精品解析：吉林省吉林江城中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

吉林江城中学 2025-2026 学年期中考试 高一年级数学试题 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，每题只有一个选项符合要求） 1. 下列关于元素与集合表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】选项A：表示自然数集，包含0，故正确； 选项B：表示正整数集，0不属于正整数，故错误； 选项C：表示有理数集，是分数，属于有理数，所以，故错误； 选项D：是有理数集，是无理数，故错误. 2. 函数 的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，解得，所以函数的定义域为. 3. 非空集合满足，，则满足条件的集合有（　　）个 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵非空集合满足，∴. ∵，∴. ∴满足条件的非空集合有个. 4. 幂函数 满足 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设幂函数 ， 由 ，得 ，所以 ，所以 . 5. 已知 ，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，则，反过来， 所以“”是“”的必要不充分条件. 6. 已知 ，，，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分别两两作差，比较大小，即可得到结果. 【详解】， 则， ， 因为，所以，即， ， 因为，所以，即， 由，，可得. 7. 一元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】知一元二次不等式的解集，就知对应方程的根，从而可求出和的值，再解出对应不等式即可得. 【详解】∵一元二次不等式的解集为， ∴1和2是方程的两根，即，得， ∴不等式即， ∴，解得或. 8. 函数 ，，对 ， 使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转换成，再求解. 【详解】，则， ， 使得 成立等价于， 当时，，当时，， 所以，解得：，即：实数的取值范围是. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 德国数学家狄利克雷在 1837 年提出：“如果对于 的每一个值， 总有一个完全确定的值与之对应，那么 是 的函数”，这个定义比较清楚地说明了函数的内涵，但是他提出的狄利克雷函数只能用对应的语言表达，有些函数的表示法并不适用，即：当自变量取有理数时，函数值为 ；当自变量取无理数时，函数值为 ．现设狄利克雷函数为 ，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】A：0 是有理数，，正确. B：1 是有理数，，错误. C：是无理数，，正确. D：是无理数，；而 0 是有理数，，正确. 10. 下列关于函数的描述正确的是（　　） A. 集合 ，集合 ，对应关系 ，则 是一个函数 B. 函数 与函数 是同一个函数 C. 若函数 ，则函数 在且 上的值域为 且 D. 若函数 定义域为 ，则函数 的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】由函数的定义即可判断A，由同一函数的定义，即可判断B，由反比例函数的值域，即可判断C，由抽象函数的定义域，即可判断D. 【详解】对于A，由函数的定义可知，集合中的每一个元素在集合中都有唯一元素与之对应，由对应关系代入，符合函数的定义，故A正确； 对于B，函数的定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数在上单调递减，值域为， 在上单调递减，值域为，所以值域为，故C错误； 对于D，由函数定义域为可得，解得， 所以函数的定义域为，故D正确. 11. 已知 ，，，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式可得出，，即可判断A，B，举反例可知C错误，选项D可变形化成完全平方式，进而判断. 【详解】，因为，， 所以，， ，即， 解得（舍去），，当且仅当时取等号， 因为，所以.当且仅当时取等号， 由以上结论可知A错误，B正确， 选项C：举反例，当，时，满足，且，， 可，所以C错误； 选项D：， 则有， 所以， 所以D正确. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 12. 已知函数 ，则 的解析式为 ________. 【答案】 【解析】 【详解】令，则，所以， 因此. 13. 函数 是定义在 上的奇函数，函数，已知 ，则 ________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用奇函数的性质求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，则：， 所以，则， . 14. 集合 ，集合 ，集合 ，则 中元素有________个； 中元素有________个． 【答案】 ①. 81 ②. 3969 【解析】 【详解】，取遍，故取，共 2025 个元素. ， 取遍，故取，共 2025 个元素. 中元素形如，中元素形如， 令，得，由得，故交集共 81 个元素. 由容斥原理可得，中元素个数为. 四、解答题（本题共 5 小题，共 52 分，写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 写出下列命题的否定并判断真假 （1）， （2）， （3）所有的正方形都是矩形 （4）， 【答案】（1）否定为：，，假命题； （2）否定为：，，假命题； （3）否定为：存在正方形不是矩形（即有些正方形不是矩形），假命题； （4）否定为：，，真命题． 【解析】 【小问1详解】 根据存在量词命题的否定为全称量词命题，因此原命题的否定为，， 显然当，时，故为假命题； 【小问2详解】 根据全称量词命题的否定为存在量词命题，因此原命题的否定为，， 由于，故为假命题； 【小问3详解】 根据全称量词命题的否定为存在量词命题，因此原命题的否定为存在正方形不是矩形（即有些正方形不是矩形）， 由于所有的正方形均为矩形，故为假命题； 【小问4详解】 根据存在量词命题的否定为全称量词命题，因此原命题的否定为，， 由于恒成立，故为真命题. 16. 集合 ，集合 （1）当 时，求 （2）若 ，求 的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合 ,于是可得，进而求得. （2）利用交集为空集可得到端点值的取值条件，从而可求范围. 【小问1详解】 当 时，， 又 ，所以 ， 所以 ． 【小问2详解】 当 时，，即 ，此时 ，不合题意； 当 时，，由 得 且 ， 解得 ， 综上， 的取值范围为 ． 17. 已知，， （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过代入消元将二元式转化为关于的二次函数，配方后结合定义域即可求得最大值； （2）利用 “乘1法”将定值与目标式结合展开，再用基本不等式求解最小值； （3）代入消元后换元简化分式，结合函数单调性与定义域即可求得最小值. 【小问1详解】 因为，所以，且， ， 当且仅当，时取等号，所以的最大值为． 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，亦即，时取等号， 所以的最小值为． 【小问3详解】 因为， 所以， 令，，， 当且仅当，即时取等号，所以，, 令，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 18. 函数 （） （1）用定义法求函数 单调性； （2）解不等式 ． 【答案】（1）在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）应用单调性的定义，通过取值，作差，变形，定号，下结论五步进行证明即可； （2）根据函数解析式可得，根据函数单调性可将不等式转化为，再求解分式不等式即可. 【小问1详解】 在上单调递增． 证明：设，则， 因为，所以，， 所以，即，故在上单调递增． 【小问2详解】 因为，且在上单调递增， 所以原不等式等价于． 由得或； 由得，即 ，解得或， 取交集得或，所以不等式的解集为． 19. 如果一个函数在区间上的值域也是，则称是函数的一个等域区间．例如：函数在上的值域也是，则称是函数的一个等域区间． （1）函数是否存在等域区间？若存在，请写出区间说明；若不存在，请说明理由． （2）若函数存在两个等域区间，求正数的取值范围． 【答案】（1）存在， （2） 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数在正、负半轴上分别单调递减的性质，构造出定义域与值域完全一致的区间，即可验证等域区间存在； （2）利用在时先减后增且最小值为0的单调性，分区间完全在减区间、包含极小值点、完全在增区间三类讨论等域区间的存在条件，再结合 “恰有两个不同等域区间” 的要求验证端点并合并范围，求得正数的取值范围. 【小问1详解】 存在．例如区间， 当时，单调递减，值域为， 所以是函数的一个等域区间； 【小问2详解】 因为，由等域区间的定义可知，其值域满足， 当时，函数在区间上单调递减， 在区间上单调递增，且最小值为0， 要使在上存在等域区间，分类讨论如下. ①若区间完全在的减区间上，即， 此时单调递减，则，即， 两式相减得，因为，所以， 代入第一式得， 又由且，得，此时，解得； ②若区间包含极小值点，即，此时区间为，值域为， 因为最小值为0，最大值必在端点处取得， 即， (i)若，则需满足且， 由解得；由解得，　所以，此时； (ii)若（且），解得（负根舍去）， 此情况对均成立（此时恒有）； ③若区间完全在的增区间上，即，此时单调递增， 则， 即是方程（即）的两个不同的非负实根， 由韦达定理，两根之积为，故方程一正一负，不可能有两个非负根，故此情况无解； 综上所述，结合①和②，要找存在两个等域区间的的取值范围， 当时，②(i)得出的区间为，两区间重合， 同时②(ii)产生第二个区间，满足题意； 当时，区间退化为一个点（），不产生两个不同的区间，舍去； 当时，②(i)和②(ii)产生的区间均为，只有1个等域区间，舍去. 因此，要使等域区间恰有两个，需满足， 即正数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林江城中学 2025-2026 学年期中考试 高一年级数学试题 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，每题只有一个选项符合要求） 1. 下列关于元素与集合表示正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 函数 的定义域为（　　） A. B. C. D. 3. 非空集合满足，，则满足条件的集合有（　　）个 A. B. C. D. 4. 幂函数 满足 ，则 （　　） A. B. C. D. 5. 已知 ，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知 ，，，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 一元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为（　　） A. B. C. D. 8. 函数 ，，对 ， 使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 德国数学家狄利克雷在 1837 年提出：“如果对于 的每一个值， 总有一个完全确定的值与之对应，那么 是 的函数”，这个定义比较清楚地说明了函数的内涵，但是他提出的狄利克雷函数只能用对应的语言表达，有些函数的表示法并不适用，即：当自变量取有理数时，函数值为 ；当自变量取无理数时，函数值为 ．现设狄利克雷函数为 ，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 10. 下列关于函数的描述正确的是（　　） A. 集合 ，集合 ，对应关系 ，则 是一个函数 B. 函数 与函数 是同一个函数 C. 若函数 ，则函数 在且 上的值域为 且 D. 若函数 定义域为 ，则函数 的定义域为 11. 已知 ，，，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 12. 已知函数 ，则 的解析式为 ________. 13. 函数 是定义在 上的奇函数，函数，已知 ，则 ________． 14. 集合 ，集合 ，集合 ，则 中元素有________个； 中元素有________个． 四、解答题（本题共 5 小题，共 52 分，写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 写出下列命题的否定并判断真假 （1）， （2）， （3）所有的正方形都是矩形 （4）， 16. 集合 ，集合 （1）当 时，求 （2）若 ，求 的取值范围 17. 已知，， （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 18. 函数 （） （1）用定义法求函数 单调性； （2）解不等式 ． 19. 如果一个函数在区间上的值域也是，则称是函数的一个等域区间．例如：函数在上的值域也是，则称是函数的一个等域区间． （1）函数是否存在等域区间？若存在，请写出区间说明；若不存在，请说明理由． （2）若函数存在两个等域区间，求正数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $