精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年上学期东北师大附中高一年级 期中考试（数学）科试卷 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列各组函数表示同一函数的是（    ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 与 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是增函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知幂函数，则（ ） A. 的图象一定经过点 B. 的图象一定经过点 C. 若，在区间上单调递增 D. 若，在区间上单调递减 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 有最大值为 C. 有最小值为 D. 有最小值为 11. 已知为定义在上的函数，对，，都有，，当时，有，则（ ） A. B. C. 为增函数 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，_______． 13. 函数在区间上的值域是，则实数的取值范围为_______． 14. 定义在区间上的函数满足：对，均有，且对，均有．则_______． 四、解答题（本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）若，求和； （2）若，求的取值范围． 16. . （1）若对任意的都有成立，求的范围； （2）解关于的不等式. 17. 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 18. 已知奇函数，满足． （1）求实数m，n的值； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若对，对恒成立，求实数p的取值范围． 19. 已知定义域为的函数满足． （1）若，求；又若，求； （2）设有且仅有一个实数，使得． ①求函数的解析表达式； ②是否存在区间，使得在区间上的值域为，若存在，求出所有这样的区间，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期东北师大附中高一年级 期中考试（数学）科试卷 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 故，，，，ABC错误，D正确； 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】，的否定是，. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】对于，可得，则不等式的解集为． 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 4. 下列各组函数表示同一函数的是（    ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数的定义，结合选项，利用函数的定义域和对应法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以A不符合题意； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为，且， 可得函数与的定义域相同，且对应法则也相同， 所以两函数是同一函数，所以C符合题意； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以D不符合题意. 故选：C. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知函数解析式求出定义域及奇偶性，再取一个特殊值验证即可判断. 【详解】因为，所以其定义域为，排除C； 又， 所以是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除A； 当时，，排除D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，，得， 对于A：取特殊值， 则，， 此时，不满足，A错误； 对于B：，，， 所以，即，B错误； 对于C：由，得，又， 不等式两边同乘负数，不等号方向改变，得，C正确； 对于D：，幂函数在上单调递减， ，所以，D错误. 7. 若函数是增函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数各段均为增函数，且在分段处也满足单增的关系列式即可. 【详解】由题可知为增函数，故对称轴小于等于1， 且当时，故，解得. 故选：A 8. 定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用奇偶性分析函数的单调性，分析函数值的正负求解. 【详解】由题意知，，在区间上单调递增， 则和时，和时， 当时，，令或，解得或， 当时，，令或，解得（舍）或， 综上的的取值范围是. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知幂函数，则（ ） A. 的图象一定经过点 B. 的图象一定经过点 C. 若，在区间上单调递增 D. 若，在区间上单调递减 【答案】AD 【解析】 【详解】A选项，，幂函数一定经过点，A正确； B选项，当时，的定义域为，不经过点，B错误； C选项，当时，在上单调递减，在上单调递增，C错误； D选项，任取，且，则，， 则， 由于，故，故， 所以在区间上单调递减，D正确 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 有最大值为 C. 有最小值为 D. 有最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对做倒数变形，利用的代换、基本不等式逐一判断选项. 【详解】，即，，两边同时除以得：， 选项：，， 若，则，，，矛盾， 所以，，即，， 选项：，令， 则，当且仅当时等号成立，所以有最小值， 选项：，当且仅当，时等号成立， 选项：，当且仅当，时等号成立. 11. 已知为定义在上的函数，对，，都有，，当时，有，则（ ） A. B. C. 为增函数 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法判断ABC，利用单调性判断D. 【详解】已知对，，，当时，， 任取，， 若存在使得，则对任意， ， 与当时，矛盾，故恒成立， 对于A：令， ，即，解得或， 若，取，则，与当时，矛盾， 故，A错误； 对于B：令，，， 即， 代入，，解得，B正确； 对于C：任取，则，， ， 即，所以在上为增函数，C正确； 对于D：，由，得， 不等式化为， 左边，于是， 是增函数，故， 整理得，，解得，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，_______． 【答案】 【解析】 【详解】当时，则，代入得， 由奇函数定义得，则. 13. 函数在区间上的值域是，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【详解】对函数，配方得， 函数图象开口向下，对称轴为，最大值为． 令，则，解得或． 因为函数在区间上的值域是， 所以实数的取值范围为． 14. 定义在区间上的函数满足：对，均有，且对，均有．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法，结合函数的性质，可求的值. 【详解】因为对，均有，即. 因为，所以， 因为，所以， 又对，均有，所以， 因为，所以. 所以， 整理. 四、解答题（本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）若，求和； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求得集合，再求和即可； （2）先考虑集合是否为空集；若不为空集，则根据集合包含关系，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 ，； 若，，； 又或，故. 【小问2详解】 对集合，因为恒成立，故； 若，则，解得，也即，故的取值范围为. 16. . （1）若对任意的都有成立，求的范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 【解析】 【分析】（1）就、分类讨论，后者再结合判别式可求的范围； （2）就、、、及分类讨论后可得不等式的解集. 【小问1详解】 即为， 若，则恒成立；若，则，即， 故 【小问2详解】 即为即， ①当时，，即解集为， ②当时，令得， (i)当时，，开口向上，此时不等式的解集为； (ii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为； (iii)当时，，开口向下， 此时不等式的解集为或； (iiii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 17. 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】（1）， （2）当的长为m时，总造价最低，为59000元 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，结合十字形区域面积为，可得，整理可得解析式，根据，，可求得x的范围，即可得答案. （2）分别求出各个区域的面积及造价，可得总造价的表达式，结合基本不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 因为十字形区域面积为， 所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 所以，. 【小问2详解】 四个矩形地砖面积，造价； 四个三角形草坪面积； 造价； 正方形花坛面积，造价； 总造价， 化简得， 因为， 当且仅当（在范围中）时取等号，此时元． 综上，当的长为时，总造价最低，为59000元． 18. 已知奇函数，满足． （1）求实数m，n的值； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若对，对恒成立，求实数p的取值范围． 【答案】（1） （2） 在上单调递增，证明如下： 令，则 ， 由，则，， 故，故在上单调递增； （3）或或 【解析】 【分析】（1）结合奇函数性质计算即可得； （2）借助单调性定义，令，比较与的大小关系即可得； （3）求出最大值后，结合一次函数性质计算即可得. 【小问1详解】 由奇函数性质及其定义域为，可得，则， 又，则，即， 检验：当时，有， 又定义域为，故为奇函数，符合要求； 故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由在上单调递增，则， 则对恒成立， 即对恒成立， 令，则当时，，符合要求； 当时，为关于的一次函数， 则有，解得或； 综上所述：实数的取值范围为或或. 19. 已知定义域为的函数满足． （1）若，求；又若，求； （2）设有且仅有一个实数，使得． ①求函数的解析表达式； ②是否存在区间，使得在区间上的值域为，若存在，求出所有这样的区间，若不存在，说明理由． 【答案】（1），. （2）①；②存在满足条件的区间，为. 【解析】 【分析】（1）利用“赋值法”，分别令，即可求值. （2）①利用换元法，结合方程只有一解，利用可求函数的解析式. ②分区间和对称轴的位置关系讨论，可求满足条件的区间. 【小问1详解】 令，由，所以； 令，由，所以. 【小问2详解】 ①设，则. 因为方程只有一解，故即方程即只有一解. 所以,所以,此时仅有一个实数解， 故. ②因为，当时取等号. 且的图象是以为对称轴，开口向上的抛物线. 情况一：若，则在上单调递减， 由. 两式相减得， 因为，所以， 代入得，整理得. 因为，所以方程无解. 即时无解； 情况二：若，则在上单调递增， 由，得是方程的两根. 由或. 所以，. 但，所以也无解； 情况三：若，则在上单调递减，在上单调递增. 故在上的最小值为，故， 而， 故或， 若，则，矛盾； 故，解得， 综上只有在区间上的值域才能为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $