精品解析：吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

汽开三中2026—2027学年度上学期期中试卷 高二数学 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线过点和，直线一个方向向量，若，则的值为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线线平行得出参数的值. 【详解】直线过点和，直线的一个方向向量，直线的一个方向向量， 因为，则.       2. 若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原方程配方得：， 即. 因为该方程表示圆，所以，得. 故. 3. 已知圆，圆，则两圆位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆圆心的距离，再与两圆半径的和差进行比较，得到答案. 【详解】圆，圆， 所以两圆圆心为，， 所以， 两圆半径分别为，， 所以， 所以两圆位置关系为相切（外切）. 4. 已知为坐标原点，直线：与：交于点，直线：恒过点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程得求出，直线：恒过，故，因为均在轴上，所以. 【详解】联立方程得，解得，故， 直线：恒过，故， 因为均在轴上， 所以的面积为. 5. 椭圆与抛物线在第一象限相交于点为椭圆的左、右焦点.若,则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用椭圆方程得出焦点坐标，再利用抛物线的定义求出点的坐标，然后利用椭圆的定义求出，从而得出离心率. 【详解】解：因为 所以 所以， 因为， 根据抛物线的定义可得：点到的距离为2， 故得到点的横坐标为1， 代入抛物线方程，且点在第一象限， 所以点的坐标为， 故， 即，解得， 所以椭圆的离心率为， 故选:D. 【点睛】求解离心率问题就是要解出a与c的值或构造出a与c的等式（不等式），构造a与c的等式（不等式）可以从定义、曲线方程、同一量的二次计算等角度构造. 6. 、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则=（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由得，由的面积为16得， 再加上定义，即可联立得，即可由求b. 【详解】∵，的面积为16，∴，，又， 则，即有，∴. 故选：C. 7. 已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于为等腰直角三角形，所以，通过双曲线的性质可知，整理可得，最后求得的离心率. 【详解】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即， 整理得，即， 解得或（舍），所以． 8. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程,求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系， 则椭圆方程为， 则，且， 解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为 ， 又，所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 当的倾斜角为时， C. 当垂直于轴时，弦长最小 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由抛物线方程可判断A,利用抛物线定义结合几何图形运算可判断BCD． 【详解】由抛物线：可得焦点，准线方程为，故A正确； 如图根据抛物线的定义可知：，， 由，故B正确； 设，则， 同理可得：， 所以， 此时取到最小值，故C正确； 由上可得：，故D错误； 故选：ABC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 过定点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或 C. 直线的倾斜角为 D. 点关于直线的对称点为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A,在中令,得,所以直线在轴上的截距为,A正确. 对于B,设线段上的点为,其中.当直线的斜率存在时,. 当时,,其值随增大而减小,取值范围为. 当时,同理可得取值范围为. 当时,点的坐标为,过与的直线为,它与线段也相交,但直线的斜率不存在,不产生新的值. 因此斜率的取值范围为或,B正确. 对于C,直线化为,斜率为.设倾斜角为,则，所以,不是,C错误. 对于D,点与的中点为,满足；又两点连线斜率为,与直线的斜率乘积为,故两点关于直线对称,D正确. 11. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 两圆圆心距 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得两圆圆心距，可判断选项D；进而可得两圆相交，把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，即可判断选项A；再把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，两圆心所在的直线即为线段的中垂线，即可判断选项B；利用一个圆的圆心到直线的距离进而求出弦的长，可判断选项C. 【详解】由，可得，可得圆心为，半径为， 由，可得，可得圆心为，半径为， 所以，所以两圆相交， 两圆方程相减得，所以公共弦所在直线的方程为，故AD正确； 由，，可得， 所以直线所在直线的方程为， 所以线段中垂线所在直线方程为，故B错误； 圆心到公共弦所在直线的距离为， 故公共弦的长为，故C正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两平行直线与之间的距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式可求解. 【详解】由平行线间的距离公式可得：, 所以两平行直线与之间的距离为3. 13. 已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用点差法即可求得答案. 【详解】依题意，设，直线的斜率分别为， 则，两式相减，整理得， 因是线段的中点，则， 代入上式整理得：， 依题意，，则得， 即，因，则. 故答案为：. 14. 已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为______ 【答案】5 【解析】 【分析】由抛物线定义，将最小值转化为点所在圆的圆心到准线的距离减圆半径. 【详解】曲线，即， 设其圆心为，则. 抛物线的准线， 过点作，垂足为，则， 所以. 当共线时，最小，此时最小值为点到直线的距离. 设到直线的距离为，则， 则的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点． （1）求抛物线的方程； （2）若直线斜率为1，且过点，求线段的长度． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，则，即可得到抛物线方程； （2）写出直线的方程，联立直线与抛物线方程利用韦达定理得到，再由焦半径公式得到. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点为，所以，则， 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 因为直线斜率为1，且过点，所以直线的方程为； 联立直线与抛物线方程，得到， 设，则， 所以过焦点的弦长为. 16. 已知直线l经过点. （1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程； （2）设直线l在x轴上的截距为，y轴上的截距为，若，求直线l的方程； 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 直线整理可得，斜率， 由题两直线垂直，故直线l的斜率为， 直线l过点，故由点斜式可知直线为， 整理得的直线方程为：. 【小问2详解】 当x轴上与y轴上的截距都为0时，即直线过原点时，可设直线方程为， 将点代入可得，直线方程为； 当x轴上与y轴上的截距不为0时，即直线不过原点时，设直线方程为， 由题意得，解得，，直线方程为； 综上所述，所求直线l方程为或. 17. 已知点，直线及圆． （1）求直线所过的定点的坐标； （2）求过点的圆的切线方程； （3）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值． 【答案】（1）定点的坐标为 （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）整理可得，进而分析定点坐标； （2）分类讨论直线斜率是否存在，根据点到直线的距离公式运算求解； （3）根据垂径定理可得，根据点到直线的距离公式运算求解. 【小问1详解】 因为直线即为， 不论取何值，必定使方程成立，即直线经过定点， 所以定点的坐标为. 【小问2详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径. 当直线斜率不存在时，直线为， 圆心到该直线的距离为，满足切线条件； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为； 综上所述：过点的圆的切线方程为和. 【小问3详解】 设圆心到直线的距离， 则，即，解得， 则，解得. 18. 已知双曲线：的渐近线方程为． （1）求的值． （2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点． （i）若直线，的斜率之积为，求直线的方程； （ii）若直线的斜率为2，求． 【答案】（1） （2）（i）或（ii） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程，求出双曲线方程； （2）（i）先设直线的方程为，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和斜率公式，根据题中条件列出等式解得参数，进而得到直线方程. （ii）先设直线的方程为，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和弦长公式计算得到弦长. 【小问1详解】 已知双曲线：（）的渐近线方程为. 可得，解得. 【小问2详解】 由（1）知，双曲线：，则， 所以右焦点，设， （ⅰ）由题可知直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去整理得：， 则 由韦达定理，， 因， 则 ， 因为直线，的斜率之积为， 所以，化简得，解得或， 所以直线的方程为或. （ⅱ）因直线的斜率为2，则其方程为，即， 联立，消去整理得：， 由韦达定理，， ； 19. 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）． （1）求曲线的方程，并说明曲线的形状； （2）设曲线与轴的一个交点为，过点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点、点（、异于点）． ①直线是否过定点，若过，请证明并求出定点的坐标，若不过请说明理由； ②过点作直线的垂线，垂足为．证明存在定点，使得为定值． 【答案】（1），形状为椭圆. （2）①， ②已知直线AB恒过定点， 因为，所以，点 G 的轨迹是以 EF 为直径的圆， 则 EF 的中点为，圆的半径为. 因此，对圆上任意一点 G，恒等于半径，即存在定点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）所以设点的坐标为，则 ，将点代入圆的方程化简即可求解； （2）设直线为，联立方程由韦达定理得到：，因为，所以，化简得到，因此直线 AB的方程为 ，恒过定点. ②根据直线AB恒过定点，结合，可得点 G 的轨迹是以 EF 为直径的圆，恒等于半径. 【小问1详解】 设点的坐标为，由轴于，为线段的中点，得点， 因为点在圆上，所以，即 所以曲线的方程为，形状为椭圆. 【小问2详解】 ①由（1）知点，设直线为，. 联立方程，得到， 由韦达定理：； 因为，所以，， 因为， 所以， 即， 即 化简得到. 因为A，B 异于，所以，故， 因此直线 AB的方程为 ，恒过定点. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开三中2026—2027学年度上学期期中试卷 高二数学 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线过点和，直线一个方向向量，若，则的值为（ ） A. 10 B. C. D. 2. 若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，圆，则两圆位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 4. 已知为坐标原点，直线：与：交于点，直线：恒过点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 椭圆与抛物线在第一象限相交于点为椭圆的左、右焦点.若,则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则=（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 7. 已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 当的倾斜角为时， C. 当垂直于轴时，弦长最小 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 过定点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或 C. 直线的倾斜角为 D. 点关于直线的对称点为 11. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 两圆圆心距 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两平行直线与之间的距离为______． 13. 已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. 14. 已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点． （1）求抛物线的方程； （2）若直线斜率为1，且过点，求线段的长度． 16. 已知直线l经过点. （1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程； （2）设直线l在x轴上的截距为，y轴上的截距为，若，求直线l的方程； 17. 已知点，直线及圆． （1）求直线所过的定点的坐标； （2）求过点的圆的切线方程； （3）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值． 18. 已知双曲线：的渐近线方程为． （1）求的值． （2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点． （i）若直线，的斜率之积为，求直线的方程； （ii）若直线的斜率为2，求． 19. 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）． （1）求曲线的方程，并说明曲线的形状； （2）设曲线与轴的一个交点为，过点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点、点（、异于点）． ①直线是否过定点，若过，请证明并求出定点的坐标，若不过请说明理由； ②过点作直线的垂线，垂足为．证明存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $