精品解析：广西南宁市第四中学五象凤凰校区高中部2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

南宁四中五象凤凰校区高中部2026年秋季学期期中考试题 高二数学 注意事项： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡.上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 3. 双曲线的渐近线方程是（     ） A. B. C. D. 4. 某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，．估计本班学生的消防安全知识成绩的第90百分位数是（ ） A. 93 B. 80 C. 90 D. 95 5. 设，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 曲线与的关系是（ ） A. 有相等的焦距，相同的焦点 B. 有不等的焦距，相同的焦点 C. 有不等的焦距，不同的焦点 D. 有相等的焦距，不同的焦点 7. 如图，在直三棱柱中，，，，M为AB的中点.则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 10. 下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线的倾斜角为 C. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1 D. 若点在圆内，则实数的取值范围为． 11. 已知为坐标原点，过的直线与双曲线相交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 直线斜率的取值范围为 C. 若是双曲线上的动点，则的最小值为 D. 过作的垂线，垂足为，则点的轨迹与直线有且只有1个公共点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 点关于直线对称的点的坐标为______． 13. 已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 14. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，若，则___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点，． （1）求圆的标准方程； （2）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 16. 已知的内角、、的对边分别为、、，且满足. （1）求角的大小； （2）若， ，求的面积. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，求函数的最值以及取得最大值时的值． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的右焦点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线：与交于，两点． （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）在轴上是否存在一定点，使得直线，的斜率之和恒为0？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁四中五象凤凰校区高中部2026年秋季学期期中考试题 高二数学 注意事项： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡.上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合表示大于且小于的实数， 集合是由三个整数构成的有限集. 就是找出既属于集合，又在集合中的元素，依次判断： 元素：不满足不等式，不属于集合； 元素：满足不等式，属于集合； 元素：不满足不等式，不属于集合. 综上可得公共元素只有，即. 2. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由直线与直线平行， 得，所以. 3. 双曲线的渐近线方程是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】双曲线，化为标准式：， 焦点在轴上，，即， 焦点在轴上的双曲线渐近线方程为， 代入得：. 4. 某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，．估计本班学生的消防安全知识成绩的第90百分位数是（ ） A. 93 B. 80 C. 90 D. 95 【答案】A 【解析】 【详解】由直方图得，从左到右的第一、二、三、四小组的频率分别是0.10、0.20、0.40、0.30． 第一、二、三小组的频率之和为， 所以第90百分位数处在第四组内，为． 5. 设，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为对数函数在上为增函数，所以， 因为对数函数在上为减函数，所以， 因为指数函数在上为减函数，所以，故. 6. 曲线与的关系是（ ） A. 有相等的焦距，相同的焦点 B. 有不等的焦距，相同的焦点 C. 有不等的焦距，不同的焦点 D. 有相等的焦距，不同的焦点 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦距的定义即可求解. 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点. 故选：D. 7. 如图，在直三棱柱中，，，，M为AB的中点.则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别以，，所在直线为，，轴建立直角坐标系，利用平面法向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直求出法向量，再用点到平面的向量距离公式求解． 【详解】 如图，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立直角坐标系， 则，，，，． 于是，． 设平面的一个法向量为， 则，即． 令，得． 又， 所以到平面的距离． 8. 如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆定义写出各焦半径，用勾股定理求出m与a的关系，进而得到a,c关系式求出离心率. 【详解】   连接，设，则，，， 因为，所以在中，由勾股定理得， 即，① 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 将代入①式得，整理得， 所以离心率.      二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长，​ 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线的倾斜角为 C. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1 D. 若点在圆内，则实数的取值范围为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过分离参数求直线定点、利用斜率计算倾斜角、结合圆心到直线的距离与半径判断交点个数，以及代入点在圆内的代数不等式，逐一验证选项即可. 【详解】对于A，直线整理得， 若对任意都成立，则有，解得， 即直线过定点，故A错误， 对于B，直线的斜率，则其倾斜角满足， 解得，故B正确， 对于C，易得圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若圆上的点到直线的距离为1，则这些点一定位于与平行， 且到的距离为1的两条平行直线上， 这两条平行直线到圆心的距离分别是，即该直线过圆心，与圆有2个交点， 和，因为，所以，即该直线与圆没有交点， 所以圆上共有2个点到该直线的距离为1，故C正确， 对于D，易得圆的圆心为，半径，若点在圆内， 则有，即，解得，故D正确. 11. 已知为坐标原点，过的直线与双曲线相交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 直线斜率的取值范围为 C. 若是双曲线上的动点，则的最小值为 D. 过作的垂线，垂足为，则点的轨迹与直线有且只有1个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用离心率公式求出离心率，假设直线的方程，联立双曲线方程，根据求出斜率取值范围，再判断斜率不存在时是否有两个交点，根据两点间距离公式及二次函数的性质即可求出的最小值，求出点的轨迹方程,结合B选项可确定出轨迹的范围，结合直线经过的特殊点判断. 【详解】对于A，； 对于B，假设斜率不存在，则直线，此时与双曲线没有交点，不符合题意，舍去， 若斜率存在，设，联立得， 因为直线与双曲线有两个交点，则且， 解得或或； 对于C，设，则， 因为，所以， 根据二次函数性质可得当时，， 即； 对于D，由于为定点，由题知，动点满足， 即点的轨迹是以线段为直径的圆的一部分，且圆心为，半径为1， 这个圆的方程为， 设过的直线为， 由B选项可知，该直线和双曲线交于两点时满足且， 当，过原点和垂直的直线为，此时垂足为， 当，过原点的直线和垂直，可设该直线为， 联立，解得， 由且，得到， 注意到在圆上可知， 综上所述，， 令代入圆可得，记， 如下图所示，的轨迹为一段优弧挖去两个点所得而来 ，即直线方程为恰好经过， 注意到该直线还经过圆心，如图，该直线和的轨迹只有一个交点. 综上所述，ACD正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 点关于直线对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知直线与已知点，求得过该点并垂直于已知直线的直线方程，联立求交点，利用中点坐标公式，建立方程组，解得答案. 【详解】由直线方程，则其斜率， 与直线垂直的直线斜率， 设直线过，可得其直线方程，整理可得， 联立可得，解得，交点坐标， 设关于直线对称点坐标，则，解得， 所以关于直线对称点坐标. 故答案为：. 13. 已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线恒过定点，当时， 圆心到直线的距离取得最大值为，由直线被圆截得的弦长公式求解最短弦的长度. 【详解】由，令，得， 所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径， 由，可得点在圆内部，即直线与圆始终相交， 因直线被圆截得的弦长公式为，为圆心到直线的距离， 当取最大值时，弦长最短，则当时， ， 此时最短弦的长度为. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，若，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据奇函数性质得到基础关系式，结合已知对称性推导函数周期，然后计算一个周期内的函数值之和，最后利用周期性计算2026项的和. 【详解】由为奇函数，可得. 由，得，故. . . ，故， 代入得. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点，． （1）求圆的标准方程； （2）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得出点的横坐标，将代入直线的方程，可得出圆心的坐标，进而可得出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）设、，由中点坐标公式化简得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【小问1详解】 因为圆与轴交于两点、，则线段的中点为， 由垂径定理可知轴，则点的横坐标为， 将代入，得，解得，得圆心， 圆的半径为， 圆C的标准方程为． 【小问2详解】 设、，由中点坐标公式得，即． 将点的坐标代入圆C的方程得， 即，即， 化简得， 线段中点的轨迹方程为． 16. 已知的内角、、的对边分别为、、，且满足. （1）求角的大小； （2）若， ，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，代入化简得到，再利用求解角的大小. （2）由条件（1），代入，求得，代入三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由余弦定理，代入得， 即，两边同乘得，整理得， 又由余弦定理，又 ，故. 【小问2详解】 由（1）知， 代入，得，解得， 所以的面积. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，求函数的最值以及取得最大值时的值． 【答案】（1） 单调递增区间为，，单调递减区间为， （2） 最大值为，最小值为，取得最大值时 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式求出，根据正弦型三角函数的单调性求解即可. （2）根据正弦型三角函数的性质求解即可 【小问1详解】 . 令，， 解得，； 令 ，， 解得，。 故的单调递增区间为，，单调递减区间为，. 【小问2详解】 当时，， 由正弦函数性质得， 因此. 当，即时，取得最大值. 故最大值为，最小值为，取得最大值时. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）取中点，连接，，因为为的中点，为中点，所以且， 又，，，，所以有且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用几何关系可得，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用面面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由，，，得，所以. 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又，，所以，则， 如图以为原点，以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，因为为的中点，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 又由（2）知平面，所以平面的一个法向量为. 设二面角的平面角的大小为，由图可知二面角为锐二面角， 则， 所以二面角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的右焦点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线：与交于，两点． （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）在轴上是否存在一定点，使得直线，的斜率之和恒为0？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，点 【解析】 【分析】（1）根据焦点和离心率求，进而可得和椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程，（ⅰ）利用韦达定理可得面积，换元令，可得，结合函数单调性求最值； （ⅱ）假设存在点，根据斜率公式以及韦达定理可得，结合题意运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，则，即， 所以的标准方程为． 【小问2详解】 设，，直线与轴的交点为， 因为点在椭圆内，直线与椭圆必相交， 联立方程，消去整理得， 因为，是上述方程的根，则. （ⅰ）因为， 且，可得 ， 令，则，可得， 因为在内单调递增，则， 可得，所以面积的最大值为； （ⅱ）设存在点，使，即， 可得，整理可得， 即，整理可得， 因为上式对恒成立，则，解得， 所以存在一定点，使得直线，的斜率之和恒为0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $