第二章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 一元二次方程单元提升卷，覆盖定义、解法、根的判别式及应用，结合2026春晚文旅、乒乓球比赛等现实情境，创新设计“差根方程”等新定义题型，适配单元复习，提升数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|一元二次方程定义、根的判别式、配方法|结合多地模考题，基础概念与几何规律结合（如“小屋子”图形规律）| |填空题|8/32|解方程、参数问题、几何应用|正方形展开图棱长计算、等腰三角形边长与方程根关联，体现空间观念| |解答题|8/78|实际应用（降价、苗圃面积）、新定义“差根方程”、阅读材料构造方程|文旅销售降价问题（数学建模）、“差根方程”与直角三角形结合（推理能力），适配核心素养中运算能力与应用意识|

第二章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B C D B B D C D 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．， 12．2 13． 14． 15．2030 16．1或5 17．4 18． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19． 【答案】(1)，；(2)，； (3)，；(4)，； 【详解】（1）解： ， ， 即或， 解得，； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， 即或， ∴，； （4）解： ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； 20． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根，∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 21． 【答案】(1)(2)每件应降价36元 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意，得， 解得 (不合题意，舍去)． 答：平均每次降价的百分率为． （2）解：设每件应降价y元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得． 要尽快减少库存，，答：每件应降价36元． 22． 【答案】(1)①(2)(3) 【详解】（1）解：①解得：或， ，是“差根方程”； ②解得：，， ，②不是“差根方程”； （2）解：方程因式分解得：，解得：，， 方程是“差根方程”，，， 或，解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为，，， 、是“差根方程”的两个实数根，，， ，，，， 、是三角形的边长，均为正数，， 方程二次项系数为1，所求差根方程为． 23． 【答案】(1)(2)的值为8(3)苗圃的面积不可以达到，理由见解析 【详解】（1）解：依据题意，，解得，故答案为：； （2）解：根据题意得，即， 化简得，解得，， 当时，，（舍去），； （3）解：不可以达到．理由如下： 若可以达到，则，化简得：， ，无解，∴苗圃的面积不可以达到． 24． 【答案】(1)；(2)或(3) 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时，实数、满足，， 、可看作方程的两根，，， 原式， 当时，则原式；综上所述，原式的值为或2； （3）解：，，∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即，，，即，的最大值为1． 25． 【答案】(1)小，1(2)见详解(3)①，过程见详解；② 【详解】（1）解： ∵，∴，∴，∴代数式有最小值：这个最值为1； （2）证明：， ∵，∴，∴代数式的值恒为正数； （3）解：①∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， 解得，或（舍去）， ∵以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；∴，∴； ②∵以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，∴， ∵，，∴，，∴ ；；；；；∴． 26． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【详解】（1）解：将代入，得， 解得，∴“黄金数”为； （2）解：∵，，∴，即， ∵，∴，∴a，是一元二次方程的两个根，∴，∴． （3）证明：∵①，②, ∴，得，∴ ∵，∴，∴③，④， 将④代入①，得，∴，∴ ， 将③代入②，得，∴，∴， ∴p，q是一元二次方程的两个根，∴． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·四川雅安·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南濮阳·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 5．（2025·四川成都·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是(　　) A． B． C．-4 D．4 6．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 8．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 9．（25-26九年级上·河南开封·期末）在一次乒乓球比赛中，中国乒乓队揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用单循环制（每两队之间进行一场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北邯郸·三模）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第（    ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． A．9 B．10 C．11 D．12 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（24-25九年级上·四川成都·期末）方程：的解为： ． 12．（25-26九年级上·山东青岛·月考）若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． 13．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 14．（25-26八年级下·安徽六安·期末）等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 15．（24-25九年级上·四川成都·期末）若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ． 16．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 17．（25-26八年级上·上海·期末）已知为实数，且，则的值是___________． 18．（2025·四川成都·一模）方程的全体实数根的积为 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程： (1) (2) (3) (4)． 20．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 21．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件．(1)探索规律：求该文创产品平均每次降价的百分率； (2)解决问题：为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 22．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 23．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 24．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题：(1)已知一元二次方程的两根，，则____，____； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 25．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式如：，，，；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请解决下列问题： (1)填空：代数式有最_______（填“大”或“小”）值：这个最值为________； (2)证明：代数式的值恒为正数． (3)如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，． ①则图中线段________（空格中填写图中的线段）的长是方程的一个根，你是如何得到这个结论的？请写出你的发现过程．②若，则的值为________． 26．（25-26九年级下·山西太原·期中）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究．(1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·四川雅安·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：当时，方程变为，不是二次方程，不符合题意； B：方程中含有分式，不是整式方程，不符合题意； C：方程中含有两个未知数x和y，不是一元方程，不符合题意； D：方程只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合题意．故选：D． 2．（2026·河南濮阳·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【详解】解： 展开得 移项整理得 这里 ∴ ∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，． 4．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为． 依题意得：，解得:.∴ 这个两位数为或．故选：C． 5．（2025·四川成都·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是(　　) A． B． C．-4 D．4 【答案】D 【详解】解：由条件可知，解得．故选：D． 6．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于方程，， 对于方程，变形得 ， 直接开方得 ，整理得 ， 两个方程的解相同，，即． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得， ∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴，，∴，， 将代入得：，整理得． 将代入得：，化简得 把代入，解得 ∵， ， 8．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵关于的一元二次方程的两根是和， ∴，∴，∴故A错误，不符合题意； B、取，符合题干条件，但故B错误，不符合题意； C、取，符合题干条件，但故C错误，不符合题意； D、，∵，∴ ∵，∴，∴，故D正确，符合题意；故选：D． ∴所求一元二次方程为． 9．（25-26九年级上·河南开封·期末）在一次乒乓球比赛中，中国乒乓队揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用单循环制（每两队之间进行一场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵设参赛队伍有支， ∴每支队伍需与支队伍比赛，单循环制中每两队之间只赛一场，需去除重复计算的场次， ∴总比赛场数为，又∵比赛总场数为380场，∴可列方程为．故选：C． 10．（2025·河北邯郸·三模）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第（    ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；…， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，，解得，， 又因为n为正整数，所以，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（24-25九年级上·四川成都·期末）方程：的解为： ． 【答案】， 【详解】解∶，∴，∴， ∴，，∴，，故答案为：，． 12．（25-26九年级上·山东青岛·月考）若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． 【答案】2 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为0， ∴将代入方程得：，即， 因式分解得，解得或， 又∵一元二次方程的二次项系数不能为0，即，得，∴的值为2． 13．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即，解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm，故答案为：． 14．（25-26八年级下·安徽六安·期末）等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【详解】解：三角形为等腰三角形 分两种情况讨论：①或，②， ①当或时，，是一元二次方程的两个根， 是方程的一个根，将代入方程得，解得， 当时，方程为因式分解得，解得，， 此时三角形三边长为，，， ，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边，不合题意，舍去； ②当时，一元二次方程有两个相等的实数根 根的判别式，解得，此时方程为，解得， 此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意；综上所述，． 15．（24-25九年级上·四川成都·期末）若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ． 【答案】2030 【详解】解：∵，是两个不相等的实数，且满足，， ∴，可以看作方程的两个根， ∴，，， ∴ ．故答案为：2030． 16．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，，，， ，，解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为．故答案为：1或5． 17．（25-26八年级上·上海·期末）已知为实数，且，则的值是___________． 【答案】4 【详解】解：设，则，原方程化为，即， ，，解得或， 由于，故，即．故答案为：4． 18．（2025·四川成都·一模）方程的全体实数根的积为 ． 【答案】 【详解】解：原方程变形为：， 设，于是原方程变为，整理，得，解得，， 当时，则，即，解得，； 当时，则，即， ，无解，经检验，，是原方程的根， ．故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)，；(2)，； (3)，；(4)，； 【详解】（1）解： ， ， 即或， 解得，； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， 即或， ∴，； （4）解： ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； 20．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根，∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 21．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件．(1)探索规律：求该文创产品平均每次降价的百分率； (2)解决问题：为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 【答案】(1)(2)每件应降价36元 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意，得， 解得 (不合题意，舍去)． 答：平均每次降价的百分率为． （2）解：设每件应降价y元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得． 要尽快减少库存，，答：每件应降价36元． 22．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)①(2)(3) 【详解】（1）解：①解得：或， ，是“差根方程”； ②解得：，， ，②不是“差根方程”； （2）解：方程因式分解得：，解得：，， 方程是“差根方程”，，， 或，解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为，，， 、是“差根方程”的两个实数根，，， ，，，， 、是三角形的边长，均为正数，， 方程二次项系数为1，所求差根方程为． 23．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】(1)(2)的值为8(3)苗圃的面积不可以达到，理由见解析 【详解】（1）解：依据题意，，解得，故答案为：； （2）解：根据题意得，即， 化简得，解得，， 当时，，（舍去），； （3）解：不可以达到．理由如下： 若可以达到，则，化简得：， ，无解，∴苗圃的面积不可以达到． 24．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题：(1)已知一元二次方程的两根，，则____，____； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)；(2)或(3) 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时，实数、满足，， 、可看作方程的两根，，， 原式， 当时，则原式；综上所述，原式的值为或2； （3）解：，，∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即，，，即，的最大值为1． 25．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式如：，，，；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请解决下列问题： (1)填空：代数式有最_______（填“大”或“小”）值：这个最值为________； (2)证明：代数式的值恒为正数． (3)如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，． ①则图中线段________（空格中填写图中的线段）的长是方程的一个根，你是如何得到这个结论的？请写出你的发现过程．②若，则的值为________． 【答案】(1)小，1(2)见详解(3)①，过程见详解；② 【详解】（1）解： ∵，∴，∴，∴代数式有最小值：这个最值为1； （2）证明：， ∵，∴，∴代数式的值恒为正数； （3）解：①∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， 解得，或（舍去）， ∵以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；∴，∴； ②∵以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，∴， ∵，，∴，，∴ ；；；；；∴． 26．（25-26九年级下·山西太原·期中）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究．(1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【详解】（1）解：将代入，得， 解得，∴“黄金数”为； （2）解：∵，，∴，即， ∵，∴，∴a，是一元二次方程的两个根，∴，∴． （3）证明：∵①，②, ∴，得，∴ ∵，∴，∴③，④， 将④代入①，得，∴，∴ ， 将③代入②，得，∴，∴， ∴p，q是一元二次方程的两个根，∴． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $