精品解析：湖南 长沙市一中集团2026-2027学年八年级上学期期中联考数学试卷（11月）

2026年下学期八年级期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，请先将自已的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 2026年国际数学家大会开幕式上，中国数学家邓煜、王虹获得菲尔兹奖，这是中国籍数学家首次获得这一奖项．数学符号可以精确、简洁地表达和交换数学信息，使复杂的数学思想得以清晰、无歧义地呈现，是数学抽象化和形式化的基础．下列数学符号中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 2026长沙马拉松设马拉松（公里）与半程马拉松（公里）两个项目，总规模人，其中马拉松项目人，半程马拉松项目人．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 劳技课贺老师带领学生制作风筝．为了让风筝在空中飞行时更稳定，睿睿在制作风筝时，特意将风筝的骨架设计成三角形结构．这一设计蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 两点确定一条直线 4. 年月，《中小学生午休课桌椅通用技术要求》正式实施．随着年秋季开学，湖南越来越多的学校引入了新型午休课桌椅．如图，某款午休椅的靠背放倒后，其侧面支架可抽象为．已知点在同一直线上，是的一个外角．若测得，则的度数是( ) A. B. C. D. 5. 如图，已知，则下列条件中，可用“”判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个三角形的三边长分别为2，6，，则第三边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 近期，“向山野去”的露营热潮兴起．如图，一顶户外帐篷的侧面轮廓可抽象为等腰，其中，点是底边上的一点．下列条件中，不能判定平分的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点和点为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点，作射线；过点作交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若等腰三角形的底角为，则它的顶角为_____． 12. 已知点与点关于轴对称，则_________． 13. 如图，，点在一条直线上，若，则的长为_________． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若，则的度数是_________． 15. 如图是长沙某商场一部自动扶梯的示意图，已知水平地面与电梯斜坡的倾斜角，斜坡段的长度为8米，则乘客从点搭乘电梯到点时，垂直上升的高度为_________米． 16. 如图，在中，，点是内一点，连接，若，则的面积为_________． 三、解答题（本大题共8小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知代数式． （1）求； （2）当时，求的值． 19. 每年的4月23日为“世界读书日”．为了让学生学会读书，爱上读书，营造浓厚读书氛围，某校计划购买心理学和科技类两种书籍供学生阅读，已知购买1本心理学书籍和2本科技类书籍共需85元，购买2本心理学书籍和1本科技类书籍共需80元． （1）心理学书籍和科技类书籍的购买单价分别为多少元？ （2）根据需求量，该校决定购入心理学书籍和科技类书籍共90本，其中心理学书籍的购入数量少于科技类书籍的数量，恰逢书店做“读书节”优惠促销活动：心理学书籍每本打8折，科技类书籍每本优惠2元．如果此次买书的总费用不超过2184元，那么有哪几种购买方案？ 20. 如图，已知在同一直线上，， （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 21. （深度求索）是一款人工智能模型，某团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的调查问卷共_________份，_________； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中选项C“报告”对应扇形的圆心角度数； （4）团队收集了6000份调查问卷，请估计选择“报告”和“其他反馈”的总人数． 22. 综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀在《古从军行》中写道：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，如图①，将军从山脚下的点出发，需先到一条笔直的河边饮马，然后再回到宿营点．他时常思考：如何规划路线，才能使每天行走的总路程最短呢？ 【模型解决】如图①，小明将两地抽象为平面内两个点，将河流抽象为直线．如图②，小明作出的方案是：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点即为最佳饮马点，此时所走的总路程最短．以下是他的证明过程： （1）如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． _________，_________， ． 在中，， ，即最小． 小明在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是（ ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 （2）【模型应用】如图④，有两条公路和经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园处新建如图所示的三条小路，使三条小路刚好围成一个三角形，求周长的最小值． （3）【模型拓展】如图⑤，某小区计划在休闲场地（内部区域）内修建一条风雨走廊．走廊从商业区边沿上的点出发，依次经过公共绿化区边沿上的点处和住宅区边沿上的点，最后回到点．已知，底边，若风雨走廊每米造价3000元．当走廊总长最短时，工程造价是多少元？ 23. 对定义一种新运算，规定，其中，是非零常数．如：当，时，． （1）当，满足时，计算； （2）已知，请求出，的值； （3）若当，时，关于的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围． 24. 定义：若一个三角形中有一个内角是另一个内角的2倍，则称这个三角形为“二一”三角形． 请根据定义，解决下列问题． （1）判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①直角三角形都是“二一”三角形；（ ） ②存在一个内角为的“二一”三角形；（ ） ③若一个“二一”三角形是等腰三角形，则这个三角形的最大内角为或．（ ） （2）如图1，为“二一”三角形，其中于点为线段上一点． ①若，则_________； ②求证：； ③如图2，是“二一”三角形，其中是角平分线，是延长线上一点，，连接，作于点，若的面积是8，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期八年级期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，请先将自已的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 2026年国际数学家大会开幕式上，中国数学家邓煜、王虹获得菲尔兹奖，这是中国籍数学家首次获得这一奖项．数学符号可以精确、简洁地表达和交换数学信息，使复杂的数学思想得以清晰、无歧义地呈现，是数学抽象化和形式化的基础．下列数学符号中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2. 2026长沙马拉松设马拉松（公里）与半程马拉松（公里）两个项目，总规模人，其中马拉松项目人，半程马拉松项目人．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：. 3. 劳技课贺老师带领学生制作风筝．为了让风筝在空中飞行时更稳定，睿睿在制作风筝时，特意将风筝的骨架设计成三角形结构．这一设计蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【详解】解：将风筝的骨架设计成三角形结构．这一设计蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 4. 年月，《中小学生午休课桌椅通用技术要求》正式实施．随着年秋季开学，湖南越来越多的学校引入了新型午休课桌椅．如图，某款午休椅的靠背放倒后，其侧面支架可抽象为．已知点在同一直线上，是的一个外角．若测得，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是的外角，得，代入已知角即可求出． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴． 又， ∴． 5. 如图，已知，则下列条件中，可用“”判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴当时，． 6. 已知一个三角形的三边长分别为2，6，，则第三边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形任意两边和大于第三边，两边差小于第三边求解即可． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴， ∴. 7. 近期，“向山野去”的露营热潮兴起．如图，一顶户外帐篷的侧面轮廓可抽象为等腰，其中，点是底边上的一点．下列条件中，不能判定平分的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质以及全等三角形的判定和性质，可得B、C、D都能够说明是平分线，而A选项不能，由此即可求解． 【详解】解：．，不能判定平分，故该选项符合题意； ．在等腰中，，，能判定平分，故该选项不符合题意； ．∵，∴，又，，∴，故，即平分，故该选项不符合题意； ．在等腰，，，能判定平分，故该选项不符合题意； 8. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作轴，证明，由全等三角形的性质得出，，即可求出，进而可求出点C的坐标． 【详解】解：过点C作轴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 9. 如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点和点为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点，作射线；过点作交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后根据平行线的性质可得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴． 10. 折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，再根据，推出，从而得出，结合折叠，得出，最后根据是的外角，根据即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴，即， 由折叠性质可知：， ∵是的外角， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若等腰三角形的底角为，则它的顶角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：等腰三角形的底角为， ∴它的顶角为， 故答案为：． 12. 已知点与点关于轴对称，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】平面直角坐标系中，关于轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于轴对称 ∴， ∴． 13. 如图，，点在一条直线上，若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由全等三角形的性质得出，再根据即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若，则的度数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质得出，由直角三角形的两个锐角互余得出，然后根据角的和差关系即可求出． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 如图是长沙某商场一部自动扶梯的示意图，已知水平地面与电梯斜坡的倾斜角，斜坡段的长度为8米，则乘客从点搭乘电梯到点时，垂直上升的高度为_________米． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作交的延长线于点E，则，求出，根据含30度直角三角形的性质即可求出． 【详解】解：如图所示，过点C作交的延长线于点E， 则， ∵， ∴， ∴米． 即米． 16. 如图，在中，，点是内一点，连接，若，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点B作，交延长线于点F，先证明出，则，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点B作，交延长线于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 三、解答题（本大题共8小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 已知代数式． （1）求； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：当时， ． 19. 每年的4月23日为“世界读书日”．为了让学生学会读书，爱上读书，营造浓厚读书氛围，某校计划购买心理学和科技类两种书籍供学生阅读，已知购买1本心理学书籍和2本科技类书籍共需85元，购买2本心理学书籍和1本科技类书籍共需80元． （1）心理学书籍和科技类书籍的购买单价分别为多少元？ （2）根据需求量，该校决定购入心理学书籍和科技类书籍共90本，其中心理学书籍的购入数量少于科技类书籍的数量，恰逢书店做“读书节”优惠促销活动：心理学书籍每本打8折，科技类书籍每本优惠2元．如果此次买书的总费用不超过2184元，那么有哪几种购买方案？ 【答案】（1）心理学书籍的购买单价为25元，科技类书籍的购买单价为30元． （2）共有三种方案，购入心理学书籍42本，购入科技类书籍48本；购入心理学书籍43本，购入科技类书籍47本；购入心理学书籍44本，购入科技类书籍46本． 【解析】 【分析】（1）设心理学书籍的单价是x元，科技类书籍的单价是y元，根据“1本心理学书籍和2本科技类书籍共需85元，购买1本心理学书籍和2本科技类书籍共需80元．”列方程组求解即可； （2）设购入心理学书籍m本，则购入科技类书籍本．根据此次买书的总费用不超过2184元列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设心理学书籍的购买单价为元，科技类书籍的购买单价为元． 根据题意，得 解得 答：心理学书籍的购买单价为25元，科技类书籍的购买单价为30元． 【小问2详解】 解：设购入心理学书籍本，则购入科技类书籍本． 根据题意，得 解得， 为正整数， 或43或44， 共有三种方案： 方案①：购入心理学书籍42本，购入科技类书籍48本； 方案②：购入心理学书籍43本，购入科技类书籍47本； 方案③：购入心理学书籍44本，购入科技类书籍46本． 答：共有三种方案，购入心理学书籍42本，购入科技类书籍48本；购入心理学书籍43本，购入科技类书籍47本；购入心理学书籍44本，购入科技类书籍46本． 20. 如图，已知在同一直线上，， （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）证明： ， ，即， ， 在和中： ． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出． （2）由全等三角形的性质得出，由等边对等角以及三角形内角和定理得出，再由补角的定义求出． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 21. （深度求索）是一款人工智能模型，某团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的调查问卷共_________份，_________； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中选项C“报告”对应扇形的圆心角度数； （4）团队收集了6000份调查问卷，请估计选择“报告”和“其他反馈”的总人数． 【答案】（1）200；10； （2） （3）选项C“报告”对应扇形的圆心角度数为； （4）选择“报告”和“其他反馈”的总人数约为2400人． 【解析】 【分析】（1）用选项A的问卷份数除以所占的比例求出抽取的调查问卷的总份数，再求出选项D所占的比例即可求出m； （2）由（1）知抽取的调查问卷共200份，进而求出选项B的问卷份数，补全条形图即可； （3）先求出选项C的占比，再用360度乘以选项C的占比即可． （4）用6000乘以选项C和选项D所占的比例进行求解即可． 【小问1详解】 解：（份） ， ∴． 【小问2详解】 解：选项B的份数为：（份） 补全条形统计图略； 【小问3详解】 解：， ， 答：选项C“报告”对应扇形的圆心角度数为； 【小问4详解】 解：由题意得，（人）， 答：选择“报告”和“其他反馈”的总人数约为2400人． 22. 综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀在《古从军行》中写道：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，如图①，将军从山脚下的点出发，需先到一条笔直的河边饮马，然后再回到宿营点．他时常思考：如何规划路线，才能使每天行走的总路程最短呢？ 【模型解决】如图①，小明将两地抽象为平面内两个点，将河流抽象为直线．如图②，小明作出的方案是：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点即为最佳饮马点，此时所走的总路程最短．以下是他的证明过程： （1）如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． _________，_________， ． 在中，， ，即最小． 小明在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是（ ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 （2）【模型应用】如图④，有两条公路和经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园处新建如图所示的三条小路，使三条小路刚好围成一个三角形，求周长的最小值． （3）【模型拓展】如图⑤，某小区计划在休闲场地（内部区域）内修建一条风雨走廊．走廊从商业区边沿上的点出发，依次经过公共绿化区边沿上的点处和住宅区边沿上的点，最后回到点．已知，底边，若风雨走廊每米造价3000元．当走廊总长最短时，工程造价是多少元？ 【答案】（1），， （2）的周长的最小值为500米． （3）元 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质以及两点之间，线段最短求解即可； （2）分别作点关于的对称点，连接，分别交于点，此时的周长最小，其最小值等于的长．由线段垂直平分线的性质得出 米，，，证明是等边三角形，进而可得出米． （3）作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接，由轴对称的性质可得，，进而可得出，再证明是等边三角形，再根据当时，最小．进一步即可得出答案． 【小问1详解】 解：图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 小明在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是∶ 两点之间，线段最短． 【小问2详解】 解：如图所示， 分别作点关于的对称点，连接，分别交于点，此时的周长最小，其最小值等于的长． 由轴对称的性质可得米，，， ， ， 是等边三角形， 米， 米． 的周长的最小值为500米． 【小问3详解】 解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接， 由轴对称的性质可得，， 的周长为， 当最小时，的周长最小， ， ， ， 是等边三角形， ， 当时，最小． 此时，底边， ， 走廊总长最短为， 此时工程造价是元． 23. 对定义一种新运算，规定，其中，是非零常数．如：当，时，． （1）当，满足时，计算； （2）已知，请求出，的值； （3）若当，时，关于的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求出，，然后利用求解； （2）将展开，然后系数对应相等求解即可； （3）首先得到，然后代入求出，设三个整数解分别为，其中为整数，根据题意分三种情况讨论，分别结合数轴求解即可． 【小问1详解】 解：，且，， ，， ； 【小问2详解】 解：， ，， ， ， ，． 【小问3详解】 解：当，时，， ∵ ∴ 化简得 解得， 不等式组恰好有3个整数解， 设三个整数解分别为，其中为整数， 则，即， ①若且为整数，则，， ，解得， 又为整数， ； ②若， 则 ； ③若且为整数，则，， ，解得， 此时无解， 综上可得，． 24. 定义：若一个三角形中有一个内角是另一个内角的2倍，则称这个三角形为“二一”三角形． 请根据定义，解决下列问题． （1）判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①直角三角形都是“二一”三角形；（ ） ②存在一个内角为的“二一”三角形；（ ） ③若一个“二一”三角形是等腰三角形，则这个三角形的最大内角为或．（ ） （2）如图1，为“二一”三角形，其中于点为线段上一点． ①若，则_________； ②求证：； ③如图2，是“二一”三角形，其中是角平分线，是延长线上一点，，连接，作于点，若的面积是8，求的值． 【答案】（1）①（×）；②（√）；③（√）． （2）①3；②证明： 【法一】： 如图所示，在上截取点，使得，连接， ， 垂直平分， ； ， ， 又， ， ， ， ． 【法二】： 如图所示，延长至点，使得，连接， ， ， ， ， ， ， 又， ③ 【解析】 【分析】（1）根据“二一”三角形的定义判断即可； （2）根据“二一”三角形的定义，分别在三角形中利用直角三角形，应用全等证明． 【小问1详解】 ①（×）；②（√）；③（√）． 【小问2详解】 ①，， ， 又， 在中，， 在中，； ②略； ③解：如图， 连接，过点作于点，延长交于点， 是角平分线，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， 且， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $