广西壮族自治区来宾市金秀瑶族自治县民族高中2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

高二数学试题 考试范围：选择性必修一1~3.1，三角与概率统计考试时间：120分钟命题人：李乃娟审题人：吴芳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知点A1,0),B(2,V5),则直线AB的斜率是 A.5 B.-5 C.3 D.、5 2.己知椭圆c: -=1(a>0)的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为 4 A C.2 D.22 3 3.圆C:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.已知平面a经过点B(1,0,0),且a的法向量i=(1,1,1),则P(2,2,0)到平面a的距 离为 A.1 B.2 C.2 D.5 5.3<m<11是“方程，t =1表示焦点在y轴上的椭圆”的 11-mm-3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知实数x,y满足方程y=√x2+4x-1,则上的最大值为 A.0 B.1 C.5 D.2 7.若圆C:(x+1)2+y-2)2=2(r>0)上恰有2个点到直线1：4x-3y-10=0的距离为 1,则实数”的取值范围为 A.(3,+0) B.(5,+) c.(3,5) D.[3,5] 8.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的 外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的 一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点为A(0,0),B(5,O), 试卷第1页，共4页 C(2,4),则该三角形的欧拉线方程为 A.y=2+ 1,5 11 B.y=2+6 C.y=-2x+10 D.y=2x-10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.对于直线1：(m-2)x+y-2m+1=0与圆C:x2+y2-6x-4y+4=0,下列说法正确的 是 A.1过定点(2,3) B.C的半径为9 C.1与C可能相切 D.1被C截得的弦长最小值为2√7 10. 已知椭圆c:x +天1，R、卫分别为它的左右焦点，A、B分别为它的园 顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有 A.点P到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B.椭圆上存在点P,使得∠FPF,=90 C.若P为直角三角形，则P的面积为 D.PF·PF,的范围为2,3 11.如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，半圆面APDL平面ABCD,点P为半圆 弧AD上一动点（点P与点A,D不重合），下列说法正确的是 A.PD⊥平面PAB B.三棱锥P-ABD的体积最大值为125 C.当∠PAD=30°时，异面直线PA与BD夹角的余弦值 为6 4 D.四棱锥P-ABCD外接球的表面积为25π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若直线x-2y+5=0与直线2x+y-6=0互相垂直，则实数= 13.已知空间向量a五，c两两夹角为60°，且同==d=1,则a-b+2= 试卷第2页，共4页 14.若M,N分别为圆C1:(x+6)2+(y-5)=4,与圆C2:x-2)2+(y-1)2=1上的动 点，P为直线x+y+5=0上的动点，则PM+PW的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知(c-2b)cosA+acosC=0 (1)求角A的大小： (2)若a=4,b+c=8,求△ABC的面积： 16.(15分)本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机 抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，得到如图 所示频率分布直方图 (1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数： (2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6 人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在「60,70)的概率 个频率 组距 0.035 88 a 05060708090100成绩 试卷第3页，共4页 17.（15分)已F2,0)是椭园E若+片-a>b0的右焦点，P小5，)是g上 一点 (1)求E的方程： (2)记O为坐标原点，过F的直线l与E交于A,B两点，若OA⊥OB,求AB的值 18.(17分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，AE⊥ 平面ABCD,AB=AE=2DF,AE/IDF (1)证明：平面AEC⊥平面CEF: (2)求平面ABE与平面CEF夹角的余弦值. B 19.(17分)已知圆O:x2+y=16,点A(6,0),点B为圆0上的动点，线段AB的中点 M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程： (2)设点T(2,0),过点T作与x轴不重合的直线交曲线C于E,F两点. ()若直线1的斜率为1，且过点T作与直线1垂直的直线交曲线C于G,H两点，求 四边形EGFH的面积： (i)设曲线C与x轴交于P,Q两点，直线PE与直线QF相交于点N,试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线的方程：若不是，请说明理由， 试卷第4页，共4页 高二数学期中考试参考答案 1.A【详解】由题意可知直线HB的斜率为5-0-5.故选：A 2-1 2.C【详解】根据题意，可知c=2,因为b2=4,所以a2=b2+c2=8,即a=22, 所以椭圆C的离心率为e=2-V巨 2万之，故选C. 3.B【详解】圆C:(x+1)+(y+1)=4,则圆心C(-1,-1),半径r=2, 圆C2:(x-2)+(y-1)=4,则圆心C2(2,1),半径2=2， 得两圆的圆心距为：1CC=V-1-2+(-1-)=3,则-5<CC<5+5, 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条.故选B. 4.D【详解】因为BP=(1,2,0),n=(1,1,1), n.BP 所以P(2,2,0)到平面a的距离d=」 1+2=万，故选D. V1+1+1 5B【详解】方程，r 2 =1表示焦点在y轴上的椭圆等价于m-3>11-m>0, 11-mm-3 解得7<m<11,所以3<m<11"是“方程， x2,y2 =1表示焦点在y轴上的椭圆” 11-mm-3 的必要不充分条件故选B. 6.C【详解】方程y=√-x+4r-1化为 (x-2)+y2=3(y20),表示的图形是一个以(2,0)为圆 心，5为半径的半圆，令艺=k,即y=c,如图所示， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离d= 2=5,解得k=5或k=5(负 1+k2 值不满足条件，舍去)，所以兰的最大值为5，故选C 答案第1页，共7页 7.C【详解】圆心C1(-1,2)到直线1：4x-3y-10=0的距离 44x-3y5-0 d=上4-6-10 V42+(-3) =4,由图可知 d-1<r d+1>r c 即3<r<5.故选C. 4x-3y-1 4 8.A【详解】由重心坐标公式可得：重心G0+5+2,0+0+4 -3y-15-0 3’ 3 即c3)由AQ.0,B(5.0),可知外心M在AB的垂直平分线上， 设外心M3a因为=Mc V-0+(a-0- 2 +(a-4}2,解得 45 a：M[》则==片故欧拉线方程为：y音=-》 32 即：= 9.AD【详解】对于A,(m-2)x+y-2m+1=0可变形为(x-2)m-2x+y+1=0, x-2=0, 由 x=2, -2x+y+1=0得 y=3, 所以直线1过定点(2,3)，故A正确；对于B, 圆C:x2+y2-6x-4y+4=0,化为标准方程为(x-3)+(y-2)=9,所以圆C的半径为 3,故B错误；对于C,因为(2-3)2+(3-2)2<9，所以点(2,3)在圆C内部，所以直线 与C不可能相切，故C错误；对于D,设直线！所过定点为P,则当直线1LPC时，直 线效0我得的弦长最小因为圆心C,2).所以。号1，所以直线：的每丰 k=2-m=1,解得m=1,此时直线l:x-y+1=0.因为圆心到直线l的距离 d-B-2+-2,所以弦长292=2万，故D正确故选AD. 1+1 10.ACD【详解】对A,易知a=2,b=3,c=1,则a+c=3,a-c=1,故A正确： 对B,P位于椭圆上顶点时∠耳P耳最大，且P=PF=2,F=2故此时△FFP为 等边三角形，故B错误；对C,若△FFP为直角三角形，由B知，∠PF≤60°， 所以∠FF,P=90°或∠F,FP=90°，不妨设∠FF,P=90°，则此时P点横坐标 答案第2页，共7页 与1.入c兰+片=1，得子P联为含2 C正确：对D,（-1,0),E(1,0),设P(xy),则 PEPE=(-1-x)1-x)+y2=x2+y2-1, 白背-1得：少-3，做P网听-式+2,2≤x三2故 43 4 P℉P瓦[2,3]，故D正确故选ACD. 11.AC【详解】对于A,AD为直径，P为半圆弧AD上一动点，∴PA⊥PD,△APD为 直角三角形；：平面APD⊥平面ABCD,平面APD∩平面 ABCD=AD,ABC平面ABCD,AB⊥AD,.:AB⊥平面 APD,PDc平面APD,AB⊥PD, 又·PA⊥PD,AB∩PA=A,PDL平面PAB,故A正 确：对于B,过点P在平面APD内作PE LAD于点E,∴.PE⊥平面ABCD,PE为三棱 锥P-ABD的高，三棱锥P-ABD的体积DP a0D的面积ew号5x5受为定红 2 ∴当PE最大时，三棱锥P-ABD的体积最大，此时点P为半圆弧AD的中点， PE1AD,三棱锥P-48D体积的最大值为x5x3125 故B错误； 21 32212 对于C,设直线PA与BD夹角为&，则cosa=cos30°：cos45°= VG 故C正确： 4 对于D,四棱锥P-ABCD外接球的半径R r-0 4 ,“外接球的表面积为 50π，故D错误.故选AC. 12.1【详解】长之乌=品直线互相垂直太名=1，即宁（京）=1m=1 13.5【详解】依腿意，a6-6=ca-分，则-6+2-a-6+2 =a5r4f2a6-6c4ac-62g445,收-6+2=5 2 2 14.9【详解】由题意点C1(-6,5)半径为2，C(2,1)半径为1，设点C1关于直线 答案第3页，共7页 x+y+5=0的对称点为C(x,y),如图： %-5 (-1)=-1 则 +6 x=-10 ，解得 -6+%+5 %=1￥ +5=0 2 2 x+y+5=0 即C3(-10,1),连接CC3,求PM+PW的最小值 可以转化为P点到两个圆心的距离再减去两个圆的半径的和的最小值，再由点C1、C3关 于直线x+y+5=0的对称，所以PC+PC-3≥CC引-3， 又C,C-3=V(-10-2)°+(1-1)-3=12-3=9，故答案为9. 15.解：(1)由(c-2b)cosA+acosC=0和正弦定理得， (sin C-2sin B)cosA+sin AcosC=0, sin CcosA+sin AcosC=sin(A+C)=sin(-B)=sin B, 则有sinB(1-2cosA)=0,因0<B<元，sinB>0, 1 则c0sA=二，又0<A<元， 2 故4号 …6分 (2)由余弦定理，a2=b2+c2-2 be cosA,代入得，b2+c2-bc=16, 因b+c=8,则有(b+c)2-3bc=16,即得bc=16, 故aMBC的面积S=号bcnA=xI6xy5 45 …13分 2 2 16.解：(1)由（a+0.02+0.035+0.025+a×10=1,解得a=0.01. 该校高三学生期初数学成绩的平均数为 55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.25+95×0.1=75.5. 前3组的频率和为0.1+0.2+0.35=0.65，所以85%分位数为 80+0.85-0.65 10=88 …7分 0.25 (2)分层抽样抽取的6人中，[50,60)的有6×01=2人，记为1,2 0.1+0.2 答案第4页，共7页 [60,70)的有6-2=4人，记为3,4,5,6， 从6人中任取2人，基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共 15种，其中2人分数都在60,70)的有34,35,36,45,46,56共6种， 所以从6人中任取2人，分数都在[60,70)的概率为 62 15-5 …15分 d2=b2+c2, 17.解：(1)由题可知， 23=1, c=2, d=8, 解得 1b2=4, 则B的方程为g子1 …5分 (2)若1的斜率不存在，根据对称性，不妨令A(2,√②)，B2,-V②)， 则0A=(2,V2),0B=(2,-√2)，0A0B=4-2≠0，不符合条件. 若1的斜率存在，设1的方程为y=k(x-2),A(31,乃)，B(x2,), x2y2 联立方程组 84 整理得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-8=0, y=k(x-2), 8k2 8k2-8 则+1十2农1+2 因为OA10B,所以OAOB=,+y=（1+k2)x5-2k2(飞+3)+4k2 _(8k2-8)01+k2)-164+4k2+8k4 1+2k2 4k2-8=0,解得尺=2， 1+2k2 则AB到=1+Vx+x}-4x,=B 16 4x8-12W2 …15分 5 55 18.解：(1)如图，取EC的中点H,连结BD交AC于点O,连结HO、HF 因为四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD 又AE⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, 所以AE⊥BD. 答案第5页，共7页 因为AEC平面AEC,ACc平面AEC,且AE∩AC=A, 所以BD⊥平面AEC, 因为H、O分别为EC、AC的中点， 所以H0∥EA,且HO=1A: 又AE∥DF,且DF=EA. 所以HO∥DF,且HO=DF, 所以四边形HODF为平行四边形，所以HF∥OD,即HF∥BD, 所以HF⊥平面AEC.因为HFC平面CEF, E 所以平面AECL平面CEF ……8分 H (2)取CD中点M,连接AM.因为菱形ABCD中， A ∠ABC=60°， 所以△ACD为正三角形，又M为CD中点， B 所以AM⊥CD: 因为AB∥CD,所以AM⊥AB. 因为AE⊥平面ABCD,AB,AMC平面ABCD,所以AE⊥AB,AE⊥AM 如图，以A为原点，AB,AM,AE所在直线分别为x,二轴，建立空间直角坐标系 A-xy5.不妨设AB=AD=AE=2DF=2, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,√3,0)，D(-1√3,0)，E0,0,2),F(-1,V3,1) 因为AML平面ABE,所以AM=(O,V3,0)为平面ABE的一个法向量， 设平面CBF的法向量为n=(化，y,）,因为CE=（-1,-V3,2)CF=(-2,0,1), 所以 (n.CE--x-3y+2:=0y=3x i.CF=-2x+z=0 {2=2x,不妨令x=L, 得n=4,V3,2) 设平面ABE与平面CEF夹角为日， n.AM 3 √6 则cos8=cosi,AM= M 网d 22x54, C 所以平面ABB与平面CBF夹角的余弦值为 …17分 4 答案第6页，共7页 19.解：(1)设M(x,y),B(,),因为点B在圆O上，所以x+6=16①， 〔6+x x= 2 x=2x-6 因为M为AB中点，所以 ,整理得 y= %=2y 2 代入①式中，得(2x-6)2+(2y)2=16,整理得(x-3)2+y2=4, 所以曲线C的方程为(x-3)2+y2=4: …5分 (2)(i)当直线的斜率为1时，直线l的方程为x=y+2,即x-y-2=0, 则直线GH方程为x+y-2=0, 设曲线C的圆心到直线！和直线GH的距离分别为41，d2, 1=5,8分 则d=。=2二P+2) 所以=24，a-3。 所以S分×x=7, 所以四边形EGFH的面积为7； …11分 (i)设直线l的方程为x=w+2,即x-y-2=0, 设E(x,),F(,2), x=y+2 联立{ x-3)2+y=4得(m+1)y2-2m四-3=0， 、则+y2=y2+1，%=2m(g+,● 因为曲线C与x轴交于P,Q两点，所以P(1,0),Q(5,0), 则直线PB的方程为y=片x-)=当(-1)， x-1 1y,+1 百线5的方得为产-列女-)， 联立两直线方程得x=+31+5=-6一6，+3+5业=-1， 3y+2 34+y2 故直线PE与直线OF的交点N在定直线x=-1上. 答案第7页，共7页