吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年上学期 东北师大附中数学科试卷 高二年级期中考试 考试时长：120分钟 试卷总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动：用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 2. 椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 3. 已知圆与圆外切，则（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 点在直线上运动，，则的最大值是（　　） A. B. C. 3 D. 4 5. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，分别为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，且，点到直线的距离是（　　） A. B. C. D. 7. 已知点是直线上的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若．则点的横坐标为（　　） A. B. 3 C. 或3 D. 1或 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点和上顶点的直线交椭圆于另外一点，若，且的面积为．则正数的值为（　　） A. B. C. D. 7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面与平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则下列命题正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设坐标原点为，直线，，则（　　） A. 的充要条件是或 B. 若，则 C. 点到直线的距离的最大值是 D. 若经过点的直线与始终垂直，则垂足与原点距离的最大值是 11. 在棱长为1的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且平面，则 B. 若，则存在，使得 C. 若平面，则 D. 若，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 三、填空题：本函共3小题，每小题4分，共12分． 12. 已知空间向量，若，则实数___________． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为．为椭圆上的动点则的取值范围是___________． 14. 已知圆，是圆上的动点，且，点是线段的中点，则当取得最大值时，的值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点 （1）求证；平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知圆，且圆上存在两点关于直线对称． （1）求圆的半径； （2）若过坐标原点的直线被圆截得的弦长为2，求直线的方程． 17. 如图，在三棱锥中，． （1）若，求证：平面平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知圆，直线． （1）求直线被圆所截得的最短弦长； （2）已知点在轴左侧，直线与圆交于，两点． （i）当弦最长时，若的面积为，求的值； （ii）在（i）的条件下，直线上是否存在异于点的定点，使得对于圆上的任一点，都有为定值，若存在，求出所有满足条件的点的坐标及该定值，若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆的左顶点为，过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于，两点（点异于点，且． （i）求证：直线恒过一个定点； （ii）若为坐标原点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值． 2025-2026学年上学期 东北师大附中数学科试卷 高二年级期中考试 考试时长：120分钟 试卷总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动：用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本函共3小题，每小题4分，共12分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） 取中点，连结， 分别为中点， ，， ，，四点共面， ，又， ，， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面. （2）. 【16题答案】 【答案】（1）； （2）或. 【17题答案】 【答案】（1） ，，所以， 在中，由余弦定理得， 又因为，所以， 在中，根据余弦定理得， 因此， 又因为是平面内的相交直线，平面， 又平面平面平面． （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，定点，为定值 【19题答案】 【答案】（1）； （2） （i）由（1）可知，. 方法一：若与轴垂直，设， 可得的坐标为． 所以，化简得，解得或（舍）， 若与轴不垂直，即直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 由得， 由得，， ， ， 由得， ， 此时成立，直线的方程为，过定点. 又当与轴垂直时，直线的方程为，也过点． 综上所述，直线恒过定点． 方法二：设，点的坐标为 直线的方程为：， 代入得，， 由韦达定理得，则， 从而点的坐标为，同理点的坐标为， 又，则点的坐标为， 当时，，此时直线过点； 当时，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 整理得，故直线过点， 综上所述，直线恒过定点． （ii）令，由（i）得，（*） 且直线的方程化为， 因为的中点为，直线的斜率为， 所以直线的垂直平分线方程为 ， 同理：直线的垂直平分线方程为， 设，则是方程的两根， 即是方程的两根， ， 又由（*）得，， ，作商得， ， 直线与的斜率之积为定值，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $