专题08 反比例函数相关压轴题分类训练（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版九年级上册

专题08 反比例函数相关压轴题分类训练 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数相关综合题 题型二、反比例函数相关最值问题 题型三、反比例函数相关面积求解 题型四、已知面积求反比例系数 题型五、反比例函数相关规律性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1：判别式（∆）的用法 · 判断根的存在性及个数（注意二次项系数是否为0）。当题目出现恒成立、值域、最值时，将其转化为关于x的方程，利用∆≥0构造不等式求参数范围。2：韦达定理的“非对称”变形 · 基础对称式直接套用。 ·非对称处理（难点）：利用根的定义降次，利用整体代换，再结合∆求范围。3：根的“代入”降次，遇到高次多项式或复杂分式，优先用此式逐级降次，化为一次式。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数相关综合题 典例1 ．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与坐标轴相分别交于点，作轴于点，作轴于点，过点分别作，分别交轴交于点，线段与相交于点．有以下说法： ①的面积等于的面积； ②； ③若与的面积和为12，则． 其中正确的说法是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①∵轴，轴， ∴轴． ∵， ∴． ∴四边形、四边形和四边形都是平行四边形． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴①正确． ②设． 则． 联立直线与反比例函数． 得． 整理得． ∴． ∴． 对， 当时，； 当时，． 解得． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故②正确． ③若与的面积和为12，  ． 则与的面积都为6． 设． 联立直线与反比例函数， 得． 整理得． 解得． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 化简，得． 解得，都符合． ∴③不正确． 故选：A． 变式1-1．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为，对角线OB、AC相交于点D，，双曲线经过AB的中点F，交BC于点E，下列四个结论：①；②；③E点的坐标是；④连接OF、DF，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：在菱形OABC中，OD=OB，OB⊥AC， ∵AD=OB， ∴OD=AD， ∴在Rt△AOD中，∠OAD≠30°，即∠CAO≠30°，故①错误； 设OD=x，则AD=2x， ∵OD2+AD2=OA2， ∴x2+(2x)2=52， 解得：（负值已舍去），即OD=， ∴OB=2OD=，AC=2AD=4OD=， ∴，故②正确； 过点B作BM⊥OA，过点F作FN⊥OA， ∵S菱形OABC=， ∴， 解得：BM=4， ∵AB=5， ∴MA=3， ∵F是AB的中点， ∴FN是△ABM的中位线， ∴NA=，FN=2， ∴F（，2）， ∴k=xy=7，即反比例函数解析式为：， ∴当y=4时，， ∴E点的坐标是，故③正确； ∵F是AB的中点， ∴S菱形OABC=，故④错误， ∴正确的结论有2个， 故选B. 3．如图，矩形中，，是对角线上的一点，，经过的反比例函数的图象交于，交于，四边形的面积为30，对于结论：①；②矩形的面积为162；③；④点的坐标为，其中正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】设E（a，b），F（m，n），则a＝OA＝BC，b＝AE，CF＝m，n＝CO＝AB，证明＝即可判断①；表示出D和E的坐标，根据系数k的几何意义求得k的值即可判断③；求得B的坐标，求得矩形OABC的面积即可判断②；求得F的坐标即可判断④． 【详解】解：设E（a，b），F（m，n），则a＝OA＝BC，b＝AE，CF＝m，n＝CO＝AB， ∴B（a，n）， ∵E，F在反比例函数y＝上， ∴ab＝mn=k， ∴BC•AE＝CF•AB， ∴＝， ∴EF∥AC，故①正确； ∵， ∴OD＝OB， ∴D（a，n），E（a，）， ∵OA＝2OC， ∴a＝2n， ∴B（2n，n），D（n，n）， ∵反比例函数y＝经过点D， ∴k＝mn＝n •n， ∴m＝n， ∴F（n，n），E（2n，n）， ∴BF＝2n﹣n＝n，BE＝n， ∵四边形BFDE的面积＝S△BDF+S△BDE＝30， ∴×n×（n﹣n）+×n×（2n﹣n）＝30， 解得n＝9， ∴E（18，4），F（8，9） ∴k＝18×4＝72，故③正确； ∵B（18，9），故④正确； ∴矩形OABC的面积为18×9＝162，故②正确； 故选：A． 4．如图，点在双曲线上，点在直线上，与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①；②当时，；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：直线， 当时，， ， ， 四边形是菱形， ， 与关于轴对称，设交x轴于点D， ， 在中，， ，故①错误； 在双曲线上， ， 当时，，故②正确； 与关于轴对称，， ， 点在直线上， ， 解得，故③正确； ，故④错误； 综上，正确结论的序号是②③，共2个， 故选B． 题型二、反比例函数相关最值问题 典例1 ．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质以及反比例函数可得，即、．再根据的面积为10列方程可求得，即；再利用轴对称和勾股定理求最值即可． 【详解】解：∵正方形的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴， ∴，． ∵的面积为10， ∴， 解得：， ∴． 如图：作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，的最小值为的长． ∴，， ∴． 变式1-1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是(   ) A． B．10 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M（6，），N（，6），∴BN=6﹣，BM=6﹣．∵△OMN的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×=10，∴k=24，∴M（6，4），N（4，6）．作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值．∵AM=AM′=4，∴BM′=10，BN=2，∴NM′= = =．故选C． 7．如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB∶y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ，当点P在曲线C上运动，且点P在Q上方时，△POQ面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】设P（x，），则Q（x，x−2），得到PQ＝−x＋2，根据三角形面积公式得到S△POQ＝−（x−2）2＋3，根据二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：∵PQ⊥x轴， ∴设P（x，），则Q（x，x−2）， ∴PQ＝−x＋2， ∴S△POQ＝（−x＋2）•x＝−（x−2）2＋3， ∵−＜0， ∴△POQ面积有最大值，最大值是3， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 8．如图，位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数的图象与有交点，则k的最大值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】设直线y=x与BC交于E点，分别过A， E两点作x轴的垂线，垂足为D， F，EF交AB于M，求出A，E点坐标，即可求出k的取值范围，进一步可知k的最大值． 【详解】解：如图，设直线y=x与BC交于E点，分别过A. E两点作x轴的垂线，垂足为D， F，EF交AB于M， ∵A点的横坐标为1，A点在直线y=x上， ∴A(1,1)， 又∵AB=AC=2，轴，轴， ∴B(3,1)，C(1,3)，且为等腰直角三角形， BC的中点坐标为， 即为(2,2)， ∵点(2,2)满足直线y=x， ∴点(2,2)即为E点坐标，E点坐标为(2,2)， ∴k=OD×AD=1，或k=OF×EF=4， 当双曲线与△ABC有交点时，1⩽k⩽4，即k的最大值为：4 故选：B 题型三、反比例函数相关面积求解 典例1 ．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 【答案】 【详解】解：如图，过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为， 由题意可知，平分，平分， ∵轴，轴，， ∴，， ∴， 解得（负根舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ． 变式1-1．如图点P为双曲线上一动点.连接OP并延长到点A，使，过点A作x轴的垂线，垂足为B，交双曲线于点C.当时，连接PC，将沿直线PC进行翻折，则翻折后的与四边形BOPC的重叠部分（图中阴影部分）的面积是_______________ 【答案】 【详解】解：设交OB于E，交OE于F 设， ∵ ∴， 又∵ 即， ∴ 可得出 则，，C， 由折叠性质 又∵ ∴ ∴ 同理 ∴、为直角三角形，并与相似 ∴ 由，故 ， ， ∴ 故答案为：. 11．如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，，连结交的图像于点，若是的中点，则的面积是____． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，∴， 设，则， ∵点是中点，且在反比例函数的图象上， ∴， ∴，整理得，， ∴， ∴ 故答案为：． 12．已知，如图，双曲线与直线）相交于 两点，轴于，轴于，点是的中点，与轴相交于点，连接，分别与直线相交于点和点，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】8 【分析】连接AD，易得，，然后证明，由平行可以得到∽，∽，然后由相似比得到面积间的关系即可求出阴影部分的面积． 【详解】：连接，如图所示： 由是双曲线与直线的交点，易得，， ．∴， ∵∥，∥，是中点，是中点， ∴∽，∽， ∴，， ∴， ， ，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四、已知面积求反比例系数 典例1 ．如图，在△ABC中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，，延长AC交y轴于点D，若△OCD的面积等于1，则k的值为_________． 【答案】 【详解】解：作AE⊥BC于E，连接OA， ∵AB＝AC， ∴CE＝BE， ∵OC＝BC， ∴OC＝BC＝×2CE＝CE， ∵AE∥OD， ∴△COD∽△CEA， ∴＝（）2＝9， ∵△OCD的面积等于1， ∴S△CEA＝9S△COD＝9， ∴S△AOC＝S△CEA＝3， ∴S△AOE＝3＋9＝12， ∵S△AOE＝（k<0）， ∴k＝-24， 故答案为：-24． 变式1-1．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是_____． 【答案】 【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE=S△OBD=k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论． 【详解】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E， ∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C， ∴S△COE＝S△BOD＝，S△ACD＝S△OCD＝2， ∵CE∥AB， ∴△OCE∽△OAB， ∴， ∴4S△OCE＝S△OAB， ∴4×k＝2+2+k， ∴k＝， 故答案为：． 15．如图，已知等边三角形的顶点分别在反比例函数图像的两个分支上，点在反比例函数的图像上，当的面积最小时，的值__________． 【答案】-3 【详解】解：根据题意当A、B在直线y=x上时，△ABC的面积最小， 函数y=图象关于原点对称， ∴OA=OB， 连接OC，过A作AE⊥y轴于E，过C作CF⊥y轴于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴AO⊥OC， ∴∠AOC=90°，∠ACO=30°， ∴∠AOE+∠COF=90°， 设OA=x，则AC=2x，OC=x， ∵AE⊥y轴，CF⊥y轴， ∴∠AEO=∠OFC=∠AOE+∠OAE=90°， ∴∠COF=∠OAE， ∴△AOE∽△OCF， ∴， ∵顶点A在函数y=图象的分支上， ∴S△AOE=， ∴S△OCF=， ∵点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上， ∴k=-3， 故答案为-3． 16．如图，▱OABC中顶点A在x轴负半轴上，B、C在第二象限，对角线交于点D，若C、D两点在反比例函数的图象上，且▱OABC的面积等于12，则k的值是____． 【答案】﹣4 ． 【详解】解：如图所示：过点D作DF⊥OA于点F，过点C作CE⊥OA于点E， ∵▱OABC的面积等于12， ∴△AOC的面积为6， ∵点D是线段AC的中点，CE∥DF， ∴DF是△ACE的中位线， ∴CE=2DF，AF=EF， 又∵S△OCE=S△ODF= ， ∴OF=2OE，S△ADF= ，S△ACE=|k|， ∴S△ACE+S△OCE=S△AOC=6，即 =6， 又∵k＜0（反比例函数在第二象限）， ∴k=﹣4． 故答案为﹣4． 题型五、反比例函数相关规律性问题 典例1 ．如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据题意得出每个矩形上都有4个点，根据，得出点在矩形上，且在第一象限内，先根据规律得出纵坐标，然后将纵坐标代入反比例函数解析式，求出结果即可． 【详解】解：由题意得，点，，，在矩形上，点，，，在矩形上，点，，，在矩形上， 每个矩形上都有4个点． ， 点在矩形上，且在第一象限内， 点的纵坐标为：． 把代入，得， ． 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上取一点，连接，以点为直角顶点作等腰直角．点在轴上，过点作交反比例函数图象于点，过点作交轴于点过点作交反比例函数图象于点，过点作交轴于点，，按此规律依次作图，则的坐标为_____． 【答案】 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形，且， ， 设的坐标为，代入反比例函数，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 的坐标为， 分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、， 是等腰直角三角形，且， ，，， ，， 点的坐标为，的坐标为， ， ， 设，则， ，， 点在反比例函数上， ， 解得：，（舍去）， ，， ， ， ， 设，则， 点，， 点在反比例函数上， ， 解得：，（舍去）， 点， 即点，点，点， 同理可得：点， 以此类推，可得的坐标为． 19．如图，点在直线上，过点作交直线于点，以为边在外侧作等边三角形，过的反比例函数为；再过点作，分别交直线和于两点，以为边在外侧作等边三角形，过的反比例函数为，…，按此规律进行下去，则第个反比例函数的______．（用含的代数式表示）    【答案】或 【详解】解：直线 与x轴夹角为30°， 直线与x轴夹角为60°， ∴ 与的夹角30°， ∵， ∴ ∵等边三角形， ∴⊥x轴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的横坐标 的纵坐标 ∴ ∴ 以此得到的横坐标 的纵坐标 ∴    故答案为 20．如图，点 在反比例函数的图像上，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为和，点的坐标为，取轴上一点，过点作轴的垂线交反比例函数图像于点，过点作线段交于点，得到矩形，依次在轴上取点，按此规律作矩形，则矩形（ 为正整数） 的面积为_____. 【答案】 【详解】解：矩形ABC0O的面积=2， 矩形A1B1C1C0的面积==， 矩形A2B2C2C1的面积===， 矩形A3B3C3C2的面积==， … 矩形（n为正整数）的面积为= =． 故答案为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数与图象上的动点，轴于点D，轴于点E，点C在y轴的正半轴上，连接，若四边形是平行四边形，给出下面四个结论： ①； ②若，，则； ③； ④当时，四边形一定是正方形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【详解】解：①∵四边形是平行四边形，，的中点在y轴上， ∴， 设，则， ∴，故①正确； ②由题意，设的中点为H， ∵， ∴的中点， ∵， ∴， ∴，故②错误； ③，故③正确； ④由题意，∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，但不一定是， ∴四边形不一定是正方形，故④错误， 综上所述，正确结论为①③． 2．如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 【答案】D 【详解】解：设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为． ∵， ∴点D坐标可表示为， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ． 3．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点A作于点E，设与y轴交于点F， 设点，则点， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴． ∵底边轴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 4．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A、B的坐标分别为、，动点C在双曲线上，且满足，当长度最小时，k的值为（     ） A．2 B．3 C．4.5 D．6 【答案】B 【详解】解：取的中点D，连接，如图所示： ∵线段的端点A、B的坐标分别为， ∴点D坐标为，， ∵， ∴， ∵， ∴当O，C，D三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，代入点，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点C坐标为， ∴， 解得或（舍去）， ∴点C坐标为， 将C点坐标代入双曲线，得． 5．如图，点、、、、在反比例函数的图象上，点、、、、在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作轴于点， 联立，解得：或（舍）， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 在直线的图象上， ， 直线的解析式为， 联立，解得：或（舍）， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 同理可得，，，，…… ， ． 6．在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点坐标为．反比例函数经过的中点，与交于点．点是反比例函数图象上一点，且点在矩形内部，轴，垂足为，连接，若的面积为2，则点的横坐标为_______． 【答案】 【分析】由矩形顶点坐标确定各顶点位置，代入中点坐标求出反比例函数解析式；设的横坐标为，用表示坐标，再以为底、点到的距离为高，利用面积公式列方程求解． 【详解】解：∵矩形的边在轴上，在轴上，点坐标为， ∴，，． 的中点的坐标为． ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为． 当时，，故点的坐标为． 设的横坐标为，则点的坐标为，垂足的坐标为（其中）． ∵轴， ∴的长为，点到直线的距离为． 由，得． 整理得，即， 解得． ∴点的横坐标为． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线（）相交于点，，点在第一象限，过点作直线，分别交轴、双曲线于点、，且点为的中点，以为底边作等腰，连接，的面积为，则______． 【答案】6 【分析】设点坐标并利用中点公式表示点D，利用点D在双曲线上建立方程，表示出点D坐标，分析得出，运用坐标法表示出的面积，求出的值，进而得到k的值． 【详解】解：设点A的坐标为，因为点A在双曲线上，所以． 因为点A在第一象限，所以，． 点C在x轴上，设点C坐标为， 因为点D是线段的中点，根据中点坐标公式，点D的坐标为． 因为点D也在双曲线上，所以点D的横纵坐标之积等于k，即： ， 整理得：， 将代入上式，得： 解得：， 所以点C的坐标为，点D的坐标为． 由题意知，是以为底边的等腰三角形，所以， 反比例函数图象关于原点中心对称，直线也关于原点对称，所以点A和点B关于原点对称，即原点O是线段的中点，根据线段垂直平分线的性质，点E必在的垂 直平分线上，即直线， 又因为，所以． 因为，且O是的中点，根据平行线分线段成比例定理（或三角形中位线定理的推论），点E到直线的距离等于点O到直线的距离． 设点O到直线的距离为h，则的面积， 同时，的面积 所以，． 点A坐标为，点D坐标为， 利用坐标法计算的面积： 因为，且，所以， 解得， 因为，所以． 8．如图，在x轴的正半轴依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，，，并设其面积分别为，以此类推，则的值为______． 【答案】 【分析】连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线．在直线上取一点，记为，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交直线于点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则的坐标______． 【答案】 【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2027除以3，根据商的情况确定出的坐标即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为2，把分别代入直线和双曲线得 ，， ∴，； 的纵坐标和的纵坐标相同，把代入，得 ，解得， ∴； 的横坐标和的横坐标相同，把代入得， ∴； 的纵坐标和的纵坐标相同，把代入，得 ，解得， ∴； 的横坐标和的横坐标相同，把代入得 ， ∴； 的纵坐标和的纵坐标相同，把代入，得 ，解得， ∴ 由上可知，，，，，，，3个为一组依次循环， ∵， ∴． 10．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于，P为线段上一动点（不包含端点），过点P作轴交反比例函数的图象于点Q，连接，。当面积最大时，点P的坐标为___________。 【答案】 【分析】首先将点代入直线，解得，易知该直线的解析式为，再将点代入直线，进而确定点，将其代入求出反比例函数解析式，设与x轴交于点，设，则，，易知，，利用三角形面积公式可得，结合平方的非负性可得当时，面积取最大值，然后确定点的坐标即可． 【详解】解：将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线的解析式为， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴将点代入直线， 可得，即， 将代入反比例函数， 可得，解得， ∴这个反比例函数的表达式为； 如图，设与轴交于点， ∵为线段上一动点，且过点作轴交反比例函数的图象于点， ∴可设，则，， ∴，， ∴， ∴当时，面积取最大值，最大值为4， 此时． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08反比例函数相关压轴题分类训练 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数相关综合题 题型二、反比例函数相关最值问题 题型三、反比例函数相关面积求解 题型四、已知面积求反比例系数 题型五、反比例函数相关规律性问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 1:判别式（△）的用法·判断根的存在性及个数（注意二次项系数是否为0）。当题目出现恒成立、值域、 最值时，将其转化为关于x的方程利用△≥0构造不等式求参数范围。2：韦达定理的“非对称”变形· 基础对称式直接套用。·非对称处理（难点）：利用根的定义降次，利用整体代换，再结合△求范围。3： 根的“代入”降次，遇到高次多项式或复杂分式，优先用此式逐级降次，化为一次式。 》● 同题型归纳一—精讲夹型题法，寿夫解题根基 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一、反比例函数相关综合题 2 典例1. 如图，直线y=一3x+6与反比例函数y=的图象相交于点C,D,与坐标轴相分别交于点AB, 作CE⊥y轴于点E,作DF⊥y轴于点F,过点E,F分别作EM∥AB,FN∥AB,分别交x轴交于点 M,N,线段DF与EM相交于点P.有以下说法： ①CEPD的面积等于PFNM的面积； ②CE=ON=BM: ③若CEPD与SPFNM的面积和为12，则k=12. 其中正确的说法是() M Bx A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 变式1-1.如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC,点A的坐标为(5，O),对角线OB、AC相交于点D, D-OB:双自线-卓：>0经过A8的友F,交C于点E,下列阳个结论：①∠C40=30:@ (L A AC+0B=6W5;③E点的坐标是4：④连接OF、DF,则Sr=10.其中正确的结论有() 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，矩形OABC中，OA=20C,D是对角线OB上的一点，30D=2OB,经过D的反比例函数 y营c>0)的图象交AB于E交BC于F,四边形BDe的面积为0，对于结论：@EF1AC:②形 0M8C的面积为162：G人=72：①点F的≤标为®9).其中正编的个数为() B ol A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.知图.点4在双面线y=k>0x0上，点B在直线：y=m-2b(m>0,b>0)上，与B关于x轴 对称，直线1与y轴交于点C,当四边形A0CB是菱形时，有以下结论：04么、5动），②当b=2时， k=43,③”=3：④3驰ex÷22 .其中正确的结论有(） 3/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型二、反比例函数相关最值问题 典例1. 平面直角坐标系中，反比例函数'>0的图像与边长是6的正方形O48C的两边， BC分别相交于M,N两点.△OMN的面积为I0.若动点P在x轴上，则PM+PW的最小值是() M A.3v0 8.10 c.2V26 0.45 变式1-1.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=xx>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边 AB,BC分别相交于M,N两点.△OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是() M 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6V2 B.10 c.2v26 D 2V29 7.如图，点P是双曲线C:y=x(x>0)上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB:y=2x~2于点 Q,连接OP,OQ,当点P在曲线C上运动，且点P在Q上方时，△POQ面积的最大值为() A.2 B.3 C.4 D.6 8.如图，Rt△ABC位于第一象限，AB=2,AC=2,直角顶点A在直线y=x上，其中点A的横坐标为1， 且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数y=《≠0)的图象与。MBC有交点，则k的最大值 是() B A.5 B.4 C.3 D.2 题型三、反比例函数相关面积求解 典例1 ·如图，在平面直角坐标系中，RaA0B的顶点坐标分别是O0,0),10,4),B(B,0),其两个锐角的外 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 36 角平分线相交于点p,若点p恰好在反比例函数y=X的图象上，则。APB的面积是 变式1-1.如图点P为双曲线灯 -(x<0) 上一动点连接OP并延长到点A,使PA=PO,过点A作x轴 的垂线，垂足为B,交双曲线于点C当AC=AP时，连接PC,将△APC沿直线PC进行翻折，则翻折后的 △M'PC与四边形BOPC的重叠部分（图中阴影部分）的面积是 1.如园，点/在反比树同数少-〔>0)的图像，点B在反比制函数=(x<0)的图俊上。 OA1OB,连结AB交y=K>0)的图像于点C,若c是AB的中点，则AAOB的面积是一 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 12.己知，如图，双曲线y=x与直线y=(k>0)相交于A,B两点，AC⊥x轴于C,BD1x轴于D, 点E是AC的中点，BC与y轴相交于点F,连接DF,DE,分别与直线y=x相交于点G和点H,则图中 阴影部分的面积是 D G 题型四、已知面积求反比例系数 奥倒1.如图，在△MBC中AB=AC,点A在反比例函数y（<Q,x>0)的图象上，点a,C在x轴 上，0C-BC,延长4C交y轴于点D,若△0CD的面积等于1，则k的值为 6 y D B 0 变式1-1.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k 限，反比例函数y=x(x>O)的图象经过OA的中点C.交AB于点D,连结CD.若△ACD的面积是2， 则k的值是一 B 15.如图，己知等边三角形ABC的顶点A,B分别在反比例函数'=x图像的两个分支上，点C在反比例函 数y=(k≠0)的图像上，当AMBC的面积最小时，k的值 C 16.如图，~OABC中顶点A在×轴负半轴上，B、C在第二象限，对角线交于点D,若C、D两点在反比例 k 函数y=x的图象上，且OABC的面积等于12，则k的值是一· D 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、反比例函数相关规律性问题 2 典例1. 如图，双曲线y=x与直线y=2x相交于点A,B,在直线y=2x上取点4(2,4，B(-2,6), A2(3,a2),B2（-3,b2),4(4,a3),B3（-4,b) …,依次以4B,4B,4B,为对角线分别向外作左、右一组 M1,M2,M3 M, 对边垂直于x轴的矩形 ,….矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为： C,G,C,C:矩形“：的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为： M C5,C6,C1,C8 矩形M的 四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为： C CCn Cu 按此规律，则点C“的坐标为 10 A M M M B B Cs 4 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=x的图象上取一点B,连接OB,以点B为直角顶点 作等腰直角 0A8.点在轴上，过点作48少O8交反比数图象于点B,过点B作B4∥A8 A 点4作4公A8交反比例蛋数周象I点品，过点品作4少人品交*鞋于点，“ B. 交轴于点过点作 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 按此规律依次作图，则“的坐标为— y= B2 B 19.如图，点 J在直线6：y= 3x上，过点B作4B1交直线1：y=N3x于点4，以AB,为边在 △04B外侧作等边三角形4B,G,过C的反比例函数为y=名 ；再过点C作4，B2上4，分别交直线1和2 于4，B两点，以4B为边在△0A品外侧作等边三角形4B,C,过C,的反比例函数为y- Γx；…,按此 kn= 规律进行下去，则第”个反比例函数的 (用含”的代数式表示) B B B 20.如图，点B在反比例国数y:>0叭的图保上，过点B分别作x销和y转的垂我，垂近分别为C,和 有点C的坐标为L0,反鞋上点C(侵0过点C作，轴的重线交反比倒国数图修于点月：过点 B作线段BA1BC交于点A,得到矩形AB,CC,依次在x轴上取点 (20c 按此规律作矩 10/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形，则矩形 ,BC,C”为正整数)的面积为一 B A B:Bs A CoCICC 同压轴挑战一支克高璋压釉，突破思维上保 1.如图，在平面直角坐标系O中，点4，B分别是反比例西数-生(>0与为-三(：<0图象上的时动 点，AD⊥x轴于点D,BE⊥x轴于点E,点C在y轴的正半轴上，连接AB,若四边形OACB是平行四边 形，给出下面四个结论： V2 D AD k ①BEk2； ②考421,0c=4,则5=4： ③ocs-k+k +k2=0 ④当 时，四边形01C 一定是正方形. 11/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 2.如图，D为矩形01BC(边OA.0C分别在，y轴的正半轴上)对角线OB上的点，且0D-BD.经 过点D的反比例函数y=x的图象分别与AB,BC相交于点B,F,连接OE,OF,EF,若△OBF的面积是 12,则aOEF的面积为() D 0 40 A.12 B.13 C.3 D.3 3。如图，小C足等腰三角形，B过原点0：底边BCx轴，双自线-=0)过A”g两点，过点 C,CD∥y ”作 轴交双曲线于点D,若》 SBCD =16 ,则的值是() A.8 B.3 c.6 D.12 4.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点A、B的坐标分别为 (1.5,3)(6.5,3) 动点C在双曲线 x上，且满足∠ACB=90°，当0C长度最小时，k的值为() 12/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A.2 B.3 C.4.5 D.6 5.如图，点4、4、4、…、4，在反比例函数少>0的图象上，点8、B,、B、、B在y轴上， 且∠BOA=∠B,B,4,=∠B,B,4,=,直线y=x与双曲线'=x交于点4，B41OA,B,41B4, B,4上B,4,,则的坐标是（） B2026 B4 NA4 B A 2026 A.0,V22） 0, B 2 c.(0,v2026) D.(0,2V2026） 6.在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在'轴上，点B坐标为 6,4) 反比例函数 y-(x>0)经过BC的中点D,与AB交于点E,点P是反比例函数图象上一点，且点p在矩形内部. PF⊥x PE,EF 轴，垂足为，连接，，若△PEF 的面积为2，则点的横坐标为一 13/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A 如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx(m>0)与双曲线二。(k0)相交于点4，B, 第一象限，过点A作直线AC⊥AB,分别交x轴、双曲线'=于点C、D,且点D为4C的中点，以AB 9 为底边作等腰。ABE,连接DE,AADE的面积为2，则k=一· B 8.如图，在x轴的正半轴依次截取 1=44=44,过点4，，4乡 ，分别作x轴的垂线与反比例函数 y=2x>0)的图象相交于点B,R,R,得0R4,△4B4,△4B4,并设其面积分别为S,SS,以此 类推，则的值为 14/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 dd. 9,如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x+1和双曲线y= x·在直线上取一点，记为A,过A作x B B A B2,B 转的垂线交双曲线于点月，过B作y轴的垂线交直线于点，过作x轴的垂线交双曲线于点B,过 作y轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为”，若4=2，则如的坐标 A 10.如图，直线y=2x+6与反比例图数yk≠0X>0)的图象交于点4，m,与y轴交于B0》,P 为线段AB上一动点（不包含端点），过点P作PQI‖y轴交反比例函数的图象于点Q,连接OP,O0。当 △OPQ 面积最大时，点P的坐标为 B 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16/16