专题12直线.射线.线段知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题12直线射线.线段知题通关讲义 知识梳理 定义 两点之间直的部分 用两个端点字母表示 线段 表示方法 射线端点混清 用小写字母表示 高频易错点 直线表示不规范 有两个端点 特征 有长度可度量 图形识别与表示 线段射线直线区分 高频考点 不能延伸 定义 从一点向一方无限延伸 两点确定直线应用 有一个公共点 相交 射线 表示方法用端点和射线上一点字母表示 两线位置关系 线段、射线、直线 有一个端点 没有公共点 平行 特征 向一方无限延伸 点在线上 点与线的位置关系 不可度量长度 点在线外 定义 向两方无限延伸 两点确定一条直线 基本事实 用两个点字母表示 两点之间线段最短 直线 表示方法 用小写字母表示 没有端点 特征 向两方无限延伸 不可度量长度 知识点01直线射线线段 一.直线 1.直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说 成，两点确定一条直线。 2.直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺 序，也可以用一个小写字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写 字母或一大一小写两字母来表示。 试卷第1页（共3页） 3.当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共 点叫作它们的交点。 4直线没有端点，没有长度，不可度量。“延长直线”的说法是错误 的。 二。射线 1.与直线的表示类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的两个 大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。 2射线只有一个端点，没有长度，不可度量。“延长射线AB”的说法是 错误的，但可以说“反向延长射线AB”。 A B 三.线段 1.线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一 个小写字母来表示。图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a。 a 2线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之 试卷第2页（共3页） 间，线段最短。 四.线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 E F C D A B 表示 线段EF或线段FE或线段/ 射线CD 直线AB或直线BA或直线/ 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 区别 延伸 不可以延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的：线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线 知识点02：核心性质·必考考点 1.直线的基本性质（两点确定一条直线） 核心结论：经过两点，有且只有一条直线(“有”表示存在，“只有” 表示唯一)。 通俗理解：两个点能固定一条直线，不能画出两条不同的直线。 生活应用：钉木板时，钉两个钉子就能固定木板；建筑工人砌墙时，两 点拉一条线，保证墙体笔直。 2.线段的基本性质（两点之间，线段最短) 试卷第3页（共3页） 核心结论：两点之间，线段的长度最短，这条线段的长度叫做两点之间 的距离。 通俗理解：从A点到B点，走直线（线段）最近，绕路（曲线、折 线)都更远。 生活应用：过马路走人行横道（线段），不绕路；从家到学校，走直线 距离最近。 第一种：曲线 第二种：线段 2义N 第三种：折线 知识点03：线段的相关运算（基础必会） 1.线段的比较方法（两种，简单易懂） 度量法：用直尺测量两条线段的长度，直接比较大小（单位要统一）。 叠合法：把两条线段的一个端点重合，看另一个端点的位置，判断长 短。 2.线段的和与差 试卷第4页（共3页） 和：把两条线段首尾顺次连接，组成的新线段长度=两条线段长度之 和。 差：用较长的线段减去较短的线段，得到的线段长度=两条线段长度之 差。 如图，已知两条线段m和n,且m>n.如图①，在直线l上画 线段AB=m,BC=n,则线段AC就是线段m与n的和，即 AC=m十n;如图②，在直线上画线段AB=m,在AB上画线 段AD=n,则线段BD就是线段m与n的差，即BD=m -n. m n B 一D B 图① 图② 3.线段的中点（高频考点） 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 核心结论：若点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB(AB=2AC= 2CB)。 简单理解：中点就是线段的“正中间”，把线段分成两段一样长的部 分。 试卷第5页（共3页） >线段中点定义 图形语言： A 几何推理： .·点C是线段AB的中点 .AC=BC AC-1AB.BC=1AB 2 2 AB=2AC.AB=2BC 知识点04线段的和、差、作图（尺规作图） b B 1.线段和差几何表达 在线段AC上取一点B: AB+BC=AC:AC-AB=BC:AC-BC=AB 2.尺规作图：作一条线段等于已知线段 标准步骤： 画一条射线AP: 用圆规量取已知线段a的长度； 在射线AP上截取AB=a,线段AB即为所求。 试卷第6页（共3页） 知识点05直线、射线、线段计数规律 (n-1 直线计数：平面内n个点，无三点共线，可画 2 一条直线： 射线计数：直线上有n个点，每个点分出2条射线，共2n条射线： 线段计数：线段上有n个端点（含两端），线段总条数nn,山 2 知识点06点与直线的位置关系 点在直线上（直线经过点）； 点在直线外（直线不经过点）。 2 高频易错点 1、直线、射线、线段概念辨识错误 易错提醒：直线无端点，向两方无限延伸，不可度量；射线仅有一个端 点，向一方无限延伸，不可度量；线段有两个端点，可以度量长度；直 线与射线不存在确定长度，三者之间不能比较长短。 2、直线与射线的符号表示方法错误 易错提醒：用两个大写字母表示直线，字母顺序不受限制；表示射线 时，端点字母必须写在首位；射线AB和射线BA端点或者延伸方向不一 致，不属于同一条射线。 3、两点确定一条直线的结论理解错误 试卷第7页（共3页） 易错提醒：经过两点有且只有一条直线；经过一点可以作无数条直线： 该结论针对直线，不能错误迁移为两点只能确定一条线段或者一条射 线。 4、直线上射线数量计数错误 易错提醒：直线上每一个点对应两条不同延伸方向的射线；判定射线是 否相同需要同时核对端点以及延伸方向；端点相同、延伸方向不同，则 为两条不同射线。 5、线段中点判定条件理解不完整 易错提醒：若M为线段AB的中点，则AM=MB-AB;判定中点必须同 时满足两个条件：点M落在线段AB上，且AM=MB;仅AM=MB,点 M有可能位于线段外侧，不能直接判定为中点。 6、线段长度计算未对点的位置分类讨论导致漏解 易错提醒：题干未明确点在线段上还是线段延长线上时，需要分类讨 论：该点可以位于线段内部，也可以位于线段的延长线上：直接默认点 在线段内部，会造成答案遗漏。 7、两点之间线段最短命题文字表述错误 易错提醒：正确结论为两点之间，线段最短：不能写为“两点之间直线 最短”；该结论用于判断两点之间路径的最小长度。 8、长短比较对象判定错误 易错提醒：只有可以度量的线段能够比较长短：直线、射线无法度量， 不可以进行大小比较：不能出现直线长于线段这类判断。 试卷第8页（共3页） 9、几何作图语句书写不规范 易错提醒：“连接AB”代表绘制线段AB；直线、射线不存在固定长 度，作图时不能限定直线、射线的长度：区分线段、直线、射线对应的 作图描述。 题型通关 题型 考察方向 难度 ★★ 题型一 直线、线段、射线的数量问 题型二 直线相交的交点个数问题 ★ 题型三 线段的应用 题型四 直线、射线、线段的联系与区别 题型五 画出直线、射线、线段 题型六 点与线的位置关系 题型七 两点确定一条直线 ★★ 题型八 线段的和与差 ★★ 题型九 线段中点的有关计算 ★★ 题型十 线段n等分点的有关计算 ★★ 题型十一 线段之间的数量关系 ★★★ 题型十二 与线段有关的动点问题 试卷第9页（共3页） 题型十三 两点之间线段最短 题型十四 两点间的距离 ★★★ 题型十五 最短路径问题 题型十六 作线段 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 分题型精讲 题型一直线、线段、射线的数量问题 1.数一数，如图中一共有()条线段. A B C D E A.4 B.8 C.10 D.9 2.往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作 张车票 3.如图有a条直线，b条射线，c条线段，则a+b-c= 题型二直线相交的交点个数问题 4.平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是() A.6个 B.3个 C.4个 D.5个 5.平面内五条直线两两相交，最多有x个交点，最少有y个交点，则x+y= 6.平面上的n条直线恰有2011个交点，则n的最小值为 试卷第10页（共3页） 题型三线段的应用 7.已知线段AB=3,那么满足AP+BP=3的点P的轨迹是 8.图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是( D ●C E B A.OF的长 B.OE的长 C.OD的长 D.OC的 长 9.2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时 间仅需1小时32分.如图，AE为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车 站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制()种车票. A B C DE A.10 B.11 C.20 D.22 题型四直线、射线、线段的联系与区别 10.下列图形中，表示“射线”的是() A B C. 6 D ! 11.下列关于直线、射线、线段的描述中，正确的是() A.延长射线OA到点B B.线段AB就是点A到点B之间的距 离 C.经过两点有且只有一条直线 D,一条直线由两条射线组成 12.如图，下列表述不正确的是() 试卷第11页（共3页） B A.线段BC和射线AC都是直线AB的一部分B.点D在直线AB上 C.直线AC和直线BD相交于点B D.直线BD不经过点C 题型五画出直线、射线、线段 13.下列画图表述不正确的是() A.在线段AB上取点C,使得AC=2BC B.在线段AB的延长线上取点C,使得AC=2AB C.在线段AB的延长线上取点C,使得BC=2AB D.在线段BA的延长线上取点C,使得AC=2BC 14.如图，点C为直线AB外一点，作射线AC,连接BC.则图中共含有射线 条 A B 15.下列句子中正确的是() A.延长直线AB,使它与直线CD相交于点P B.OA是∠AOB的一边，在OA的延长线上取一点C C.若AB=BC,则点C为线段AB的中点 D.·直线AB与CD相交有且只有一个交点 题型六点与线的位置关系 16.如图所示的正方形网格的格点中，与点P,Q在同一条直线上的是() A.点A B.点B C.点C D.点D 试卷第12页（共3页） 17,根据语句“直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M”,画出的图 形正确的是() M M D 18.若线段AP,BP,AB满足AP+BP>AB,则关于P点的位置，下列说法正确的是() A.P点一定在直线AB上 B.P点一定在直线AB外 C.P点一定在线段AB上 D.P点一定在线段AB外 题型七两点确定一条直线 19.如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨 线，能解释这一实际应用的数学知识是() A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短 C.垂线段最短 D.点动成线 20.2025年6月15日“爽爽贵阳，生态领跑”为主题的马拉松超级联赛在贵阳举办，工作 人员将冠军冲刺彩带的两端固定在赛道终点两侧的立柱上并拉直，运动员全力冲刺，最先 触碰到彩带者获胜（如图）这样设置终点线所依据的数学原理是() A.两点之间线段最短 B.点动成线 C.两点确定一条直线 D.过一点可以作无数条直线 21.平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接 试卷第13页（共3页） 这些点所成的直线共有」 条 题型八线段的和与差 22如图，点c在线段4B的延长线上，MB=6,BC 3AB,点M是线段4C的中点， 3 则线段AM的长为， A M B C 23.如图，己知MN是AB上的两点，且AB=3MN=m,那么线段AB上所有线段长的 和为 (用m的代数式表示) M N B 24.如图，有公共端点P的两条线段PM,PN组成一条折线M-P-N,若该折线 M-P-N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折 中点”，已知D是折线A-C-B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD=l,CE=4,则 线段BC的长为 题型九线段中点的有关计算 25.如图，点M、点C在线段AB上，M是线段AB的中点，AC=2BC,若MC=3,则 AB的长为() M C A.12 B.15 C.18 D.21 26.已知A,B,C三点在同一条直线上，若AB=I10cm,BC=6cm,点D是AC的中 点，则线段AD的长度为一 27.下面四个等式：@CE=DE:②DE=2CD;③CD=2CE:④cE=DE=DC, 试卷第14页（共3页） 其中能表示点E是线段CD的中点的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 28.如图，数轴上O,A两点的距离为24，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1 次跳动到40的中点处，第次从4点跳动到40的中点处，第3次从4点跳动到40 A A AO A 的中点处.按照这样的规律继续跳动到点， 44A。,A,n之3，n是整数) 2026 处，问经过这样 次跳动后的点 4如“与原点的距离是(） A 1 A.3× 22024 B 3x- 22023 C.3x1 022 D. 3× 1 22021 题型十线段n等分点的有关计算 29.已知点C是线段AB的二等分点，AB=16Cm,则BC的长度为() A.4cm B 8cm C.12cm D 16cm 30.点C是线段AB上的三等分点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，若CE= 6,则AB的长为 31.如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B处.将木棒 在数轴上水平移动，当MN的中点移动到点B时，点N所对应的数为17.5，当MN的右三 等分点移动到点A时，点M所对应的数为4.5，则木棒MN的长度为 M N A B 题型十一线段之间的数量关系 32.如图，己知线段AB,CD,小军同学进行如下操作：用圆规在线段CD上截取CM=AB 试卷第15页（共3页） ·则下列结论一定成立的是() A.AB=CD B.AB>CD C.CM=MD D AB<CD 33.如图，己知线段AB上有C,D两点，且AC:CD:DB=2:34,E,F分别为AC,BD 的中点 AEC D F B (1)若AB=18cm,则EF=cm: (2)若EF=2.4cm,则AB=_cm. 34.下列四种说法：①因为AM=MB,所以M是AB的中点；②在线段AM的延长线上取 一点B,如果AB=2AM,那么M是AB的中点；③因为M是AB的中点，所以 AM=MB=4B:④因为点AM:B在同一条直线上，且AM=BM,所以M是B 的中点其中说法正确的序号是() A.①③④ B.④ C.②③④ D.③④ 题型十二与线段有关的动点问题 35.数轴上的点A、B、C、D所表示的数如图所示，点M为线段AB的中点，线段AB 沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m个单位长度向左平移. 当点M和点C重合时同时停止运动、若在运动过程中始终满足3MC=DA,则m的值为 AM B C -1 3 6 14 36.如图，线段AB=20Cm,O是线段AB上的中点，P、Q是线段AB上的动点，点P沿 A→B→A以4cms的速度运动，点Q沿B→A以2cm/s的速度运动.若P、Q点同时运 动，当OP=O时，运动时间为(). 试卷第16页（共3页） P 0 B 5 10 A.0s、10s或3s B.0s、5s或3s 10.20 510 C.0s、35、3S或10s D.0s、5s38或3 37.己知长方形ABCD中，AB=CD=8,AD=BC=10,动点P从A点出发沿 A→B→C→D→A 以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点“出发以每秒3个单 位的速度沿A→D→C→B→A运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运 动. 设运动时间为秒. (1)当点Q到达终点时，点P在边； (2)当点P在边BC上运动时，用表示BP的式子为一： (3)点P、Q相遇时，t=秒. 题型十三两点之间线段最短 38.如图，这是嘉嘉和家人自驾游的导航线路，导航提供的路线为11.3km,但显示两地的 直线距离却是9.3km.能解释这一现象最合理的数学知识是 试卷第17页（共3页） 推荐路线：11.3km ●起点 终点 总长：9.3km 39.位于直线I上的线段AB=9cm,BC=6cm,则A、C两点间的距离是() A.3cm B.15cm C.3cm或15cm D.不能确 定 40.如图，在平面内，AB为线段，射线AM上有一点C到A的距离为7，N是平面内一 点，且始终保持AN=3BN,则BN+CW的最小值为， M B 题型十四两点间的距离 41.下列语句中，定义“两点间的距离”正确的是一（填序号). ①连接两点的线段； ②连接两点的直线： ③连接两点的线段的长度；④连接两点的直线的长度。 42.如图，己知线段AB=8cm,P是AB的中点，C、D分别是线段PA、PB上的点，且 AC=2PC,PD=2BD,则CD= cm A P D B 43.如图，在某个城市中，M、N两地之间有南北街道4条、东西街道3条，现要求沿图 中的街道，以最短的路程从M走到N，则不同的走法共有() 北 →东 试卷第18页（共3页） A.4种 B.6种 C.8种 D.10种 题型十五最短路径问题 44.如图所示，从甲到乙共有a,b,C三条路线，最短的路线是() a 甲 b 乙 A.a B.b C.c D.无法确 定 45.如图，小明从E处出发沿街道行走，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年 公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()条. A.18 B.16 C.12 D.9 46.如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村 庄的距离分别为AB=1千米，BC=3千米，CD=2千米，DE=1.5千米.乡村扶贫改造期 间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M,使得五个村庄到便民服务点的距离之和最 小，则这个最小值为 千米. B E 题型十六作线段 47.已知线段a,b,C,小明利用尺规作图画出线段AB,则线段AB=() 试卷第19页（共3页） A.2a+b-c B 3a-c C.3a+b-c D 2a-1.5c 48.已知线段a、b,画一条线段使它等于2b-a,并把画法补充完整 解：画射线」 在射线 上顺次截取！ 在线段 上截取 所以线段。 为所求的线段 b 49.下列关于作图的语句正确的是() A.作∠AOB的平分线OE=3Cm B.画直线AB=线段CD C.用直尺作三角形的高是尺规作图 D.已知A、B、C三点，过这三点不一定能画出一条直线 解答题 1.如图，已知直线1和直线外三点A,B,C,解决下列问题： C B A (1)根据要求画图：连接BC,画射线AB: (2)尺规作图：在BC的延长线上截取线段CD,使CD=BC；(要求：不写作法，保留作 图痕迹，并标出对应字母) (3)在直线I上找到一点E,使得AE+CE最小，并说明你的理由. 2.按要求作图，并回答问题： (1)若平面内有三个点，且不在同一直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ 试卷第20页（共3页） (2)若平面内有四个点，且每三点都不在同一条直线上，将每两个点进行连接，可以连成几 条线段？ (3)利用以上原理解决问题： 某趟高铁从起始点A市到终点E市会经过B,C,D三个站点，中途共停靠3次，每个站点 到A市的距离如表所示： 站点 B 36 与A市的距离（公里） 115 254 493 7 已知高铁的票价由路程决定，求共有几种不同的票价； (4)写出一个可以用以上问题中的原理解决的实际问题. 3.如图，点C为线段AB的中点，点MN在线段AB上，已知AM:MC=1:3, AM C N B A M C N B 备用图 (1)若AM=2cm,求线段AB的长： (2)若cN=5cm AB-4N,来线段的K 4.【探索新知】 如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC,若其中有一条线段的长 度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”· (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”：（填“是”或“不是”） 【深入研究】 如图2，若线段AB=40cm,点M从点B的位置开始，以每秒4cm的速度向点A运动，当 点M到达点A时停止运动，运动的时间为t秒 (2)问t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”； (3)同时点N从点A的位置开始，以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止. 请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值. A B (图1) (图2) 5.如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段AB=36, 且CA=2CB.动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点 试卷第21页（共3页） Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t 秒： A B (1)AC=,BC= (2)经过秒，点P、到点A的距离相等： (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当t= 时，PO相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当1= 时，AQ=3P9 试卷第22页（共3页） 专题12直线.射线.线段知题通关讲义 知识点 01 直线.射线.线段 一．直线 1.直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成，两点确定一条直线。 2.直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个小写字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大一小写两字母来表示。 3.当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点。 4.直线没有端点，没有长度，不可度量。“延长直线” 的说法是错误的。 二．射线 1.与直线的表示类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。 2.射线只有一个端点，没有长度，不可度量。“延长射线AB” 的说法是错误的，但可以说 “反向延长射线AB”。 三．线段 1.线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示。图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a。 2.线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。 四．线段、射线、直线的区别与联系 知识点02:核心性质・必考考点 1. 直线的基本性质（两点确定一条直线） 核心结论：经过两点，有且只有一条直线（“有” 表示存在，“只有” 表示唯一）。 通俗理解：两个点能固定一条直线，不能画出两条不同的直线。 生活应用：钉木板时，钉两个钉子就能固定木板；建筑工人砌墙时，两点拉一条线，保证墙体笔直。 2. 线段的基本性质（两点之间，线段最短） 核心结论：两点之间，线段的长度最短，这条线段的长度叫做两点之间的距离。 通俗理解：从 A 点到 B 点，走直线（线段）最近，绕路（曲线、折线）都更远。 生活应用：过马路走人行横道（线段），不绕路；从家到学校，走直线距离最近。 知识点03:线段的相关运算（基础必会） 1. 线段的比较方法（两种，简单易懂） 度量法：用直尺测量两条线段的长度，直接比较大小（单位要统一）。 叠合法：把两条线段的一个端点重合，看另一个端点的位置，判断长短。 2. 线段的和与差 和：把两条线段首尾顺次连接，组成的新线段长度 = 两条线段长度之和。 差：用较长的线段减去较短的线段，得到的线段长度 = 两条线段长度之差。 3. 线段的中点（高频考点） 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 核心结论：若点C是线段 AB 的中点，则 AC = CB = AB（AB = 2AC = 2CB）。 简单理解：中点就是线段的 “正中间”，把线段分成两段一样长的部分。 知识点 04 线段的和、差、作图（尺规作图） 1.线段和差几何表达 在线段AC上取一点B： AB+BC=AC；AC-AB=BC；AC-BC=AB。 2.尺规作图：作一条线段等于已知线段 标准步骤： 画一条射线AP； 用圆规量取已知线段a的长度； 在射线AP上截取AB=a，线段AB即为所求。 知识点 05 直线、射线、线段计数规律 直线计数：平面内n个点，无三点共线，可画条直线； 射线计数：直线上有n个点，每个点分出 2 条射线，共2n条射线； 线段计数：线段上有n个端点（含两端），线段总条数 = 知识点 06 点与直线的位置关系 点在直线上（直线经过点）； 点在直线外（直线不经过点）。 1、直线、射线、线段概念辨识错误 易错提醒：直线无端点，向两方无限延伸，不可度量；射线仅有一个端点，向一方无限延伸，不可度量；线段有两个端点，可以度量长度；直线与射线不存在确定长度，三者之间不能比较长短。 2、直线与射线的符号表示方法错误 易错提醒：用两个大写字母表示直线，字母顺序不受限制；表示射线时，端点字母必须写在首位；射线AB和射线BA端点或者延伸方向不一致，不属于同一条射线。 3、两点确定一条直线的结论理解错误 易错提醒：经过两点有且只有一条直线；经过一点可以作无数条直线；该结论针对直线，不能错误迁移为两点只能确定一条线段或者一条射线。 4、直线上射线数量计数错误 易错提醒：直线上每一个点对应两条不同延伸方向的射线；判定射线是否相同需要同时核对端点以及延伸方向；端点相同、延伸方向不同，则为两条不同射线。 5、线段中点判定条件理解不完整 易错提醒：若M为线段AB的中点，则AM=MB=AB；判定中点必须同时满足两个条件：点M落在线段AB上，且AM=MB；仅AM=MB，点M有可能位于线段外侧，不能直接判定为中点。 6、线段长度计算未对点的位置分类讨论导致漏解 易错提醒：题干未明确点在线段上还是线段延长线上时，需要分类讨论；该点可以位于线段内部，也可以位于线段的延长线上；直接默认点在线段内部，会造成答案遗漏。 7、两点之间线段最短命题文字表述错误 易错提醒：正确结论为两点之间，线段最短；不能写为“两点之间直线最短”；该结论用于判断两点之间路径的最小长度。 8、长短比较对象判定错误 易错提醒：只有可以度量的线段能够比较长短；直线、射线无法度量，不可以进行大小比较；不能出现直线长于线段这类判断。 9、几何作图语句书写不规范 易错提醒：“连接AB”代表绘制线段AB；直线、射线不存在固定长度，作图时不能限定直线、射线的长度；区分线段、直线、射线对应的作图描述。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、线段、射线的数量问 ★★ 题型二 直线相交的交点个数问题 ★★ 题型三 线段的应用 ★★ 题型四 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型五 画出直线、射线、线段 ★ 题型六 点与线的位置关系 ★ 题型七 两点确定一条直线 ★ 题型八 线段的和与差 ★★ 题型九 线段中点的有关计算 ★★ 题型十 线段 n 等分点的有关计算 ★★ 题型十一 线段之间的数量关系 ★★ 题型十二 与线段有关的动点问题 ★★★ 题型十三 两点之间线段最短 ★ 题型十四 两点间的距离 ★ 题型十五 最短路径问题 ★★★ 题型十六 作线段 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 直线、线段、射线的数量问题 1．数一数，如图中一共有（     ）条线段． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图中的线段有：，共条． 2．往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 【答案】20 【分析】本题考查线段计数的实际应用，将站点转化为线段上的点，先求出不同站点间的路线数量，结合车票往返不同计算总票数即可． 【详解】解：根据题意，将列车运行路线看作一条线段， 所有停靠站点看作线段上的点，运行途中停靠个站，加上起点甲和终点乙，总共有个站点， 不同站点间的路线总数为： ， 因为往返车票方向不同，属于不同车票，因此总车票数为： ． 3．如图有a条直线，b条射线，c条线段，则________． 【答案】1 【分析】根据直线、射线、线段的定义求出a、b、c，即可求解． 【详解】解：根据题意得：直线有，共1条，射线有，共6条，线段有，共6条， ∴， ∴． 题型二 直线相交的交点个数问题 4．平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（   ） A．6个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】要使交点最多，需保证任意两条直线不平行，任意三条直线不交于同一点，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵4条直线两两相交，要得到最多交点，需任意两条直线相交于不同点，任意三条直线不共点， ∴第一条直线与另外3条直线相交，得到3个交点， 第二条直线与剩余2条直线相交，新增2个交点， 第三条直线与剩余1条直线相交，新增1个交点， ∴总交点个数为个， 5．平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【答案】 【详解】解：平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， ． 6．平面上的条直线恰有2011个交点，则的最小值为________． 【答案】64 【分析】本题考查了直线的交点问题，熟练掌握 （，且为整数）条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点是解题的关键．由题意可得，再代入适当的值，计算即可得出结果． 【详解】解：∵（，且为整数）条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点， 由题意可得， 当时，最大交点数为， 当时，最大交点数为， ∴平面上的条直线恰有2011个交点时，的最小值为64， 故答案为：64． 题型三 线段的应用 7．已知线段，那么满足的点P的轨迹是_______． 【答案】线段 【分析】本题考查了点的轨迹．根据点的轨迹即可求解． 【详解】解：∵，， ∴点P的轨迹是线段． 故答案为：线段． 8．图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键． 连接，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知，， ∴表示她最好成绩的点是点，即该同学投掷铅球最好的成绩是的长． 故选：A． 9．2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了线段的应用；分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：， 故选：C． 题型四 直线、射线、线段的联系与区别 10．下列图形中，表示“射线”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了射线的定义，射线是只有一个端点，它从一个端点向另一边无限延长不可测量长度的线，据此求解即可． 【详解】解：表示“射线”的是： ． 故选：C． 11．下列关于直线、射线、线段的描述中，正确的是（   ） A．延长射线到点B B．线段就是点A到点B之间的距离 C．经过两点有且只有一条直线 D．一条直线由两条射线组成 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段的定义及基本性质，需根据相关概念逐一判断选项正误． 【详解】解：∵射线本身向方向无限延伸，无法延长，∴A选项错误； ∵线段是几何图形，点A到点B之间的距离是线段的长度（属于数量范畴），二者概念不同，∴B选项错误； ∵“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本事实（两点确定一条直线），∴C选项正确； ∵直线是向两方无限延伸的，不能表述为由两条射线组成，∴D选项错误． 故选：C． 12．如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查了线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线之间的关系是解题关键．根据线段、直线、射线之间的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、线段和射线都是直线的一部分，则此项正确，不符合题意； B、点不在直线上，则此项不正确，符合题意； C、直线和直线相交于点，则此项正确，不符合题意； D、直线不经过点，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 题型五 画出直线、射线、线段 13．下列画图表述不正确的是（   ） A．在线段上取点，使得 B．在线段的延长线上取点，使得 C．在线段的延长线上取点，使得 D．在线段的延长线上取点，使得 【答案】D 【分析】本题主要考查线段，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键；因此此题可根据线段的画法及和差关系可进行排除选项． 【详解】解：选项A：C在线段上，，则，点C存在，正确； 选项B：C在延长线上，，则，点C存在，正确； 选项C：C在延长线上，，则，点C存在，正确； 选项D：C在延长线上，则，所以，故不正确； 故选D． 14．如图，点为直线外一点，作射线，连接.则图中共含有射线________条. 【答案】6 【分析】根据射线的定义进行判断，即可得到射线的条数． 【详解】由图可得，图中共含有射线6条：以A为端点的射线有3条，以B为端点的射线有2条，以C为端点的射线有1条． 故答案为6． 【点睛】本题需要考查了射线的概念，解题时注意：射线只有一个端点，向一个方向无限延伸． 15．下列句子中正确的是（　　） A．.延长直线AB，使它与直线CD相交于点P B．.OA是∠AOB的一边，在OA的延长线上取一点C C．.若AB＝BC，则点C为线段AB的中点 D．.直线AB与CD相交有且只有一个交点 【答案】D 【分析】直线本身是向两方无限延长的，射线是向一方无限延长的，线段有两个端点，不是向两方无限延长的． 【详解】A、直线无法延长，直接利用直线相交得出即可；故不符合题意； B、延长∠AOB的一边OA，∠AOB的边是射线，射线能向一方无限延长，故不符合题意； C、若AB＝BC，则点C不一定是线段AB的中点，故不符合题意； D、直线AB与CD相交有且只有一个交点，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段的定义，正确把握相关定义是解题关键． 题型六 点与线的位置关系 16．如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【详解】解：由图可知：与点P，Q在同一条直线上的是点D． 17．根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画出直线、射线、线段，点与线的位置关系，根据题意画出的图形即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是， ， 故选：D． 18．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【答案】D 【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可． 【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误； B. 点在线段AB延长线上时，，故错误； C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误； D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断． 题型七 两点确定一条直线 19．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．点动成线 【答案】A 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线． 20．2025年6月15日“爽爽贵阳，生态领跑”为主题的马拉松超级联赛在贵阳举办，工作人员将冠军冲刺彩带的两端固定在赛道终点两侧的立柱上并拉直，运动员全力冲刺，最先触碰到彩带者获胜（如图）.这样设置终点线所依据的数学原理是（     ） A．两点之间线段最短 B．点动成线 C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线，根据题意彩带的两端固定在赛道两侧的立柱上，这两个固定点确定了一条唯一的直线即终点线，据此即可求解． 【详解】解：这样设置终点线所依据的数学原理是两点确定一条直线， 故选：C． 21．平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有__________________条． 【答案】170 【分析】此题主要考查了两点确定一条直线，解决问题的关键是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，再代入求值． 根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线…，依此类推找出规律：n个点最多确定（条）直线．据此即可解题． 【详解】解：平面内不同的2个点确定1条直线， 3个点最多确定3条，即； 4个点确定最多（条）直线； 则n个点最多确定（条）直线． 解法1：平面上20个点最多可连（条）直线，而平面上的7个点最多可连（条）直线，现四点共线，故有（条）． 解法2：由直线外的13个点分别与同一直线上的7个点连线可连（条），又13个点无三点共线，可连（条），再加上四点共线一条，一共是（条)． 故答案为：170． 题型八 线段的和与差 22．如图，点在线段的延长线上，，，点是线段的中点，则线段的长为________． 【答案】 【详解】解：∵点在线段的延长线上，，， ∴． ∵点是线段的中点， ∴． 23．如图，已知M，N是上的两点，且，那么线段上所有线段长的和为______．（用m的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查线段的计数，线段的和与差，由图可得，线段有、、、、、，共条，再求和即可得出结果，不重复不遗漏是关键． 【详解】解：由图可得，线段有、、、、、，共条， 线段上所有线段长的和为： ， ∵， ∴线段上所有线段长的和为， 故答案为：． 24．如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知是折线的“折中点”，为线段的中点，，则线段的长为______． 【答案】6或10/10或6 【分析】本题考查了两点间的距离，中点的定义，解决本题的关键是根据题意画出两个图形进行解答．根据题意分两种情况画图解答即可得出答案． 【详解】解：①如图，， 点是折线的“折中点”， 点为线段的中点， ， ， ， ， ； ②如图，， ∵点是折线的“折中点”， ， ∵点为线段的中点， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为6或10． 故答案为：6或10． 题型九 线段中点的有关计算 25．如图，点M、点C在线段上，M是线段的中点，，若，则的长为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算、线段中点的定义，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． 设的长为x，则，则，再由建立方程求解． 【详解】解：设的长为x， ∵点M是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即，解得：， ∴． 故选：C． 26．已知，，三点在同一条直线上，若，，点是的中点，则线段的长度为______． 【答案】8或2 【分析】本题考查了线段的和差，以及线段中点的特点，由于A，B，C三点共线但位置关系不确定，需分两种情况讨论：点C在点B的右侧或点C在点B的左侧．根据线段和差计算的长度，再利用中点定义求出，即可解题． 【详解】解：分两种情况： ①当点C在点B的右侧时， ，， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ②当点C在点B的左侧时， ，， ∴． ∵点D是的中点， ∴． 27．下面四个等式：①；②；③；④，其中能表示点是线段的中点的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义，判断点E是线段中点需要满足：点E在线段上，且，逐个分析四个等式即可得出结论． 【详解】解：∵线段中点的定义要求点E必须在线段上，且满足， ①：未说明点E在线段上，点E可在外满足，因此①不能表示点是线段的中点； ②：若E在的延长线上，也可满足，因此②不能表示点是线段的中点； ③：若E在的延长线上，也可满足，因此③不能表示点是线段的中点； ④，此时点E一定在线段上，点是线段的中点，因此④能表示点是线段的中点； ∴只有1个等式能表示点是线段的中点． 28．如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了与数轴有关的规律题型，根据，两点的距离为，与点的距离是，到点的距离是，得出规律到点的距离是，即可解答． 【详解】由题知，因为数轴上，两点的距离为， 因为点为的中点，所以点与点的距离是； 因为点为的中点，所以点到点的距离是； 依次类推，点到点的距离是是； 点到点的距离是； 所以点到点的距离是， 当时，点与点的距离是， 故答案为：． 题型十 线段 n 等分点的有关计算 29．已知点C是线段的二等分点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 根据线段的中点定义，即可求解． 【详解】解：因为点C是线段的二等分点，， 所以 故选：B． 30．点C是线段AB上的三等分点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，若CE＝6，则AB的长为_______． 【答案】18或36 【分析】根据点C是线段AB上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可． 【详解】解：如图1， ∵点C是线段AB上的三等分点， ∴AB=3BC， ∵E是线段BC的中点，CE=6， ∴BC=2CE=12， ∴AB=3BC=3×12=36； 如图2， ∵E是线段BC的中点，CE=6， ∴BC=2CE=12， ∴AC=6， ∵点C是线段AB上的三等分点， ∴AB=3AC=18， 故答案为18或36． 【点睛】本题考查了两点间的距离，以及三等分点、中点的定义，解决本题的关键是分两种情况画图计算． 31．如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端、分别落在点、处．将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点时，点所对应的数为，当的右三等分点移动到点时，点所对应的数为，则木棒的长度为_______． 【答案】 【分析】如图，为的中点，为的三等分点，设 再利用线段的和差关系表示 结合题意可得对应的数为，对应的数为 再求解 从而可列方程求解于是可得的长． 【详解】解：如图，为的中点，为的三等分点， 设 由题意得： 对应的数为，对应的数为 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段的中点，线段的三等分点的含义，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． 题型十一 线段之间的数量关系 32．如图，已知线段，小军同学进行如下操作：用圆规在线段上截取．则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较线段的长短，直接根据图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：， 又， ∴； 无法判断的大小关系， 故选D． 33．如图，已知线段上有C，D两点，且，E，F分别为，的中点． （1）若，则______； （2）若，则______． 【答案】 12 3.6 【分析】此题主要考查线段的中点的特征和应用、线段的和与差． （1）根据所给线段比例得到，，再根据线段中点的定义得到，，进而可求解； （2）设，则线段，，然后根据E、F分别是线段、的中点，分别用x表示出、，根据，求出x的值，即可求出线段的长． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， 故答案为：12； （2）设，则线段，， ∵E、F分别是线段、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 34．下列四种说法：①因为，所以是的中点；②在线段的延长线上取一点，如果，那么是的中点；③因为是的中点，所以；④因为点，，在同一条直线上，且，所以是的中点.其中说法正确的序号是（   ） A．①③④ B．④ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据线段中点的特点对各小题进行解答即可． 【详解】①当A、M、B不在同一条直线上时不成立，故本小题错误； ②因为点B在线段AM的延长线上，所以M是AB的中点，故本小题正确； ③因为M是AB的中点，所以AM=MB=AB，故本小题正确； ④因为A、M、B在同一条直线上，且AM=BM，所以M是AB的中点，故本小题正确． 故选C． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知连接两点间的线段的长度叫两点间的距离是解答此题的关键. 题型十二 与线段有关的动点问题 35．数轴上的点、、、所表示的数如图所示，点为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点沿数轴以每秒个单位长度向左平移．当点和点重合时同时停止运动、若在运动过程中始终满足，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，可得开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：． 故答案为：4 36．如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题、一元一次方程的应用，学会根据两点间的距离列出方程是解题的关键．设运动时间为，分别表示出和的长，再结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：线段，O是线段上的中点， ， 设运动时间为，则， ， ， 点P沿以的速度运动， 分两种情况讨论： ①当点P沿运动时，点P到达点需要时间， 当时，， ， ， ， 或， 解得：或， ②当点P沿运动时，此时，， ， ， ， ， 或， 解得：或， 综上所述，当时，运动时间为、、或． 故选：C． 37．已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边______； （2）当点在边上运动时，用表示的式子为______； （3）点、相遇时，______秒． 【答案】 7.2 【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置； （2）由题意知，； （3）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒， 点从，运动时间为秒， ∵， ∴当点到达终点时，点运动路程为， ∵， ∴点在边上， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：由题意知，， 解得，， 故答案为：7.2． 【点睛】本题考查了动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型十三 两点之间线段最短 38．如图，这是嘉嘉和家人自驾游的导航线路，导航提供的路线为，但显示两地的直线距离却是．能解释这一现象最合理的数学知识是______． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】根据“两点之间，线段最短”即可求解． 【详解】解：能解释这一现象最合理的数学知识是两点之间，线段最短． 39．位于直线l上的线段，则两点间的距离是（　　） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】分类讨论：点C在线段上和点C在射线上两种情况． 【详解】解：分两种情况： ①点C在线段上，则； ②点C在线段的延长线上，． 故选C． 【点睛】本题考查了两点间的距离．需要分类讨论，以防漏解． 40．如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为7，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为_________．    【答案】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，解题的关键是把． 【详解】解：如图，连接，则，    当N在A，C之间时，的最小值， 的最小值是， 故答案为：． 题型十四 两点间的距离 41．下列语句中，定义“两点间的距离”正确的是____（填序号）． ①连接两点的线段；        ②连接两点的直线； ③连接两点的线段的长度；  ④连接两点的直线的长度． 【答案】③ 【分析】本题考查了两点间的距离的定义，理解定义是解题的关键． 【详解】解：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离； 故答案为：③． 42．如图，已知线段，P是的中点，C、D分别是线段、上的点，且，，则______cm． 【答案】4 【分析】本题考查两点间的距离．根据线段中点的定义，线段倍比，和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵，P是的中点， ∴， ∵C、D分别是线段上的点，且，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 43．如图，在某个城市中，、两地之间有南北街道条、东西街道条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从走到，则不同的走法共有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】由图可得最短的路程从走到，需要东西街道走段，南北街道走段，枚举出不同的走法，即可求解． 【详解】解：最短的路程从走到，需要东西街道走段，南北街道走段， 不同的走法有： 、右走段，再下走段； 、右走段，再下走段，最后右走段； 、右走段，再下走段，然后右走段，最后下走段； 、下走段，再右走段； 、下走段，再右走段，最后下走段； 、下走段，再右走段，然后下走段，最后右走段； ∴不同的走法共有种． 题型十五 最短路径问题 44．如图所示，从甲到乙共有，，三条路线，最短的路线是（ ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】两点之间，线段最短，甲到乙最短的路线是从甲到乙的线段，由此解答即可． 【详解】解：甲到乙最短的路线是， 故选：B． 【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的是理解最短路线的简单应用． 45．如图，小明从处出发沿街道行走，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（    ）条．      A．18 B．16 C．12 D．9 【答案】A 【分析】根据图形，找到从到的最短路径（两长两短），再找到从到的最短路径（两长一短），综合起来即可得到答案． 【详解】解：如图所示：    从到的最短路径有（两长两短）：，共计6条； 从到的最短路径有（两长一短）：，共计3条； 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数， 故选：A． 【点睛】本题考查数学图形解决实际问题，用列举法找到各个最短路径是解决问题的关键． 46．如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为_________千米． 【答案】12.5/ 【分析】分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可． 【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长； 当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5) =15.5千米； 当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+ (2+1.5)=12.5千米； 当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2) +2+1.5=14.5千米． 综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小，最小值为12.5千米． 故答案为：12.5． 【点睛】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键． 题型十六 作线段 47．已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了尺规作图—作一条线段等于已知线段．根据作图可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C 48．已知线段a、b，画一条线段使它等于，并把画法补充完整． 解：画射线________________． 在射线___________上顺次截取___________________． 在线段_____________上截取___________________． 所以线段____________为所求的线段． 【答案】OP、OP、OA=AB═b、OB、BC=a、OC 【分析】根据作图步骤结合图形填空即可，注意准确用语． 【详解】解：①画射线OP； ②在射线OP上顺次截取OA=AB═b； ③在线段OB上截取BC=a． 线段OC就是所要画的线段． 故答案为：OP、OP、OA=AB═b、OB、BC=a、OC． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 49．下列关于作图的语句正确的是（　　） A．作∠AOB的平分线OE=3cm B．画直线AB=线段CD C．用直尺作三角形的高是尺规作图 D．已知A、B、C三点，过这三点不一定能画出一条直线 【答案】D 【详解】解：选项A，作∠AOB的平分线OE=3 cm，角平分线是射线，错误； 选项B，画直线AB=线段CD，直线没有长度，错误； 选项C，用直尺作三角形的高是尺规作图，尺规应有圆规，错误； 选项D，已知A、B、C三点，过这三点不一定能画出一条直线，正确； 故选D． 解答题 1．如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，解决下列问题： (1)根据要求画图：连接，画射线； (2)尺规作图：在的延长线上截取线段，使；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并标出对应字母） (3)在直线l上找到一点E，使得最小，并说明你的理由． 【答案】(1) 解：如图，线段，射线即为所求； (2)如图，线段即为所求； (3)如图，点E即为所求．理由是两点之间线段最短． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．按要求作图，并回答问题： (1)若平面内有三个点，且不在同一直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (2)若平面内有四个点，且每三点都不在同一条直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (3)利用以上原理解决问题： 某趟高铁从起始点A市到终点E市会经过B，C，D三个站点，中途共停靠3次，每个站点到A市的距离如表所示： 站点 B C D E 与A市的距离（公里） 115 254 367 493 已知高铁的票价由路程决定，求共有几种不同的票价； (4)写出一个可以用以上问题中的原理解决的实际问题． 【答案】(1) 如解图①，可以连成三条线段； (2) 如解图②，可以连成六条线段； (3) 共有10种票价 (4)见解析 【分析】本题考查线段的计数以及其在实际生活中的应用，解题的关键是理解两点确定一条线段，并将实际问题转化为数学模型． （1）根据两点确定一条线段，通过列举法来计算线段数量； （2）根据两点确定一条线段，通过列举法来计算线段数量； （3）将站点看作点，不同站点间的距离不同对应不同票价，转化为求线段数量问题； （4）根据前面的原理构造类似的实际场景问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由表可得（千米），（千米），（千米）， 所以任意两站点间的距离均不相等，即票价均不相等， 故A市到E市各站点的距离如解图③所示： ①从A出发有4种票价，即； ②从B出发有3种票价，即； ③从C出发有2种票价，即； ④从D出发有1种票价，即， ⑤从E出发，有0种票价， 4+3+2+1＝10（种）， 综上共有10种票价； （4）解：若将一个点看作一个篮球队，每个篮球队两两之间进行一场比赛，则三个篮球队共需进行三场比赛，四个篮球队共需进行六场比赛．（答案不唯一） 3．如图，点C为线段的中点，点M、N在线段上，已知 ， (1)若，求线段的长； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，由，可设，则，，根据，即可得出，再根据点C为线段的中点，可得，即可得出的长； 由可知，根据点C为线段的中点，由线段的中点定义可得：，再根据，即可得出，再根据已知，由可得出：，解方程求出x的值，则得的值，最后由进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ， 点C为线段的中点， ； （2）解：由（1）可知， ∵点C为线段的中点， ， ， ， ，， ， ， ，， ． 4．【探索新知】 如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”． （1）一条线段的中点____________这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒． （2）问为何值时，点是线段的“二倍点”； （3）同时点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，并与点同时停止．请直接写出点是线段的“二倍点”时的值． 【答案】（1）是；（2）或5或；（3）或8或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键． （1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断即可； （2）用含t的代数式分别表示出线段，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论即可得结果； （3）用含t的代数式分别表示出线段，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论即可． 【详解】解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分， 该线段等于2倍的中点一侧的线段长， 所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”； （3）当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得： ； 答：t为或8或时，点M是线段的“二倍点”． 5．如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： (1)______，______； (2)经过______秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当____________时，相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当____________时，． 【答案】(1)24，12 (2)4或12 (3)①或；②或 【分析】（1）根据线段的和差关系以及数量关系，进行求解即可； （2）分两点重合，以及在点的两侧，两种情况进行讨论求解即可； （3）求出点到达点时，所用时间，进而求出此时的长，再分两点相遇前和相遇后，两种情况进行讨论对①②进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：当两点重合时，则：，解得； 当在点的两侧时，则，解得； 综上：经过4或12秒，点P、Q到点A的距离相等； （3）解：当点到达点时，所用时间为秒； 此时； 点停止运动时所用时间为秒； ①当相距5个单位长度时，则或 解得或； 故当或时，相距5个单位长度； ②当时，则或， 解得或； 故当或时，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $