精品解析：上海市民办新复兴初级中学2026-2027学年第一学期九年级数学期中试题

2026学年第一学期九年级数学期中考试试卷 一、选择题：（本题共5小题，每小题4分，共20分）． 1. 如图，在中，是斜边上的中线．已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）． A. B. C. D. 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数有最大值，最大值是5 D. 当时，y随x的增大而增大 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点A时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为（ ） A. 7 B. C. D. 二、填空题：（本题共11小题，每小题4分，共44分）． 6. 计算：________． 7. 一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进，则此时小球距离地面的高度为________ 8. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为______ 9. 如图，菱形中，是边上一点，点为延长线与延长线的交点．若，，则的长为________． 10. 如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么tan∠DCF的值是____． 11. 在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有__________． 12. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为________． 14. 如图，和均是等腰直角三角形，，连接，，若，则的长为________． 15. 新定义：我们把二次函数与二次函数（其中，且a，b，c均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数的图像与轴交于点．二次函数的“相关二次函数”为．当时，二次函数上的点与二次函数上的点之间的距离为5，则的值为________． 16. 在综合与实践课上，老师带领同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展探究活动，同学们用一张直角三角形纸片进行折叠．已知，，，，在边上找一点，将纸片沿折叠，使点落在处，当的某一边与边垂直时，________． 三、解答题：（本大题共7题，满分86分）． 17. 如图，在矩形中，，， 是的中点，于点． （1）求证：； （2）求的长 ． 18. 学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_____，反映中心投影的情形图是_____；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子、画出表示竹竿的影子； 【解决问题】 （3）在图1中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 19. 如图，某小区车库入口斜坡的坡角，因坡角过大易引发安全事故，该小区物业部门决定将斜坡改造为斜坡，新的坡角，已知，米．（参考数据：，，） （1）求坡底部增加的长度是多少米（结果保留一位小数）； （2）若点距斜坡上方悬挂的广告牌的水平距离米，米，，求广告牌下端点到斜坡的距离（结果保留一位小数），并据此判断高度为米的货车沿下坡过程中是否会撞到广告牌？ 20. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 21. 如图，已知在梯形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，连接交于点，并满足． （1）求证：； （2）求证：． 22. 抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图，若是直线下方抛物线上的点，过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标； （3）如图，若抛物线与抛物线关于轴对称，直线交抛物线于点，，是抛物线上一点，且，若抛物线上存在个满足条件的点，求的范围． 23. 在中，，，，点在线段上，且．在中，，，，连接并延长到点，使，连接． 初步感知： （1）如图1，当点，分别在，上时，则________； 深入探究： （2）如图2，若将图1中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明理由： ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学期中考试试卷 一、选择题：（本题共5小题，每小题4分，共20分）． 1. 如图，在中，是斜边上的中线．已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线可得，，进而得，然后利用锐角三角函数进行计算即可解答． 【详解】解：在，是斜边上的中线，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义，找到从上面所看到的图形即可． 【详解】解：从上往下看，得到两个矩形组成的一个大矩形，且左边的矩形较大，全部为实线． 故选：C 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．注意看得到的线为实线，看不到的线为虚线． 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数有最大值，最大值是5 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可． 【详解】解：对于y=（x-1）2+5， ∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误； 顶点坐标为（1，5），故B错误； 该函数有最小值，最小值是5，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，故D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 5. 如图1，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点A时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象、二次函数的应用、求二次函数解析式、勾股定理等知识点，求得抛物线的解析式成为解题的关键． 在中，，，则，再求得的长，然后用待定系数法求得函数解析式，易得，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在中，，，则． 当时，，解得∶（负值已舍去）， ， 抛物线经过点．由图象知抛物线顶点为． 设抛物线解析式为， 将代入，得，解得， ． 当时，，解得或（舍去）， ． 在中，由勾股定理得． 故选D． 二、填空题：（本题共11小题，每小题4分，共44分）． 6. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 7. 一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进，则此时小球距离地面的高度为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，过点B作，根据，则设，，由勾股定理得，，即，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，斜坡的坡度为，，过点B作，     在，， ∴设，， 由勾股定理得，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，即此时小球距离地面的高度为， 故答案为：． 8. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了格点与勾股定理，锐角三角函数的计算，根据题意，作，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据锐角三角函数的计算即可求解，掌握格点与勾股定理，正弦函数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴根据格点可得，， ∴，即是直角三角形，， ∴在中，， 故答案为： ． 9. 如图，菱形中，是边上一点，点为延长线与延长线的交点．若，，则的长为________． 【答案】 3 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出及，计算出的长，由平行线得出，利用相似三角形对应边成比例即可求解.  【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴ ∴ ∴. 10. 如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么tan∠DCF的值是____． 【答案】． 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°， ∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，∴CF＝BC， ∵，∴．∴设CD＝2x，CF＝3x， ∴． ∴tan∠DCF＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义． 11. 在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．根据相似三角形的判定定理对各项逐一分析． 【详解】解：①，，； ②，，； ③，，； ④，但对应边夹角不是公共角，所以无法判定． 故答案为：①②③． 12. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键． 【详解】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方， ∴不等式的解集是：， 故答案为： 13. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】过点作轴的垂线，利用相似三角形对应高的比等于相似比进行计算． 【详解】解：过点作轴于点，交于点， ， ，， ， ， ， 轴，在轴上， ， ， ， ， ． 14. 如图，和均是等腰直角三角形，，连接，，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵和均是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 15. 新定义：我们把二次函数与二次函数（其中，且a，b，c均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数的图像与轴交于点．二次函数的“相关二次函数”为．当时，二次函数上的点与二次函数上的点之间的距离为5，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】将点代入的解析式求出参数，再依据“相关二次函数”的定义得到的解析式，结合时两点横坐标相同的特征，利用两点距离为纵坐标差的绝对值列方程求解． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴将代入解析式得， 解得， ∴的解析式为， ∴的解析式为； 当时，点在上，坐标为，点在上，坐标为． ∵两点横坐标相同，且两点间距离为5， ∴， 化简得，即或， 解得或． 16. 在综合与实践课上，老师带领同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展探究活动，同学们用一张直角三角形纸片进行折叠．已知，，，，在边上找一点，将纸片沿折叠，使点落在处，当的某一边与边垂直时，________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据折叠性质得，，，分三种情况讨论的哪一条边与垂直，分别计算的长度即可． 【详解】解：，，，， ，， 由折叠性质可知，，，分三种情况讨论： 1．如图，当时， ， ， 在中，， ，符合点在线段上． 2．当时，如图，设交于点， ， ， 在中，， ，在下方， ， 在中，， ，符合点在线段上． 3．如图，当时， ， ， 由折叠性质得， 过作于，得，， 在中，， ， ， ，符合点在线段上． 综上，的长度为或或． 三、解答题：（本大题共7题，满分86分）． 17. 如图，在矩形中，，， 是的中点，于点． （1）求证：； （2）求的长 ． 【答案】（1） 证明：∵在矩形中，于点E， ∴， ∴， ∴ 在和中， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和数形结合的思想解答． （1）要证，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意和矩形的性质可以证明； （2）根据题意和（1）中，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答本题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵在矩形中，，，M是的中点， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， 解得，． 18. 学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_____，反映中心投影的情形图是_____；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子、画出表示竹竿的影子； 【解决问题】 （3）在图1中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【答案】（1）图2；图1 （2）如图所示，即为所作； （3）米 【解析】 【分析】本题考查投影和相似三角形的应用，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形即可求解； （3）利用相似三角形的性质构建方程组和方程，求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，反映平行投影的情形图是图2；反映中心投影的情形图是图1； 故答案为：图2；图1； (2)略 （3）如图，记图1的投影中心为O，过点O作交的延长线于点N， ，，， ，， ，， ，， ，，，， ，即， ，即， 则，解得， ，， ， ， ， ，，，， ，即， 解得， 则竹竿的影长为米． 19. 如图，某小区车库入口斜坡的坡角，因坡角过大易引发安全事故，该小区物业部门决定将斜坡改造为斜坡，新的坡角，已知，米．（参考数据：，，） （1）求坡底部增加的长度是多少米（结果保留一位小数）； （2）若点距斜坡上方悬挂的广告牌的水平距离米，米，，求广告牌下端点到斜坡的距离（结果保留一位小数），并据此判断高度为米的货车沿下坡过程中是否会撞到广告牌？ 【答案】（1）坡底部增加的长度是米 （2）高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义及等腰三角形的判定可知，再利用锐角三角函数可知即可； （2）利用垂直的定义及矩形的判定可知四边形形是矩形，再根据矩形的性质及直角三角形的性质可知，最后利用锐角三角函数解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵米， ∴米， ∵， ∴在中，， ∴， 答：坡底部增加的长度是米； 【小问2详解】 解：高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌，理由如下： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足， ∴， ∴四边形形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴在中，，米 ， ∵米， ∴在中，， ∴， ∵， ∴高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌． 【点睛】本题考查了垂直的定义，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形的应用—坡角问题，根据题目已知条件添加适当的辅助线是解题的关键． 20. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识， （1）根据，设，则，利用勾股定理求出，进而可得，问题即可得解； （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，根据，可得，则有，在中，设，，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵， ∴如图， 设，则，由勾股定理得，， ∴， 又∵， ∴， ∴折射率为：． 【小问2详解】 根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，点O是中点， ∴，， 又∵， ∴， 在中，设，， 由勾股定理得，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴截面的面积为：． 21. 如图，已知在梯形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，连接交于点，并满足． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． （1）由，且，得，则，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，则； （2）先证明，得，则，由，得，所以，则根据相似三角形的性质可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图，若是直线下方抛物线上的点，过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标； （3）如图，若抛物线与抛物线关于轴对称，直线交抛物线于点，，是抛物线上一点，且，若抛物线上存在个满足条件的点，求的范围． 【答案】（1） （2）2或 （3） 【解析】 【分析】（1）分别令求解即可； （2）先求直线的表达式为，设，则，，故，，再由，得到方程，即可求解； （3）先求出，即可求解，当点在直线下方的抛物线上，无论为何值，总存在满足条件的两个点，故当点在直线上方的抛物线上，过点作直线，只需要满足直线与抛物线有2个交点即可，设直线，与抛物线联立可得，，然后求出一个交点时的值，再由割补法求解的面积，即可求解的取值范围． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴， 当时， 解得 ∴； 【小问2详解】 解：设直线表达式为 代入点可得， 解得 ∴直线的表达式为 如图， 设 ∵轴， ∴ ∵轴交抛物线于点， ∴点关于对称轴直线对称， ∴ ∴， ∵ ∴ 解得或或 由题意得， ∴或； 【小问3详解】 解：∵抛物线与抛物线关于轴对称 ∴将纵坐标换为可得， ∴ 联立直线与可得， 解得或 ∴ 当点在直线下方的抛物线上，无论为何值，总存在满足条件的两个点， ∴当点在直线上方的抛物线上，过点作直线，只需要满足直线与抛物线有2个交点即可， 设直线，与抛物线联立 可得， ∴ 当时，则 解得， 此时直线与抛物线只有一个交点， 设直线交轴于点，则 ∴此时, ∴当时，直线与抛物线有2个交点， 综上：当时，抛物线上存在个满足条件的点． 23. 在中，，，，点在线段上，且．在中，，，，连接并延长到点，使，连接． 初步感知： （1）如图1，当点，分别在，上时，则________； 深入探究： （2）如图2，若将图1中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明理由： ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】（1） （2）解：（1）中的结论仍然成立， 证明：∵，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 当四边形的面积最小时，线段的长为． 【解析】 【分析】（1）由已知结合对顶角相等，可证明，可得，由线段之间的关系，可得，，即可得； （2）由已知结合旋转的性质，可证明，可得，证明，可得，从而可得；设，可得，，，可得，由勾股定理可得，，作于点，于点，，由两点之间线段最短，可知当点、、三点共线时，取得最小值，此时四边形的面积最小，根据勾股定理可得，结合相似比，即可得线段的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）略 设， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， 作于点，于点， ， ∵， ∴， 当点、、三点共线时，取得最小值，此时四边形的面积最小， ∵，，，于点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当四边形的面积最小时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，图形的面积，旋转的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $