专题10转化与表达复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题10转化与表达复习讲义 1.体会转化思想，能把立体图形问题转化为平面图形来研究，看懂展开图。 2.能识别常见几何体的展开图，会判断展开图还原后对应的立体图形。 3.掌握正方体展开图的类型，能快速判断哪些图形可以折成正方体，找到相对面。 4.会根据立体图形画出展开图，也能根据展开图想象复原立体图形。 5.会用图形、文字、符号三种方式表达几何信息，实现三者之间互相转化。 6.能解决和展开图相关的简单计算，比如棱长、周长、面积计算。 7.分清易错点：注意折叠时面的位置，区分不能围成正方体的陷阱图形。 题型 考察方向 难度 题型一 几何体展开图的认识 ★ 题型二 由展开图计算几何体的表面积 ★★ 题型三 由展开图计算几何体的体积 ★★ 题型四 正方体几种展开图的识别 ★ 题型五 正方体相对两面上的字 ★★ 题型六 含图案的正方体的展开图 ★★ 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 ★★★ 题型八 补一个面使图形围成正方体 ★★ 题型九 从不同方向看几何体 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:截面基础概念 用一个平面去截一个几何体，截出的平面图形叫做截面；截面的形状由几何体本身形状和平面截取的角度、位置共同决定。 核心重点：平面截正方体 正方体共 6 个平面，平面每接触 1 个面，截面就多出 1 条边，因此截面最多为六边形。 截取平面接触正方体面的个数 对应截面形状 截取说明 3 个面 锐角三角形 平面经过正方体三个顶点截取，无法截出直角、钝角三角形 4 个面 正方形、长方形、平行四边形、梯形 平行于面截取得正方形 / 长方形；斜着截上下两条对边得梯形 5 个面 五边形 平面同时穿过正方体 5 个面 6 个面 六边形 平面均匀穿过正方体全部 6 个面 知识点 02 从三个方向看物体的形状 1、一般地，我们从正面、左面（或右面）和上面三个方向观察同一物体。（如上图） 2.画从三个方向看到的形状图 画从三个方向看小立方块的组合体的形状图的方法： 确定从三个方向看到的组合体的行数或列数； 确定每行或每列中小正方形的个数； 根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图。 （1）正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数。 （2）左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数。 （3）上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数。 知识点03:立体图形的表面展开图 1. 展开图定义 将立体图形的表面沿棱剪开，平铺在同一平面上得到的平面图形，称为立体图形的展开图；同一个立体图形沿不同棱剪开，展开图样式不唯一。 2. 常见基础几何体标准展开图 长方体 / 正方体：6 个长方形（正方体为 6 个完全相同正方形）； 圆柱：2 个全等圆形 + 1 个长方形；长方形的长 = 底面圆周长，宽 = 圆柱的高； 圆锥：1 个圆形 + 1 个扇形；扇形弧长 = 底面圆周长； n 棱柱：2 个全等 n 边形 + n 个长方形。 知识点04:正方体 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可得到11 种不同的展开图。 把它归为四类： 一四一型：有 6 种；二三一型（一三二型）：有 3 种； 三三型：有 1 种；二二二型：有 1 种。 知识点05：几何体的截面 知识点06:由展开图计算几何体的表面积与体积 1. 表面积计算 展开图的总面积 = 几何体的表面积 正方体：S = 6a2（a 为棱长） 长方体：S = 2(ab+bc+ac)(a,b,c为长宽高） 圆柱：S = 2π2 + 2πrh（r 底面半径，h 高） 2. 体积计算 正方体：V = a3 长方体：V = abc 圆柱：V = πr2 h 圆锥：V =πr2 h 知识点07:平面图形与七巧板 1. 平面图形识别 认识线段、角、三角形、四边形、圆等基本平面图形 区分直线、曲线，平面与曲面 2. 用七巧板拼图形 七巧板由 5 个三角形、1 个正方形、1 个平行四边形组成 可拼出多种几何图形、生活图案，锻炼图形组合与空间想象 知识点08:高频易错点汇总 易错点 错误示例 正确结论 展开图判断 田字格图形可折成正方体 田字、凹字、一线超 4 个均无效 相对面判断 相邻面是相对面 相间或 “Z” 端才是相对面 截面认知 正方体可截出直角三角形 正方体截面三角形只能是锐角 圆柱展开图 长方形宽 = 底面直径 长方形长 = 底面圆周长，宽 = 高 三视图画图 主、俯视图长度不一致 必须遵守 “长对正、 题型一：几何体展开图的认识 1．如图是一个几何体的表面展开图，该几何体是______． 2．下列图形是三棱柱的展开图的是（   ） A． B． C． D． 3．右图是亮亮制作的一个几何体的展开图，将其经过折叠可以围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 4．一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面形状是（    ） A．圆形 B．正方形 C．三角形 D．六边形 题型二：由展开图计算几何体的表面积 5．如图，一个正方体展开图的6个面上分别写着“唐”“诗”“里”“的”“中”“国”．与“唐”相对面上的字是“( )”．如果这个正方体的棱长是，那么这个正方体的表面积是( )． 6．一个六棱柱模型如图所示，它的底面边长都是，侧棱长是，该六棱柱的侧面积之和是（    ）．    A．120 B．20 C．100 D．150 7．如图是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，若将它的侧面展开，展开后得到的图形的面积为___________．（结果保留π）． 8．如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 题型三：由展开图计算几何体的体积 9．把长和宽分别为和的矩形纸片卷成一个圆柱状，则这个圆柱的体积为_________． 10．如图所示的是一个长方体的表面展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是______． 11．如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 12．图1为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图2所示．从图1展开至图2，一共剪开了________条棱；若被剪开的棱的棱长和为，则四棱柱体积为________． 题型四：正方体几种展开图的识别 13．下列图形经过折叠，可以得到一个正方体的是（     ） A． B． C．D． 14．如图，把正方体纸盒沿某些棱剪开后展成平面图形，则原来与点重合的顶点是点________． 15．图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型五：正方体相对两面上的字 16．如图是写有科技文化节主题的一个小正方体的展开图，把它叠成小正方体后，与写有“科”字的面相对的面上的字是（    ） A．引 B．领 C．未 D．来 17．正方体表面的展开图如图所示，将它折叠成正方体后，与“3”面相对的面的数字是______． 18．用硬卡纸做一个骰子，使该骰子的任意两个相对面的点数之和均为7，其表面的展开图如图所示，下列判断正确的是（     ） A．点数为2的面的相对面是A面 B．B面的点数为3 C．C面的点数为6 D．A，C两个面的点数之和为9 19．把正方体的六个面分别写上“青、山、绿、水、长、流”六个字，将上述完全相同的四个正方体拼成一个水平放置的长方体，如图所示，则正方体中与“长”字所在面相对的面上的字是（   ） A．绿 B．水 C．青 D．山 题型六：含图案的正方体的展开图 20．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（       ） A． B． C． D． 21．李红在学完正方体的表面展开图后，将一个无盖的粉笔盒展开，得到如图所示的平面图形，则粉笔盒的底面是（     ） A．A面 B．B面 C．C面 D．D面 22．如图表示一个无盖的正方体纸盒，它的下底面标有字母“”，沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，这个平面展开图是（     ） A． B． C． D． 题型七：求展开图上两点折叠后的距离 23．如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是______． 24．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 25．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型八：补一个面使图形围成正方体 26．如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 27．2025年3月26日，我国成功发射天链二号04星，小琪准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“04”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在______处（填序号）． 28．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型九：从不同方向看几何体 29．观察如图所示的几何体，从正面看到的图形是（     ） A． B． C． D． 30．一个几何体是由若干个大小相同的小立方块拼成，小军分别从它的前面、左面、上面观察看到的形状图如下，这个几何体是由________个小立方块搭成的． 31．如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则小立方块的个数可能是（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 解答题 32．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 33．如图，这是一个缺少一个面的正方体纸盒的表面展开图． (1)在图中补上缺少的这个面，使得折叠后能围成一个正方体． (2)请把分别填入没有填数的三个正方形和（1）中所补的一个正方形中，使得折叠成正方体后，相对的面上的两个数的和都等于． 34．图1是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色． (1)图2是该纸盒的展开图，请将涂色部分在图2中补充完整． (2)如果正方体纸盒的棱长是4分米，求涂色部分的面积． 35．【问题情境】 某综合实践小组在学习了“展开与折叠”后，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在图1所展示的图形中，属于正方体表面展开图的是___________．（只填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同的长方体纸盒（图2为无盖的长方体纸盒，图3为有盖的长方体纸盒）． ①制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体纸盒的底面周长； ②制作一个如图3所示的有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体的体积． 36．小明在家用剪刀剪开了一个底面是正方形的长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分如图所示． 根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明想将剪断的纸条重新粘贴到一起，而且经过折叠以后，仍然可以还原成原来的长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到图中的什么位置？请你帮助小明在图上补全．（一种情况即可） (2)已知这个长方体纸盒高为，所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10转化与表达复习讲义 1.体会转化思想，能把立体图形问题转化为平面图形来研究，看懂展开图。 2.能识别常见几何体的展开图，会判断展开图还原后对应的立体图形。 3.掌握正方体展开图的类型，能快速判断哪些图形可以折成正方体，找到相对面。 4.会根据立体图形画出展开图，也能根据展开图想象复原立体图形。 5.会用图形、文字、符号三种方式表达几何信息，实现三者之间互相转化。 6.能解决和展开图相关的简单计算，比如棱长、周长、面积计算。 7.分清易错点：注意折叠时面的位置，区分不能围成正方体的陷阱图形。 题型 考察方向 难度 题型一 几何体展开图的认识 ★ 题型二 由展开图计算几何体的表面积 ★★ 题型三 由展开图计算几何体的体积 ★★ 题型四 正方体几种展开图的识别 ★ 题型五 正方体相对两面上的字 ★★ 题型六 含图案的正方体的展开图 ★★ 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 ★★★ 题型八 补一个面使图形围成正方体 ★★ 题型九 从不同方向看几何体 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:截面基础概念 用一个平面去截一个几何体，截出的平面图形叫做截面；截面的形状由几何体本身形状和平面截取的角度、位置共同决定。 核心重点：平面截正方体 正方体共 6 个平面，平面每接触 1 个面，截面就多出 1 条边，因此截面最多为六边形。 截取平面接触正方体面的个数 对应截面形状 截取说明 3 个面 锐角三角形 平面经过正方体三个顶点截取，无法截出直角、钝角三角形 4 个面 正方形、长方形、平行四边形、梯形 平行于面截取得正方形 / 长方形；斜着截上下两条对边得梯形 5 个面 五边形 平面同时穿过正方体 5 个面 6 个面 六边形 平面均匀穿过正方体全部 6 个面 知识点 02 从三个方向看物体的形状 1、一般地，我们从正面、左面（或右面）和上面三个方向观察同一物体。（如上图） 2.画从三个方向看到的形状图 画从三个方向看小立方块的组合体的形状图的方法： 确定从三个方向看到的组合体的行数或列数； 确定每行或每列中小正方形的个数； 根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图。 （1）正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数。 （2）左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数。 （3）上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数。 知识点03:立体图形的表面展开图 1. 展开图定义 将立体图形的表面沿棱剪开，平铺在同一平面上得到的平面图形，称为立体图形的展开图；同一个立体图形沿不同棱剪开，展开图样式不唯一。 2. 常见基础几何体标准展开图 长方体 / 正方体：6 个长方形（正方体为 6 个完全相同正方形）； 圆柱：2 个全等圆形 + 1 个长方形；长方形的长 = 底面圆周长，宽 = 圆柱的高； 圆锥：1 个圆形 + 1 个扇形；扇形弧长 = 底面圆周长； n 棱柱：2 个全等 n 边形 + n 个长方形。 知识点04:正方体 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可得到11 种不同的展开图。 把它归为四类： 一四一型：有 6 种；二三一型（一三二型）：有 3 种； 三三型：有 1 种；二二二型：有 1 种。 知识点05：几何体的截面 知识点06:由展开图计算几何体的表面积与体积 1. 表面积计算 展开图的总面积 = 几何体的表面积 正方体：S = 6a2（a 为棱长） 长方体：S = 2(ab+bc+ac)(a,b,c为长宽高） 圆柱：S = 2π2 + 2πrh（r 底面半径，h 高） 2. 体积计算 正方体：V = a3 长方体：V = abc 圆柱：V = πr2 h 圆锥：V =πr2 h 知识点07:平面图形与七巧板 1. 平面图形识别 认识线段、角、三角形、四边形、圆等基本平面图形 区分直线、曲线，平面与曲面 2. 用七巧板拼图形 七巧板由 5 个三角形、1 个正方形、1 个平行四边形组成 可拼出多种几何图形、生活图案，锻炼图形组合与空间想象 知识点08:高频易错点汇总 易错点 错误示例 正确结论 展开图判断 田字格图形可折成正方体 田字、凹字、一线超 4 个均无效 相对面判断 相邻面是相对面 相间或 “Z” 端才是相对面 截面认知 正方体可截出直角三角形 正方体截面三角形只能是锐角 圆柱展开图 长方形宽 = 底面直径 长方形长 = 底面圆周长，宽 = 高 三视图画图 主、俯视图长度不一致 必须遵守 “长对正、 题型一：几何体展开图的认识 1．如图是一个几何体的表面展开图，该几何体是______． 【答案】三棱柱 【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有5个面，两个三角形为底面，3个长方形为侧面， 因此该几何体是三棱柱． 2．下列图形是三棱柱的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案． 【详解】解：A．选项是圆锥展开图，不符合题意； B．选项是正方体的展开图，不符合题意； C．选项是圆柱的展开图，不符合题意； D．选项是三棱柱的展开图，符合题意； 3．右图是亮亮制作的一个几何体的展开图，将其经过折叠可以围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图确定立体图形是解题的关键； 根据几何体的展开图确定立体图形，即可求解； 【详解】解：根据亮亮制作的一个几何体的展开图，可以看到底面为三角形，侧面为长方形，可以围成的几何体为三棱柱； 故选：B 4．一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面形状是（    ） A．圆形 B．正方形 C．三角形 D．六边形 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的侧面展开图，熟悉常见几何体的侧面展开图是解题的关键．根据侧面展开图可以判断此几何体为三棱柱，然后得出结论即可． 【详解】解：由这个几何体的侧面展开图得：这个几何体是三棱柱， 所以该几何体的底面形状是三角形， 故选：C． 题型二：由展开图计算几何体的表面积 5．如图，一个正方体展开图的6个面上分别写着“唐”“诗”“里”“的”“中”“国”．与“唐”相对面上的字是“( )”．如果这个正方体的棱长是，那么这个正方体的表面积是( )． 【答案】 的 【分析】根据正方体相对面的特征和正方体的表面积公式进行解答即可． 【详解】解：“唐”“诗”“里”“的”“中”“国”．与“唐”相对面上的字是“的”， 如果这个正方体的棱长是，那么这个正方体的表面积是． 6．一个六棱柱模型如图所示，它的底面边长都是，侧棱长是，该六棱柱的侧面积之和是（    ）．    A．120 B．20 C．100 D．150 【答案】A 【分析】侧面展开图是长方形长为30，宽为4，求出长方形的面积即可； 【详解】解：侧面积为：()； 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的侧面积，解题的关键是学会把立体图形转化为平面图形，属于中考常考题型． 7．如图是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，若将它的侧面展开，展开后得到的图形的面积为___________．（结果保留π）． 【答案】 【分析】由题意可得此几何体为圆柱，其侧面展开图为矩形，一边为圆柱的高，另一边为底面圆的周长，代入矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意得，此几何体为圆柱，侧面展开图为矩形， 其中一边长为，另一边长为， 矩形的面积为． 8．如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方体和长方体的体积和表面展开图的面积， 如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，得到，根据这两个长方体的体积之比为列式得到，，然后分别表示出两个长方体的表面展开图的面积求解即可． 【详解】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 题型三：由展开图计算几何体的体积 9．把长和宽分别为和的矩形纸片卷成一个圆柱状，则这个圆柱的体积为_________． 【答案】或 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，考查圆柱的体积，分两种情况：一种是以为底面周长，另一种是以为底面周长，先利用圆的周长公式求半径，再求圆柱的体积． 【详解】解：有两种卷绕方式， 一种是以为底面周长，则半径， 这个圆柱的体积为：； 另一种是以为底面周长，则半径， 这个圆柱的体积为：． 综上所述，这个圆柱的体积为或． 故答案为：或． 10．如图所示的是一个长方体的表面展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是______． 【答案】 【分析】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握长方体的表面展开图的特点是解题关键．先根据长方体的表面展开图求出原长方体的长、宽、高，再利用长方体的体积公式计算即可得． 【详解】解：由图可知，原长方体的宽为，长为，高为， 则原长方体的体积是， 故答案为：． 11．如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键；设底面正方形的边长为，根据图示中的相关数据列出方程，求出，再根据长方体的体积求解即可． 【详解】解：设底面正方形的边长为， 由图可得， 解得， 则， ∴长方体的体积为， 故选：D． 12．图1为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图2所示．从图1展开至图2，一共剪开了________条棱；若被剪开的棱的棱长和为，则四棱柱体积为________． 【答案】 7 /128立方厘米 【分析】根据总棱数为12，展开图相连的还有5条棱，得出剪开的是7条棱即可；根据题中数据求出原四棱柱的高即可得出原四棱柱的体积． 【详解】解：∵四棱柱共12条棱，展开图相连的还有5条棱， ∴一共剪开了7条棱； 由题意得，四棱柱的高为， 体积为， ∴这个四棱柱的体积是． 题型四：正方体几种展开图的识别 13．下列图形经过折叠，可以得到一个正方体的是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题即可． 【详解】解：选项A、B、D经过折叠均不能围成正方体；选项C能围成正方体． 14．如图，把正方体纸盒沿某些棱剪开后展成平面图形，则原来与点重合的顶点是点________． 【答案】F 【分析】根据展开图，先确定相对面，进而确定相邻面，即可得出重合顶点． 【详解】解：如图，1和5是相对面，2和4是相对面，3和6是相对面，故原来与点重合的顶点是点． 15．图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】利用正方体展开图的模型逐个判断即可． 【详解】解：对于（1），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（2），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（3），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（4），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（5），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（6），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（7），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（8），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 综上，是正方体展开图的一共有5个． 题型五：正方体相对两面上的字 16．如图是写有科技文化节主题的一个小正方体的展开图，把它叠成小正方体后，与写有“科”字的面相对的面上的字是（    ） A．引 B．领 C．未 D．来 【答案】B 【详解】解：由展开图可知，与写有“科”字的面相对的面上的字是领． 17．正方体表面的展开图如图所示，将它折叠成正方体后，与“3”面相对的面的数字是______． 【答案】5 【详解】解：与“3”面相对的面的数字是“5”． 18．用硬卡纸做一个骰子，使该骰子的任意两个相对面的点数之和均为7，其表面的展开图如图所示，下列判断正确的是（     ） A．点数为2的面的相对面是A面 B．B面的点数为3 C．C面的点数为6 D．A，C两个面的点数之和为9 【答案】D 【详解】解：由图可知：点数的对面是面，故的点数为， 故A选项，B选项均错误； 点数的对面是面，故的点数为， 故C选项错误； 点数1的对面是面，故的点数为； ∴，两个面的点数和为， 故D选项正确． 19．把正方体的六个面分别写上“青、山、绿、水、长、流”六个字，将上述完全相同的四个正方体拼成一个水平放置的长方体，如图所示，则正方体中与“长”字所在面相对的面上的字是（   ） A．绿 B．水 C．青 D．山 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，解题关键是熟练掌握正方体的六个面中，任一个面有四个相邻面，只一个相对面，从相邻面入手分析即得相对面． 以“水”字为突破口，“水”字与“绿”字、“山”字、“青”字、“长”字相邻，所以“水”字与“流”字相对；所以“山”字与“流”字相邻，另“山”字与“水”字、“绿”字、“青”字相邻，得“山”字与“长”字相对．即得答案． 【详解】解：由最右边的3个正方体可知： “水”字与“绿”字、“山”字、“青”字、“长”字相邻， ∴“水”字与“流”字相对； ∴“山”字与“流”字相邻， ∵“山”字与“水”字、“绿”字、“青”字相邻， ∴“山”字与“长”字相对． 即与“长”字所在面相对的面上的字是“山”字． 故答案为：D． 题型六：含图案的正方体的展开图 20．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方体的展开图的认识，根据带图案的三个面相交于一点可得答案． 【详解】解：由原正方体可知，带图案的三个面相交于一点，A、B、D都不符合题意，C符合题意. 故选：C． 21．李红在学完正方体的表面展开图后，将一个无盖的粉笔盒展开，得到如图所示的平面图形，则粉笔盒的底面是（     ） A．A面 B．B面 C．C面 D．D面 【答案】B 【详解】解：根据正方体展开图的特点可知A与D相对，C与空白相对，由于无盖，那么B就是底面． 22．如图表示一个无盖的正方体纸盒，它的下底面标有字母“”，沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，这个平面展开图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为正方体是无盖纸盒，所以标有字母“”的面没有对面，首先排除A、B选项，根据剪开的粗线可以看出底面与侧面的从左边数第个正方形相连，可以排除D选项． 【详解】解：由无盖正方体纸盒可知，标有字母“”的面没有对面， A选项：标有字母“”的面有对面，故A选项不符合题意； B选项：标有字母“”的面有对面，故B选项不符合题意； C选项：标有字母“”的面没有对面，且根据剪开的粗线可以看出底面与侧面的从左边数第个正方形相连，故C选项符合题意； D选项：标有字母“”的面没有对面，且根据剪开的粗线可以看出底面与侧面的从左边数第个正方形相连，但是D选项中标有字母“”的面与左边第个正方形相连，故D选项不符合题意． 题型七：求展开图上两点折叠后的距离 23．如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是______． 【答案】2 【分析】将图1折成正方体，然后判断出在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离． 【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键． 24．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4． 25．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 题型八：补一个面使图形围成正方体 26．如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据正方体的展开图得出结论即可． 【详解】解：在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体的情况如下：    共有4种添法， 故选：B 【点睛】本题主要考查正方体的展开图，根据正方体的展开图得出结论是解题的关键． 27．2025年3月26日，我国成功发射天链二号04星，小琪准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“04”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在______处（填序号）． 【答案】 【分析】根据正方体展开图的特征，展开图中不能出现“田”字形结构，观察图形中各位置补充后的形状进行判断． 【详解】解： ∵正方体的表面展开图中不能出现“田”字形结构， ∴若将正方形补充在②处，则“天”“②”“链”“二”四个正方形组成“田”字形， ∴该正方形不能补充在②处， 而补充在①、③、④处均能折叠成正方体． 28．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 题型九：从不同方向看几何体 29．观察如图所示的几何体，从正面看到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体从正面观察即可求出答案． 【详解】解：从正面看有3个正方形，左边第一排2个，第二排1个，如图所示， ． 30．一个几何体是由若干个大小相同的小立方块拼成，小军分别从它的前面、左面、上面观察看到的形状图如下，这个几何体是由________个小立方块搭成的． 【答案】8 【分析】上面看定位置，左边看和前面看定数量. 【详解】解：如图，共有个小立方块搭成的． 31．如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则小立方块的个数可能是（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】根据从上面看到的图形确定底层小立方块的个数及前后排分布，结合左视图确定几何体的层数及前后排的最大高度，进而推断第二层小立方块的数量范围，即可得出答案． 【详解】解：由从上面看到的图形可知，最底层有4个小立方块，分布为后排1个，前排3个， 由从左面看到的图形可知，该几何体共有层，且后排最高为1层，前排最高为2层， ∴后排位置只能有个小立方块，前排个位置中，至少有个位置叠放层，最多个位置叠放层， 若前排只有1个位置叠放层，则总数为， 若前排有个位置叠放层，则总数为， 若前排个位置都叠放层，则总数为， ∴小立方块的个数可能是或或． 解答题 32．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】 【分析】正面看：从上面看的图可知横向分为3列，取每一列数字的最大值作为该列小正方形层数；左面看：从上面看的图可知纵向分为3行，取每一行数字的最大值作为该列小正方形层数，据此即可解答． 【详解】略 33．如图，这是一个缺少一个面的正方体纸盒的表面展开图． (1)在图中补上缺少的这个面，使得折叠后能围成一个正方体． (2)请把分别填入没有填数的三个正方形和（1）中所补的一个正方形中，使得折叠成正方体后，相对的面上的两个数的和都等于． 【答案】(1)如图所示，补在标有①或②或③或④的位置上都对． (2)如图所示． 【分析】（1）根据正方体平面展开图的规律，画出图形即可； （2）根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，可得：和相对，和相对，从而可得和相对，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 34．图1是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色． (1)图2是该纸盒的展开图，请将涂色部分在图2中补充完整． (2)如果正方体纸盒的棱长是4分米，求涂色部分的面积． 【答案】(1) 如图所示： (2)48 【分析】此题考查了几何体的展开图，掌握立体和平面的关系及矩形的面积公式是解题的关键， （1）根据几何体的展开图求解； （2）根据矩形的面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）（平方分米）． 35．【问题情境】 某综合实践小组在学习了“展开与折叠”后，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在图1所展示的图形中，属于正方体表面展开图的是___________．（只填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同的长方体纸盒（图2为无盖的长方体纸盒，图3为有盖的长方体纸盒）． ①制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体纸盒的底面周长； ②制作一个如图3所示的有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体的体积． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）根据正方体四类展开图的特征判断，①是型、③是型，符合正方体展开图，其余折叠后面重叠，不能围成正方体． （2）①用原正方形边长减去两边剪去的，得到底面边长，再用正方形周长公式边长乘4算出底面周长．②长方体高为，长由减去两个得到，宽由算出，代入体积公式长宽高求得体积． 【详解】（1）解：正方体展开图有“”、“”、“”、“”四种类型， 图①是型，图③是型，②④⑤折叠后会出现面重叠，不能围成正方体． 所以属于正方体表面展开图的是． （2）解：①∵原正方形纸板边长为，四角剪去边长的小正方形 ∴底面正方形边长为 底面周长为 答：无盖长方体纸盒底面周长是； ②由题意可知，长方体纸盒的高是， 长方体的长为 长方体的宽为 长方体体积=长×宽×高 答：有盖长方体纸盒体积是． 36．小明在家用剪刀剪开了一个底面是正方形的长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分如图所示． 根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明想将剪断的纸条重新粘贴到一起，而且经过折叠以后，仍然可以还原成原来的长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到图中的什么位置？请你帮助小明在图上补全．（一种情况即可） (2)已知这个长方体纸盒高为，所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据长方体展开图的特征将剪断的纸条粘贴到①中在图上补全即可； （2）设底面的边长为，根据棱长的和是，列方程可求出底面的边长，即可求出长方体纸盒的体积． 【详解】（1）略 （2）解：设底面的边长为， ∵长方体纸盒的底面是一个正方形，长方体纸盒高为， 则可得， 解得， 即底面的边长为， 所以这个长方体纸盒的体积为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $