专题03 反比例函数中的新定义、实际应用与综合探究（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级下册
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内容正文：
专题三 反比例函数中的新定义、实际应用与综合探究
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、反比例函数中的新定义点——三倍点、黎点、双语点、k 双曲点
题型二、反比例函数衍生的新图形——型闭函数、伴随矩形、对角函数
题型三、跨学科情境——电路、光学、工程与健康
题型四、生活应用与项目——素材题、方案设计与项目式学习
题型五、图象性质探究——画图列表、性质归纳与动点对应
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
本专题以 “读定义 — 转化 — 验证” 为主线：先把新定义点、新定义函数与图形中的陌生名词逐条翻译成坐标、解析式或几何关系，抓准定义中 “必须满足” 的条件；再借图象列表、画图观察归纳性质，用特殊值试探边界、预判趋势；遇参数、动点与多情形时按范围分类枚举；跨学科与生活应用类问题则剥离物理、工程、素材情境，抽取等量关系建立模型，最后把结果带回原定义逐条核验，舍去增根与不合情境的答案，形成闭环。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 只记定义的名字不记条件，代入时漏掉“任意”“存在”等限定词；
2. 跨学科题里把“乘积为定值”误当成“和为定值”，函数关系整个写反；
3. 动点与图象对应时，把“每秒 1 个单位”直接当成横坐标，忘记起点不在原点；
4. 探究题画完图不作检验，特殊点的坐标与解析式对不上也照抄。
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、反比例函数中的新定义点——三倍点、黎点、双语点、k 双曲点
典例1（24-25八年级下·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的“对称点”Q定义如下：当时，P与Q关于直线对称；当时，P与Q关于y轴对称．
(1)点的“对称点”坐标是 ，点的“对称点”坐标是 ；
(2)已知点C在反比例函数的图象上，点C的“对称点”为点D，若点D的坐标为，求m的值；
(3)一次函数的图象上所有点的“对称点”组成一个新的图形G．若直线与图形G无交点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查坐标与轴对称，一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）根据新定义，点的“对称点”与点关于对称，点的“对称点”与点关于轴对称，进行求解即可；
（2）设点，当时，关于直线对称，当时，关于轴对称，分别求出点的坐标，代入反比例函数解析式，进行求解即可；
（3）设一次函数的图象上的点，分别求出和时，点的对称点所在的直线，进而确定图形，利用数形结合的思想，找到直线与图形恰好没有交点时的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，，
∴点的“对称点”与点关于对称，
连接，分别作轴，轴，则：，，
∵对称，
∴，
∵直线为一，三象限的角平分线，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴点的“对称点”与点关于轴对称，
∴；
故答案为：，
（2）∵设点，
①当时，则：关于直线对称，
由（1）可知：关于直线对称的点的特点为横纵坐标位置互换，
∵，
∴，此时，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，符合题意；
②当时，则：关于轴对称，
∴，此时，即：，
∴，
∴，符合题意；
综上：；
（3）设一次函数的图象上的点，
当时，即：时，点的对应点为：，
令，，则：，
即此时点的对应点在直线上，
当，即：时，点的对应点为：，
同法，可知：点的对应点在直线上，
∵，
∴当时，，
如图，
当经过时，，
此时直线恰好与图形没有交点，
当直线向上移动时，直线恰好与图形有交点，
当直线向下移动时，直线与图形没有交点，
故的范围为：．
解题模板
1.把“新点”的定义写成含 x、y 的等式，再与 y= 联立，得到关于一个未知数的方程;
2.“存在两个”“总存在”这类条件，最终都落在判别式或取值范围上，不要停在文字层面.
变式1-1（26-27九年级上·河北邯郸·期中）已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】通过作差消去参数t，结合推导x与y的线性关系，再联立反比例函数解析式，转化为一元二次方程根的问题求解．
【详解】解：∵，，
∴，即，
∵，
∴，即．
将代入，得，
整理得．
∵反比例函数图象上总存在两个关联点，
∴该方程有两个不相等的非零实数根，
∴，且，
解得，即．
由得，
∴的取值范围是且．
变式1-2（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标3倍的点，则把该函数称为“三倍函数”，该点称为“三倍点”．例如“三倍函数”，其“三倍点”为．下列说法正确的序号为________．
①函数，，都不是“三倍函数”；
②在的范围内，若函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围为；
③若函数的图象上存在“三倍点”，设其横坐标为，令，则t的最小值为．
【答案】②③
【分析】令三个函数的函数值都为，进而建立方程，看方程是否有解即可；由题意得，“三倍点”所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值的大小关系即可求出c的取值范围；由定义可得，再由判别式，求出，根据根与系数的关系可得，当时，有最小值；
【详解】解：在中，当时，则，此时方程无解，
∴函数不是“三倍函数”；
在中，当时，则，即，此时方程无实数根，
∴函数不是“三倍函数”；
在中，当时，则，即，
此时，原方程有两个相等的实数根，
∴函数是“三倍函数”，故①错误；
在中，当时，则，
∴，
∵在的范围内，函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
∴方程有实数根，
∴，
∴；
∵要满足在的范围内，函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
∴要满足当时，或当时，
∴或，
∴或，
综上所述，，故②正确；
在中，当时，
则，
∵函数的图象上存在“三倍点”，
∴，
∴；
由一元二次方程根与系数的关系可知：
，
∴
，
∵
∴当时，随的增大而减小；
∴当时，有最小值；
此时，，故③正确；
综上所述，正确的有②③．
变式1-3（2026·黑龙江大庆·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点与的“曼哈顿距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“曼哈顿距离”为：．
根据以上定义，下列说法正确的序号为______．
①点，点，则；
②点，其中，，且，则满足条件的所有点组成的图形长度为；
③点是函数图象上的一个动点，则满足的点有个；
④点，且，若二次函数图象与满足条件的所有点组成的图形有交点，则的取值范围是．
【答案】
①②④
【分析】根据曼哈顿距离定义，逐个判断四个说法的正误即可．
【详解】解：①代入定义计算：，故①正确；
②由定义得，其中，，
∴满足条件的点组成的图形为以和为端点的线段，
∴线段长度为，故②正确；
③点在上，
∴，
由得，代入得：，
整理得，
即，
解得，
∴有个不同解，，，，，
即满足条件的点有个，故③错误；
④由得，
∴满足条件的点组成的图形为以，，，为顶点的正方形四条边，
整理二次函数得，
分四条边计算范围：
当，时，，代入得，
∴当时，取得最大值；当时，取得最小值，
∴；
当，时，，代入得，
∴当时，取得最大值；当时，取得最小值，
∴；
当，时，，代入得，
∴当时，取得最大值；当时，取得最小值，
∴；
当，时，，代入得，
∴当时，取得最大值；当时，取得最小值，
∴；
综上，，故④正确；
综上，正确的序号是①②④．
题型二、反比例函数衍生的新图形——型闭函数、伴随矩形、对角函数
典例2定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都平行于坐标轴的矩形为该反比例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随直线．如图1，矩形的顶点、在反比例函数的图象上，所以矩形是反比例函数的伴随矩形，直线是反比例函数的伴随直线．
(1)如图2，已知反比例函数的图象经过矩形的顶点，轴，轴，，，求反比例函数的表达式，并判断矩形是否为该反比例函数的伴随矩形．
(2)求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点．
(3)如图3，已知矩形和矩形都是反比例函数的伴随矩形，且对应的伴随直线均为．
①求证：直线与直线的交点M始终在直线上；
②若矩形的周长为30，矩形的周长为6，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为：；矩形是该反比例函数的伴随矩形
(2)证明：设任意反比例函数解析式为：，取它的任意一个伴随矩形，假设在函数图象上的两个对角顶点分别为：，．
∵矩形的边平行于坐标轴，
∴另外两个对角顶点坐标为：，．
设伴随直线的解析式为：，
将点B，点D代入解析式，
则有：，
①-②得：，
整理得：，
即，
∵，
∴两边约去，得：，
将代入①，可得：，
即，
∴伴随直线的解析式为：，
当时，，
∴该直线恒过原点，
即任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点．
(3)①证明：设伴随矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，
∵矩形的边平行于坐标轴，
∴另外两个对角顶点坐标为：，．
由伴随直线为，结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D在直线上，
即：，，
化简得：，
即，
∴点C坐标为．
同理可设伴随矩形的顶点E的坐标为，
同理可得顶点G的坐标为．
设直线的解析式为：，
将点A，点E坐标代入解析式，
得：，
①-②得：，
整理得：，
即，
∵，
∴两边约去，得：，
将代入①，可得：，
即，
∴，
∴直线的解析式为：．
同理，设直线的解析式为：，
将点C，点G坐标代入解析式，
得：，
①-②得：，
整理得：，
即，
∵，
∴两边约去，得：，
将代入①，可得：，
即，
∴，
∴直线的解析式为：．
联立直线与直线的解析式，
得：，
①-②得：，
整理得：，
即
∴，
∴
∴
∴，
将代入②得：，
即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
即直线与直线的交点坐标为：，
经检验，该点坐标满足，
因此直线与直线的交点M始终在直线上．
②
【分析】（1）将点A代入反比例函数解析式求出k值，得到函数表达式；根据边平行于坐标轴，以及边的长度，计算出点C坐标，验证点C是否在反比例函数图象上，即可判断是否为伴随矩形；
（2）设任意反比例函数解析式为：，取它的任意一个伴随矩形，假设在函数图象上的两个对角顶点分别为：，．根据矩形的边平行于坐标轴，推出另外两个顶点的坐标，将它们代入直线解析式计算，最后得到直线的常数项为0，即可证明直线恒过原点；
（3）①设伴随矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，先推出另外两个顶点坐标，．由伴随直线为，结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D在直线上，推导出，即得到点C坐标为．同理可设伴随矩形的顶点E的坐标为，同理可得顶点G的坐标为．运用待定系数法求出直线与直线的解析式，联立两直线方程，求出直线与直线的交点M的坐标，最后检验该点坐标满足，即可证得结论；
②设伴随矩形的顶点A的坐标为，由①可知，点C坐标为，
则矩形的长为：，宽为：，根据“矩形的周长为30”，建立关于a的方程，解方程，即可求得a的值；设伴随矩形的顶点E的坐标为，由①可知，点G的坐标为，同理可求出c的值；最后根据①中求出的点M坐标，代入a和c的值，即可求出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过矩形的顶点，
∴将点代入中，
得：，
解得：，
∴反比例函数的表达式为：．
∵轴， ，，
∴，
即．
同理，∵轴，，，
∴，
即，
∵，
即点C坐标满足反比例函数的关系式，
∴点C在反比例函数的图象上．
根据伴随矩形的定义，点A、点C都在反比例函数图象上，且边都平行于坐标轴，因此矩形是该反比例函数的伴随矩形．
（2）略
（3）①略
②解：设伴随矩形的顶点A的坐标为，
由①可知，点C坐标为，
则矩形的长为：，宽为：，
周长为：
化简得：，
解得：，（舍去），
经检验，是原方程的根，且符合题意，
∴，．
同理，设伴随矩形的顶点E的坐标为，
由①可知，点G的坐标为．
则矩形的长为：，宽为：，
周长为：
化简得：，
解得：，（舍去），
经检验，是原方程的根，且符合题意，
∴，．
由①可知，直线与直线的交点坐标为：，
∵，，
∴．
解题模板
1.新函数先按定义写出表达式，再按研究函数的一般路径（取值、画图、看性质）处理;
2.新图形题抓住“边平行于坐标轴”这一特征，用矩形顶点坐标建立方程.
变式2-1（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．如图，过点的直线，对应的函数分别与，是“相连函数”，相连点分别为P，Q，，与x轴分别交于A，B两点，已知，，______．
【答案】45
【分析】根据“相连函数”定义可知直线与双曲线只有一个交点，联立方程后判别式，由此可得直线一次项系数与 k 的关系；进而用 k 表示出 A，B 两点的坐标，结合， 即可求解．
【详解】解：直线，过点，
设直线，的解析式分别为：，，
直线与是“相连函数”，
直线与只有一个交点，
即有两个相等的实数根，
，
解得，
同理可得；
令，解得，
，
同理可得，
∵点A 在 x轴负半轴，点B 在 x 轴正半轴，
，
∵，
，
，
又∵，
．
变式2-2（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“型闭函数”，下列结论中，正确的是____________（填序号）．
①一次函数是“型闭函数”；
②若一次函数是“型闭函数”，则；
③反比例函数（，且）是“型闭函数”，且，则；
④二次函数是“型闭函数”．则的取值范围是．
【答案】①③④
【分析】根据“k型闭函数”的定义，结合一次函数反比例函数二次函数的增减性，逐个计算验证四个结论即可．
【详解】解：①对于一次函数，可知y随x的增大而增大，
∴根据定义，当时，；时，，
∴，故，
故①正确；
②对于一次函数是“1型闭函数”，
故有，
当时，y随x的增大而增大，，得；
当时，y随x的增大而减小，，得，
综上，，故②错误；
③对应反比例函数（，且）
可知y随x的增大而减小，
故，，
∴，
又∵反比例函数（，且）是“型闭函数”，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④二次函数的开口向下，对称轴为直线，且，
由定义可得，故．
当时，最大值在处取得，；
最小值在处取得，，
故，
∴；
当时，最大值在处取得，；
最小值在处取得，，
∴，
∵，
∴，
解得；
当时，最大值在处取得，；
最小值在处取得，，
∴，
∵，
∴，
解得；
当时，最大值在处取得，；
最小值在处取得，，
∴，
解得，
综上，，故④正确，
综上，正确结论为①③④，
变式2-3定义：在平面直角坐标系中，已知图形，将图形M上每个点的横、纵坐标分别乘以，得到对应的新点，我们把所有新点组成的图形称为图形的“位图形”．如图，已知的顶点坐标分别为，若双曲线的“位图形”与的边有两个交点，则的取值范围是_____．
【答案】或
【分析】本题主要考查了反比例函数的图形变换、一次函数解析式的求解，以及函数图象交点的分析．先根据“位图形”的定义，推导双曲线的“位图形”为双曲线 ；再分析的边()，通过联立双曲线与边的直线方程，分和，结合“交点个数”的临界情况(如双曲线过顶点、与边相切)求出关键值；最后根据“有两个交点”的条件，确定的取值范目．
【详解】解：设双曲线上任意一点为，则，
将横、纵坐标分别乘以，得到对应点，
令，，则，代入得：
，即，
边： 设解析式为，代入得：
，解得，
∴边解析式为，
同理，得：边：从到，解析式为；
边：从到，解析式为；
情况一：
双曲线的“位图形”在第一象限，
∴联立方程，得，
整理，得，
∴，
解得：，
情况二：，
∴“k位图形”的点在第三象限,
∵点，
将点的坐标代入“位图形”中，
∴得到一个关于的方程，
解得：或（舍去），
∵“位图形”与的边有两个交点，
结合前面求出的两个临界值：当时，“位图形”经过点，与的边有两个交点；
∴，
当时，“位图形”与直线相切，也只有一个交点
∴与的边有两个交点，
故答案为：或．
三、解答题
题型三、跨学科情境——电路、光学、工程与健康
典例3（2023·浙江台州·模拟预测）如图，小李家购买的立式恒温电热水器的最大容量为，电热水器热水出水率为，热水出水率，家里的手持花洒每分钟出水量为，用该电热水器洗澡的最大时间为；
(1)求与的函数关系式；
(2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟水流量的范围是，小李下午打球回来后，发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡，请判断电热水器中的热水够不够用？并说明理由．
【答案】(1)
(2)解：不一定够用，理由如下：
当时，，
解得，
经检验：是原方程的解，
∵．
当时，，最长洗澡时间大于或等于15分钟，热水够用；
当时，，最长洗澡时间不足15分钟，热水不够用．
综上，不一定够用．
【分析】（1）根据题意列出反比例函数解析式即可；
（2）利用反比例函数的增减性，找到刚好可以洗15分钟的临界流量，分区间判断能否满足洗澡15分钟的需求．
【详解】（1）解：热水输出容积为，
∴，
∴；
（2）略
解题模板
1.先从物理或工程情境中提取“两个量的乘积为定值”，写成 y=;
2.再用函数性质（增减性、取值范围）回答实际问题，注意自变量的实际意义与单位.
变式3-1（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】探究，检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究；
探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：；
探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．
【详解】探究
由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，
解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将 代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究
，
在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，
，
；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，
由探究1知，
，
解得，
答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
变式3-2（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）．
【了解原理】
组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得．
(1)若取，为了得到零刻度点的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点的位置即为点．请计算此时的长．
【数学建模】
(2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析与之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当每增加相同的数值，的增加量是否也相同？
【调整优化】
(3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明的取值范围．
【答案】(1)
(2)每增加相同的数值，的增加量相同
(3)
【分析】（1）由，得，将代入求解即可；
（2）把代入杠杆关系式，整理得到关于的一次函数，根据一次函数自变量均匀增减时因变量增量恒定，判定刻度线均匀；
（3）求得，由得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解．
【详解】（1）解：令，得，
，
∴，
∴，
即．
（2）解：由（1）知，，
则，即，
可得，
每当增加一克，增加，
故杆秤上的刻度线是均匀的，当每增加相同的数值，的增加量是否也相同．
（3）解：，
整理得，
∵，
∴x随着a的增大而减小．
当最大刻度是时，令，
得，
∴．
变式3-3如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．10
【答案】D
【分析】设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为，根据反比例函数的图像的性质结合题意可得方程，据此可得的值，进而得出k的值，再把代入函数关系式求解即可．
【详解】解：设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为，
∴，，
∴，解得，
∴，
，
当时，，即当时，P的值为．
题型四、生活应用与项目——素材题、方案设计与项目式学习
典例4（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）材料一：某款冰柜内部温度上升到时，冰柜运行；当内部温度下降到时，冰柜停止运行、当内部温度上升到时，冰柜再次运行……如此循环（冰柜不运行时，耗电量忽略不计）．
材料二：从某一时刻起，该款冰柜内部温度与时间之间的函数关系如图所示．
当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数．
材料三：冰柜内部温度不高于时为有效制冷时间．
结合以上材料，解决下列问题．
(1)求当时，关于的函数表达式，并求出的值；
(2)求这款冰柜一天内（）的有效制冷时间有多长．
【答案】(1)；
(2)
【分析】结合图像分析，求出对应的函数图像，再结合函数解析式即可解决问题．
【详解】（1）解：设当时，关于的函数表达式为．
将代入，得，解得，
故关于的函数表达式为．
对于，当时，，
．
（2）当时，设关于的函数表达式为．
将分别代入，得
解得
．
由题意可知，冰柜每运行一次．
对于，当时，．
对于，当时，．
故这款冰柜一天内的有效制冷时间为．
解题模板
1.素材题按“读数据—建模—求解—回到情境作答”四步走，每一步都写清楚依据;
2.方案设计类要把每个方案都化成同一个函数，再比较函数值大小.
变式4-1【问题背景】
在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点．
【构建联系】
(1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式．
【深度拓展】
(2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标．
【动态延伸】
(3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)当是等腰三角形时，的值为或
【分析】（1）由矩形的性质可得点的坐标为，结合平移可得点的坐标为，进一步求解即可；
（2）表示平移个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为．可得，再进一步求解即可；
（3）利用矩形的性质求解．当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，此时点与点重合，③当时，设，再进一步结合反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解： 四边形是矩形，，，
∴，，
点的坐标为．
由平移得：点的坐标为．
把代入，得，
该双曲线的解析式为：．
（2）解：平移个单位长度后，点的坐标为，
边平移后所在的直线为，，
点的坐标为．
点、在图象上，
，
解得：，
点的坐标为．
（3）解：如图3，四边形是矩形，
．
当是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，
由平移可得：，．
．
点、在图象上，
．
解得．
②当时，此时点与点重合，
，．
点、在图象上，
，
解得．
③当时，设．
由平移可得，，
，
，
解得，
．
点、在图象上，
．
解得．
，
这与题意不符，舍去．
综上所述，当是等腰三角形时，的值为或．
变式4-2项目式学习
在数学综合实践活动中，某小组开展反比例函数与几何角度项目探究学习，阅读下列材料并完成探究问题．
问题解决
(1)任务1：设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上．
(2)任务2：证明：
(3)任务3：结合上面项目探究的构图方法、图形特征以及归纳得到的规律进行解答．如图2，若直线与反比例函数交于点C；D为反比例函数第一象限上的点，且，根据材料中提供的构图方法求出D点坐标．
【答案】(1)
证明：直线的函数表达式为，
的坐标满足，
点在直线上.
(2)证明：连接，交于点，如图，由题意得四边形是矩形，
，，，
，
，
．
是的半径，且的半径是
，
，
，
．
轴，
，
，即
(3)；
【分析】（1）根据矩形的性质和点的坐标，求出和点坐标，将代入正比例函数即可求出直线的解析式，将点代入即可判断是否满足在直线的解析上．
（2）根据矩形的性质求出，利用等腰对等角和外角的性质即可求出和的关系，根据平行线的性质判断和的关系，利用作图的思想判断出和的关系，通过等量转化即可证明．
（3）根据题中的作图法以及前两位的所得到的规律，先求出点的坐标，根据矩形的性质设点的坐标参数，几何勾股定理即可求出参数的值，从而求出坐标，即可知道点坐标，联立直线解析式和反比例函数即可求出的坐标．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，
由题意得，
四边形为矩形，
，，
，，
把点代入得，
直线的函数表达式为，
（2）证明：略
（3）解：当点在下方时，以点为圆心，以为半径作弧交函数的图象交于点，分别过点和作轴、和轴的平行线交分别于点．
联立方程，
解得，（舍去），
，
，
由作图可知，，
四边形为矩形，
设，则，，
在中，
，
，
，（负值舍去）
．
，
，
（舍去）
时，，
，
在直线上，设直线的解析式为，
联立直线解析式和反比例函数得，
，
．
同理，当点在上方，以点为圆心，以为半径作弧交函数的图象交于点，分别过点和作轴、和轴的平行线交分别于点．
联立方程，
解得，（舍去），
，
，
由作图可知，，
四边形为矩形，
设，则，，
在中，
，
，
，（负值舍去）
．
，
，
（舍去），
时，，
，
在直线上，设直线的解析式为，
，
联立直线解析式和反比例函数得，
，
．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，矩形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键在于第三问要分情况讨论，解题的易错点在于开方容易出错．
变式4-3小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为号弦，号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为（单位：）时，号弦的振动频率为（单位：），号弦的振动频率为（单位：），部分数据如下：
通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．
(1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
(2)当频率为时，对应号弦长与号弦长的差为________（结果保留整数）；
(3)通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断：
同一根琴弦，弦长越大频率越低；
两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值；
两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值；
要使号弦发出的声音比号弦发出的声音高八度（号弦的频率是号弦的频率的倍），两根琴弦的弦长比应为定值．
其中所有合理推断的序号是________．
【答案】(1)见解析；
(2)（答案不唯一）；
(3)．
【分析】（）根据画函数图象的方法及步骤即可；
（）根据函数图象进行求解即可；
（）根据函数图象进行分析即可．
【详解】（1）解：根据表格，描点，连线，
画图象如图，
（2）解：如图，
当时，对应号弦长为，号弦长为，
∴对应号弦长与号弦长的差为，
故答案为：（答案不唯一）；
（3）解：对同一根琴弦，，越大越小，即弦长越大频率越低，推断合理；
弦长相同时，频率差，随变化而变化，不是定值，推断错误；
弦长相同时，频率比，是定值，推断合理；
若，则，化简得，弦长比为定值，推断合理；
故答案为：．
题型五、图象性质探究——画图列表、性质归纳与动点对应
典例5（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）仍是双曲线吗？
(1)从出发：
①函数的图象是中心对称图形，对称中心是________；
②将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象对应的表达式为________；
③将的图象关于直线轴对称，所得图象对应的表达式为________．
(2)向行进：
设函数的图象为曲线．
①曲线可以由哪个函数的图象平移得到？请写出平移的方案；
②曲线可以由哪个函数的图象轴对称得到？请写出轴对称的方案；
(3)一般化思考：
一般地，函数（常数，，，为互不相等的正数，分子分母没有公因式）的图象（记作曲线）仍是双曲线，且可以由对应的反比例函数的图象变换得到．
①曲线的对称中心的坐标为________；
②若曲线的每段双曲线都满足随的增大而增大，则，，，应满足的条件为________．
【答案】(1)①；②；③；
(2)①曲线可以由反比例函数平移得到，平移方案是：由反比例函数向右平移个单位，向上平移个单位得到曲线；②曲线可以由函数轴对称得到，轴对称方案是：将函数的图象关于直线对称，可得到函数曲线
(3)①；②；
【分析】（1）①依据反比例函数的图象性质，直接写出对称中心；
②利用函数图象平移左加右减，上加下减的规律求出平移后的解析式；
③设出变换后图象上点的坐标，利用点关于直线对称的坐标关系，代入原函数求出解析式．
（2）①对分式解析式分离常数，化为的形式，反向确定原反比例函数以及平移方案；
②分离常数变形后，找到一个函数，仅通过一次轴对称变换得到曲线．
（3）①对分离常数，确定渐近线，求出对称中心坐标；
②根据反比例型函数的增减性，由反比例部分系数符号列出满足的不等关系．
【详解】（1）解：①的对称中心为；
②将的图象先向右平移个单位长度，得，再向上平移个单位长度，得；
③设是变换后图象上一点，其关于直线的对称点为，
∵该点在上．
∴，即；
（2）解：①
，
∴曲线可以由反比例函数平移得到，平移方案是：由反比例函数向右平移个单位，向上平移个单位得到曲线．
②设点是函数的图象关于直线对称的函数的图象上一点，
则点是函数的图象上一点，
∴，
∴函数的图象关于直线对称的函数的表达式为，
∴曲线可以由函数轴对称得到，轴对称方案是：将函数的图象关于直线对称，可得到函数曲线．
（3）解：①∵，
∴对称中心：
②∵双曲线每一段上随的增大而增大，
∴反比例函数的比例系数小于0，即．
解题模板
1.画图前先列表，取点要覆盖两支并体现渐近趋势，画完用特殊点回代检验;
2.动点与图象对应，先写面积（或长度）关于时间的解析式，再比对图象的拐点、端点与对称性.
变式5-1（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）问题提出
生活中许多问题既可以用“代数”方法解决，也可以从“图形”的角度来研究．
某数学兴趣小组在实践课上打算用篱笆围成固定面积为6的矩形生物园饲养小兔（如图1），进行如下探究．
初步探究
(1)设矩形的两边长分别为x，y，小组成员设计了下表，请填全下表：
(2)从矩形的面积为6可得到y与x的函数关系式为____，请在图2直角坐标系中画出这个函数的图像；
综合应用
定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．设点，将直线沿着轴方向向下平移个单位长度，平移后的直线与轴及（2）中双曲线交点分别为，，双曲线在点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）记为W．
(3)若上述区域内恰有个整点，求的取值范围：
拓展延伸
(4)对于任意实数，，我们定义：，如果关于的函数的图像记为，直线（为常量）与图象有两个公共点，那么的取值范围为____．
【答案】(1)3；
(2)，图象如下：
(3)
(4)或
【分析】（1）根据题意得，矩形面积固定为6，直接利用面积公式计算即可；
（2）由矩形面积，变形得函数关系式，进而画图即可；
（3）先求得直线，向下平移n个单位后解析式为．逐一列举时区域内y的整数取值，要使区域W内恰有4个整点，需满足保证已有4个整点，且不新增整点，即；
（4）联立，得两函数交于和．的图像取两函数靠上的部分，正半轴最小值为2，负半轴最大值为．直线与图像有两个公共点时，m的取值范围为或．
【详解】（1）解：由题意得，矩形的面积固定为6，
∴当时，，
当时，；
（2）解：∵矩形面积为6，
∴，
∴；
作图略；
（3）解：设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
由题意得，将直线向下平移n个单位后，则解析式为，
平移后直线与y轴交于，与双曲线的交点B的横坐标大于3，
作图如下：
∴区域W内的整点满足，当时，；
当时，，
∴当时，y的范围是，
当时，整数y可取0，共1个整点；
当时，y的范围是，
当时，整数y可取0，1，共2个整点；
当时，y的范围是，
当时，整数y可取1，共1个整点；
当时，y的范围是，
当时，无整点，
∵要使区域内恰有4个整点，
∴需满足，保证合计4个整点；，保证不新增整点，
∴n的取值范围为；
（4）解：画出函数图象如下：
由题意得，
解得或，
此时当时，；当时，，
∴两个函数交于和，
由图象得，当时，，
∴；
当时，，
∴；
∴当时，图象Q的最小值为2；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
∴当时，图象Q的最小值为，
∵直线与图像Q有两个公共点，
∴当时，与的两支各有1个交点，共2个；
当时，与的两支各有1个交点，共2个．
综上所述，m的取值范围为或．
变式5-2如图，在平面直角坐标系中点，点，动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒，过点的直线：也随之移动，反比例函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)若直线：与反比例函数的图象有唯一的公共点，求的值；
(3)若直线：与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，且点在点的左侧，当时，求的值．
【答案】(1)
(2).
(3)
【分析】（1）将点代入反比例函数解析式，即可求解；
（2）依题意得出，方程有唯一解，进而求得的值，结合题意求得的值；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，勾股定理求得，根据求得，，进而求得，结合题意求得的值．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴；
（2）解：∵直线：与反比例函数的图象有唯一的公共点，
当时，
即，有两个相等的解，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∵动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒，
∴，
（3）解：如图，
∵与轴交于点，在上，
设，，
∴，
∵当时，，
∴，
联立，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∵动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒，
∴．
变式5-3通过对一次函数、反比例函数的学习，我们积累了一定的经验．下面我们借鉴以往研究函数的经验，对的图象和性质进行探索．
【取值范围】
自变量的取值范围是不为零的全体实数；
【列表计算】
与的几组对应值列表如下：
(1)表格中____________，___________；
【描点画图】
(2)请在下图中补全函数的另一部分图象；
【性质探究】
(3)观察图象，写出函数两条不同的性质；
【拓展延伸】
(4)当直线与函数的图象有三个交点时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；0
(2)见解析
(3)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，函数值始终大于0；当时，函数值始终小于0
(4)
【分析】（1）代入函数表达式可得m，n的值；
（2）先描点，在连线，画出平滑的曲线即可；
（3）通过观察图像分析函数的性质（如对称性、增减性、最值）；
（4）直线与函数的图象有三个交点等价于方程有三个不同的实数根，即有三个不同的解．
【详解】（1）解：，
当时，，
当时，，
（2）解：如图所示：
（3）解：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，函数值始终大于0；当时，函数值始终小于0；
（4）解：由题意可知，要求直线与函数的图象有三个交点，
当时，，联立得，
，即，
因为，由基本不等式得，
，当且仅当时取等号，
所以当时，直线与部分的图象有两个交点，
当时，，联立得，
，即，
令，在时单调递减，值域为整个实数集，
故直线与部分的图像恒有一个交点，
综上所述，要使一共有三个交点，需满足．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作．某款智能机器人送餐时的电路原理图如图1所示，图中为电阻箱（一种变阻器，电阻阻值大小可调），为餐盘下的压力传感器，压力传感器的阻值随所受压力变化的函数图象如图2所示，下列说法正确的是（ ）
A．压力传感器阻值随所受压力的增大而增大
B．当时，压力传感器阻值
C．当送餐量为时，
D．为保证智能机器人的正常运行，电阻箱阻值
【答案】C
【分析】根据函数图象逐项进行判断即可．
【详解】解：A．由图得，压力传感器阻值R随所受压力F的增大而减小，此选项错误；
B．由图得，当时，压力传感器阻值，此选项错误；
C．由图得，当送餐量为时，即当时，，此选项正确；
D．因为智能机器人送餐一次的最大送餐量的压力F为150N，所以由图得此时，因为要求不低于140Ω，所以，即，此时，因此为保证智能机器人的正常运行，电阻箱阻值，此选项错误．
2．某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从匀速升至，加热时间为10分钟；然后自动转为恒温沸腾模式，保持持续2分钟；之后自动断电，温度开始自然下降．下降过程中，锅内温度与启动加热后通电时间成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）．当温度降至时，自动启动保温功能．如图是开始启动加热过程中，锅内温度与通电时间的函数关系图象，则下列说法中错误的是（ ）
A．启动后5分钟时，锅内温度为
B．加热阶段，与的函数关系式为
C．启动后15分钟时，锅内温度为
D．从启动到启动保温功能，锅内温度不低于的总时长为8分钟
【答案】D
【分析】根据题意分别求出加热阶段一次函数解析式、恒温阶段常数、降温阶段反比例函数解析式，再逐一判断各选项即可．
【详解】解：由题意可知，加热阶段图象过点和，
设加热阶段函数解析式为，
则，
解得，
加热阶段解析式为，故B选项说法正确，不符合题意；
当时，，故A选项说法正确，不符合题意；
恒温阶段时间为10至12分钟，温度为；
降温阶段，y与x成反比例，设，断电时刻为第12分钟，此时温度为，
图象过点
∴，
∴降温阶段解析式为，
当时，则，故C选项说法正确，不符合题意；
对于D选项，求温度不低于的时长，
在加热阶段，令，解得，时长为，
在恒温阶段，，时长为；
降温阶段，令，解得，时长为，
总时长为；故D选项说法错误．符合题意.
3．投影仪光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的图像投到与胶片平行的屏幕上，形成影像，已知等于，胶片与屏幕的距离为定值，设光源到胶片的距离的长为，的长为，如图2，随的变化而变化，下列说法中不正确的是（ ）
A．当时，随的增大而减小
B．的长为
C．当时，
D．
【答案】B
【分析】根据图可直接判断A、C选项；由， 可得， ，可判断D选项；由相似三角形的性质列式计算即可判断B选项．
【详解】解：由图可知，当时，随的增大而减小，故A正确，不符合题意；
当时，， 故C正确，不符合题意；
，
， ，故D正确，不符合题意；
，，
，
由图可知，当时，，
， 解得， 故B错误，符合题意．
4．近几年，我国学生肥胖率处于上升态势，而体重更成为学生健康状况的主要指标．为了方便学生测量体重，某物理小组设计了一台由电流表改装而成的简易体重计，其电路如图①所示．已知电源电压恒为，定值电阻，为压敏电阻，其阻值与所受到压力关系如图②所示，电流表的测量范围为，踏板重力不计，取．下列说法错误的是（ ）
A．不测量体重时，压敏电阻的值为
B．重为的同学站在水平放置的该体重计上时，电流表的示数为
C．该体重计能够测量的最大体重值是
D．在不改变电源电压和电流表的测量范围的情况下，减小的阻值可以增大该体重计的最大测量值
【答案】D
【分析】根据函数图象逐一判断即可．
【详解】由图2可知当压力为时，，A选项正确；
时，由图2可得对应的，
电流表的示数，B选项正确；
当电流表示数为时，，压敏电阻，
由图2可知此时的压力，即，
，C选项正确；
由于电源电压和电流表的测量范围不变，
不变，当减小时，增大，
由图2可知当增大时，减小，即测量值减小，
所以该体重计的最大测量值会减小，D选项错误．
5．节能冰箱通过变频技术或其他节能设计，实现电能高效利用．若某款节能冰箱的耗电功率为（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度（）与时间（min）之间的关系如图所示．通过观察发现：当内部温度为5时，冰箱运行，当温度下降到20时，停止运行，温度上升到5℃时，冰箱再次运行，如此循环．有以下结论：①当时，；②当时，，③；④如果冰箱每天耗电量（kW·h）耗电功率（）每天运行时间（h），则该款冰箱每天的耗电量不到．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先设y关于x的函数表达式为，再将点代入，并求出解可解答①；然后将点代入，求出解说明②；将代入②中的关系式解答③； 最后求出每天的耗电量，比较说明④即可．
【详解】解：设当时，y关于x的函数表达式为，将点代入，得
，
解得，
所以当时，y是x的一次函数，则①不正确；
当时，y关于x的函数关系式为，
将点代入，得，
所以当时，y是x的反比例函数，则②正确；
当时，，
解得，
所以，则③不正确；
每天的耗电量，
所以该冰箱每天耗电量低于1度，则④正确，
所以正确的有2个．
6．某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为，定值电阻的阻值为 ，力敏电阻的阻值随所受压力的变化而变化，它们的关系如图2所示．当电压表示数超过 时，触发超载警报．下列说法正确的是（ ）
知识小链接：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式 ；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
A．力敏电阻的阻值随压力的增大而增大
B．压力为 时，电压表示数为
C．触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于
D．若将定值电阻，更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力会更大
【答案】C
【分析】先明确电路为力敏电阻与定值电阻串联，电压表测定值电阻两端电压，结合力敏电阻阻值随压力变化的图像，利用欧姆定律和串联电路的电流、电压规律逐一分析选项：A选项：直接观察图像趋势判断力敏电阻阻值与压力的关系即可判断；B选项：从图像中找到压力为时对应的力敏电阻阻值，计算电路总电阻和电流，进而求出电压表示数即可判断；C选项：由触发警报的临界电压算出临界电流和总电阻，得出此时力敏电阻的临界阻值，再对应图像找到对应的压力，结合阻值随压力增大而减小的规律判断压力范围即可；D选项：分析更换更大阻值的后，警报触发时的电流、总电阻和力敏电阻阻值的变化，再对应压力的变化即可判断．
【详解】解：A、从图2可以看出，力敏电阻的阻值随压力的增大而减小，
∴A选项错误，该选项不符合题意；
B、当压力为时，由图2可知，
∴电路总电阻，
∵电源电压，
∴电路电流，
∴电压表示数，
∴B选项错误，该选项不符合题意；
C、触发警报时电压表示数超过，即，，
此时电路电流，
∵电源电压，
∴总电阻，
∴力敏电阻阻值，
由图2可知，时对应，且随增大而减小，
∴触发警报时力敏电阻所受压力大于，
∴C选项正确，该选项符合题意；
D、若将定值电阻更换为阻值更大的电阻，警报触发时不变，
∴电路电流会变小，
∵电源电压，
∴总电阻会变大，
∴力敏电阻阻值会变大，
∵随增大而减小，
∴变大对应变小，即警报触发时对应的压力会更小，
∴D选项错误，该选项不符合题意．
7．如图，已知点，均为反比例函数图象上的点，若点关于直线对称的点在坐标轴上，则的值为________．
【答案】
或
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再根据轴对称的性质求出点 关于直线的对称点坐标，最后根据对称点在坐标轴上分类讨论求解的值．
【详解】解：把点代入得，
反比例函数的解析式为，
把点代入，得，解得，
点的坐标为，
设点关于直线的对称点为，
连接并延长交y轴于点C，
记直线与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点D，直线与x轴的交点为点B，如图，
在直线中，令，可得；令，则，
，且，
为等腰直角三角形，
，
由对称可知，直线与直线互相垂直，
，
，
为等腰直角三角形，
，
设点，则点，
设直线的函数表达式为，
则有，解得，
直线的解析式为，
把代入得，解得，
直线的解析式为，
联立直线与对称轴的方程，
解得交点坐标为，
根据中点坐标公式可得，
解得，，
对称点的坐标为，
点在坐标轴上，
分两种情况讨论：当点在轴上时，纵坐标为，即，解得，
当点在轴上时，横坐标为，即，解得，
综上所述，的值为或 ．
8．在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）．
（1）内整点的个数为________个；
（2）设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线交双曲线于点，，记线段，，双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）有不超过8个整点，则的取值范围是________．
【答案】 5
【详解】解：（1）∵经过点，
∴，
∴，
则双曲线 ，
当时，，
在直线上，当时，有整点、、，
当时，，
在直线上，当时，有整点，
当时，，
在直线上，当时，有整点，
当时，，
在直线上，当时，没有整点．
∴G内整点的个数为5个．
（2）如图，
当时，点， 点此时在区域W内(不包含边界)有、、共3个整点，线段上有4个整点，线段上有4个整点，
∵点重合，点在边界上，
∴当时，区域W内至少有个整点，
当时， ，，
线段上有4个整点，此时区域W内整点个数为8个，
当时，区域W内部整点个数增加，
若W内部(不包括边界)不超过8个整点， ．
9．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”．
例如都是“黎点”．
（1）当时，双曲线上的“黎点”为________；
（2）若抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，则当时，的取值范围为___________．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识；解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
（1）设双曲线上的“黎点”为，构建方程求解即可；
（2）抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，即，可得结论．
【详解】（1）解：设双曲线上的“黎点”为，
则有（负值舍去），
经检验，是原分式方程的解，
当时，双曲线上的“黎点”为．
（2）抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，
方程即有且只有一个解，
，
．
10．如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）．
【答案】
【分析】连接，利用的两种表示方法来推导函数解析式，再确定自变量的取值范围．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
即，
∴．
当点与点重合时，，此时最短；
当点与点重合时，，此时最长；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是作辅助线，找到等量关系．
11．（26-27九年级上·湖北荆门·期中）在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为．根据定义，解答下列问题：
(1)①点的“郡值”为______；
②函数在时的“最优郡值”为______；
(2)线段：，当时的“最优郡值”为，求的值；
(3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）①根据“郡值”的定义，点的“郡值”即为纵坐标与横坐标的差，代入计算即可；
②函数的“郡值”表达为，所以根据在时随的增大而减小，即可判断当时，取得最大值，故“最优郡值”为；
（2）函数的“郡值”表达式为，“最优郡值”为，即的最大值为，那么需要分情况讨论的符号，根据的增减性代入对应区间的端点值计算出最大值，从而解得的值；
（3）将二次函数图象的顶点代入直线，得到，然后代回二次函数解析式得，从而求出二次函数“郡值”的表达式为，由于在上的最大值为，因此需要分三种情况讨论对称轴的位置，分别是，和，根据“郡值”表达式的增减性代入对应区间端点计算最大值，从而解得的值．
【详解】（1）解：①点的“郡值”为；
②，
，
在时随的增大而减小，
时，的最大值为，
函数的“最优郡值”为．
（2）解：线段，
，
的“最优郡值”为，且时，，
当，即时，随增大而减小，
要取得最大值，则，
∴，
解得，经检验符合，
．
（3）解：二次函数图象的顶点在直线上，
，
，
二次函数“郡值”表达式为，
二次函数的“最优郡值”为，即在上的最大值为，
需要分三种情况讨论对称轴的位置．
情况一：当对称轴时，即时，在区间上随增大而减小，
当时，取得最大值，代入得，解得或（舍去）；
情况二：当对称轴时，在区间上的最大值即为顶点纵坐标，代入得，，
该情况与题意不符；
情况三：当对称轴时，即时，在区间上随增大而增大，
当时，取得最大值，代入得，解得（舍去）或．
综上所述，或．
12．在平面直角坐标系中，点在第一象限，过点P作x轴和y轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，点．令，，则称点为点P的“k双曲点”．例如：如图1，当，点P的坐标为时，可得到，，则，，所以点P的“1双曲点”为．
(1)若点的“k双曲点”为点，求k及n的值；
(2)若，
①点P的“1双曲点”为点，求点P的坐标；
②阅读理解：设点P在反比例函数的图象上，则可设，可求得点P的“1双曲点”为点，因为，所以点Q在反比例函数的图象上．
解决如下问题：如图2，设点P在一次函数的图象上，点Q为点P的“1双曲点”，设，，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)①；②
【分析】（1）根据题意，设点，点．由题意列方程，即可依次求解；
（2）①设，点，点．由点P的“1双曲点”为点，得点，点，进而得方程组，解之即可；
②阅读题中所给例子，设，得点，点，
进而得，点Q在一次函数的图象上，作关于直线的对称点，得，，当，，三点共线时， 的值最大，根据两点间的距离公式即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，
点，点，
，
，
， ，
；
（2）解：①由题意可知：轴，轴，
设，点，点．
点P的“1双曲点”为点，
点，点，
，
，
（负值已舍去），
；
②点P在一次函数的图象上，设，
由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，点，
点Q为点P的“1双曲点”，
，
，
所以点Q在一次函数的图象上，
作关于直线的对称点，
交直线于点D，
作轴于，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
关于直线对称，
，
，
当，，三点共线时，，
此时的值最大，
，
，
即的最大值为．
【点睛】本题主要考查了新定义下反比例函数与一次函数的综合，涉及轴对称及解直角三角形相关知识，理解题意，作出适当的辅助线是正确解答此题的关键．
13．新定义：如果实数m，n满足时，则称为“基础点”，称为“创新点”．例如，是“基础点”，是“创新点”．
(1)求正比例函数图象上“创新点”的坐标；
(2)若点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”，点B，C是反比例函数函数图象上的“创新点”，点M是反比例函数图象上的动点．求当面积与的面积相等时点M的坐标；
(3)已知点是抛物线上的“创新点”，若，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或或
(3)
【分析】（1）设正比例函数图象上“创新点”的坐标为，得到，据此计算即可求解；
（2）设点A的坐标为，根据题意得，由题意，解得，得到反比例函数的解析式为，点A的坐标为，设点是反比例函数图象上的“创新点”，求得点B，C的坐标分别为，，由面积与的面积相等，得到，分两种情况讨论即可求解；
（3）利用根与系数的关系求得，根据题意求得，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设正比例函数图象上“创新点”的坐标为，
根据题意得，
解得，则，
∴正比例函数图象上“创新点”的坐标为；
（2）解：设点A的坐标为，
根据题意得，整理得，
∵点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
解得，，
∴点A的坐标为，
设点是反比例函数图象上的“创新点”，
根据题意得，
消去并整理得，
解得，，
∴，，
∴点B，C的坐标分别为，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵面积与的面积相等，
∴，
可设直线的解析式为，
将代入得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或，
∴，
在中，令，则，
将直线向下平移4个单位的直线，
直线与双曲线的交点为，
此时也满足面积与的面积相等，
联立得，
解得或，
将或分别代入，
得或，
∴或，
综上，点M的坐标为或或；
（3）解：∵点是抛物线上的“创新点”，
则即，
则即，
∴是方程的两个根，
∴，
∴，，
∴
，
∵，且，
∴，，，
由，得；
由，得；
∴，
设函数，
∴当时，
函数的值随自变量的增大而减少，
当，；
当，；
∴，
∴．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
14．已知y是关于x的函数，若其图象经过点，则称点S为函数图象上的“双语点”．例如：直线上存在“双语点”．
(1)判断在下列关于x的函数中，是否存在“双语点”．存在的请在相应题目后的括号打“√”，不存在的请在相应题目后的括号打“×”；
①（ ）；②（ ）；③（ ）
(2)若抛物线上有两个“双语点”和，当时，求m的值；
(3)若关于x的函数的图象上存在两个“双语点”C和D，且同时满足①，②时，求线段CD长度L的取值范围．
【答案】(1)√，×，×
(2)
(3)
【分析】（1）根据“双语点”的定义解答即可；
（2）将代入抛物线整理得，由抛物线有2个双语点可知，求出，由整理得，进而可求就出m的值；
（3）由，可得，由双语点的定义得，整理得，求出，，然后根据两点间的距离公式求解即可．
【详解】（1）∵当时，，
∴存在“双语点”；
∵当时，方程无解，
∴不存在“双语点”；
∵当时，
，
，方程无解，
∴存在“双语点”；
故答案为：√，×，×；
（2）设抛物线“双语点”的坐标为，
将点S的坐标代入抛物线中得：
，
，
∵“双语点”为和，
∴、是方程的两个根，
则，，
，
∴，
∴，
又∵，
化简得：，，，（舍去），
综上所述；
（3）∵，∴，
∵，∴且，∴，
∵，∴，
∴，，
，
，
∵，
∴．
【点睛】本体考查了新定义，一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，两点间的距离公式，理解双语点的含义是解答本题的关键．
15．【概念定义】中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线，在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线l：满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．
例如：如图1，直线l：是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．
(1)【初步应用】：在直线①，②，③，④中，是图1函数的图象与正方形的“楚河汉界线”的有_____（填序号）；
(2)【深入探究】：如图2，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，若与的“楚河汉界线”有且只有一条，此时的半径为_____，请求出此“楚河汉界线”的表达式；
(3)【拓展延伸】：正方形的边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，直线是函数的图象与正方形的“楚河汉界线”．
①若，“楚河汉界线”有且只有一条时，求t的值；
②若存在“楚河汉界线”，请求出t的取值范围．
【答案】(1)①④
(2)2，“楚河汉界线”的解析式为
(3)①②的取值范围为或者
【分析】（1）将几个函数图像在平面直角坐标系中画出来，根据“楚河汉界线”的定义找出正确答案；
（2）根据条件可知“楚河汉界线”是的切线，且点为切点，利用切点的性质求出的切线，再根据双垂直得到，利用相似求得点的坐标，根据待定系数法求出“楚河汉界线”的解析式；
（3）根据“楚河汉界线”的定义，分成抛物线在“楚河汉界线”上方和抛物线在“楚河汉界线”下方两种可能，找出的取值范围，取的特殊值，从而解出的取值范围．
【详解】（1）解：根据“楚河汉界线”的定义知，“楚河汉界线”在图像的下方，在图像的上方，
∴在平面直角坐标系中将①，②，③，④画出来，如下图所示：
由图像可知，满足条件；
（2）解：∵与的“楚河汉界线”有且只有一条，
∴“楚河汉界线”是与相切且切点为点的直线，
∴为的半径，
如图所示，连接，过点作轴交轴于点，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
在中，，
∴的半径为；
过点作的切线交轴于点，交轴于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，解得，
∴点的坐标为，
设所在直线的解析式为，
将点分别代入，
得，解得，
∴“楚河汉界线”的解析式为；
（3）解：∵正方形的边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，
∴正方形的边长为2，
∴点；
二次函数开口向下，
顶点横坐标为，将代入，解得，
∴顶点坐标为，
将代入中，解得，
将代入中，解得，
∴二次函数的两个端点坐标为；
①当时，正方形在函数的下方，如下图所示：
∵“楚河汉界线”有且只有一条，
∴“楚河汉界线”经过点，点，
将代入中，得，解得，
∴“楚河汉界线”的解析式为，
将代入，得，解得；
②当正方形在“楚河汉界线”的上方，函数在“楚河汉界线”的下方，
则点在“楚河汉界线”的上方，
即，解得，
二次函数在“楚河汉界线”的下方，
联立，解得，
此时，两条线有一个交点或者无交点，
∴，解得；，
随的变化而变化，取“楚河汉界线”临界值，即，
∴，
∴；
当正方形在“楚河汉界线”的下方，函数在“楚河汉界线”的上方，
则点在“楚河汉界线”的下方，
即，解得，
二次函数在“楚河汉界线”的上方，
即，解得，
随的变化而变化，取“楚河汉界线”临界值，即，
∴，
∴；
综上所述，的取值范围为或者．
16．点P为图形M上任意一点，过点P作直线l，垂足为Q，记的长度为d．
定义一：若d存在最大值，则称其为“图形M到直线l的限距离”，记作；
定义二：若d存在最小值，则称其为“图形M到直线l的基距离”，记作；
(1)已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作H，求．
(2)已知直线，点，点是x轴上一个动点，的半径为，点C在上，若，求此时t的取值范围．
(3)已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形K，若，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题综合考察了函数图象的性质，最值问题，难度较大，综合运用函数图象，几何图形性质是解题的关键．
（1）设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，作直线的平行线：交反比例函数于点P，连接并延长交直线于点Q，过点P作轴于点M，先求b值，再确定，由，得到，从而求得；
（2）设直线交x轴于点，交y轴于点，过点T作，当C、T、H三点共线时，圆T上的点到直线的距离最大，最大值为的长度，由，先求得，再求出，最后得到t的范围；
（3）先由直线恒过定点，得到，即在直线上，因为，所以直线和正方形相交，分点F在上和点E在上两种情况，求出m的取值范围．
【详解】（1）解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
则，，
∴，，
如图1，作直线的平行线：交反比例函数于点P，连接并延长交直线于点Q，过点P作轴于点M，
由题意得：与反比例函数只有一个交点，故，
整理得：，
则，
解得：（负值已舍去），
则，
解得：，
故点，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故；
（2）解：如图2，设直线交x轴于点，交y轴于点，过点T作，
当C、T、H三点共线时，圆T上的点到直线的距离最大，最大值为的长度，
∵，的半径为，
∴，
由，可知，
，，
在中，
∵，
∴，
则，
在中，
，
∵，
∴，即，
解得：或；
（3）解：∵直线恒过定点，
∴，
整理得：，
∴且，
解得：且，即，
∴在直线上，
∵，
∴直线和正方形相交，
∵点，
∴点E在直线上运动；
①当点E所对顶点F在上时，如图3，
即点E、F关于原点对称，
，，
∵点F在上，
∴，
解得：，
当点E向上运动时，正方形的对角线变短，正方形变小，无交点，
故点E要向下运动，
∴；
②当点E运动到时，如图4，
，
将E点坐标代入的表达式得：，
解得：，
当点E向下运动时，正方形的对角线变短，正方形变小，无交点，
故点E要向上运动，
∴；
综上，或．
17．定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
(1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长．
(2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明．
【答案】(1)
(2)
如图所示，点为所求．
(3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，
理由如下：
第一种情况：当，则，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设点，
，，则，
点、在反比例函数的图象上，
得：，
由①得：，将其代入②，得：，
整理，得：，
解得：，
，（舍去），
，，，
，，，
，，，
，，
，，
，，
点、为、的中外比点．
点在反比例函数的图象上，，
，
反比例函数为，
，
设直线的函数解析式为，
将点，代入，得：，
直线的函数解析式为，
联立方程组，解得：，
，
，
点为的中外比点．
第二种情况：当，则，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设点，
，，则，
点、在反比例函数的图象上，
得：，
由①得：，将其代入②，得：，
整理，得：，
解得：，
，（舍去），
，，，
，，，
，，，
，，
点、为、的中外比点．
点在反比例函数的图象上，，
，
反比例函数为，
，
设直线的函数解析式为，
将点，代入，得：，
直线的函数解析式为，
联立方程组，解得：，
，
，
点为的中外比点．
第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在．
综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点．
【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解；
（2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点．
设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点；
（3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符．
【详解】（1）解：设，则，
根据题意，得：，即，
整理，得：，解得：，，
，
舍去，
．
（2）解：如图所示，点为所求．
设，
根据题意，得：，，
，
，，
，，
，
点为线段的中外比点．
（3）略
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键．
18．在矩形中，，，当时，我们把这个矩形称为“等和积矩形”，根据此定义，解答下列问题：
(1)如图1，若矩形是“等和积矩形”，且，则 ；
(2)分别以矩形的边，所在的直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，点在第一象限，点与点O重合，若“等和积矩形”的面积为8，则点的坐标为 ；
(3)从函数的角度研究“等和积矩形”，已知一个“等和积矩形”的邻边长分别为，．
①直接写出与之间的函数表达式；
②请直接在图2中画出①中函数的图象，研究①中的函数表达式，请说明该函数的图象可以通过反比例函数的图象经过怎样的平移得到？并观察图象，写出该函数的一条性质；
③若将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，则这个新矩形还是不是“等和积矩形”？请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)①；
②如图所示，
通过反比例函数图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位平移得到；性质：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
③将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形不一定是“等和积矩形”，理由：
∵，
∴，
当时，，
当时，，
∴将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形不一定是“等和积矩形”．
【分析】（1）首先由得到，然后代入，整理得到，即可求解；
（2）根据，，求出a、b值，即可求解；
（3）①根据得；
②列表，然后描点画出函数图象，然后得到平移方式，观察函数图象得到函数性质；
③由，，则当时，，当时，，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
∵，
∴
整理得，
解得：，（舍去），
∴；
（2）解：由题意，得，
∴
∴，
∴
解得：，，
∴或，
∴或，
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标或；
（3）解：①∵
∴；
②列表如下：
根据列表描点、连线即可得到函数的图象及性质；
③略
【点睛】本题考查新定义，图象的平移，矩形的性质，点的坐标，反比例函数的性质，作函数图象等，有一定的综合性，难度适中，解题的关键是掌握以上知识点．
19．综合实践课上，老师带领同学们研究反比例函数图象平移的性质，已知反比例函数的图像，老师先将的图象向左平移1个单位长度，再将的图象向下平移1个单位长度，可以得到新函数的图象，如图，老师已经画出了新函数图象的一支曲线．
(1)请在图中画出新函数图象的另一支曲线，并写出这个新函数的一条性质；
(2)若过点作一直线，与这个新函数图象仅有一个交点，求该交点的横坐标；
(3)直线与这个新函数图象在第一象限交于点A，在第三象限交于点B，C为线段的中点，过点C的一条直线与这个新函数的图象交于P、Q两点（点P在第三象限），若以A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为12，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
根据上述3个点描点连线绘制函数图象如下：
函数图象无限接近直线和直线，但不相交（答案不唯一）
(2)交点的横坐标为
(3)点
【分析】（1）描点，即可作出函数图象，观察函数图象即可得到函数的性质；
（2）设过点的一直线为，联立上式和原函数的表达式并整理得：，由，得到，再解一元二次方程即可；
（3）证明四边形为平行四边形，则，即可求解．
【详解】（1）解：（1）当时，，当时，，当时，，
从函数图象看，函数图象无限接近直线和直线，但不相交（答案不唯一）；
（2）解：设过点的一直线为，
代入得：，
∴
∴直线为：，
联立上式和原函数的表达式得
整理得：，
则，
解得：，
则方程为：，
解得：，
即该交点的横坐标为；
（3）解：如图：
联立和曲线的表达式得，
∴，
解得：或，
经检验，均是方程的根，
即点、的坐标分别为：、，
∵C是中点，
∴点，
∵原反比例函数为中心对称图形，且对称中心为，
将其向左平移1个单位，向下平移1个单位后得到，
∴此时对称中心为，
∴函数图象为以点为对称中心的对称图形，
则，而，
∴四边形为平行四边形，
则，
同上可求直线（过点的表达式为：
，
联立上式和曲线的表达式得：
∴，
解得：，，
则，
过点作轴交于点，则点，
则，
∵，
∴，
解得：（舍去）或2，
而，
则点．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，反比例函数的图象与性质，解分式方程，平移的性质，平行四边形的判定与性质，反比例函数与一次函数的交点问题，难度较大，计算复杂，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．若函数y经过矩形一条对角线上的两个端点，则称函数y为这个矩形的“对角函数”．
(1)如图，在矩形中，轴，，．
①若点A的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则一次函数的解析式为________．
②若反比例函数是矩形的“对角函数”，且经过B，D两点，求点A的坐标．
(2)若二次函数是矩形的“对角函数”，且经过A，C两点，已知点，，轴．
①当与矩形有且只有两个交点时，求m的取值范围；
②已知是上一点，当时，的最大值和最小值的差是3，求m的值．
【答案】(1)①或；②或
(2)①或；②m的值为或
【分析】（1）①分两种情况：一次函数经过A、C两点时；一次函数经过B、D两点时；分别利用待定系数法即可求解；
②设，则可得点B的坐标，由点B在图象上，可求得t的值，进而求得点A的坐标；
（2）①由待定系数法求出抛物线的解析式，并求出其顶点坐标，由题意得两个不等式组：或，解不等式组即可；
②分四种情况讨论即可．
【详解】（1）解：点A的坐标为，轴，，，
；
当一次函数经过A、C两点时，
，解得：，
；
同理，当一次函数经过B、D两点时，；
故答案为：或；
②设，
轴，，，
点B的坐标，
点B在图象上，
，
解得：；
当时，，此时；
当时，，此时；
点A的坐标为或；
（2）解：①，，轴，
；
经过A，C两点，
，解得：，
；
，
顶点坐标为；
∵抛物线与矩形有且仅有两个交点，
或，
解得：或；
②由（2）①知，，
当时，；当时，；
下面分四种情况考虑：
（一）当，即时，
当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数在处取得最大值，在处取得最小值；
由题意得：，解得：（不合题意，舍去）；
（二）当，即，且时，
当时，函数值随自变量的增大而增大，此时函数在处取得最小值，在处取得最大值；
由题意得：，解得：（不合题意，舍去）；
（三）当，即时，
当时，函数值在顶点取得最小值，
若，即时，
函数在处取得最大值；
则，
解得（舍去）；
（四）若，即时，
函数在处取得最大值；
则，
解得（舍去）；
综上，m的值为或．
【点睛】本题是三种函数的综合，考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，涉及分类讨论思想的运用．
21．定义：有两个内角和为的三角形为“美好三角形”．
(1)判断下列三角是否为“美好三角形”，如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”；
①有一个角为的直角三角形；（ ）
②有一个角为的直角三角形；（ ）
③有一个角为的三角形；（ ）
(2)如图①，直线：与双曲线：相交于点M，点N在x的正半轴上，若是“美好三角形”，求出此时点N的坐标；
(3)如图②，二次函数：的顶点为A，与x轴交于B，C两点，D在内部，连接，当均为“美好三角形”，此时的面积为，的面积为，的面积为，当时，求和的表达式（用含m的式子表示）
【答案】(1)×，×，√
(2)点N的坐标为或
(3)，
【分析】（1）根据“美好三角形”分别得出角度求解即可；
（2）联立与，求出点M坐标为；根据是“美好三角形”，分为①当时，过M作，得出， 求解即可；②当时，过N作，得出， 根据，得出，即可求出，再根据勾股定理求出，求解即可；
（3）根据二次函数对称性得出，过点D作，当均为“美好三角形”时， 得出，，证出，得出相似比为，即可求出，得出与m的关系；再证明，根据相似三角形性质即可得出，即可得出与m的关系；
【详解】（1）解：① ∵有一个角为的直角三角形，三个内角分别为，
，
∴该三角形不是 “美好三角形”．
故答案为：×
②有一个角为的直角三角形；
三个内角分别为，，
∴该三角形不是 “美好三角形”．
故答案为：×
③有一个角为的三角形；其余两个内角的和为，
∴该三角形是“美好三角形”．
故答案为：√．
（2）联立与，
解得，将代入得，
∴点M坐标为；
若是“美好三角形”，
当时，
过M作，
则，
∴，
∴，
∴ ；
当时，
过N作，
则，
∴，
，
，
，
，
，
，
综上，点N的坐标为或；
（3）根据二次函数与x轴交于B，C两点，顶点为A，故，
过点D作，
当均为“美好三角形”时，
，，
，
，
∴．
∴，
∴，
，
∵的面积为，的面积为，的面积为， ，
；
，
，
综上，，．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
22．在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，能用光屏承接．凸透镜能成实像的前提是物体在一倍焦距以外，而光线能会聚的是因为折射．
上图中，凸透镜的焦距为，主光轴，点，，，，都在上，其中是光心，，，蜡烛，垂足为（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点，（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为，像高为，物距为，像距为．
(1)若，，，则______，______．
(2)求证．
(3)当一定时，画出与之间的函数图像，并结合图像，描述是怎样随着的变化而变化的．
【答案】(1)20；30
(2)证明：根据题意可知，，，，
，
，
，即，
整理得：，
，，
，
，
，
，即 ，
，，
，
，
；
(3)函数图像如所示：
随着的增大而减小．
【分析】（1）证明△△，得出，得出，证明，得出，求出即可；由，解得：；
（2）证明，得出，求出，证明，得出，得出，求出，得出；
（3）先列表，再描点，然后连线即可画出函数图象，根据函数图象得出随着的增大而减小．
【详解】（1）根据题意可知，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，
解得：，即；
，即，
解得：，即；
故答案为：20；30；
（2）略
（3）列表：
描点、连线，图略，
根据函数图象可知，随着的增大而减小．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，平行线的性质，画函数图象，从函数图象中获取信息，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，数形结合．
23．新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要．
(1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？
(2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于时，并且不低于，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：
①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围；
②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明．
【答案】(1)生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要
(2)①，；
②小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗，计算说明如下：
在中，当时，，解得，
当时，，解得，
∴小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗．
【分析】（1）根据生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要建立方程组求解即可；
（2）①利用待定系数法求解即可；②在中，分别求出和时，x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要．
根据题意得，
解得，
答：生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要；
（2）解：①设当时，，当时，，
由题意得，，
解得，
∴，．
②略
24．打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题：
打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系．
(1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式；
(2)求第一次锻造操作的时长；
(3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）．
【答案】(1)（）；（）
(2)10
(3)25.1
【分析】（1）根据题意分别设第一次煅烧和锻造的函数解析式为与，再结合图象找出其经过的点，最后利用待定系数法求解即可；
（2）利用（1）中求出的第一次锻造的函数解析式，分别算出与时的自变量取值，再作差求解即可；
（3）设第二次煅烧时的函数解析式为，根据每次煅烧温度上升的速度相同，得到，再结合图象利用待定系数法求出第二次煅烧时的函数解析式，最后求出当时，自变量的值，即可解题．
【详解】（1）解：第一次煅烧时温度y（）与时间x（）成一次函数关系，
设此时函数解析式为，由图象可知，该函数经过和两点，
即，解得，
即（），
第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系，
设此时函数解析式为，
由图象可知，该函数经过点，即，解得，
即（）；
（2）解：当时，，解得：，
当时，，
（），
所以第一次锻造操作的时长是10；
（3）解：每次煅烧温度上升的速度相同，
设第二次煅烧时温度y（）与时间x（）的函数解析式为，
由题意得，即函数解析式为，此函数经过点，
代入可得，，
，即，
当时，，
所以第二次开始锻造的时间约为第25.1．
25．根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：，；任务2：；任务3：
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，待定系数法，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定等知识．
任务1∶运用待定系数法即可求得答案；
任务2∶过点A、C分别作轴于F，轴于G，则，可得，利用相似三角形的性质求出，，进而得出点C、D、E的坐标，即可求得答案；
任务3：由，得，即可求得直线的解析式为，与反比例函数解析式联立即可求得点P的坐标．
【详解】解：任务1：将点代入，得：，
解得：；
将点代入，得，
解得：；
任务2：如图2，过点A、C分别作轴于F，轴于G，则．
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，
∵轴，
∴，，
∴，，
∴；
任务3：∵，
∴．
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为．
联立得：，解得：或（舍去），
当时，，
∴点P的坐标为．
26．一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分．
(1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域；
(2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)加速段：，自变量取值范围 ．衰减段：
解析式为，自变量取值范围 ．
(2)两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数自变量取值范围的确定及方程的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、结合自变量取值范围分析实际问题是解题的关键．
（1）加速段设一次函数，代入两点求解析式及定义域；衰减段设反比例函数，代入点求解析式及定义域．
（2）另一辆车速度用延续的一次函数，分两段列速度差方程，验证解是否在对应定义域内．
【详解】（1）解：加速段：设解析式为，代入，得
，
解得，，
∴，自变量取值范围 ．
衰减段：设解析式为，代入得
，
∴解析式为，自变量取值范围 ．
（2）解：由题意可得另一辆车速度函数：（）．
当 时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10．
当 时，有，
，
，
解得或（舍去），
经检验，是原分式方程的解．
∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差．
27．如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从D点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点K（与相距）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
(1)求线段的函数表达式（写出x的取值范围）．
(2)当时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
(3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于的函数类型，并用一个比较接近的函数关系式来表达它们的函数．
②当v为多少时，运动员的成绩恰能达标？
【答案】(1)
(2)的横坐标为22.5，成绩未达标
(3)①a与成反比例函数关系，；②当时，运动员的成绩恰能达标
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题．
（1）根据图像得出点的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将代入二次函数解析式，由解出x的值，比较即可得出结果；
（3）由图像可知，a与成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K的坐标，代入即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值．
【详解】（1）解：由图2可知：，
设的解析式为：，
将代入，得：
，解得，
∴线段的函数表达式为．
（2）当时，，由题意得，
解得（舍去），
∴的横坐标为22.5．
∵，
∴成绩未达标．
（3）①猜想a与成反比例函数关系．
∴设
将代入得解得，
∴．
将代入，验证：，
∴；
②由K在线段上，得，代入得，得，
由得，
又∵，
∴，
∴当时，运动员的成绩恰能达标．
28．请根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：；任务2：元；任务3：，，金额．
【分析】此题考查了反比例函数，分式方程的应用，有理数混合运算的实际应用，解题的关键是掌握以上知识点．
任务1：设与之间的函数表达式为，根据题意列出式子，求出即可；
任务2：设农户第2天销售这种草莓价格单价为元，则第6天的销售价格为元，进而得出第2天和第6天的销售量，结合题意可得，求解检验即可；
任务3：由任务2可得第2天的销售价格为元，第6天的销售价格为元，结合题意可得第2天甲、乙两人购买草莓，第6天时甲购买草莓的重量为，乙购买草莓总价为元，进而可得甲，乙两次购买这种草莓的平均单价为，根据，可得按相同金额购买更合算．
【详解】解：任务1：由题意可设与之间的函数表达式为，
根据题意可列，
解得：，
∴与之间的函数表达式为．
任务2：设农户第2天销售这种草莓价格单价为元，则第6天的销售价格为元．
∵与之间的函数表达式为，
∴第2天销售量为，第6天的销售量为，
∵第6天的销售量是第2天的2倍，
∴，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际．
答：农户第2天的销售价格为元；
任务3：由任务2可得第2天的销售价格为元，第6天的销售价格为元，
∵甲、乙两人第2天去此水果超市各购买了元的草莓，在试销第6天时甲去此水果超市购买草莓的总价与上次相同，乙购买草莓的数量与上次相同，
∴第2天甲、乙两人购买草莓，
又∵第6天时甲去此水果超市购买草莓的总价与上次相同，乙购买草莓的数量与上次相同，
∴第6天时甲购买草莓的重量为，乙购买草莓总价为元，
∴甲两次购买这种草莓的平均单价为元，乙两次购买这种草莓的平均单价为元，
∵，
∴按相同金额购买更合算．
29．【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为．
根据I与R之间的关系得出一组数据如下：
(1)填空： ____________，____________；
(2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质；
(3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？
【答案】(1)3，4；
(2)根据表格数据在平面直角坐标系描点作图如下：
电流随可变电阻R的增大而减小；
(3)电子体重秤可称的最大质量为101千克．
【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数图象的综合运用，掌握自变量，函数值的计算方法，待定系数法求解析是解题的关键．
（1）根据题意，分别把，代入，即可求解；
（2）根据表中数据在图中描出实数对的对应点，用平滑曲线连接即可；
（3）根据题意可求出可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，根据电流表量程，电流与电压，电阻的函数关系可求出子体重秤可称的最大质量．
【详解】（1）解：已知电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为，
当时，，即，
当时，，，即，
故答案为：3，4；
（2）根据题意：
由图可知：电流随可变电阻R的增大而减小；
（3）解：根据题意，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，且该直线过，
，解得：，
可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为：，
可变电阻R随人的质量m增大而减小，
当时，，
；
当时，，
，
，
m不能超过；
当时，，解得：，
，解得：，
电子体重秤可称的最大质量为101千克．
30．模型学习：
如图，，，，垂足分别为、、，且三个垂足在同一直线上，
我们把这样的图形叫“型图”；易得．
模型应用：
(1)如图，已知在四边形中，，，，，，若以为直径的圆与边相交于点，则的长为______．
模型拓展：
(2)如图，在平面直角坐标系中，直线：与、轴分别相交于点、，将直线绕点逆时针旋转后得到直线，求直线的函数关系式．
模型延伸：
(3)如图，反比例函数的图象经过点，在的右侧该图象上找一点，使，求点的坐标．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）利用模型中的结论，设，根据相似三角形的性质构建方程求解即可；
（2）如图，过点作于，过点作轴于，交的延长线于．得出，求出，利用待定系数法求出直线的函数关系式即可；
（3）如图，过点作于，作轴于，作交的延长线于，设，利用模型的结论，构造相似三角形解决问题即可．
【详解】（1）解：如图，设，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
∴或．
（2）解：如图，过点作于，过点作轴于，交的延长线于．
∵与、轴分别相交于点、，
∴当时，，当时，，
∴，，，，
∵将直线绕点逆时针旋转后得到直线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
（3）解：如图，当时，过点作于，作轴于，作交的延长线于，设，
∵，
∴，
同（1）可得，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，，，，
∴反比例函数解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线与反比例函数解析式得，，
解得：或，
∵点在第一象限，
∴．
31．如图，在矩形中，，，点E为线段的中点，动点P以每秒1个单位长度从点B出发，沿着运动．动点Q同时以每秒个单位长度从点D出发，沿方向运动，当点P到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点P、Q的运动时间均为x秒，记的面积为，．
(1)请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
【答案】(1)，
(2)
，的图象如图：
由函数图象可得，当时，为的最大值；
(3)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合；
（1）先由矩形得到，，根据中点得到，再根据，，得到，即可求出；根据在线段或线段分情况讨论，再根据面积比等于底的比求出即可；
（2）根据，的解析式画出图象，再根据图象写出性质即可；
（3）由函数图象可以发现，当时，或，即可得到当时x的取值范围．
【详解】（1）解：在矩形中，，，
∴，，，，
∴，
连接，
∵点E为线段的中点，
∴，
由题意可得，，
∴，
∴；
当在线段上时，，，，
∴；
当在线段上时，，，，
∴，
∴，
∵点E为线段的中点，
∴；
综上所述，，；
（2）略
（3）解：由函数图象可以发现，当时，或，
∴当时x的取值范围．
32．如图，在矩形中，，点是对角线的中点，点是的中点，连接．点从点出发，沿着的方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时，点从点出发沿着的方向以每秒个单位长度的速度运动．连接，设点和点的运动时间为秒，点和点的距离为，的面积为的面积为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
【答案】(1)，
(2)
函数、的图象如下：
根据函数图象，函数的性质为：
当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大；
当时，随x的增大而减小；
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据三角形中位线定理求出，然后分点F在上和点F在上求出关于x的函数关系；延长交于M，过点G作于H，证明，求出，根据三角形的面积公式求出和，即可求出关于x的函数关系；
（2）根据题意画出函数的图象，并根据函数的图象得到函数的性质；
（3）根据函数的图象即可得到不等式的解集．
【详解】（1）解∶∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∵点是对角线的中点，点是的中点，
∴，，，
∴当点F在上时，；
当点F在上时，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
延长交于M，过点G作于H，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）略
（3）解：由函数图象得，当时，．
33．某3D打印兴趣小组在测试不同型号的挤出头出料性能，开展了两组实验：
甲组选定某一型号的挤出头，探究出料量（单位：）与出料时间（单位：）之间的关系，已知出料量与出料时间成正比例函数关系，部分数据如下：
乙组选取除孔径外无其他差别的多款挤出头，探究出料耗材所用的时间（单位：）与挤出头孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下：
(1)甲组挤出头出料时的出料量为__________；
(2)通过乙组实验，发现可用函数刻画时间与孔径之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出乙组实验的函数图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①孔径为的挤出头出料耗材所用的时间为__________（结果保留小数点后一位）；
②推断甲组同学实验中所用挤出头的孔径为__________（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)
(2)
(3)①9.5 ②4.4
【分析】第（1）问：根据“出料量与时间成正比例”，设，用表格数据求出比例系数，再代入计算出料量；
第（2）问：根据乙组表格中的数据，在坐标系中描点，再用平滑曲线连接，得到反比例型函数图象；
第（3）问：观察乙组数据，发现，即，代入求；
先根据甲组的正比例函数，求出“出料”所需的时间，再代入乙组的反比例模型，反求挤出头孔径．
【详解】（1）解：∵出料量与出料时间成正比例函数关系，
∴设与之间的函数解析式为，
把，代入解析式得：，
解得：，
∴与之间的函数解析式为，
∴当时，，
∴甲组挤出头出料时的出料量为；
（2）在坐标系中，根据表格数据，依次描出点：
，，，，，
再用平滑的曲线，将描出的各点依次连接起来，形成一条从左上向右下逐渐下降的曲线；
（3）观察乙组数据，
，，，，，
∴与满足，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
∴ ．
【点睛】解题核心是先根据变量关系确定函数解析式，再分步代入计算，注意乙组中与成反比例，而非与直接反比例，同时跨组计算时要找准前后关联量，计算时留意小数取值与单位规范．
34．如图，在菱形 中，对角线 交于点 ，动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线 运动，同时动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 运动，当点 到达点 时， 两点同时停止运动． 设运动时间为 秒 的面积为 ， 的面积与点 的运动路程之比为 ．
(1)请直接写出 分别关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出函数 的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）．
【答案】(1)；
(2)如图：
当时，随的增大而增大；
(3)
【分析】（1）分别考虑当两种情况与的函数关系式；利用面积与路程之比可直接求得与的关系式；
（2）画出函数图象，并描述函数性质；
（3）根据图象找出符合不等关系的的值．
【详解】（1）解：过点作于点，
∵菱形中，
∴
∴
当时，，，
∴
当时，，，
∴，
∵，点的运动路程为：，
∴
（2）略
（3）由图象可知：
【点睛】本题考查了动点类的问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的图象与性质，解直角三角形，菱形的性质，画函数图象等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键．
35．综合与实践：九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图象：如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_______．
描点：根据表中各组对应值，请在平面直角坐标系中描出各点．
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你画出函数图象．
(2)观察图象并分析表格；回答下列问题：
①函数的图象是由函数的图象向_______平移_______个单位长度而得到，
②函数的图象关于点_______成中心对称．（填点的坐标）
③当时，则y的取值范围为________．
④写出函数与上述①②不同的两条性质：________．
【答案】(1)
如图所示：
(2)①下， ② ③或 ④函数不经过第二象限；当时，函数值随的增大而减小
【分析】（1）将代入解析式求出函数值即可；将表中的点描出来并用平滑的曲线进行连接即可；
（2）根据图象可分别得出①②③④小题的答案．
【详解】（1）将代入解析式得
故答案为：．
（2）①∵，
∴函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度而得到；
故答案为：下，．
②∵函数的图象关于原点对称，
∴函数的图象关于对称．
故答案为：．
③当时，如图：
∴y的取值范围为或
故答案为：或．
④观察图像得出函数不经过第二象限，函数既无最大值也无最小值，当时函数值随的增大而减小（任意写出两条即可）
故答案为：函数不经过第二象限；当时函数值随的增大而减小．
【点睛】本题考查反比例函数图象的平移和性质．根据列表、描点、连线画出函数图象，再根据图象得到函数的性质是解题的关键．
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专题三 反比例函数中的新定义、实际应用与综合探究
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、反比例函数中的新定义点——三倍点、黎点、双语点、k 双曲点
题型二、反比例函数衍生的新图形——型闭函数、伴随矩形、对角函数
题型三、跨学科情境——电路、光学、工程与健康
题型四、生活应用与项目——素材题、方案设计与项目式学习
题型五、图象性质探究——画图列表、性质归纳与动点对应
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
本专题以 “读定义 — 转化 — 验证” 为主线：先把新定义点、新定义函数与图形中的陌生名词逐条翻译成坐标、解析式或几何关系，抓准定义中 “必须满足” 的条件；再借图象列表、画图观察归纳性质，用特殊值试探边界、预判趋势；遇参数、动点与多情形时按范围分类枚举；跨学科与生活应用类问题则剥离物理、工程、素材情境，抽取等量关系建立模型，最后把结果带回原定义逐条核验，舍去增根与不合情境的答案，形成闭环。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 只记定义的名字不记条件，代入时漏掉“任意”“存在”等限定词；
2. 跨学科题里把“乘积为定值”误当成“和为定值”，函数关系整个写反；
3. 动点与图象对应时，把“每秒 1 个单位”直接当成横坐标，忘记起点不在原点；
4. 探究题画完图不作检验，特殊点的坐标与解析式对不上也照抄。
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、新定义点——三倍点、黎点、双语点、k 双曲点
典例1（24-25八年级下·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的“对称点”Q定义如下：当时，P与Q关于直线对称；当时，P与Q关于y轴对称．
(1)点的“对称点”坐标是 ，点的“对称点”坐标是 ；
(2)已知点C在反比例函数的图象上，点C的“对称点”为点D，若点D的坐标为，求m的值；
(3)一次函数的图象上所有点的“对称点”组成一个新的图形G．若直线与图形G无交点，求实数m的取值范围．
解题模板
1.把“新点”的定义写成含 x、y 的等式，再与 y= 联立，得到关于一个未知数的方程;
2.“存在两个”“总存在”这类条件，最终都落在判别式或取值范围上，不要停在文字层面.
变式1-1（26-27九年级上·河北邯郸·期中）已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
变式1-2（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标3倍的点，则把该函数称为“三倍函数”，该点称为“三倍点”．例如“三倍函数”，其“三倍点”为．下列说法正确的序号为________．
①函数，，都不是“三倍函数”；
②在的范围内，若函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围为；
③若函数的图象上存在“三倍点”，设其横坐标为，令，则t的最小值为．
变式1-3（2026·黑龙江大庆·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点与的“曼哈顿距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“曼哈顿距离”为：．
根据以上定义，下列说法正确的序号为______．
①点，点，则；
②点，其中，，且，则满足条件的所有点组成的图形长度为；
③点是函数图象上的一个动点，则满足的点有个；
④点，且，若二次函数图象与满足条件的所有点组成的图形有交点，则的取值范围是．
题型二、新定义函数与图形——型闭函数、伴随矩形、对角函数
典例2定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都平行于坐标轴的矩形为该反比例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随直线．如图1，矩形的顶点、在反比例函数的图象上，所以矩形是反比例函数的伴随矩形，直线是反比例函数的伴随直线．
(1)如图2，已知反比例函数的图象经过矩形的顶点，轴，轴，，，求反比例函数的表达式，并判断矩形是否为该反比例函数的伴随矩形．
(2)求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点．
(3)如图3，已知矩形和矩形都是反比例函数的伴随矩形，且对应的伴随直线均为．
①求证：直线与直线的交点M始终在直线上；
②若矩形的周长为30，矩形的周长为6，直接写出点M的坐标．
解题模板
1.新函数先按定义写出表达式，再按研究函数的一般路径（取值、画图、看性质）处理;
2.新图形题抓住“边平行于坐标轴”这一特征，用矩形顶点坐标建立方程.
变式2-1（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．如图，过点的直线，对应的函数分别与，是“相连函数”，相连点分别为P，Q，，与x轴分别交于A，B两点，已知，，______．
变式2-2（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“型闭函数”，下列结论中，正确的是____________（填序号）．
①一次函数是“型闭函数”；
②若一次函数是“型闭函数”，则；
③反比例函数（，且）是“型闭函数”，且，则；
④二次函数是“型闭函数”．则的取值范围是．
变式2-3定义：在平面直角坐标系中，已知图形，将图形M上每个点的横、纵坐标分别乘以，得到对应的新点，我们把所有新点组成的图形称为图形的“位图形”．如图，已知的顶点坐标分别为，若双曲线的“位图形”与的边有两个交点，则的取值范围是_____．
题型三、跨学科情境——电路、光学、工程与健康
典例3（2023·浙江台州·模拟预测）如图，小李家购买的立式恒温电热水器的最大容量为，电热水器热水出水率为，热水出水率，家里的手持花洒每分钟出水量为，用该电热水器洗澡的最大时间为；
(1)求与的函数关系式；
(2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟水流量的范围是，小李下午打球回来后，发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡，请判断电热水器中的热水够不够用？并说明理由．
解题模板
1.先从物理或工程情境中提取“两个量的乘积为定值”，写成 y=;
2.再用函数性质（增减性、取值范围）回答实际问题，注意自变量的实际意义与单位.
变式3-1（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
变式3-2（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）．
【了解原理】
组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得．
(1)若取，为了得到零刻度点的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点的位置即为点．请计算此时的长．
【数学建模】
(2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析与之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当每增加相同的数值，的增加量是否也相同？
【调整优化】
(3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明的取值范围．
变式3-3如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．10
题型四、生活应用与项目——素材题、方案设计与项目式学习
典例4（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）材料一：某款冰柜内部温度上升到时，冰柜运行；当内部温度下降到时，冰柜停止运行、当内部温度上升到时，冰柜再次运行……如此循环（冰柜不运行时，耗电量忽略不计）．
材料二：从某一时刻起，该款冰柜内部温度与时间之间的函数关系如图所示．
当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数．
材料三：冰柜内部温度不高于时为有效制冷时间．
结合以上材料，解决下列问题．
(1)求当时，关于的函数表达式，并求出的值；
(2)求这款冰柜一天内（）的有效制冷时间有多长．
解题模板
1.素材题按“读数据—建模—求解—回到情境作答”四步走，每一步都写清楚依据;
2.方案设计类要把每个方案都化成同一个函数，再比较函数值大小.
变式4-1【问题背景】
在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点．
【构建联系】
(1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式．
【深度拓展】
(2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标．
【动态延伸】
(3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值．
变式4-2项目式学习
在数学综合实践活动中，某小组开展反比例函数与几何角度项目探究学习，阅读下列材料并完成探究问题．
问题解决
(1)任务1：设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上．
(2)任务2：证明：
(3)任务3：结合上面项目探究的构图方法、图形特征以及归纳得到的规律进行解答．如图2，若直线与反比例函数交于点C；D为反比例函数第一象限上的点，且，根据材料中提供的构图方法求出D点坐标．
变式4-3小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为号弦，号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为（单位：）时，号弦的振动频率为（单位：），号弦的振动频率为（单位：），部分数据如下：
通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．
(1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
(2)当频率为时，对应号弦长与号弦长的差为________（结果保留整数）；
(3)通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断：
同一根琴弦，弦长越大频率越低；
两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值；
两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值；
要使号弦发出的声音比号弦发出的声音高八度（号弦的频率是号弦的频率的倍），两根琴弦的弦长比应为定值．
其中所有合理推断的序号是________．
题型五、图象性质探究——画图列表、性质归纳与动点对应
典例5（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）仍是双曲线吗？
(1)从出发：
①函数的图象是中心对称图形，对称中心是________；
②将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象对应的表达式为________；
③将的图象关于直线轴对称，所得图象对应的表达式为________．
(2)向行进：
设函数的图象为曲线．
①曲线可以由哪个函数的图象平移得到？请写出平移的方案；
②曲线可以由哪个函数的图象轴对称得到？请写出轴对称的方案；
(3)一般化思考：
一般地，函数（常数，，，为互不相等的正数，分子分母没有公因式）的图象（记作曲线）仍是双曲线，且可以由对应的反比例函数的图象变换得到．
①曲线的对称中心的坐标为________；
②若曲线的每段双曲线都满足随的增大而增大，则，，，应满足的条件为________．
解题模板
1.画图前先列表，取点要覆盖两支并体现渐近趋势，画完用特殊点回代检验;
2.动点与图象对应，先写面积（或长度）关于时间的解析式，再比对图象的拐点、端点与对称性.
变式5-1（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）问题提出
生活中许多问题既可以用“代数”方法解决，也可以从“图形”的角度来研究．
某数学兴趣小组在实践课上打算用篱笆围成固定面积为6的矩形生物园饲养小兔（如图1），进行如下探究．
初步探究
(1)设矩形的两边长分别为x，y，小组成员设计了下表，请填全下表：
(2)从矩形的面积为6可得到y与x的函数关系式为____，请在图2直角坐标系中画出这个函数的图像；
综合应用
定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．设点，将直线沿着轴方向向下平移个单位长度，平移后的直线与轴及（2）中双曲线交点分别为，，双曲线在点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）记为W．
(3)若上述区域内恰有个整点，求的取值范围：
拓展延伸
(4)对于任意实数，，我们定义：，如果关于的函数的图像记为，直线（为常量）与图象有两个公共点，那么的取值范围为____．
变式5-2如图，在平面直角坐标系中点，点，动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒，过点的直线：也随之移动，反比例函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)若直线：与反比例函数的图象有唯一的公共点，求的值；
(3)若直线：与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，且点在点的左侧，当时，求的值．
变式5-3通过对一次函数、反比例函数的学习，我们积累了一定的经验．下面我们借鉴以往研究函数的经验，对的图象和性质进行探索．
【取值范围】
自变量的取值范围是不为零的全体实数；
【列表计算】
与的几组对应值列表如下：
(1)表格中____________，___________；
【描点画图】
(2)请在下图中补全函数的另一部分图象；
【性质探究】
(3)观察图象，写出函数两条不同的性质；
【拓展延伸】
(4)当直线与函数的图象有三个交点时，直接写出的取值范围．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作．某款智能机器人送餐时的电路原理图如图1所示，图中为电阻箱（一种变阻器，电阻阻值大小可调），为餐盘下的压力传感器，压力传感器的阻值随所受压力变化的函数图象如图2所示，下列说法正确的是（ ）
A．压力传感器阻值随所受压力的增大而增大
B．当时，压力传感器阻值
C．当送餐量为时，
D．为保证智能机器人的正常运行，电阻箱阻值
2．某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从匀速升至，加热时间为10分钟；然后自动转为恒温沸腾模式，保持持续2分钟；之后自动断电，温度开始自然下降．下降过程中，锅内温度与启动加热后通电时间成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）．当温度降至时，自动启动保温功能．如图是开始启动加热过程中，锅内温度与通电时间的函数关系图象，则下列说法中错误的是（ ）
A．启动后5分钟时，锅内温度为
B．加热阶段，与的函数关系式为
C．启动后15分钟时，锅内温度为
D．从启动到启动保温功能，锅内温度不低于的总时长为8分钟
3．投影仪光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的图像投到与胶片平行的屏幕上，形成影像，已知等于，胶片与屏幕的距离为定值，设光源到胶片的距离的长为，的长为，如图2，随的变化而变化，下列说法中不正确的是（ ）
A．当时，随的增大而减小
B．的长为
C．当时，
D．
4．近几年，我国学生肥胖率处于上升态势，而体重更成为学生健康状况的主要指标．为了方便学生测量体重，某物理小组设计了一台由电流表改装而成的简易体重计，其电路如图①所示．已知电源电压恒为，定值电阻，为压敏电阻，其阻值与所受到压力关系如图②所示，电流表的测量范围为，踏板重力不计，取．下列说法错误的是（ ）
A．不测量体重时，压敏电阻的值为
B．重为的同学站在水平放置的该体重计上时，电流表的示数为
C．该体重计能够测量的最大体重值是
D．在不改变电源电压和电流表的测量范围的情况下，减小的阻值可以增大该体重计的最大测量值
5．节能冰箱通过变频技术或其他节能设计，实现电能高效利用．若某款节能冰箱的耗电功率为（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度（）与时间（min）之间的关系如图所示．通过观察发现：当内部温度为5时，冰箱运行，当温度下降到20时，停止运行，温度上升到5℃时，冰箱再次运行，如此循环．有以下结论：①当时，；②当时，，③；④如果冰箱每天耗电量（kW·h）耗电功率（）每天运行时间（h），则该款冰箱每天的耗电量不到．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为，定值电阻的阻值为 ，力敏电阻的阻值随所受压力的变化而变化，它们的关系如图2所示．当电压表示数超过 时，触发超载警报．下列说法正确的是（ ）
知识小链接：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式 ；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
A．力敏电阻的阻值随压力的增大而增大
B．压力为 时，电压表示数为
C．触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于
D．若将定值电阻，更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力会更大
7．如图，已知点，均为反比例函数图象上的点，若点关于直线对称的点在坐标轴上，则的值为________．
8．在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）．
（1）内整点的个数为________个；
（2）设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线交双曲线于点，，记线段，，双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）有不超过8个整点，则的取值范围是________．
9．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”．
例如都是“黎点”．
（1）当时，双曲线上的“黎点”为________；
（2）若抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，则当时，的取值范围为___________．
10．如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）．
11．（26-27九年级上·湖北荆门·期中）在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为．根据定义，解答下列问题：
(1)①点的“郡值”为______；
②函数在时的“最优郡值”为______；
(2)线段：，当时的“最优郡值”为，求的值；
(3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值．
12．在平面直角坐标系中，点在第一象限，过点P作x轴和y轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，点．令，，则称点为点P的“k双曲点”．例如：如图1，当，点P的坐标为时，可得到，，则，，所以点P的“1双曲点”为．
(1)若点的“k双曲点”为点，求k及n的值；
(2)若，
①点P的“1双曲点”为点，求点P的坐标；
②阅读理解：设点P在反比例函数的图象上，则可设，可求得点P的“1双曲点”为点，因为，所以点Q在反比例函数的图象上．
解决如下问题：如图2，设点P在一次函数的图象上，点Q为点P的“1双曲点”，设，，求的最大值．
13．新定义：如果实数m，n满足时，则称为“基础点”，称为“创新点”．例如，是“基础点”，是“创新点”．
(1)求正比例函数图象上“创新点”的坐标；
(2)若点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”，点B，C是反比例函数函数图象上的“创新点”，点M是反比例函数图象上的动点．求当面积与的面积相等时点M的坐标；
(3)已知点是抛物线上的“创新点”，若，且，求的取值范围．
14．已知y是关于x的函数，若其图象经过点，则称点S为函数图象上的“双语点”．例如：直线上存在“双语点”．
(1)判断在下列关于x的函数中，是否存在“双语点”．存在的请在相应题目后的括号打“√”，不存在的请在相应题目后的括号打“×”；
①（ ）；②（ ）；③（ ）
(2)若抛物线上有两个“双语点”和，当时，求m的值；
(3)若关于x的函数的图象上存在两个“双语点”C和D，且同时满足①，②时，求线段CD长度L的取值范围．
15．【概念定义】中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线，在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线l：满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．
例如：如图1，直线l：是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．
(1)【初步应用】：在直线①，②，③，④中，是图1函数的图象与正方形的“楚河汉界线”的有_____（填序号）；
(2)【深入探究】：如图2，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，若与的“楚河汉界线”有且只有一条，此时的半径为_____，请求出此“楚河汉界线”的表达式；
(3)【拓展延伸】：正方形的边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，直线是函数的图象与正方形的“楚河汉界线”．
①若，“楚河汉界线”有且只有一条时，求t的值；
②若存在“楚河汉界线”，请求出t的取值范围．
16．点P为图形M上任意一点，过点P作直线l，垂足为Q，记的长度为d．
定义一：若d存在最大值，则称其为“图形M到直线l的限距离”，记作；
定义二：若d存在最小值，则称其为“图形M到直线l的基距离”，记作；
(1)已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作H，求．
(2)已知直线，点，点是x轴上一个动点，的半径为，点C在上，若，求此时t的取值范围．
(3)已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形K，若，求m的取值范围．
17．定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
(1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长．
(2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明．
18．在矩形中，，，当时，我们把这个矩形称为“等和积矩形”，根据此定义，解答下列问题：
(1)如图1，若矩形是“等和积矩形”，且，则 ；
(2)分别以矩形的边，所在的直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，点在第一象限，点与点O重合，若“等和积矩形”的面积为8，则点的坐标为 ；
(3)从函数的角度研究“等和积矩形”，已知一个“等和积矩形”的邻边长分别为，．
①直接写出与之间的函数表达式；
②请直接在图2中画出①中函数的图象，研究①中的函数表达式，请说明该函数的图象可以通过反比例函数的图象经过怎样的平移得到？并观察图象，写出该函数的一条性质；
③若将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，则这个新矩形还是不是“等和积矩形”？请说明理由．
19．综合实践课上，老师带领同学们研究反比例函数图象平移的性质，已知反比例函数的图像，老师先将的图象向左平移1个单位长度，再将的图象向下平移1个单位长度，可以得到新函数的图象，如图，老师已经画出了新函数图象的一支曲线．
(1)请在图中画出新函数图象的另一支曲线，并写出这个新函数的一条性质；
(2)若过点作一直线，与这个新函数图象仅有一个交点，求该交点的横坐标；
(3)直线与这个新函数图象在第一象限交于点A，在第三象限交于点B，C为线段的中点，过点C的一条直线与这个新函数的图象交于P、Q两点（点P在第三象限），若以A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为12，请直接写出点P的坐标．
20．若函数y经过矩形一条对角线上的两个端点，则称函数y为这个矩形的“对角函数”．
(1)如图，在矩形中，轴，，．
①若点A的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则一次函数的解析式为________．
②若反比例函数是矩形的“对角函数”，且经过B，D两点，求点A的坐标．
(2)若二次函数是矩形的“对角函数”，且经过A，C两点，已知点，，轴．
①当与矩形有且只有两个交点时，求m的取值范围；
②已知是上一点，当时，的最大值和最小值的差是3，求m的值．
21．定义：有两个内角和为的三角形为“美好三角形”．
(1)判断下列三角是否为“美好三角形”，如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”；
①有一个角为的直角三角形；（ ）
②有一个角为的直角三角形；（ ）
③有一个角为的三角形；（ ）
(2)如图①，直线：与双曲线：相交于点M，点N在x的正半轴上，若是“美好三角形”，求出此时点N的坐标；
(3)如图②，二次函数：的顶点为A，与x轴交于B，C两点，D在内部，连接，当均为“美好三角形”，此时的面积为，的面积为，的面积为，当时，求和的表达式（用含m的式子表示）
22．在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，能用光屏承接．凸透镜能成实像的前提是物体在一倍焦距以外，而光线能会聚的是因为折射．
上图中，凸透镜的焦距为，主光轴，点，，，，都在上，其中是光心，，，蜡烛，垂足为（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点，（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为，像高为，物距为，像距为．
(1)若，，，则______，______．
(2)求证．
(3)当一定时，画出与之间的函数图像，并结合图像，描述是怎样随着的变化而变化的．
23．新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要．
(1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？
(2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于时，并且不低于，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：
①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围；
②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明．
24．打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题：
打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系．
(1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式；
(2)求第一次锻造操作的时长；
(3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）．
25．根据以下素材，探索完成任务．
26．一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分．
(1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域；
(2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由．
27．如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从D点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点K（与相距）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
(1)求线段的函数表达式（写出x的取值范围）．
(2)当时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
(3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于的函数类型，并用一个比较接近的函数关系式来表达它们的函数．
②当v为多少时，运动员的成绩恰能达标？
28．请根据以下素材，探索完成任务．
29．【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为．
根据I与R之间的关系得出一组数据如下：
(1)填空： ____________，____________；
(2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质；
(3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？
30．模型学习：
如图，，，，垂足分别为、、，且三个垂足在同一直线上，
我们把这样的图形叫“型图”；易得．
模型应用：
(1)如图，已知在四边形中，，，，，，若以为直径的圆与边相交于点，则的长为______．
模型拓展：
(2)如图，在平面直角坐标系中，直线：与、轴分别相交于点、，将直线绕点逆时针旋转后得到直线，求直线的函数关系式．
模型延伸：
(3)如图，反比例函数的图象经过点，在的右侧该图象上找一点，使，求点的坐标．
31．如图，在矩形中，，，点E为线段的中点，动点P以每秒1个单位长度从点B出发，沿着运动．动点Q同时以每秒个单位长度从点D出发，沿方向运动，当点P到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点P、Q的运动时间均为x秒，记的面积为，．
(1)请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
32．如图，在矩形中，，点是对角线的中点，点是的中点，连接．点从点出发，沿着的方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时，点从点出发沿着的方向以每秒个单位长度的速度运动．连接，设点和点的运动时间为秒，点和点的距离为，的面积为的面积为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
33．某3D打印兴趣小组在测试不同型号的挤出头出料性能，开展了两组实验：
甲组选定某一型号的挤出头，探究出料量（单位：）与出料时间（单位：）之间的关系，已知出料量与出料时间成正比例函数关系，部分数据如下：
乙组选取除孔径外无其他差别的多款挤出头，探究出料耗材所用的时间（单位：）与挤出头孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下：
(1)甲组挤出头出料时的出料量为__________；
(2)通过乙组实验，发现可用函数刻画时间与孔径之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出乙组实验的函数图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①孔径为的挤出头出料耗材所用的时间为__________（结果保留小数点后一位）；
②推断甲组同学实验中所用挤出头的孔径为__________（结果保留小数点后一位）．
34．如图，在菱形 中，对角线 交于点 ，动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线 运动，同时动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 运动，当点 到达点 时， 两点同时停止运动． 设运动时间为 秒 的面积为 ， 的面积与点 的运动路程之比为 ．
(1)请直接写出 分别关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出函数 的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）．
35．综合与实践：九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图象：如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_______．
描点：根据表中各组对应值，请在平面直角坐标系中描出各点．
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你画出函数图象．
(2)观察图象并分析表格；回答下列问题：
①函数的图象是由函数的图象向_______平移_______个单位长度而得到，
②函数的图象关于点_______成中心对称．（填点的坐标）
③当时，则y的取值范围为________．
④写出函数与上述①②不同的两条性质：________．
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