精品解析：吉林省吉林市蛟河市实验中学2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷

蛟河实验高中2025---2026学年度高二第二学期期末考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在某城市中两地之间有整齐的方格形道路网，是道路网中的一个交汇处，小明要从道路网的处出发，途经处到达处，则小明可以选择的最短路径条数为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及组合计数问题，列式计算即得. 【详解】依题意，从到的最短路径是共行3段，向右2段向上1段，有种方法， 同理从处到达处有种方法， 由分步乘法计数原理得小明可以选择的最短路径条数为. 故选：B 2. 函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解． 【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，， 随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，， 而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角， ，又是割线AB的斜率，显然， 所以. 故选：B 3. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. −160 B. −60 C. 60 D. 160 【答案】C 【解析】 【详解】通项， 令 得，常数项为. 4. 袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据题意得到“放回5个红球”表示的含义，由此即可得到答案. 【详解】因为“放回5个红球”表示前次摸到的都是黑球，第次摸到红球， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查离散型随机变量，明确放回红球的数量与抽取的次数之间的关系为解题的关键，属于简单题. 5. 已知A，B，C，D四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，，，则样本数据中变量间呈负相关且线性相关程度最强的是（ ） A. A组 B. B组 C. C组 D. D组 【答案】B 【解析】 【详解】当时，变量之间呈负相关；越接近于1，变量的线性相关程度越强. 由已知条件得，，，， 因此负相关的为A组、B组，排除C、D选项； 计算得，，可知更接近1，即B组的负相关线性程度最强. 6. 某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人） 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先得出的值，进而再得的值，进而可知的值. 【详解】因为抽取的村民中，老年人有25名，年轻人有25名，所以， 所以，A、B对； 所以，则对； 则错. 故选：. 7. 一个盒子中装有个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分别为、、、、、 ，从中不放回地随机抽取个小球，将其编号之和记为.在已知为偶数的情况下，能被整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 记“能被整除”为事件，“为偶数”为事件，求出事件包括的基本事件数和事件包括的基本事件的个数，由条件概率公式可得答案. 【详解】记“能被整除”为事件，“为偶数”为事件， 事件包括的基本事件有，，，，，共6个. 事件包括的基本事件有、共2个. 则， 故选:B. 8. 为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：，．则下列选项不正确的是（  ） A. B. 由散点图知变量和正相关 C. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 D. 如果研发投入亿元，估计产品收益为亿元 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出，，即可求解判断选项A；画出散点图即可判断选项B；根据公式求出回归方程即可判断选项C；结合选项C，将代入计算即可判断选项D． 【详解】对于A，依题意得，，故A正确； 对于B，由图表可得散点图如下，由散点图知变量和正相关，故B正确； 对于C，由，，，，所以，故C错误； 对于D，结合选项C，当时，，故D正确． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 m 0.3 0.1 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由随机变量分布列的性质可得，进而判断各选项即可. 【详解】由随机变量分布列的性质，知，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：AD． 10. 在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A. B. 随机变量X服从二项分布 C. 随机变量X服从超几何分布 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项分布、超几何分布的意义判断BC；求出的所有可能值的概率即可判断AD作答. 【详解】随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，， 因此随机变量X服从超几何分布，B错误，C正确； ，，， ，，A正确； ，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的极大值点是 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 是的一个对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】先对函数求导，得到单调区间与极值点，再结合三次曲线对称中心需满足的条件、区间最小值判定，依次验证四个选项是否正确. 【详解】对函数求导，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值点是，所以选项A，B正确； 当时，单调递减，当时，单调递增， 故是上的最小值，故选项C正确； 若是的一个对称中心，则需满足， 而 ，知不是的对称中心，故D选项错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】对给定等式两边求导，赋值求出，进而求出，最后求出即可. 【详解】由，求导得， 则，解得， 即，故. 13. 在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布，若在内的概率为，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为ξ服从正态分布， 且在内的概率为， 所以， ， 所以恰有一名学生成绩不高于80的概率为. 14. 某班一天上午有节课，下午有节课，该班一天中语文、英语、政治、体育各有一节课，数学有两节课.现安排一个课程表，要求两节数学课相邻（上午最后一节和下午第一节算不相邻），体育课不能排在上午第一节，则不同的排法共有________种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先排体育课，结合分类即可求解. 【详解】若体育排在上午第二节，则两节数学可以排在上午的第三四节和下午的一二节，有两种选择，剩余三节课任意排，故有, 若体育排在上午第三节，则两节数学可以排在上午的第一二节和下午的一二节，有两种选择，剩余三节课任意排，故有, 若体育排在上午第四节，则两节数学可以排在上午的第一二节，或者上午的二三节，以及下午的一二节，有3种选择，剩余三节课任意排，故有, 若体育排在下午第一节，则两节数学可以排在上午的第一二节，或者上午第二三节或者上午的三四节，有3种选择，剩余三节课任意排，故有, 若体育排在下午第二节，则两节数学可以排在上午的第一二节，或者上午第二三节或者上午的三四节，有3种选择，剩余三节课任意排，故有, 综上可得总共有种方案. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． （1）求n的值； （2）求展开式中各项系数的和； （3）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1）5 （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和的公式求； （2）利用赋值法求各项系数的和； （3）根据通项公式，求有理项． 【小问1详解】 由题意有，解得； 【小问2详解】 时，， 则展开式中各项系数的和为； 【小问3详解】 二项式展开式的通项为 ，当时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为，， ． 16. 为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示： 使用手机 不使用手机 总计 学习成绩优秀 5 20 25 学习成绩一般 15 10 25 总计 20 30 50 （1）根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关； （2）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为X，试求X的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据和题中信息可完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的数学期望值. 【小问1详解】 零假设：学生的学习成绩与使用手机无关， 因， 所以，没有的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关； 【小问2详解】 人中学习成绩优秀的人有人，学习成绩一般的有人， 可能的取值有、、、， ，，，. 所以，随机变量的分布列为 . 【点睛】求解随机变量分布列的基本步骤： （1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率； （3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 17. 设某批产品中，编号为1，2，3的三个厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件， （1）求取到的是次品的概率； （2）经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大． 【答案】（1） （2）编号为2的工厂 【解析】 【小问1详解】 事件A表示“取到的是一件次品”，事件表示“取到的产品是由第i家工厂生产的”（）， 显然，，是样本空间S的一个划分，且有，，， ，，． 由全概率公式得 ． 【小问2详解】 由贝叶斯公式得 ， ， ． 所以，发现取到的为次品，该次品由编号为2的工厂生产的可能性最大． 18. 某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，B项技术指标达标的概率为，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品． （1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率； （2）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及． 【答案】（1）；（2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）设M：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，则：A，B都不达标；故，即可得出结果； （2）依题意知，得出的概率分布和数学期望即可． 【详解】（1）设M：一个零件经过检测至少一项技术指标达标， 则：A，B都不达标； 故， 所以一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率为； （2）依题意两项技术指标都达标的概率为， 所以， ，， ，， ， 的概率分布为： 0 1 2 3 4 P ， 故的期望值为． 【点睛】本题考查了离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望与方差和相互独立事件同时发生的概率，是中档题． 19. 已知函数 （1）若在处有极小值，求； （2）若，求在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）由函数在处取得极小值，得，求出或，根据函数极值的概念，分别代入验证，即可求解； （2）利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，求得函数的最值. 【小问1详解】 由，得， 因为为的极小值点所以，解得或， 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以为的极小值点； 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以为的极大值点； 经检验，时，在处取极大值，不符题意，所以； 【小问2详解】 当时，，令得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 所以为在区间的极大值，也是最大值. 由于，，，所以最小值为. 综上所述，在区间上的最小值为，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蛟河实验高中2025---2026学年度高二第二学期期末考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在某城市中两地之间有整齐的方格形道路网，是道路网中的一个交汇处，小明要从道路网的处出发，途经处到达处，则小明可以选择的最短路径条数为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 2. 函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. −160 B. −60 C. 60 D. 160 4. 袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知A，B，C，D四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，，，则样本数据中变量间呈负相关且线性相关程度最强的是（ ） A. A组 B. B组 C. C组 D. D组 6. 某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人） 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个盒子中装有个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分别为、、、、、 ，从中不放回地随机抽取个小球，将其编号之和记为.在已知为偶数的情况下，能被整除的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：，．则下列选项不正确的是（  ） A. B. 由散点图知变量和正相关 C. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 D. 如果研发投入亿元，估计产品收益为亿元 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 m 0.3 0.1 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A. B. 随机变量X服从二项分布 C. 随机变量X服从超几何分布 D. 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的极大值点是 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 是的一个对称中心 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 13. 在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布，若在内的概率为，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为______. 14. 某班一天上午有节课，下午有节课，该班一天中语文、英语、政治、体育各有一节课，数学有两节课.现安排一个课程表，要求两节数学课相邻（上午最后一节和下午第一节算不相邻），体育课不能排在上午第一节，则不同的排法共有________种.（用数字作答） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． （1）求n的值； （2）求展开式中各项系数的和； （3）求展开式中所有的有理项． 16. 为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示： 使用手机 不使用手机 总计 学习成绩优秀 5 20 25 学习成绩一般 15 10 25 总计 20 30 50 （1）根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关； （2）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为X，试求X的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 设某批产品中，编号为1，2，3的三个厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件， （1）求取到的是次品的概率； （2）经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大． 18. 某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，B项技术指标达标的概率为，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品． （1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率； （2）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及． 19. 已知函数 （1）若在处有极小值，求； （2）若，求在区间上的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $