4.2.1 第三课时 等差数列的综合应用-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书Word（人教版）

第三课时　等差数列的综合应用 课标 要求 1.能灵活设项解等差数列（逻辑推理、数学运算）. 2.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用（数学抽象、数学建模）. 3.可由等差数列构造新数列（逻辑推理、数学运算）. 知识点一　等差数列中项的设法 〔一题多解〕已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数. 解：法一　设这三个数分别为a，b，c（a＜b＜c）， 则解得 故这三个数分别为4，6，8. 法二　设这三个数分别为a－d，a，a＋d， 由已知可得 由①得a＝6，代入②得d＝±2. 因为该数列是递增的，所以d＝2， 所以这三个数分别为4，6，8. 规律方法 等差数列的设项方法和技巧 （1）当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程（组）求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； （2）当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…，可同理设出； （3）当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…，可同理设出. 训练1　〔一题多解〕已知四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数. 解：法一　设这四个数依次为a，a＋d，a＋2d，a＋3d（公差为d）， 依题意，2a＋3d＝2，a（a＋3d）＝－8， 把a＝1－d代入a（a＋3d）＝－8， 得（1－d）（1＋d）＝－8， 解得d＝2或d＝－2. 又四个数成递增等差数列，所以d＞0， 所以d＝2，a＝－2. 故所求的四个数为－2，0，2，4. 法二　设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为2d）， 依题意得2a＝2且（a－3d）（a＋3d）＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d＞0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 知识点二　等差数列的实际应用 （链接教材P16例3）某公司2025年经销一种数码产品，获利200万元，从2026年起，预计其利润每年比上一年减少20万元.按照这一规律，如果该公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销此产品将出现亏损？ 解：记2025年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年获利构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司经销此产品将出现亏损. 设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋（n－1）d＝220－20n. 由题意知，数列{an}为递减数列，令an＜0，即an＝220－20n＜0，解得n＞11，即从第12年起，也就是从2036年开始，该公司经销此产品将出现亏损. 规律方法 解决等差数列实际应用问题的步骤 提醒：在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题. 训练2　在通常情况下，从海平面到10 km高空，海拔每增加1 km，气温就下降一固定数值.如果海拔1 km高空的气温是9 ℃，海拔5 km高空的气温是－15 ℃，那么海拔8 km高空的气温是多少？ 解：设海拔n km高空的气温为an ℃（1≤n≤10）， 则{an}成等差数列，且a1＝9，a5＝－15，设公差为d， 由a5＝a1＋4d＝9＋4d＝－15，得d＝－6， 所以an＝－6n＋15， 所以a8＝－6×8＋15＝－33， 所以海拔8 km高空的气温是－33 ℃. 知识点三　由等差数列衍生的新数列 （1）〔多选〕若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有（　ACD　） A.{an＋an＋1} B.{} C.{an＋1－an} D.{2an} 解析：设等差数列{an}的公差为d.对于A，（an＋an＋1）－（an－1＋an）＝（an－an－1）＋（an＋1－an）＝2d（n≥2），所以{an＋an＋1}是以2d为公差的等差数列；对于B，－＝（an＋1－an）·（an＋an＋1）＝d（an＋an＋1），因为d（an＋an＋1）不一定为常数，所以{}不一定是等差数列；对于C，因为an＋1－an＝d，所以{an＋1－an}为等差数列；对于D，因为2an＋1－2an＝2d，所以{2an}为等差数列. （2）设数列{an}，{bn}都是等差数列.若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝　35　. 解析：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2.因为a3＋b3＝（a1＋2d1）＋（b1＋2d2）＝（a1＋b1）＋2（d1＋d2）＝7＋2（d1＋d2）＝21，所以d1＋d2＝7.所以a5＋b5＝（a3＋b3）＋2（d1＋d2）＝21＋2×7＝35. 规律方法 由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列（c为任一常数） {c·an} 公差为cd的等差数列（c为任一常数） {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N*） {pan＋qbn} 公差为pd＋qd'的等差数列（p，q为常数） 提醒：（1）一般情况下，等差数列{an}，{bn}构成的{anbn}不是等差数列；（2）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列，如ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）组成公差为md的等差数列；（3）由两等差数列公共项组成的新数列，其公差为两数列公差的最小公倍数. 训练3　（1）将1到2 026这2 026个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a10＝（　A　） A.190 B.211 C.232 D.253 解析：由题意可得an能被3除余1，且被7除余1，则an－1是21的倍数，即an－1＝21（n－1），即an＝21n－20，∴a10＝21×10－20＝190. （2）在等差数列－5，－，－2，－，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式an＝　n－　. 解析：原数列的公差d＝－－（－5）＝，所以新数列的公差d'＝d＝，故新数列的通项公式为an＝－5＋（n－1）＝n－. 1.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{2an}是（　　） A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列 C.非等差数列 D.以上说法均不正确 解析：B　因为2an＋1－2an＝2（an＋1－an）＝2d（n∈N*），所以数列{2an}是公差为2d的等差数列.故选B. 2.已知等差数列{an}：1，0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0，20，40，60，…，则数列{an＋bn}是（　　） A.公差为－1的等差数列 B.公差为20的等差数列 C.公差为－20的等差数列 D.公差为19的等差数列 解析：D　易知数列{an＋bn}是等差数列，且公差d＝（a2＋b2）－（a1＋b1）＝（a2－a1）＋（b2－b1）＝－1＋20＝19. 3.体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有　20　人. 解析：由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为17，公差为7，末项为150，设末项为第n项，则17＋7（n－1）＝150，解得n＝20，则队伍里一共有20人. 4.已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为59，求这三个数的积. 解：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则解得或∴这三个数依次为－1，3，7或7，3，－1.∴这三个数的积为－21. （时间：60分钟　满分：106分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为（　　） A.7 B.5 C.3 D.1 解析：D　由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝（2an＋1－3bn＋1）－（2an－3bn）＝2（an＋1－an）－3（bn＋1－bn）＝2d1－3d2＝1. 2.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是（　　） A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 解析：C　新数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，可写为a1＋a1＋2，a2＋a2＋2，a3＋a3＋2，…，其公差为2d，故选C. 3.某企业经统计知，2025年7月份到12月份的月产量逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产量为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为（　　） A.48吨 B.54吨 C.60吨 D.66吨 解析：C　设2025年n（7≤n≤12，n∈N*）月份的产量为an吨，由题意可知，数列{an}是等差数列，且a7＝10，a12＝20，则8月到11月这四个月的产量之和为a8＋a9＋a10＋a11＝2（a7＋a12）＝60（吨）. 4.已知方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根构成首项为的等差数列，则｜m－n｜＝（　　） A.1 B. C. D. 解析：C　根据根与系数的关系得，等差数列中两项的和是2，另外两项的和也是2，首项是，容易得到四项依次为，，，，则m，n的值一个为，另外一个为，所以｜m－n｜＝. 5.已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40，则第一个数与第四个数的积为（　　） A.10 B.16 C.22 D.40 解析：C　设这四个数依次是a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（a，d∈R）.可得解得或所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2，故第一个数与第四个数的积为22. 6.〔多选〕若a，b，c成等差数列，则下列说法正确的是（　　） A.2a，2b，2c成等差数列 B.log2a，log2b，log2c成等差数列 C.a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D.2a，2b，2c成等差数列 解析：AC　A项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴2·（2b）＝2a＋2c，∴2a，2b，2c成等差数列，故A正确；C项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴2（b＋2）＝（a＋2）＋（c＋2），∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确.取a＝1，b＝2，c＝3，易知B、D不成等差数列. 7.〔多选〕已知等差数列{an}中，a5＝4，公差d＝4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列{bn}，下列正确的是（　　） A.a8＝16 B.b8＝－3 C.a50＝b148 D.{an－3bn}是常数列 解析：ACD　an＝a5＋（n－5）d＝4n－16，a8＝16.在新数列{bn}中，b1＝a1＝－12，公差d'＝d＝，∴bn＝－12＋（n－1）＝n－，则b8＝×8－＝－，令a50＝4×50－16＝184＝n－，得n＝148.∴a50＝b148，an－3bn＝24为常数. 8.若等差数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差为　9d　. 解析：由等差数列的性质可知，a1＋a2＋a3＝3a2，a4＋a5＋a6＝3a5，a7＋a8＋a9＝3a8，由3a5－3a2＝3a8－3a5＝9d可知，a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差为9d. 9.已知五种不同规格的旗帜的长a1，a2，a3，a4，a5（单位：cm）成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5（单位：cm），且对应长与宽之比都相等，已知a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝　128　. 解析：设等差数列a1，a2，a3，a4，a5的公差为d.因为a1＝288，a5＝96，由a5＝a1＋4d易得d＝＝＝－48，所以a3＝288＋（3－1）×（－48）＝192.又＝且b1＝192，所以b3＝＝＝128. 10.（13分）在无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. （1）求b1和b2； （2）求数列{bn}的通项公式； （3）数列{bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 解：（1）∵a1＝3，d＝－5， ∴an＝3＋（n－1）×（－5）＝8－5n. 数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…， ∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. （2）设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第n项，即bn＝am，则m＝3＋4（n－1）＝4n－1， ∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×（4n－1）＝13－20n，即数列{bn}的通项公式为bn＝13－20n. （3）3＋4×（503－1）＝2 011，∴数列{bn}中的第503项是数列{an}中的第2 011项. 11.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小的一份为（　　） A. B. C. D. 解析：A　设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d＞0，则（a－2d）＋（a－d）＋a＋（a＋d）＋（a＋2d）＝5a＝100，∴a＝20.由（a＋a＋d＋a＋2d）＝a－2d＋a－d，得3a＋3d＝7（2a－3d），∴24d＝11a，∴d＝，∴最小的一份为a－2d＝20－＝. 12.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数为（　　） A.20 B.22 C.25 D.30 解析：C　由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12（n－1）＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，所以11≤12n－1≤302，解得1≤n≤25.25，又n∈N*，故{cn}的项数是25. 13.〔多选〕已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2（n∈N*），则下列说法正确的有（　　） A.数列{an}是等差数列 B.a2k＝7－2k（k∈N*） C.a2k－1＝12－2k（k∈N*） D.an＋an＋1＝18－3n 解析：BC　由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于2a2≠a1＋a3，所以{an}不是等差数列，A错误；由an－an＋2＝2，知{an}的偶数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当n＝2k（k∈N*）时，a2k＝a2＋（k－1）×（－2）＝7－2k，当n＝2k－1（k∈N*）时，a2k－1＝a1＋（k－1）×（－2）＝12－2k，故B、C都正确；当n＝2时，a2＋a3＝5＋8＝13不满足an＋an＋1＝18－3n，故D错误. 14.（15分）有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？ 解：设该单位需购买电视机n台. 在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，an＝780＋（n－1）×（－20）＝－20n＋800， 由an＝－20n＋800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价（800－20n）元； 购买台数超过18台时，每台售价440元. 到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600（元）. 当n≤18时，比较在甲、乙两家家电商场的费用（800－20n）n－600n＝20n（10－n）. 当n＜10时，（800－20n）n＞600n，到乙商场购买花费较少； 当n＝10时，（800－20n）n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同； 当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n，到甲商场购买花费较少； 当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少. 因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买10台电视机时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少. 15.（15分）给定整数n（n≥4），设集合A＝{a1，a2，…，an}，记集合B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}. （1）若A＝{－3，0，1，2}，求集合B； （2）若a1，a2，…，an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，求证：集合B中的元素个数为2n－1. 解：（1）因为B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}， 当A＝{－3，0，1，2}时，ai＋aj＝－6，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，所以B＝{－6，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}. （2）证明：因为a1，a2，…，an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，所以有ai－1＋an＝ai＋an－1（2≤i≤n－2），2ai＝ai－1＋ai＋1（2≤i≤n－1）. 此时，集合B中的元素有以下大小关系： 2a1＜a1＋a2＜a1＋a3＜…＜a1＋an＜a2＋an＜a3＋an＜…＜an－1＋an＜2an. 因此，集合B中含有2n－1个元素. 学科网（北京）股份有限公司 $