精品解析：广西壮族自治区柳州市鹿寨县鹿寨中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

2028届高二（上）期中考试（数学） （本卷满分150分　考试时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知 ，，若 ，则 （ 　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为,且,所以存在实数,使. 即. 由对应坐标相等得,于是. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据复数四则运算法则进行求解即可. 【详解】，由此可得：的虚部为. 3. 1，8，9，4，5，5，8，2，3，10这组数据的下四分位数（25百分位数）为（ ） A. B. 3 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，将10个数按从小到大排序，再结合第25百分位数的定义，即可求解. 【详解】10个数从小到大排列，， 因为，所以这组数据的25百分位数是3. 故选： 4. 若直线与直线平行，则m的值为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行关系，可得的系数成比例，再检验是否有重合情况，从而可作出判断. 【详解】由直线与直线平行可得： ，解得：或， 检验，当时，直线与直线重合，故舍去； 当时，直线与直线平行； 故选：A. 5. 已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线方程变为，可得定点.根据的方向向量，可得斜率为，代入点斜式方程，化简为一般式即可. 【详解】可变形为， 解得，即点坐标为. 因为，所以直线的斜率为，又过点， 代入点斜式方程可得，整理可得. 故选：A. 6. 已知方程表示圆，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解不等式即可. 【详解】由题意得，即，解得或， 所以k的取值范围是， 故选：C. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为，则椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距． 【详解】因为是的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为，所以周长是， 即，得， 又，所以，． 故选：B． 8. 双曲线C：的左，右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，且，，点M为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由已知得，利用双曲线定义知，， 在中与中分别利用余弦定理，再结合，可求得，进而得解 【详解】设，因为，所以， 由双曲线定义知，则 由双曲线定义知，则 设，，因为， 在中，①； 在中， 解得：，代入①式，得． 点M为线段的中点，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 故选：B 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基底的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以不能作为一组基底，故A错误； 对于B，设， 又因为不共面， 所以不存在实数使上式成立， 所以可以作为一组基底，故B正确； 对于C，设， 所以不存在实数使上式成立， 所以可以作为一组基底，故C正确； 对于D，因为， 所以不能作为一组基底，故D错误. 10. 已知圆M的一般方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆M的半径为4 B. 圆M关于直线对称 C. 点在圆M外 D. 实数x，y满足圆M的方程，则的最小值是5 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，将圆的一般方程化为标准方程，求出半径为5，A错误；得到圆心在直线上，得到圆M关于直线对称，B正确；求出与圆心的距离得到点在圆外，C正确；将看作圆M上的点到的距离，得到最小值为的长减去半径5，求出答案. 【详解】变形为，圆心为，半径为5，A错误； 由于满足，故圆心在直线上，故圆M关于直线对称，B正确； 与的距离为，故点在圆M外，C正确； 实数x，y满足圆M的方程，则， 则可看作圆M上的点到的距离， 故最小值是的长减去半径5，即，D正确. 故选：BCD 11. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若保持，则点在底面内运动路径的长度为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若，则二面角的余弦值的最大值为 D. 若则与所成角的余弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可知，A选项中点的轨迹是以为圆心，半径为的圆的四分之一，即可得轨迹长度为，判断出A正确；建立空间直角坐标系，由的面积为定值可知到平面的距离最大时，三棱锥体积的最大值为，可得B正确；对于C、D选项，当时可得点在上，设出点坐标并利用空间向量可求得二面角的余弦值的最大值为，可判断C错误，与所成角的余弦值的最大值为，可得D正确. 【详解】对于A，根据题意可知平面，所以为直角三角形，即，且 若保持，可知， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在底面内的部分，即为四分之一圆， 因此点在底面内的运动路径长度为，即A正确； 对于B，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知，则， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即； 可设，则， 所以到平面的距离为，易知当时，距离最大值为； 又在中，易知，所以边上的高为； 其面积为定值，即； 所以到平面的距离最大时，三棱锥体积的最大为，即B正确； 对于C，根据正方体性质可知平面，又是棱的中点，， 所以可得点在平面，又点在底面内，平面平面，所以； 根据B中的坐标系可知，所以可得，； 则， 设平面的一个法向量为，可得， 令，则，即； 易知平面的一个法向量为， 所以， 易知当时，， 当时，，令， 可得在上恒成立，即在上单调递增； 此时时，最大， 当，，易知在上单调递减， 所以时，取得最小值， 又由图可知，当时，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值的最大值为，即C错误； 对于D，根据选项C易知， 可得， 当时，, 当时，，易知当时，取到最大值为， 综上可知，与所成角的余弦值的最大值为，即D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：在求解立体几何中动点问题时，往往根据其几何位置关系找到变量之间的数量关系式，结合变量与定值之间的关系利用函数单调性或基本不等式求得最值. 三、填空题（共15分） 12. 若扇形的圆心角为2弧度，扇形的周长为，则扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据扇形的周长求出半径，再根据扇形的面积公式即可得解. 【详解】设扇形的半径为， 则，解得， 所以扇形的面积为. 故答案为：. 13. 斜率为2的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B两点的中点为，则的值是_________ 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意利用点差法即可求解. 【详解】设，由点A、B都在抛物线上得：， 两式相减得：，等价变形为 即，又A、B两点的中点为， 所以，又 所以， 故答案为：4 14. 设，若函数的值域为，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图像，分析函数的单调性，结合题目中函数的值域为，分析特殊点的横坐标，分类讨论即可得解. 【详解】作出函数图像， 根据题意， 得， 令， 解得或， 所以结合 ①若，则不合题意，舍去， ②若，则，此时； ③若，则，此时； ④若，则， 综上所述，， 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知直线，设直线的交点为. （1）求点的坐标； （2）若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）将两直线方程联立求解，即得交点坐标； （2）结合图形理解，直线在两坐标轴上的截距相等包括直线斜率为或经过原点，分别求直线方程即得. 【小问1详解】 联立方程解得. 【小问2详解】 直线在两坐标轴上的截距相等， 直线的斜率为或经过原点. ①当直线过原点时，直线过点， 的方程为； ②当直线斜率为时，直线过点， 的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A的值； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合角的范围求解即得. （2）由（1）的结论，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 在中，得， 由正弦定理得.又， 因此，而，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理得， 而，，则，解得（舍去负值），所以， 所以的面积. 17. 某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图： （1）求抽取的样本老年、中青年、少年的人数； （2）求频率分布直方图中a的值； （3）估计当天游客满意度分值的分位数. 【答案】（1）50，40，10 （2）0.020 （3）82.5 【解析】 【分析】（1）求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年的人数； （2）利用频率之和为1列出方程，求出的值； （3）利用百分位数的定义进行求解. 【小问1详解】 老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为， 故抽取100人，样本中老年人数为人，中青年人数为人，少年人数为人； 【小问2详解】 由题意可得，，解得：； 【小问3详解】 设当天游客满意度分值的分位数为， 因为，， 所以位于区间内， 则，解得：， 所以估计当天游客满意度分值的分位数为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当点为的中点时，有平面. 【解析】 【分析】（1）作平面，结合已知建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量以及，再由公式即可求解. （2）分别算出与平面的法向量，再由公式即可求解. （3）若平面，则，而在第二问中已经求出，所以只需设，待定系数即可求解. 【小问1详解】 作平面，又，所以以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系： 因为平面平面，平面平面，且，平面， 所以平面， 又因为为的中点，，且，，， 所以由题意有， 所以有 不妨设平面的法向量为， 所以有，即， 取，解得， 所以点到平面的距离为. 【小问2详解】 如图所示： 由题意有， 所以有 不妨设平面的法向量为， 所以有，即， 取，解得， 不妨设直线与平面所成角为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 如图所示： 由题意有 所以， 由题意不妨设， 所以， 又由（2）可知平面的法向量为， 若平面，则， 即，解得， 所以当点为的中点时，有平面. 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点． （1）若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标； （2）设，，若的斜率存在，且，求的斜率； （3）设的斜率为，，求双曲线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率公式和的关系，即可得到结果； （2）求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件，即可求出直线的斜率． （3）设直线的方程为，与双曲线方程联立，消元，运用韦达定理，结合由题意得出的，两个条件，即可求得双曲线的方程． 【小问1详解】 由题意得 解得 故双曲线的焦点坐标为． 【小问2详解】 双曲线，可得 设，直线的斜率为： 设直线的方程为 联立直线与双曲线的方程， 消去得： 由直线与双曲线有两个交点，则且，即 可得，则 ， ，可得： 将代入上式，可得 得，可得 解得，即的斜率为． 【小问3详解】 右焦点为，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程， 消去得： 则 由，得 整理得，则 即 则 整理得 因为的斜率，所以，整理得 则，， 所以， 由，得，即 又 则，解得 所以，经检验 所以双曲线的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高二（上）期中考试（数学） （本卷满分150分　考试时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知 ，，若 ，则 （ 　） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 1，8，9，4，5，5，8，2，3，10这组数据的下四分位数（25百分位数）为（ ） A. B. 3 C. D. 8 4. 若直线与直线平行，则m的值为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 1或 5. 已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程表示圆，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为，则椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线C：的左，右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，且，，点M为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆M的一般方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆M的半径为4 B. 圆M关于直线对称 C. 点在圆M外 D. 实数x，y满足圆M的方程，则的最小值是5 11. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若保持，则点在底面内运动路径的长度为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若，则二面角的余弦值的最大值为 D. 若则与所成角的余弦值的最大值为 三、填空题（共15分） 12. 若扇形的圆心角为2弧度，扇形的周长为，则扇形的面积为__________. 13. 斜率为2的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B两点的中点为，则的值是_________ 14. 设，若函数的值域为，则的取值范围是__________. 四、解答题（共77分） 15. 已知直线，设直线的交点为. （1）求点的坐标； （2）若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A的值； （2）若，，求的面积. 17. 某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图： （1）求抽取的样本老年、中青年、少年的人数； （2）求频率分布直方图中a的值； （3）估计当天游客满意度分值的分位数. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点． （1）若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标； （2）设，，若的斜率存在，且，求的斜率； （3）设的斜率为，，求双曲线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $