精品解析：吉林省永吉县第四中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025—2026学年度下学期期末考试 高二数学试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 64 B. 56 C. 48 D. 28 2. 已知 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 某次高二数学调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有． A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 6. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A=“从甲袋中任取1球是红球”，事件B=“从乙袋中任取2球全是白球”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 事件A与事件B相互独立 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 B. 若，两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的线性相关性强 C. 在经验回归方程中，若，，则变量与正相关 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可认为与有关 11. 已知函数的导函数为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的极小值点为 C. 函数单调递减区间为 D. 若函数有两个不同的零点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为_______ 13. 某不透明的袋子中装有质地、大小相同的黑球3个，红球2个，从中随机取出2个球，设随机变量表示取出红球的个数，则________. 14. 已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，第项为常数项． （1）求的值，并求出二项式系数的最大值 （2）求常数项的值； 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 17. 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》想看人数、讨论度、社交平台热度全程领跑，掀起全民观影热潮，总票房高达29.27亿元.某电影院为了解民众对该部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 20 60 80 成年人 40 60 合计 140 （1）求出表格中，，的值. （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年有关? （3）用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中喜欢电影《飞驰人生3》的人数，求的分布列和数学期望. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 参考公式：，其中. 18. 某校举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表； 专家 A B C D E 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图： （1）求的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； （2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；求X的分布列及与的值； 19. 已知函数 . （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期末考试 高二数学试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 64 B. 56 C. 48 D. 28 【答案】B 【解析】 【详解】 2. 已知 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，故. 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求导可得，令即可得到结果. 【详解】函数的定义域为， ， 令可得，且，解得， 所以函数的单调递增区间是. 4. 某次高二数学调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由以及正态曲线的对称轴为， 故， 故选：B 5. 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有． A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作， 有种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有种， 乙从事翻译工作的有种，若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作， 则选派方案共有360-60-60=240种． 故选：B. 6. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可. 【详解】甲获得冠军分以下二类： 第一类：甲获胜的概率为：； 第二类：甲获胜的概率为：； 所以甲获胜的概率为， 故选：D. 7. 盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分析的所有可能取值并计算对应的概率，根据公式计算的期望进而计算. 【详解】由题意得，的所有可能取值为， ， ， 所以的期望为， 所以． 故选：B. 8. 若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数来判断函数的单调区间，然后依题意即可得参数满足的不等式,求解即可. 【详解】由， 则当时，，当时，， 所以函数的减区间为，增区间为， 则依题意有，可得， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A=“从甲袋中任取1球是红球”，事件B=“从乙袋中任取2球全是白球”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 事件A与事件B相互独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】先分情况计算和，可以判断选项A，然后依据概率的乘法公式和全概率公式分别计算和，可以判断选项B，C，最后依据来判断事件A与事件B是否相互独立，即可判断选项D. 【详解】从甲袋中任取1球是红球的概率， 从乙袋中任取2球全是白球包含了2种情况， ①从甲袋中取出的球是红球（概率为），此时乙袋中有2个红球和2个白球，从乙袋中任取2球全是白球的概率为，A选项正确， ②从甲袋中取出的球是白球（概率为），此时乙袋中有1个红球和3个白球，从乙袋中任取2球全是白球的概率为， 根据概率的乘法公式，B选项正确 根据全概率公式，C选项正确， ，故事件与事件不是相互独立事件，D选项错误. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 B. 若，两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的线性相关性强 C. 在经验回归方程中，若，，则变量与正相关 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可认为与有关 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据决定系数的意义判断A选项；根据线性相关系数的意义判断B选项；根据回归方程的意义判断C选项；根据独立性检验的意义判断D选项． 【详解】根据决定系数越大，模型拟合效果越好，残差的平方和越小，故A正确， 根据样本相关系数越接近1，线性相关性越强，因为， 故组数据比组数据的线性相关性强，故B错误； 根据经验回归方程必然过点，代入可得，解得， 故变量与正相关，故C正确； 根据独立性检验，，故根据小概率值的独立性检验，可认为与有关． 11. 已知函数的导函数为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的极小值点为 C. 函数单调递减区间为 D. 若函数有两个不同的零点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】直接将1代入函数可判断选项A；由极小值点不是点，而是取最小值是x的值直接排除选项B；由函数的导数，数形结合可判断选项C与D. 【详解】，所以选项A正确； 极小值点不是点，而是取最小值时x的值，选项B错误 得，， 令，则，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以选项C正确； 是得极小值点，， 若由两个不同的零点，即直线与有两个交点， 因为，且时，所以函数图象大致如下： 所以，当时直线与有两个交点，选项D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为_______ 【答案】0.5## 【解析】 【详解】设为“第1天去A餐厅用餐”，​为“第1天去B餐厅用餐”，为“第2天去A餐厅用餐”. 由题意： ； ，. 根据全概率公式： . 因此王同学第2天去餐厅用餐的概率为. 13. 某不透明的袋子中装有质地、大小相同的黑球3个，红球2个，从中随机取出2个球，设随机变量表示取出红球的个数，则________. 【答案】## 【解析】 【详解】从共个球中任取2个，所有取法的组合数为. 表示取出的2个球里恰好有1个红球、1个黑球， 对应的取法数是从3个黑球中取1个、2个红球中取1个，即. 由古典概型概率公式得：. 14. 已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据是曲线在处的切线求出的方程，再求出与曲线相切的切点即可求解. 【详解】由得，又切点为，故，切线为， 设与曲线的切点为，，所以，解得切点为， 所以，解得． 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，第项为常数项． （1）求的值，并求出二项式系数的最大值 （2）求常数项的值； 【答案】（1），70 （2） 【解析】 【分析】（1）先写出二项展开式的通项公式，根据第 7 项为常数项即的指数为0列方程，即可求出的值，再结合二项式系数的对称性得到最大值； （2）将对应项数的值代入通项公式，化简计算就能得到常数项的具体数值. 【小问1详解】 因为的通项公式为 由题知时，得到，解得， 二项式系数最大项是第5项，， 所以二项式系数的最大值为70 ； 【小问2详解】 常数项的值为 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）单调增区间为：和，单调递减区间为： （2）, 【解析】 【分析】(1)利用导数可求出函数的单调区间； (2)由（1）可得函数极值，比较区间端点的函数值与极值的大小可得结果. 【小问1详解】 ， 令，解得或， 所以当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数的单调增区间为：和，单调递减区间为：. 【小问2详解】 由（1）知，函数的极大值为，极小值为， 又， 所以在区间上的最大值和最小值分别为,. 17. 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》想看人数、讨论度、社交平台热度全程领跑，掀起全民观影热潮，总票房高达29.27亿元.某电影院为了解民众对该部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 20 60 80 成年人 40 60 合计 140 （1）求出表格中，，的值. （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年有关? （3）用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中喜欢电影《飞驰人生3》的人数，求的分布列和数学期望. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 参考公式：，其中. 【答案】（1），， （2）认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年无关 （3） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据求解即可， （2）先进行零假设，然后计算，根据临界值表判断即可， （3）先求出未成年人喜欢该电影的概率，然后列出的可能取值，分别计算对应概率，列出分布列，计算期望. 【小问1详解】 由数据表格可知，，， 【小问2详解】 零假设为：喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年无关. 根据列联表中的数据，计算得 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年无关 【小问3详解】 由题意可知，未成年人喜欢该电影的概率是，不喜欢的概率是； 成年人喜欢该电影的概率是，不喜欢的概率是 ； 由题意，的可能取值为0，1，2 则；； ； 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. 18. 某校举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表； 专家 A B C D E 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图： （1）求的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； （2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；求X的分布列及与的值； 【答案】（1）， （2）的分布列为： 2 3 ， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图 “各组频率之和为 1” 的性质列方程求解，再取[9，10]区间的频率，以此估计观众评分不小于9的概率； （2）先判断服从超几何分布，通过组合数计算各取值的概率得到分布列，再计算期望；判断服从二项分布，直接用二项分布期望公式计算. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，所有组频率和为1，组距为1，因此： 解得 观众评分不小于9的频率为， 用频率估计概率，得评分不小于9的概率为 【小问2详解】 5名专家中，评分不小于9分的共有4人，小于9分的共1人. 从5名专家中选3人，（评分不小于9分的人数）的可能取值为 因此的分布列为： 2 3 期望计算： 对于：观众评分不小于9的概率为，， 因此： 19. 已知函数 . （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出和的值，利用导数的几何意义和点斜式可得出所求切线的方程； （2）由恒成立可得在上恒成立，令，对求导，求出，即可得出答案. （3）利用导数分析函数的单调性、极值，并求出、，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，，则，， 所以，函数的图象在处的切线方程， 即； 【小问2详解】 若恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 ，则. ，当时，. 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递增，在上单调递减. 故在处取得极大值. 又，， ，则， 在上的最小值是. 又在上有两个零点，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $