精品解析：甘肃省庆阳市环县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

环县一中2025~2026学年度第一学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章，第2章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 不存在 2. 已知数列的一个通项公式为，且，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 6 3. 若方程表示圆，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ） A. B. C. D. 5. 已知2，，成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下5个圆环最少移动的次数为（ ） A. 16 B. 14 C. 7 D. 5 7. 过原点且倾斜角为的直线被圆：所截得的弦长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 在数列中，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则圆和圆相离 B. 若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C. 若圆和圆外切，则或 D. 若圆和圆内切，则 11. 列昂纳多・斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170-1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可用如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等差数列，且满足，则______． 13. 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 14. 已知圆和两点若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前n项和，已知，从以下两个条件中任选其中一个给出解答．①；②． （1）求公差； （2）求，并求的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 16. （1）已知点、，求线段的垂直平分线的方程； （2）已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，求直线的方程； （3）一束光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求反射光线所在直线的方程. 17. 已知数列的前n项和为，且满足， 数列为等比数列，且 （1）求数列和的通项公式； （2）若数列， 求数列的前项和为 18. 设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，且点满足. （1）求点所在圆的方程； （2）已知圆与轴交于C，D两点（点在点的左边），斜率不为0的直线过点且与圆交于E，F两点，证明：. 19. 在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列． （1）若为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和； （2）若为阶等比数列，求证：为阶等差数列； （3）若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环县一中2025~2026学年度第一学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章，第2章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方程得出斜率即可. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以斜率为， 故选：B 2. 已知数列的一个通项公式为，且，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据通项公式及，求出的值，再将代入求解即可. 【详解】解：因为，即，解得， 所以． 故选：B. 3. 若方程表示圆，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 方程配方，左边配成平方和的形式，右边为正即可表示圆． 【详解】方程化为标准方程为，有，∴．. 故选：B 4. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线平行可推出，再根据平行线间距离公式可计算. 【详解】由题意可得， 再由平行线的距离公式得. 故选：B 5. 已知2，，成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项定义求解. 【详解】因为2，，成等比数列， 所以，解得. 故选：C 6. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下5个圆环最少移动的次数为（ ） A. 16 B. 14 C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意由并利用递推公式逐项代入计算可得结果. 【详解】依题意由可得， 因此,,. 即解下5个圆环最少移动的次数为16. 故选：A 7. 过原点且倾斜角为的直线被圆：所截得的弦长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先由点斜式求出直线的方程，再利用圆的弦长公式求解即得. 【详解】过原点且倾斜角为的直线方程为， 即， 圆：，圆心，半径， 圆心到的距离， 故直线被圆所截得的弦长为. 故选：D 8. 在数列中，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由累加法得到，然后借助余弦函数的周期性整理等式后得到结果. 【详解】∵， ∴，，，，，， ∴， ∵，，，， ， ∴. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点讨论，当直线不过原点时，设出直线方程，代入点即可求解. 【详解】若直线过原点，则在两坐标轴上的截距为0，满足题意， 此时直线斜率，方程为，即； 若直线不过原点，当在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为， 则，解得，此时方程为； 当在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为， 则，解得，此时方程为. 综上，直线的方程为或或. 故选：ACD 10. 已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则圆和圆相离 B. 若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C. 若圆和圆外切，则或 D. 若圆和圆内切，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系判断ACD，利用相交圆公共弦求法判断B. 【详解】圆：，圆心，半径为， 圆：，圆心，半径为， 对于A，当时，，因为， 故两圆相交，故A错误； 对于B，当时，两圆相交，公共弦所在直线的方程是， 即，故B正确； 对于C，由两圆外切，得，解得，故C错误； 对于D，由两圆内切，得，解得，故D正确. 故选：BD. 11. 列昂纳多・斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170-1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可用如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出 分别计算选项A和B，再利用递推性质求解. 【详解】由题意知： ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C， = ，故C错误； 对于D，由， 则 ，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等差数列，且满足，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用等差数列和的性质求解. 【详解】数列是等差数列，且满足，则5. 故答案为：5 13. 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出图象，根据与线段相交，设直线的斜率为，由求解. 【详解】解：，， 如图所示： ∵与线段相交，由题意设直线的斜率为， ∴，∴，∴或． 由于在及上均单调递增， ∴直线的倾斜角的范围为． 故答案为：. 14. 已知圆和两点若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为______. 【答案】11 【解析】 【分析】利用轨迹方程的定义和圆与圆的位置关系求解. 【详解】，记中点为，则， 故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 又在圆上，所以两圆有交点， 则，而，得. 故答案为:11. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前n项和，已知，从以下两个条件中任选其中一个给出解答．①；②． （1）求公差； （2）求，并求的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1） （2），最小值为 【解析】 【分析】（1）选条件①，根据得出数列的求和公式和题意，列出方程，即可求得的值； 选条件②，根据等差数列的通项公式，列出方程，即可求得的值； （2）由（1），根据等差数列的求和公式，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：选条件①：， 设的公差为，可得，解得， 又由，可得，故数列的公差． 选条件②：， 设的公差为，可得，即， 又由，可得，故数列的公差． 【小问2详解】 解：由（1）知，公差，且， 可得， 所以当时，取得最小值，最小值为． 16. （1）已知点、，求线段的垂直平分线的方程； （2）已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，求直线的方程； （3）一束光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求反射光线所在直线的方程. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据中点公式，得的中点坐标，再根据斜率公式求得，进而可得中垂线的斜率，然后根据点斜式即可求得直线方程. （2）易知直线l的斜率为，联立方程求出交点坐标，再利用点斜式求得方程即可. （3）根据对称知识，可得点关于轴的对称点的坐标，进而可推出反射光线的点斜式方程. 【详解】（1）由，∴线段的中点坐标为 又，∴线段的中垂线的斜率为， ∴由直线方程的点斜式可得线段的中垂线所在直线方程为， 即. （2）由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线l的斜率为， 联立：，解得：，即交点坐标为 由直线方程的点斜式得直线l的方程为， 即. （3）设关于轴的对称点为，则点，所以，则直线， 即反射光线所在的直线方程为. 17. 已知数列的前n项和为，且满足， 数列为等比数列，且 （1）求数列和的通项公式； （2）若数列， 求数列的前项和为 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据求出，进而通过基本量的运算求出； （2）通过错位相减法即可求得答案. 【详解】（1）由题意，时，， 时，，n=1时，. ∴. 设的公比为q，所以，∴. （2）由（1）， ∴……① 则……② 由①-②得： ， ∴. 18. 设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，且点满足. （1）求点所在圆的方程； （2）已知圆与轴交于C，D两点（点在点的左边），斜率不为0的直线过点且与圆交于E，F两点，证明：. 【答案】（1） （2） 令，由或. 所以，. 设直线：. 代入得：，整理得：. 设，， 则，. 因为， 因为， 所以. 【解析】 【分析】（1）设，用坐标表示条件，可得圆的方程. （2）设直线的点斜式方程，与圆方程联立，利用韦达定理得到，，再把转化成，验证即可. 【小问1详解】 设，由， 得：，整理得：,即为圆的方程. 【小问2详解】 略 19. 在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列． （1）若为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和； （2）若为阶等比数列，求证：为阶等差数列； （3）若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列． 【答案】（1），前项和为 （2） 因为为阶等比数列， 所以，使得成立， 所以， 又， 所以， 即成立， 所以为阶等差数列； （3） 因为既是4阶等比数列，又是5阶等比数列， 所以与同时成立， 所以与同时成立， 又的各项均为正数，所以对任意的， 数列和数列都是等比数列， 由数列是等比数列， 得也成等比数列， 设， 所以，所以是等比数列． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得为正项等比数列，求出首项与公比，再根据等比数列的前项和公式即可得解； （2）由为阶等比数列，可得，使得成立，再根据阶等差数列即可得出结论； （3）根据既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，可得与同时成立，再结合等比数列的定义即可得出结论. 【小问1详解】 因为为1阶等比数列，所以为正项等比数列， 设公比为，则为正数， 由已知得 两式相除得，所以（舍去），所以， 所以的通项公式为， 前项和为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $