精品解析：天津市滨海新区汉沽第一中学2026-2027学年高一第一学期期中教学质量监测数学试卷

汉沽一中高一年级2026-2027学年度第一学期数学学科期中教学质量 监测试卷 一、选择题：本题共12小题，共60分． 1. 设集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，，所以. 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】“”的否定为“”，“”的否定为“”， 故为“，”． 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 4. 下面命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若 ，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式命题的判断规则：判断命题为真要用性质推理，判断命题为假只需举出反例：选项A：未限制正负，可取，得到反例，命题错误；选项B：同样缺少正负条件，取构造反例，命题错误；选项C：依据不等式同向可加的性质推理，命题成立；选项D：没有正数前提，取负数构造反例，命题错误. 【详解】选项A：举反例：取， ，但，，不成立， A错误； 选项B：举反例：取， ，，，不成立， B错误； 选项：不等式性质：同向不等式可相加， ， ， 传递得：，C正确； 选项D：举反例：取， ，∴，， 不成立，D错误； 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为在上单调递增，所以，所以， 又，所以，即. 6. 下列函数中，与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，其定义域为，值域为． 对于A，由的值域为，即与值域不同，所以其与不是同一个函数，故A错误； 对于B，由，即与对应法则不同，所以其与不是同一个函数，故B错误； 对于C，由值域为，即与值域不同，所以其与不是同一个函数，故C错误； 对于D，由的定义域为，值域为，所以其与是同一个函数，故D正确． 7. 当时，不等式 有解，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，由于， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以实数的取值范围是. 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，则，可得，即. 9. 已知函数，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，即， 所以． 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知函数是定义在上的奇函数，则， 当时，，故，解得， ， 故． 11. 函数，（a为常数），在定义域上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先明确分段函数单调递减的条件，然后分析二次函数和反比例函数的单调性，最后再考虑分段点处的函数值衔接：结合三个条件即可求出的范围. 【详解】分段函数在定义域上整体单调递减，需要同时满足三个条件： 第一段二次函数在上递减： 是开口向上的抛物线，对称轴为， 要使其在单调递减，需，得； 第二段反比例函数在上递减： ​是反比例函数，要在时单调递减，需系数； 两段在衔接点处满足递减的连续性： 即处左侧的函数值不小于右侧的函数值： 代入得，化简得，即. 联立三个条件得. 12. 已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定公共函数值的取值范围，再利用韦达定理得到和的表达式，将所求乘积转化为关于的函数求值域. 【详解】设，分两段分析： 当时，，其对称轴为，最小值为3，， 故当时，在上有两个不等实根，， 令，即，由韦达定理得. 当时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 故当时，在上有两个不等实根，， 令即，由韦达定理得. 所以， 由上述得，则. 二、填空题：本题共6小题，共30分． 13. 函数的定义域为____________________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解规则，分别列写偶次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束不等式，联立取交集得到函数的定义域. 【详解】对于给定的函数，需同时满足以下两个有意义的条件： ，解得且， 故函数的定义域为. 14. 若函数，且的图象恒过定点，则点的坐标为___________________________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数恒过的性质，令指数部分为0求出对应x值，再计算函数值即可得到定点坐标. 【详解】对于函数，令, 解得, 将代入函数表达式： ， 这说明，无论取何满足条件的值，当时，函数值恒为， 因此函数图象恒过定点. 15. 已知函数满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先用替换原式中的，联立求出的表达式，代入求出的值即可. 【详解】由①，可得②， 联立①②，解得，所以. 16. 若函数，则_____________，不等式的解集是_____________． 【答案】 ①. 3 ②. ． 【解析】 【分析】根据分段函数解析式可求出；分段讨论代入可求出不等式的解集. 【详解】因为， 所以，所以. 当时，，得，得； 当时，恒成立， 所以不等式的解集是. 故答案为：3；. 17. 已知幂函数在上是严格减函数，其中，则的值为_________；关于的不等式的解集为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①由幂函数的定义和单调性即可求解；②根据函数的单调性求出不等式的解集即可. 【详解】①因为幂函数在上是严格减函数， 所以，解得或， 当时，，在上是严格增函数，不符合题意，舍， 当时，，在上为严格减函数，符合题意，故； ②由幂函数在上是严格减函数可得，， 解得或，故解集为. 18. 已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解法求出，的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化进行求解即可. 【详解】对于，即， 因为，所以，又因为，即， 即，解得或，因为是的充分不必要条件， 故是的真子集，故或，解得或. 三、解答题：本题共4小题，共60分． 19. 计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 【小问2详解】 . 20. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用元素与集合之间的关系建立不等式求解即得； （2）由题意，分为空集和不为空集两种情况列不等式求解即可； （3）由必要不充分条件推得集合间包含关系，列不等式求解即得. 【小问1详解】 因为，所以 解得，即实数的取值范围是． 【小问2详解】 由题意知， 若， 当时，则，解得； 当时，则或解得或． 综上，实数的取值范围是或． 【小问3详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以且等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是. 21. 已知函数 （1）根据定义证明：函数在单调递减； （2）若不等式对一切实数都成立，求的取值范围． 【答案】（1）证明：任取， ， 因为，所以，，，， 所以，即，故函数在单调递减： （2） 【解析】 【分析】（1）由定义法进行函数的单调性的证明； （2）转化为二次不等式恒成立问题求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且分母， 所以原不等式可转化为，恒成立， 设，若函数值恒大于0， 当时，，则函数值不是恒大于0， 当时，要使函数值恒大于0， 所以二次函数图象开口向上，与轴无交点， 所以，且， 所以． 22. 已知函数在区间上的最大值与最小值之差为． （1）解不等式； （2）当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】（1） （2）最小值为，；最大值为， 【解析】 【分析】（1）根据题意求得，利用函数的单调性可得，求解即可； （2）利用换元法可求得函数的最值，进而可求得最值时对应的的值． 【小问1详解】 当时，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为， 则，解得或. 因为，所以， 当时，在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为， 则，方程无解. 综上，； 因为在上单调递增，且，所以， 解得， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，，所以， 令，，则， 所以当时取得最小值为，则， 当时取得最大值为，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉沽一中高一年级2026-2027学年度第一学期数学学科期中教学质量 监测试卷 一、选择题：本题共12小题，共60分． 1. 设集合，，则（     ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下面命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若 ，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 当时，不等式 有解，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，则（ ） A. B. 4 C. D. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 函数，（a为常数），在定义域上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，共30分． 13. 函数的定义域为____________________________________． 14. 若函数，且的图象恒过定点，则点的坐标为___________________________________． 15. 已知函数满足，则________. 16. 若函数，则_____________，不等式的解集是_____________． 17. 已知幂函数在上是严格减函数，其中，则的值为_________；关于的不等式的解集为_________． 18. 已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是________． 三、解答题：本题共4小题，共60分． 19. 计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） （1） （2） 20. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 21. 已知函数 （1）根据定义证明：函数在单调递减； （2）若不等式对一切实数都成立，求的取值范围． 22. 已知函数在区间上的最大值与最小值之差为． （1）解不等式； （2）当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $