专题07一元一次方程的概念及解法期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题07一元一次方程的概念及解法期中复习讲义 1.理解方程、一元一次方程的定义，能判断一个式子是否为一元一次方程；已知方程是一元一次方程，求出所含字母参数的值。 2.理解方程的解的含义，会检验一个数值是不是方程的解；能利用方程的解代入原方程，求式子中未知参数。 3.掌握等式的两条基本性质，会运用等式性质进行等式变形，能辨别变形过程中的常见错误。 4.熟练掌握解一元一次方程完整步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。 5.清楚每一步的注意要点：去分母不要漏乘常数项；去括号注意符号；移项必须变号；系数化为 1 分清分子分母位置。 6.会解含有括号、含有分母的各类一元一次方程，能处理简单含参数的一元一次方程。 7.掌握同解方程题型，利用两个方程的解相同，求参数的值。 8.辨析易混概念：等式、方程、一元一次方程三者的区别；区分 “方程的解” 和 “解方程” 两个概念。 9.易错警示：去分母时常数项容易漏乘最小公倍数；移项不变号；去掉负括号时部分项漏变号；分数系数化简时混淆运算。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 等式的性质1与等式的性质2 ★ 题型三 列方程 ★★ 题型四 判断是否是方程的解 ★ 题型五 已知方程的解，求参数 ★★ 题型六 判断是否是一元一次方程 ★ 题型七 判断是否是一元一次方程解 ★ 题型八 合并同类项与移项 ★★ 题型九 去括号 ★★ 题型十 去分母 ★★ 题型十一 已知一元一次方程的解，求参数 ★★ 题型十二 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十三 绝对值方程 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:等式相关知识 1. 等式定义 用等号 “=” 表示相等关系的式子叫做等式。 举例：3+2=5、2x-1=7、a+b=b+a 均为等式。 2. 等式两条基本性质（解方程核心依据） 性质 文字内容 字母表达 关键注意事项 性质 1 等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc 两边必须同时加减，不能只改一侧 性质 2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则= 除数不能为 0；同乘负数时符号同步变化 3. 等式变形规范例题 已知x-3=5，两边同时加 3，得x=8； 已知2x=6，两边同时除以 2，得x=3； 已知x=4，两边同乘 3，得x=12。 4.等式性质易错提醒： （1）等式两边运算必须完全相同，不能一边加、一边乘； （2）除法时分母不能为 0； （3）不能只对等式一侧变形。 知识02：等式、方程、方程的解、解方程区分 1.等式：用等号 “=” 连接，表示左右相等关系的式子。 举例：3+6=9、2x-4=6 2.方程：含有未知数的等式，两个条件缺一：①有等号；②含字母未知数。 式子 是否方程 判断理由 7+5=12 不是 无未知数，只是等式 4x-7 不是 无等号，属于代数式 3y=18 是 同时含未知数、等号 x-1>4 不是 用不等号，是不等式 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数数值。 4.解方程：求方程解的全过程。 辨析检验示范：判断x=4是不是3x-2=10的解 左边=3×4-2=10，右边=10，左 = 右，因此x=4是方程的解。 知识点03:一元一次方程的定义与判定 同时满足 3 个条件的整式方程叫一元一次方程： ①一元：只含有1 个未知数； ②一次：未知数最高次数为1； ③整式：等号两边都是整式，分母不含未知数。 标准通用形式：ax+b=0(a≠0，a、b为常数) 方程 是否一元一次方程 不符合的条件 6x-12=0 是 全部满足三条要求 x2-25=0 否 未知数次数是 2 x+3y=15 否 存在两个未知数 +3=8 否 分母含未知数，不是整式 10=2x 是 标准形式变形 知识点04:解一元一次方程完整五大步骤（必考） 一般地，解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为 1。通过这些步骤可以将一个一元一次方程转化为x=a（a为常数）的形式。 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边同时乘各分母的最小公倍数把分母去掉 （1）不要漏乘不含分母的项；（2）分子是一个整体，去分母时要加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可反向顺序） （1）不要漏乘括号里面的项；（2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 （1） 移项要变号 （2）不要丢项 合并同类项 把方程化为ax=b(a≠0)的形式 未知数及其指数不变 把未知数的系数化为 1 在方程的两边都除以未知数的系数a(a≠0)，得到方程的解x= 不要把分子、分母弄颠倒 知识点 05 不同类型一元一次方程解题流程对比 方程类型 核心解题顺序 典型例题 无括号、无分母，仅含同类项 移项合并同类项系数化为 1 7x-10=3x+2 含括号、不含分母 去括号移项合并同类项系数化为 1 5(4-x)=3x+8 含有分数分母 去分母去括号移项合并同类项系数化为 1 =+3 知识点06：根据实际问题列方程四步流程 审：通读题目，找出等量关系； 设：设未知数（直接设 / 间接设，必须带单位）； 表：用含x的代数式表示题目所有相关量； 列：依据等量关系列出等式方程。 基础例题：一个数的 4 倍减 9 等于 11，求这个数。 解：设这个数为x，列方程：4x-9=11 题型一：判断各式是否是方程 1．下列各式中，不是方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、、均含有未知数且为等式，是方程，故A，B，C选项不符合题意； 含有未知数，但不是等式，不是方程，故D选项符合题意． 2．下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 【详解】解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 3．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 题型二：等式的性质1与等式的性质2 4．利用等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A、，两边同时减2得，原式变形正确，不符合题意； B、，两边同时除以6得，即，原式变形正确，不符合题意； C、，左边乘3，右边乘2，乘的数不相同，原式变形错误，符合题意； D、，两边同时加7得，原式变形正确，不符合题意． 5．已知，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m______n．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，以及作差法比较大小，解题的关键在于理解两个数的差大于0，被减数大于减数；两个数的差等于0，被减数和减数相等；两个数的差小于0，被减数小于减数．把等式变形为m减n等于多少的形式，再进行判断，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．下列运用等式的基本性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项分析即可得出结果，熟练掌握等式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：A、若，则，故正确，不符合题意； B、若，则，故正确，不符合题意； C、若，则，故正确，不符合题意； D、若，则，故或，故原选项错误，符合题意； 故选：D． 题型三：列方程 7．现某商品每件的标价是550元，按标价的八折出售，仍可获利，则该商品每件的进价是多少元？设每件商品的进价为元，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次方程．根据实际售价-进价=利润，用代数式表示出售价，进价，利润即可解题． 【详解】解：设每件商品的进价为元，依题意得： ， 故选：C． 8．根据“18比x的3倍少6”，下面三位同学都列出了方程，正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】根据题意列方程，在于理解题意，理解多多少，少多少来确定是加减法. 【详解】根据题干可知“18比少6”，也就是“比18多6”，分析每个选项列式的实际含义，与题干对比即可． A、表示“18比多6”，与题干不符； B、表示“减去6就是18”，即“比18多6”，与题干相符合； C、表示“比18多6”，与题干相符； 正确的有2个 故答案为：B . 9．创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．设箱子共有个，则可以列方程为________．（不用化简） 【答案】 【分析】根据工具总数不变，分别用含的式子表示两种放置方法的总工具数，建立等量关系即可列出方程． 【详解】解：第一种放置方法中，每个箱子放把，剩余把，总工具数可表示为， 第二种放置方法中，空出一个箱子，实际放置工具的箱子数量为，每个箱子放把，总工具数可表示为， ∵工具总数不变， ∴可列方程为． 题型四：判断是否是方程的解 10．下列各数，是方程的解的是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，把各个选项中的数代入计算逐一判断即可． 【详解】解：A、把代入得左边，不符合题意； B、把代入得左边，不符合题意； C、把代入得左边，符合题意； D、把代入得左边，不符合题意； 故选：C． 11．当的取值不同时，整式（其中,是常数）的值也不同，部分对应值如下表所示：则关于的方程的解为（   ） 0 1 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，根据表格数据直接求解即可． 【详解】解：由表格数据，当时，，即， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 12．下列数中，是方程的解的是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：A、当时，左边右边，故本选项不符合题意； B、当时，左边右边，故本选项不符合题意； C、当时，左边右边，故本选项符合题意； D、当时，左边右边，故本选项不符合题意； 题型五：已知方程的解，求参数 13．若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】将已知方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，即可得到的值． 【详解】∵方程的解是， ∴将代入原方程得 ， 解得 ． 14．小马虎在解决关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为，则原方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把代入得出方程，求出，得出原方程为，求出方程的解即可． 【详解】解：∵小马虎在解决关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为， ∴把代入得出方程， 解得：， 即原方程为， 解得． 故答案为：． 15．若 是方程的解，则的值是（　　） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查方程解的定义，利用方程解的定义求出是解题的关键．将代入方程求出 的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：将代入方程， 得：， 即， ， ， 故选：A． 题型六：判断是否是一元一次方程 16．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、中未知数次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； B、中有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、是一元一次方程，符合题意； D、中未知数为分母，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意． 17．下列方程中，不是一元一次方程的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键； 根据一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，对选项一一判断即可求解． 【详解】解：A、，是一元一次方程，不符合题意； B、，是一元一次方程，不符合题意； C、，是一元一次方程，不符合题意； D、，含有个未知数，不是一元一次方程，符合题意． 故选：D． 18．在已知下列方程：，，，，，，其中是一元一次方程的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，未知数的次数为，且为整式方程）逐一判断各方程即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：，右边为分式，不是整式方程，不符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，仅含未知数，次数为，不符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，含未知数、，不符合题意； 综上，符合条件的有，共个， 故选：． 题型七：判断是否是一元一次方程解 19．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入中，方程左边，此时方程左右两边相等，故原方程的解是，符合题意； B、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； C、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； D、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； 故选：A． 20．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 21．已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，一元一次方程的解，根据等式的性质得到，再由表格中的数据，即可得到答案． 【详解】解：∵， 故， 由表格可知当时，， ∴关于的方程的解为． 故答案为：A． 题型八： 合并同类项与移项 22．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定，如．若，则的值为_____． 【答案】3 【分析】根据题目给出的新定义，列出关于的一元一次方程，再利用等式的性质求解方程即可得到的值． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 23．下列变形中，正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，去分母得 【答案】B 【分析】判断等式变形需注意除数非零及符号变化． 【详解】解：对选项A，  ， 移项得， 与不符，A错误； 对选项B， ∵ ， ∴ ，两边同乘得，B正确； 对选项C， ∵ 当时，与无意义， ∴ 变形不成立，C错误； 对选项D， ∵ ， 去分母得， 即， 与不符，D错误． 24．现定义运算“*”，对于任意有理数，，满足 如：，．若，则有理数的值为（     ） A．4或10 B．4或 C．10 D．4 【答案】D 【分析】分两种情况：当时，当时，分别根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得，此时不满足，不符合题意； ∴有理数的值为4． 题型九：去括号 25．解方程：，其解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解法，依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，逐步求出的值．需要注意去括号时，括号前的系数要与括号内每一项相乘，符号不要出错；移项时要改变移项项的符号． 【详解】解：去括号，； 合并同类项得； 移项得，即； 系数化为1得； 故选：A． 26．下列在解方程的过程中，变形正确的是（   ） A．将“”移项，得“” B．将“”去括号，得“” C．将“”去分母，得“” D．将“”，系数化为1，得“”． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程．根据去分母、去括号、移项、系数化为1的方法逐一判断选项即可． 【详解】A．将“”移项，得“”，故本选项正确，符合题意； B．将“”去括号，得“”，故本选项错误，不符合题意； C．将“”去分母，得“”，故本选项错误，不符合题意； D．将“”，系数化为1，得“” ，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 27．已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，确定的值是解题关键．首先将代入方程中并解得，再把代入方程中，然后按照去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程中， 得，整理可得， 解得， 再把代入方程中， 可得， 去括号，可得 ， 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 ． 题型十：去分母 28．当________时，式子的值是． 【答案】 【分析】根据式子的值为列出一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：由题意得， 解得． 29．已知方程的解与方程的解相同，则__________． 【答案】 【分析】求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 把代入，得：， ∴， 解得：． 30．将方程变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的变形，对每一个式子先进行化简、整理为整数形式是解题的关键． 本题方程两边都含有分数系数，在变形的过程中，利用分式的性质将分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，将小数方程变为整数方程，把含分母的项的分子与分母都扩大原来的倍． 【详解】解：含分母的项的分子与分母同乘以得： 化简得： 故选：C 题型十一：已知一元一次方程的解，求参数 31．已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．4 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴，即， 解得， 故选：A． 32．已知关于的方程有整数解，则非负整数的值是__________． 【答案】0或1 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，通过求解方程得到x的表达式，根据x为整数且k为非负整数，确定k的可能值． 【详解】解：， 移项得，即． 当时，． 由于x为整数，故为整数，即整除2．又k为非负整数， 故为1或2，解得或． 当时，即不符合题意， 故k的值为0或1， 故答案为：0或1． 33．已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数的值，把代入方程，得到，整理得到，根据无论k为何值，它的解总是，得到，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∴ ∴， ∵无论k为何值，它的解总是， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 题型十二：一元一次方程解的关系 34．若关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，以及方程解的关系． 先求出方程的解，根据两方程解互为相反数得到方程的解，再代入该方程计算出的值． 【详解】解： 移项得 合并同类项得 系数化为1得 又∵两个方程的解互为相反数 ∴方程的解为 将代入中 得 即 移项得 ∴ 故选C 35．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 【答案】3 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据题意可得一元一次方程中，，即可解答． 【详解】解：设，则关于的方程化为， 这与关于的方程形式相同， 可得，即， 解得． 故答案为：． 36．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设， 则方程，可化为， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：B． 题型十三：绝对值方程 37．已知，那么的值为___________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的性质，绝对值等于的数为和，分情况计算即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 38．已知，则的值为_______． 【答案】或 【分析】分为当时，当时，当时，进而去绝对值，然后解方程即可． 【详解】解：当时，原式可变形为，解得，符合题意； 当时，原式可变形为，整理得，不成立，无解； 当时，原式可变形为，解得，符合题意； ∴的值为或． 39．已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及绝对值求值，熟练掌握绝对值求解是解题的关键．将代入方程，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得或． 故选：C． 解答题 40．解方程： 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义从最外层绝对值开始，逐步根据绝对值的定义去掉绝对值符号，分情况讨论并排除无解的情况，最终求解的值． 【详解】解：， ， 或， 或（不合题意，舍去）， 则， 或， 或（不合题意，舍去）， 或． 41．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 42．根据下列问题，列方程（不解方程）： (1)的6倍比的3倍小12； (2)小明参加了一场的跑步比赛，他以的速度跑了一段路程后，又以的速度跑完了剩下的路程，一共花了，求小明以的速度跑了多少米； (3)如图是一个长方体的包装盒示意图，长为，高为，表面积为．这个包装盒底面的宽是多少米？ 【答案】(1)． (2)设小明以的速度跑了． 可列方程． (3)设包装盒底面的宽是． 根据表面积公式可列方程． 【分析】（1）根据题意得方程即可； （2）设小明以的速度跑了，根据一共花了列方程即可； （3）设包装盒底面的宽是，根据表面积公式列方程即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 43．我们定义一种新的运算“☆”，对于任意四个有理数x，y，a，b，可以组成两个有理数对与，规定：． 根据上述规定，解决下列问题： (1)计算： ； (2)若，则 ； (3)若，其中x是整数，求整数k的值． 【答案】(1)1 (2)0 (3)整数k的值为或或或． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值； （3）已知等式利用题中的新定义化简，表示出x，根据x与k都为整数，确定出k的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：∵ ∴ 解得； （3）解：∵ ∴ 解得， ∵x是整数， ∴或 解得或或或． 44．定义：如果两个一元一次方程的解的差的绝对值为，我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：的解为，的解为，，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)下列方程中与是“美好方程”的是______（填序号）； ①，        ②，        ③ (2)已知两个一元一次方程互为“美好方程”，且这两个“美好方程”的解的和为．若其中一个方程的解为，求的值； (3)已知关于的一元一次方程的解是，若关于的一元一次方程：是该方程的“美好方程”，则的值______． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)或 【分析】本题考查解一元一次方程、“美好方程”的定义，熟练掌握一元一次方程的解法、正确理解“美好方程”的定义是解题的关键. （）根据“美好方程”的定义进行解答，先分别求解每个方程，再计算解的差的绝对值是否为； （）结合解的和为，则另一个解为,根据“美好方程”定义得，对绝对值方程分类讨论,即可解答； （）先代入已知解求，再化简并求解，最后根据“美好方程”定义解绝对值方程即可解答． 【详解】（1）解：，解得：， ①， 解得； ，与是“美好方程”； ②，解得； ，与不是“美好方程”； ③，解得； ，与是“美好方程”； 故答案为：①③； （2）解：两个一元一次方程其中一个方程的解为，这两个“美好方程”的解的和为，则另一个解为, 根据题意：(美好方程定义),即， 当时,解得， 当时，解得， 故的值为或； （3）解： ， ∵一元一次方程的解是， ∴①， 关于的一元一次方程：， 解得②， 把①代入②，得③， ∵“美好方程”的定义是两个一元一次方程的解的差的绝对值为，已知是原方程的解，是其“美好方程”的解， ∴， 把③代入，得， 解得：， ∴的值为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题07一元一次方程的概念及解法期中复习讲义 ☆ 复习目标 1.理解方程、一元一次方程的定义，能判断一个式子是否为一元一次方程；已知方 程是一元一次方程，求出所含字母参数的值。 2理解方程的解的含义，会检验一个数值是不是方程的解：能利用方程的解代入原 方程，求式子中未知参数。 3掌握等式的两条基本性质，会运用等式性质进行等式变形，能辨别变形过程中的 常见错误。 4熟练掌握解一元一次方程完整步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数 化为1。 5清楚每一步的注意要点：去分母不要漏乘常数项：去括号注意符号：移项必须变 号；系数化为1分清分子分母位置。 6会解含有括号、含有分母的各类一元一次方程，能处理简单含参数的一元一次方 程。 7掌握同解方程题型，利用两个方程的解相同，求参数的值。 8辨析易混概念：等式、方程、一元一次方程三者的区别：区分“方程的解”和 “解方程”两个概念。 9易错警示：去分母时常数项容易漏乘最小公倍数：移项不变号；去掉负括号时部 分项漏变号；分数系数化简时混淆运算。 ☆ 题型梳理 。。”。。。”。” 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 题型二 等式的性质1与等式的性质2 题型三 列方程 题型四 判断是否是方程的解 题型五 已知方程的解，求参数 题型六 判断是否是一元一次方程 试卷第1页（共3页） 题型七 判断是否是一元一次方程解 ★★ 题型八 合并同类项与移项 ★ 题型九 去括号 题型十 去分母 题型十一 已知一元一次方程的解，求参数 ★★★ 题型十二 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十三 绝对值方程 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 知识点01：等式相关知识 1.等式定义 用等号“=” 表示相等关系的式子叫做等式。 举例：3+2=5、2x-1=7、a+b=b+a均为等式。 2.等式两条基本性质（解方程核心依据） 试卷第2页（共3页） 性质 文字内容 字母表达 关键注意事项 等式两边同时加 性质 (或减)同一个数 两边必须同时加 若a=b,则a±c=b±c 或同一个整式，所 减，不能只改一侧 得结果仍是等式 等式两边同时乘同 一个数（或除以同 除数不能为0；同 性质 若a=h,则ac=bc;若c≠0， 个不为0的 乘负数时符号同步 则9-b 数)， 所得结果仍 变化 是等式 3.等式变形规范例题 已知x-3=5,两边同时加3，得x=8: 已知2x=6,两边同时除以2，得x=3; 已知x=4,两边同乘3，得x=12。 4.等式性质易错提醒： 试卷第3页（共3页） (1)等式两边运算必须完全相同，不能一边加、一边乘 (2)除法时分母不能为0： (3)不能只对等式一侧变形。 知识02：等式、方程、方程的解、解方程区分 1等式：用等号”=”连接，表示左右相等关系的式子。 举例：3+6=9、2x-4=6 2方程：含有未知数的等式，两个条件缺一：①有等号；②含字母未知 数。 式子 是否方程 判断理由 7+5=12 不是 无未知数，只是等式 4x-7 不是 无等号，属于代数式 3y=18 是 同时含未知数、等号 x-1>4 不是 用不等号，是不等式 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数数值。 4解方程：求方程解的全过程。 试卷第4页（共3页） 辨析检验示范：判断x=4是不是3x-2=10的解 左边=3×4-2=10，右边=10，左=右，因此x=4是方程的解。 知识点03：一元一次方程的定义与判定 同时满足3个条件的整式方程叫一元一次方程： ①一元：只含有1个未知数： ②一次：未知数最高次数为1； ③整式：等号两边都是整式，分母不含未知数。 标准通用形式：ax+h-0(a≠0，a、b为常数) 方程 是否一元一次方程 不符合的条件 6x-12=0 是 全部满足三条要求 x2-25=0 否 未知数次数是2 x+3y=15 否 存在两个未知数 5+3=8 否 分母含未知数，不是整式 10=2x 是 标准形式变形 知识点04：解一元一次方程完整五大步骤（必考） 试卷第5页（共3页） 般地，解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类 项、把未知数的系数化为1。通过这些步骤可以将一个一元一次方程转 化为x=a(a为常数)的形式。 变形名称 具体做法 注意事项 (1)不要漏乘不含分母的 在方程两边同时乘各分母的最小公倍 去分母 项； (2)分子是一个整体， 数把分母去掉 去分母时要加上括号 先去小括号，再去中括号，最后去大 (1)不要漏乘括号里面的 去括号 括号（也可反向顺序） 项； (2)不要弄错符号 把含有未知数的项移到方程的一边， (1)移项要变号 移项 其他项都移到方程的另一边 (2)不要丢项 合并同类项把方程化为ax=b(a≠0)的形式 未知数及其指数不变 把未知数的在方程的两边都除以未知数的系数 不要把分子、分母弄颠倒 系数化为1a(a0),得到方程的解x= d 知识点05不同类型一元一次方程解题流程对比 试卷第6页（共3页） 方程类型 核心解题顺序 典型例题 无括号、无 分母，仅含 移项一合并同类项一系数化为1 7x-10=3x+2 同类项 含括号、不 去括号一移项一合并同类项一系数化为 5(4-x)=3x+8 含分母 含有分数分 去分母一去括号一移项一合并同类项一 4x-2=X+3 6 4 母 系数化为1 知识点06：根据实际问题列方程四步流程 审：通读题目，找出等量关系： 设：设未知数（直接设/间接设，必须带单位）； 表：用含x的代数式表示题目所有相关量； 列：依据等量关系列出等式方程。 基础例题：一个数的4倍减9等于11，求这个数。 解：设这个数为x,列方程：4x-9=11 试卷第7页（共3页） ☆ 题型精析 海解间年编编 题型一：判断各式是否是方程 1.下列各式中，不是方程的是() A.x=2 B.3x2=2x+5 C.x+y=0 D 2x-3y+1 2.下面()符合等式与方程之间的关系。 A 等式( 方程 B 等式方程 方程（等式 D 等式 方程 3.下列各式中，①2x+3;②x+y=0:③x=1;④x+123;⑤-2-2=-4，是方程的 有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 题型二：等式的性质1与等式的性质2 4.利用等式的性质，下列变形不正确的是() ab A.若3a=2b,则3a-2=2b-2 B.若3a=2b,则23 C.若3a=2b,则9a=4b D.若3a=2b,则3a+7=2b+7 5.已知3m+2n-6=m+4n,利用等式的性质比较m与n的大小关系：n.(填“ >”“<”或“=”) 6.下列运用等式的基本性质变形错误的是() A.若x=y,则5-x=5-y B.若x=y,则x=y y C.若x=y,则++ 试卷第8页（共3页） D.若x2=2x,则x=2 题型三：列方程 7.现某商品每件的标价是550元，按标价的八折出售，仍可获利10%，则该商品每件的进 价是多少元？设每件商品的进价为x元，下列所列方程正确的是() A.550-550×0.8=10%x B.550×0.8-x=550×10% C.550×0.8-x=10%x D.0.550×0.8-x=550×0.8×10% 8.根据“18比x的3倍少6”，下面三位同学都列出了方程，正确的有()个. 18-3x=6 3x-6=18 3x-18=6 A.1 B.2 C.3 9.创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那 么还剩4把工具无箱子可放：如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子.设箱子共 有x个，则可以列方程为 (不用化简) 题型四：判断是否是方程的解 10.下列各数，是方程x+2x=-3的解的是() A.0 B.1 c.-1 D.-2 11.当x的取值不同时，整式r-b(其中a,b是常数)的值也不同，部分对应值如下表所 示：则关于x的方程心=b+2的解为() ax-b 2 A.x=-2 B.x=-1 C.x=0 D.x=1 12.下列数中，是方程100x 2027-x+67=168的解的是() 2026 A.-1 B.0 C.1 D.2 题型五：已知方程的解，求参数 试卷第9页（共3页） 13.若关于x的方程m-2x+3=0的解是x=3,则m的值为（) A.3 B.-3 C.-9 D.9 14.小马虎在解决关于x的方程7a-5x=16时，误将“-5x”看成了“+5x”,得方程的解 为x=3,则原方程的解为一 15.若x=-2是方 3x+4= a2-1 -2a的解，则a)的值是（) A.0 B.1 C.-1 D.2 题型六：判断是否是一元一次方程 16.下列方程中，是一元一次方程的是() A.x2-1=0 B.2x+y=3 12 D.x 17.下列方程中，不是一元一次方程的是() A.2x-3=6 B.4x-2=x+1 C.x+2=0D.3x+2y=1 18,在已知下列方程：①x-2= x,②0.3x=1,③2 -5x-1,④2x2-3=0:⑤x=6 ,⑥x+y=0,其中是一元一次方程的有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 题型七：判断是否是一元一次方程解 19.下列方程中，解是x=1的方程是() A.2x=2 B.x+1=3 C.x-1=1D.2x-3=0 20.整式ax+3b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式ax+3b对应的 值，则关于x的方程ax+3b=3的解为( ) -3 -2 -1012 ax+3b 9 A.x=-3 B.x=-2 C.x=0 D.x=1 21.已知整式mr+3n的值随x的取值变化而变化，下表给出了x取不同值时，整式r+3n 试卷第10页（共3页） 对应的数值，则关于x的方程mx=4-3n的解是() 2 -1 0 2 3 mx +3n 8 4 0 -4 -8 -12 A.x=-1 B.x=1 C.x=-2 D.x=2 题型八：合并同类项与移项 22.对于任意有理数a,b,c,d,我们规定cd a b=ad-bes=2x5-3x4=-2 ，如45 x-3 =3 5-43,则x的值为一 23.下列变形中，正确的是() A.如果2x-1=3x-2,那么2x-3x=2+1 ab B.如果。c,那么a=b a b C.如果a=b,那么cc D果“1分 -4，去分母得2(5x+3)=4-x-1 2a-b(a>b) 24,现定义运算，对于任意有理数a,6:清足“6= a-2b(a<b) 11=1-2x1=- 3 如：53=2x5-3=7,21=2 2.若x2=6,则有理数x的值为（) A.4或10 B.4或-10 C.10 D.4 题型九：去括号 25.解方程： 3(2x-1)-2(x+2)=1 其解为() A.x=2 B.x=3 C.x=10 D.x=14 26.下列在解方程的过程中，变形正确的是() 试卷第11页（共3页） A.将“x+1=2x-3”移项，得“x-2x=-1-3” B.将。2x-6-2列=1 去括号，得w2x-x-2=1n x-2-1去分母，得“3x-(x-2=1” C.将“2x-6 -x- 2 D.将“2x=3”,系数化为1，得“x=3” 3”， 27.己知x=2是关于x的方程a-7=10x-a的解，那么关于x的方程 a(x-3)-7=10(x-3)-a 的解是 题型十：去分母 2m-7 28.当m= 时，式子3一的值是-5： 29.己知方程2(1-x)=x-1的解与方程3 x-m=2x+m的解相同，则m= 30.将方程0.7+03r-02_1.5-5x 0.2 =0.5变形正确的是() A.7+3-2_15-50x B.0.7+3x-2_15-5x 25 25 c.0.7+3x-2_15-50x 2 5 D.0.7+1.5x-1=3-x 题型十一：已知一元一次方程的解，求参数 31.己知x=2是关于x的方程3x+2a=14的解，则a的值是() A.4 B.-10 C.10 D.-4 32.己知关于x的方程-3=-x+k有整数解，则非负整数k的值是 33.己知m,n为常数，关于x的方程2 3c+m=4+x-k 3，无论飞为何值，它的解总是 x=2,则mn的值为() A.-84 B.-24 C.-27 D.-18 题型十二：一元一次方程解的关系 试卷第12页（共3页) 34.若关于x的方 5-m=26+)与方程x-6=-2x的解互为相反数，则m的值为（） A.4 B.-4 C.3 D.-3 35.已知关于x的一元一次方程2x+2025=4x+a的解为x=2,那么关于y的一元一次方 程5-列+2025=4(5-刃+a的解为y- 36若关于x的一元一次方程44+3=2x+的解为：3，则关于y的一元一次方程 240-小+3=20y-小+6的解为6) A.y=1 B.y=-2 C.y=-3 D.y=-4 题型十三：绝对值方程 37.已知 x-2=1 ,那么x的值为 38已知k-4+x-2=10 则x的值为 39.已知x=-2是方程 2x+k-1=6 的解，则k的值为() A.11或-11 B.9或-9 C.11或-9 D.-11或 0 解答题 40.解方程： -2斗-1=3 41.解方程 (1)2+x=-5(x-1) .1-2m_3m-4+2 (2)3 7 42.根据下列问题，列方程（不解方程）： 试卷第13页（共3页） 1.2m (1)x的6倍比x的3倍小12： (2)小明参加了一场2000m的跑步比赛，他以6m/s的速度跑了一段路程后，又以5m/s的速 度跑完了剩下的路程，一共花了l0min,求小明以6m/s的速度跑了多少米： (3)如图是一个长方体的包装盒示意图，长为1.2m,高为lm,表面积为6.8m2.这个包装盒 底面的宽是多少米？ 43.我们定义一种新的运算“☆”，对于任意四个有理数x,y,a,b,可以组成两个有理 数对刃与a),规定.()☆(a,b)=- 根据上述规定，解决下列问题： 计算，(8-)☆2-)= ②若2,3x-)☆(x+21)=5 则x= 6)若2r--3)☆(k,x+)=7+2 ,其中x是整数，求整数k的值. 44.定义：如果两个一元一次方程的解的差的绝对值为2，我们就称这两个方程互为“美 好方程”，例如：3x=-3的解为x=-1,x-2=-的解为x=1,1-（川=2 所以这两 个方程互为“美好方程” (1)下列方程中与4-x=3x是“美好方程”的是 一（填序号）： ①4x-3=3x' ②8+x=3x' ③2(x+3)-x=2 (2)已知两个一元一次方程互为“美好方程”，且这两个“美好方程”的解的和为6.若其 中一个方程的解为x=a,求a的值： (3)已知关于x的一元一次方程2026+m=2026x的解是x=2025,若关于y的一元一次方 试卷第14页（共3页） 2026-20261=2026y2026m是该方程的“美好方程”，则m的值 程：2026 试卷第15页（共3页）