义证明并求出其通项公式； （2）先利用（1）的结论，求出，再由错位相减法即可求得. 【详解】（1）略 （2） ， ，① 由①-②，得 ， . 变式2．（25-26高二下·辽宁铁岭·期中）记为数列的前n项和，已知． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据，求出，得到结论； （2）求出，利用错位相减法和分组求和法进行求解 【详解】（1）因为， 所以，两式相减得， 即，化简得， 则， 当时，，，则，所以， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列． （2）由（1）得，则， 因为，所以， 则，所以， 则． 设①，则②， 式子①-②得， 故， 故． 变式3．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）在等差数列中，，. (1)求； (2)求； (3)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）记的公差为，由，可得答案； （2）由，可得，然后代入可得答案； （3）由（2）讨论的值，则，然后由错位相减法可得答案. 【详解】（1）记的公差为，则； （2）由题意可得，， 此时显然，可得 则 ， 即，，，所以. （3）当时，，此时不符合题意， 当时，，此时，符合题意， 故，.则，记的前项和为， 则， 上式乘以得，， 两式相减得 ，即 考点三 分组（并项求和） 【知识点解析】 一、两类适用题型 题型 1：分组求和（拆成等差/等比分别求和） 通项可拆成两个简单数列相加：， 等差、 等比。 求和：，分别套等差、等比求和公式再相加。 题型 2：并项求和（相邻两项合并） 通项带 正负交替，相邻两项结合为常数或简单式子，如： ，两两配对计算一组的和，再分 奇、偶讨论总项数。 二、通用解题步骤 分组求和步骤 1. 将通项拆为等差、等比两个独立数列； 1. 分别计算两个数列前 项和； 1. 两式相加化简得到 。 并项求和步骤 1. 两项一组合并，求出每一组的固定和； 1. 判断总项数 为奇数还是偶数： · 偶数：恰好分 组； · 奇数： 完整组，最后单独剩第 项； 1. 分组总和加上剩余项，化简。 三、解题技巧 1. 拆项后分清等差、等比各自首项、公差/公比； 1. 正负交替数列优先并项，计算量远小于直接累加； 1. 分奇偶必须分开写表达式，不能统一写成一个式子。 四、易错提醒 1. 拆项后等差、等比求和项数搞错； 1. 并项时 为奇数，忘记单独处理最后一项； 1. 交替数列合并时正负符号处理错误。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知数列满足：，，n∈N*. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求n的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)50 【分析】（1）由递推公式得到，结合等比数列的定义即可得证. （2）由（1）可得，利用分组求和法求出，结合和单调性求解即可. 【详解】（1）由，得，即， 又， 所以数列为等比数列，首项为，公比为. （2）由（1）知，，所以， 所以. 由，得，即. 易知是递增数列， 令，，， 所以， 所以. 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 例3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·福建龙岩·阶段检测）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列与等比中项列方程求解即可. （2）根据分组求和法，结合等差数列及等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以. 又，所以，解得或（舍去）， 所以. 因此的通项公式为. （2）由（1）知 . 所以 ， 所以. 变式2．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知为数列的前n项和，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明：当时，， 整理得，所以， 所以， 因为，所以， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列． (2) 【分析】(1)通过和的关系表示出后构造的形式并证明其为等比数列. (2)表示出后分类讨论并通过分组求和求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，则，所以， ①当n为偶数时， ； ②当n为奇数时，可得； 综上：． 变式3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对于数列，利用与的关系，通过和两种情况求出通项公式；对于数列，根据已知条件求出首项和公比，进而得到通项公式； （2）对于数列，根据的奇偶性分别求和，再将结果相加得到前项和即可. 【详解】（1）因为①，时，②． 由①-②得， 所以，则， 因为，所以， 因为，．则为首项1，公差1的等差数列， 所以， 因为，，则公比，， 所以． （2）当为偶数时， ， 当为奇数时，是偶数， 则， 把偶数公式中替换成： 则， 所以 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组（并项求和) 【知识点解析】 考遮用条件 裂项相消法 通项可拆成两项之差，累加时中间项相互抵消，只剩首尾少量项；多用于分式、根式、对数型数列。 二、常用裂项公式 1)等差基础型 1-111 n(n+k)k nn+k 特例： 1=11 n(n+1)nn+1 2)奇偶分母型 1 =11.1 (2n-1(2n+1)22n-12n+1 3)根式有理化裂项 1 =I(9n+k-8/n) n+k+n k 4)三阶分式 11 1 (n+DIn+22aa+元lat2 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 5)对数裂项：ln+1=nn+1)-hn n 三、标准解题步骤 ①对通项变形拆分，补齐前面的系数： ②写出前2~3项、最后2项展开S: ③消去成对重复的中间项： ④合并剩下的首、尾项并化简。 四、解题技巧 1. 分母两项差值为k,前面必须乘，极易漏 2. 多写几项再抵消，防止剩余项判断错误： 3 分子不为1时，先提取常数再裂项： 4. 含(-1交替数列，分开奇偶讨论剩余项。 五、易错提醒 1. 拆分后遗漏前置系数； 2. 抵消结束，剩余正负项写错： 3. 根式裂项有理化分子分母颠倒。 【例题分析】 例1，(2526高二下上海宝山期末)已知数列a,清见：0左0：=1，且0,2+4a,=501对任意正整效”都 成立 1)证明：数列a4, 是等比数列： 2)求数列a, 的通项公式： ③设b,-g,Ba,-1,激列b的前”项和为之，若对作衣正整数”，不等式5，<恒成立，求实数的日 1 S. 小值. 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 为偶数 例2.(25-26高二下·云南昭通阶段检测)己知数列 的前项和为，且，= n+3 n 2,n为奇数 (1)求a1、a3的值： (2)求数列的通项； (1 (3)设数列a,a的前n项和为Tn,求Tn的取值范围. 例3.(2526高二下辽宁沈阳阶段检测已知正项数列a的前n顶和为，满足2S,=a+a,(n∈N). 求和5 S ②若-a+,求证：有+后++方行(neN), 1,1,113 十…十 3 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 【变式训练】 变式1，(2526高二下黑龙江哈尔滨阶段检测)已知等差数列a的前”项和为S,且S,=4,9,=16,数列 {b}满足 2"b+2"-b2+…+2bn=3”-1(neN) 口求数a和，的通项公式， ez-26-2-2 a,·a1，求数列{c}的前n项和Tn. 变式2.(2526高二下山西阶段检测)已知数列a,}为等差数列，且8+a,=6,4+a=10. ①求数列a的通项公式 ∫4 (2)求数列a,an1的前n项和Sn: 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 变式3。(2026云南昭通模拟预测)已知正项数列a,中，4=l,a=S+,n八 (1)求数列 的通项公式： 1 bn= 2)没8，若=bb,+b,b++bb,证明：3≤7 6 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 考点二 错位相减法 【知识点解析】 一、适用条件 通项=等差数列×等比数列，形式a,=(An+Bq(q≠1)° 二、标准解题步骤 ①写出前n项和： S=a+az+a3+...+an ②等式两边同乘等比公比q,得到qSn: ③两式对齐同次指数项，做差Sn-qSn: ④中间一段为普通等比数列，套用等比求和公式： ⑤左边提取Sn（(1-q),整理单独解出Sn。 三、解题技巧 1.书写时相同指数对齐，空位留出，避免错位； 2.相减后中间等比数列只有n-1项； 3.算出结果后代n=1代入验证是否成立。 四、易错提醒 1.乘q时首项、末项漏乘： 2.后式整体变号，正负号计算失误； 3.最后忘记除以(1-q),没有分离出Sn: 个 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 4. q=1 不能用错位相减，直接用等差求和。 【例题分析】 例1.(2526高二下辽宁辽阳阶段检测)记5为数列a}的前”项和，己知S,+2a,=+4加-2. ()求a,的通项公式： 2求数列a,（3)的前n项和7 _log2an,n为奇数 例2.（25-26高二下黑龙江哈尔滨阶段检测)已知数列a,}满足4=1,0 2.+2,n为偶数 (1)证明：求a,Q的值，并证明数列a}为等比数列： (2)设b,=2142 2,求数列}的前n项和T,· 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 例3。(2026重庆江北模拟预测)已知a满足m∈N,4a,=1,为等比数列，4=么=1， b=4(b4-b) 求a,和，的通项公式， ②没，a6,求数列的前项和 1 【变式训练】 变式1.(2425高三上四川德阳阶段检测)已知数列a,4=16,4,=40+34,(≥2) ()令b,= 4”，证明数列{私，}是等差数列，并求出通项公式： (2)求数列 a,}的前n项和S, 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 变式2.(2526高二下辽宁铁龄期中)记5为数列a的前项和，已知=2a,+2” 1)定明：数列a,-2少是等比数列： 包没f(=m,求a,f}的前n项和. 变式3.(2526高=下江西南昌阶段检测)在等差数列a,}中，a4=5,4a=21 adz-aj (1)求5-a; (2)求a1: 8)活4，<24，求a-2产}的前”项和 10 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 考点三 分组（并项求和) 【知识点解析】 一、两类适用题型 题型1：分组求和（拆成等差/等比分别求和） 通项可拆成两个简单数列相加：an=bn+Cn,bn等差、Cn等比。 求和：Sn=∑bn+∑Cn,分别套等差、等比求和公式再相加。 题型2：并项求和（相邻两项合并) 通项带 (-1”正负交替，相邻两项结合为常数或简单式子，如： Q,=-1”fn两两配对计算一组的和，再分n奇、偶讨论总项数。 二、通用解题步骤 分组求和步骤 1.将通项拆为等差、等比两个独立数列； 2.分别计算两个数列前n项和； 3.两式相加化简得到Sn。 并项求和步骤 1.两项一组合并，求出每一组的固定和； 2. 判断总项数n为奇数还是偶数： ·n得数：恰好分号组： 。”奇数：2完整组，最后单独利第n项 11 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 3.分组总和加上剩余项，化简。 三、解题技巧 1.拆项后分清等差、等比各自首项、公差/公比： y 正负交替数列优先并项，计算量远小于直接累加： 3. n分奇偶必须分开写表达式，不能统一写成一个式子。 四、易错提醒 1.拆项后等差、等比求和项数搞错： 2.并项时n为奇数，忘记单独处理最后一项； 3.交替数列合并时正负符号处理错误。 【例题分析】 26高三下江苏南京阶段检测)已知数列满足：子，只 1 (1)求证：数列a,」为等比数列； 11 1 Sn=二+二+..+ 101 ②记44,4，若S2,求的最大天闻 例2。（2026陕西西安模拟预测)已知数列a,的前”项和为3，且5=心 (1)求{an的通项公式： (2)若b。=a,sin 12,记数列{也，}的前n项和Tn,求T26 12 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 13 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 8an+12,n为奇数 an+1= 例3.(2026广东佛山模拟预测)已知数列{a,}满足：4=2， ,n为偶数 2 ，设b=an+4: (1)求，2，的值； ②)判断数列么，}的单调性并说明理由； (3)求数列a, 的前2n项和. 【变式训练】 变式1.(2526高二下福建龙岩阶段检测)已知数列a是公差不为0的等差数列，4=2，且0，Q.“成等 比数列 ①求数列a,的通项公式 回活2=2+2a,求数列，的前”明和5. 以 期末复习：数列求和3种高频考点复习讲义 变式2.(2s26高二下四川成都阶段检测)已知S为数列a,的前”项和，且=2，+广-3n-1 Q)求证：数列a,-20为等比数列： ②没久=a,com,求数列，的前1项和. 变式3.(2s26高二下重庆阶段检测)已知正项数列a,/的前”项和为5，且满足2，=4+a(∈N）,数列 么为等比数列，且4=4，么=6a- ①求数列a,和仙，的通项公式， an,n为奇数 (2数列{c,}满足，-b,n为偶数(neN),求{c,}的前n项和T,· 公