广西壮族自治区柳州市柳城县中学2026-2027学年高三上学期11月期中检测数学试题

2026年秋季学期高三期中检测 数学参考答案 一、单选题（共40分） 1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、多选题（共18分） 9．CD 10．BCD 11．ACD 三、填空题（共15分） 12． 13． 14． 四、解答题（共77分） 15．（1） （2） 【分析】（1）由正弦定理化简可得，再由余弦定理即可求解； （2）直接由三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得，即， 由余弦定理得． 所以． （2）因为，，， 所以． 16．（1）； （2）； （3）． 【分析】建立空间直角坐标系（1）求出向量与坐标，由向量夹角余弦公式可得答案； （2）求出平面的法向量，由向量法求解即可； （3）由空间向量法，求点到直线距离公式可得答案． 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则 ，，，，，． 故，，则直线与所成角的余弦值为： ； （2）由（1），， 设平面法向量为，则， 则可取，又，则直线与平面所成角的正弦值为： ； （3）由（1），，又， 则到直线的距离为： 17．（1）性别与使用AI工具的熟练度无关； （2）数学期望为． 【分析】（1）根据给定条件，求出的观测值，再与临界值比对即可得解． （2）求出12名男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数，进而求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望． 【详解】（1）设零假设：性别与使用AI工具的熟练度无关， 由统计表得，，，，， 则， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关． （2）男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为， 按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为，抽取的不能够熟练使用的人数为4， 因此的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 18．（1） （2）①；② 【分析】（1）利用椭圆顶点距离、焦距建立方程组，求出椭圆标准方程； （2）①设平行直线，联立椭圆得到韦达关系，求出，坐标后代入斜率公式，借助，化简，求出直线的斜率；②利用①得到的斜率设，则，其中，由四边形面积求出参数，联立直线求，，得到，再用梯形面积计算面积． 【详解】（1）因为，所以， 因为焦距为，所以，，则， 所以的方程为； （2）①因为，，则的斜率为， 设直线方程为，，， 联立与的方程：，消去得：，则，， 直线方程为：，令得，故， 直线方程为：，令得，故， 则的斜率 ， 所以直线的斜率为； ②由①知斜率为，设，则，其中， 则，， 所以四边形的面积，解得， 则，方程为：，方程为：， 联立与的方程：解得，同理， 故方程为：，且， 则，又直线与间距离， 故四边形面积． 19．（1）在上单调递增，上单调递减 （2） （3）3 【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负求得函数的单调区间． （2）构造新函数，对分类讨论，结合即可得解 （3）利用（2）的结论，通过放缩法得到的上界，再结合时的值，确定的最小值． 【详解】（1）由题意函数，求导可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减， （2）因为，所以，其中， 令，则恒成立，，且， 当时，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意； 综上所述． （3）因为，所以， 由（2）可知当时，即， 所以当且仅当时取等号，所以． ， 所以，即：对于任意正整数，恒成立， 且因为为整数，且对于任意正整数，成立， 当时，，所以不能恒成立， 所以的最小值为3． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期高三期中检测 数学 （满分150分　时间150分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．（5分）样本数据8，4，5，7，16的极差为（ ） A．7 B．8 C．12 D．16 2．（5分）下列复数中，属于纯虚数的是（ ） A．3 B． C． D．0 3．（5分）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．（5分）已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 5．（5分）设等差数列的前项和为，若，，则等于（ ） A．9 B．11 C．13 D．25 6．（5分）已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（ ） A． B． C． D． 7．（5分）已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则的值为（ ） A．2 B．3 C． D． 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（6分）下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．（6分）设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，是的“间隔数”，下列说法正确的是（ ） A．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B．若，则是“间隔递增数列” C．若，则是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为 D．已知，若是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则 11．（6分）在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．一共有6项 B．第3项为 C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32 三、填空题（共15分） 12．（5分）已知，，则的值为　　 ． 13．（5分）设，若，则　　　　． 14．（5分）已知函数有且仅有一条切线经过点．若，恒成立，则实数的最大值是　　　． 四、解答题（共77分） 15．（13分）在中，内角，，的对边分别是，，，已知，，． （1）求的值； （2）求的面积． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离． 17．（15分）随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ （2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（17分）已知椭圆，左顶点为，下顶点为，，焦距为． （1）求的方程； （2）平行于的直线与相交于，两点（，均在第一象限，且，，，按逆时针排列），直线与轴相交于点，直线与轴相交于点． ①求直线的斜率； ②若四边形的面积为，求四边形的面积． 19．（17分）已知函数（），． （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的值； （3）已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $