专题02 反比例函数中的交点、对称与图形变换（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级下册

专题二 反比例函数中的交点、对称与图形变换 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线交点——代入求k、求直线、求点坐标 题型二、双曲线图象——比较函数值、读解集、数交点 题型三、双曲线对称——中心对称、中点、面积定值 题型四、图形变换——平移、旋转、折叠后落双曲线 题型五、双曲线综合——多结论判断与存在点求解 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题处理反比例与一次函数综合问题，优先联立解析式求交点、求解参数与定点；借助函数图象直观比较函数值大小、确定不等式解集；充分利用反比例函数的中心对称、中点与线段比例关系转化条件；平移、旋转、折叠等图形变换重点跟踪点的坐标变化，检验落点是否在双曲线上；多结论和存在性问题先假设成立，结合坐标方程推理，最后检验结果是否符合题意。 学生高频易错点主要有如下几种情形： 1. 解不等式时把“图象在上方”直接等同于“函数值大”，忽略 x 的分段与定义域； 2. 用两根之和、之积时忘记 Δ>0 的前提，把无交点的情况也算进去； 3. 关于原点对称的两点，只把横坐标变号而漏掉纵坐标； 4. 直线平移后仍沿用原直线的交点坐标，没有重新联立。 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线交点——代入求k、求直线、求点坐标 典例1（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点． (1)求的值； (2)当时，直接写出的取值范围． 解题模板 1.交点坐标同时满足两个解析式，代入 y= 求 k，再代入直线求 b，“两点定一线”; 2.已知 k 求交点时，联立消元后解一元二次方程，两根都要检验是否在定义域内. 变式1-1（17-18九年级下·山东枣庄·期中）如图，已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数的图象于点A、B，交x轴于点C． （1）求m的取值范围. （2）若点A的坐标为（2，-4），且，求m的值和一次函数表达式. （3）在（2）的条件下，连接OA，求△AOC的面积并直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围. 变式1-2（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求点的坐标； (2)若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集是 ； (4)若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点的坐标． 变式1-3（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 题型二、双曲线图象——比较函数值、读解集、数交点 典例2如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 解题模板 1.先求交点横坐标，把 x 轴分成若干段，再逐段判断两图象谁在上方; 2.解集端点是否取到，取决于原不等式是否含等号，写完必须回看一遍. 变式2-1（2026·浙江温州·二模）已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 变式2-2（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知的图象上有两点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， 则 D．若，则 变式2-3（26-27九年级上·四川泸州·期中）设函数与函数的图象的公共点个数为，下列四个结论中正确的是（     ） ①若，则； ②存在实数，使；③若，则 ；④若，则 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 题型三、双曲线对称——中心对称、中点、面积定值 典例3（21-22八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 解题模板 1.关于原点对称：横、纵坐标同时变号，不能只改一个; 2.中点与定比分点用坐标公式，再把握“点在图象上”翻译成坐标乘积等于 k. 变式3-1（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点．为的平分线．过点作的垂线，垂足为，连结．若，的面积为8，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 变式3-2（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点A在反比例函数的图象上，点B，C都在反比例函数的图象上，且轴，点C在下方．设点B的横坐标为． (1)点A的坐标为 （用含a的代数式表示）． (2)当时，求a的值． 变式3-3（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）已知，是函数图象上关于原点对称的两个点（其中为第一象限内的点），过，分别作轴的平行线，交轴于，两点． (1)证明：四边形的面积为定值，并求出该定值． (2)若点，且，求点的坐标． (3)若点，求的最小值． 题型四、图形变换——平移、旋转、折叠后落双曲线 典例4（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上． (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 解题模板 1.变换只看坐标怎么变：平移加减、旋转用 90° 规则、折叠找对称轴并利用垂直平分; 2.变换后的点仍落在同一条双曲线上，据此列方程求 k，必要时联立求另一条双曲线. 变式4-1（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，点，点都在反比例函数的图象上．将的图象绕点O逆时针旋转45°，点A，点B的对应点的纵坐标分别为a，b，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．a，b大小无法比较 变式4-2（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数（）的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数（）的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：①；②的面积等于四边形的面积；③的最小值是2；④．其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式4-3（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）图形的平移变换、对称变换等是研究几何图形常用方法，小明同学用平移变换和对称变换对直线和曲线进行了探究： 探究一：如图1，当直线l与曲线c有且只有一个交点时，n的值是多少？ 探究二：如图2，直线l与曲线c交于A，B两点，当时，x的取值范围是；直线与曲线c和直线l分别交于E，G两点，则与的比值是多少？ 探究三：如图3，将曲线c沿直线l翻折得另一曲线，直线与两条曲线分别交于E，F两点，若，则n的值是多少？ 请完成小明提出的以上三个探究，并写出探究过程．    题型五、双曲线综合——多结论判断与存在点求解 典例5（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，作轴，垂足为，． (1)求的值； (2)点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①连接，．若，求点的坐标： ②在的延长线上存在一点，使为等腰直角三角形，求点的坐标． 解题模板 1.多结论题逐条独立验证，每条都回到定义或图象性质，不要让一条的结论影响下一条; 2.存在性问题先设点、再列方程，最后用判别式或实际取值范围检验解是否成立. 变式5-1（26-27九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，，与相交于点，直线与轴、轴分别交于点，．下列结论：①；②四边形与面积相等；③若，则；④若，，则直线的函数解析式为．其中结论正确的序号为（     ） A．①③④ B．①②④ C．②④ D．①② 变式5-2（26-27九年级上·北京朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，．给出下面四个结论： ①四边形不可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 变式5-3（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，反比例函数的位置如图所示，P为上一动点，矩形与交于C，D两点，连接． 针对两名同学的结论，下列判断正确的是（     ） 甲同学：的面积随点P的位置变化而变化； 乙同学：无论点P在什么位置，四边形的面积是定值． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中错误结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，已知直线分别与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围为或．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，已知，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，动点在轴的正半轴上，线段交反比例函数图象于、两点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，给出下面三个结论： ①； ②对任意，存在唯一的动点，使四边形是平行四边形； ③当时，的面积有最大值2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．如图，在平面直角坐标系中，一个含有角的三角板的其中一个锐角顶点置于点处，将其绕点A旋转，这个角的两边所在的直线分别交x轴、y轴的正半轴于点B，C，连接，函数的图象经过的中点D，则（    ）． A． B． C． D． 5．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（   ） A．2或3 B．3或5 C．2或5 D．2 6．在平面直角坐标系中，函数，的图象如图所示，点是函数图象上的一个动点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，，给出下面四个结论：①四边形有可能是菱形；②；③的面积为定值；④存在唯一的点，使得是直角三角形；上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论： ①双曲线的解析式为； ②点C的坐标是； ③； ④． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 8．在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，过点作轴的垂线，分别交的图象于点，过点作轴的垂线，分别交的图象于点（点在点上方，点在点上方），过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，垂足分别为，两条垂线交于点．给出下面四个结论：    ①当时，四边形是菱形； ②四边形可能是正方形； ③； ④如果四边形为菱形，那么． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 9．如图，某同学用计算机软件绘制函数的图象，经观察发现函数图象关于某条直线对称，在函数图象上分别取（为正整数）个点，坐标分别为，，记，下列说法： ①随的增大而减小； ②无论取何值，的值都大于； ③有唯一取值可使得为正数； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点、作轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论：①；②阴影部分面积是；③当时，；④若是菱形，则．其中正确结论的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2026·浙江宁波·二模）已知点，，且，反比例函数的图象与线段相交于点（不与点，重合），当时，的取值范围是________． 12．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．则不等式的解集是_____． 13．反比例函数，，已知在每个象限内，的函数值随着的增大而增大，且当时，函数的最大值是，函数的最小值是．设，，请写出时的取值范围___________． 14．如图，在中，，，在x轴上，，点A在函数的图象上，将沿翻折，点B恰好落在此函数图象上的点D处，k的值为________ 15．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 16．如图，点在反比例函数的图象上，连接． （1）如图1，若点的横坐标分别为1，3，且，则___________． （2）如图2，若点的坐标为，将绕点顺时针旋转，得到，点恰好落在这个反比例函数的图象上，则点的坐标为___________． 17．（26-27九年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线的另一个交点为．现给出下面4个结论： ①； ②一定是直角三角形； ③存在实数，，使得； ④对于任意的正数，都存在，使得． 上述结论中，有一个说法错误，序号是_________． 18．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求k的值． 19．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． (1)求a值及一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 21．如图，直线与反比例函数图象交于点和点B． (1)求反比例函数表达式． (2)连接，则_____（填写“<”或“=”或“>”）． (3)将直线m向上平移得到直线n，直线n与反比例函数图象交于点C和点D，连接，若，请直接写出平移后直线n的表达式． 22．【问题背景】如图1，已知直线与双曲线交于第一象限的两点，轴于轴于． 【构造联系】 （1）当时，则点坐标为___________； （2）求的值； 【深入探究】 （3）如图2，过点作线段轴，交轴于点，且，作轴于分别交双曲线点、点，连接并延长交轴于点，连接，证明：四边形为平行四边形． 23．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图1，过点的直线分别与轴，反比例函数的图象（）交于点，，且，连接，求的面积； (3)如图2，点在另一条反比例函数（）的图像上，点在轴正半轴上，连接交该反比例函数图像于点，且，再连接，，若此时四边形恰好为平行四边形，求的值． 24．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于两点和F．且点在反比例函数图象上． (1)求反比例函数的解析式以及点F的坐标； (2)点P在反比例函数第一象限的图象上，连接，和，若，求点P的横坐标； (3)点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点A，，与y轴相交于点C，与直线相交于点D，与x轴相交于点E． (1)求反比例函数与一次函数的表达式；并求点A、点D的坐标； (2)求的面积； (3)直接写出当一次函数大于反比例函数时x的取值范围； (4)直线沿轴方向平移n个单位与反比例函数图象有一个交点，求n； (5)求的正弦； (6)若点M在反比例函数第一象限的图象上，点N在x轴上，使得与相似，求点M的坐标． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线与直线交于点、点，点为双曲线上点右侧的一点，过点作，交轴于点，连接 (1)如图1，求点、的坐标； (2)如图2，若四边形是平行四边形，求长； (3)如图1，当四边形的面积为时，求直线的解析式． 27．（23-24八年级下·浙江金华·阶段检测）已知反比例函数和，过点作x轴的平行线l与函数，的图象相交于点B，C． (1)如图1，若时，求点B，C的坐标； (2)如图2，一次函数交l于点D． ①若，点B恰好是C、D两点连线的中点，求m的值； ②过点B作y轴的平行线与函数的图象相交于点E．当m值取不大于的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d． 28．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数（，常数）图象上一点作轴的平行线交直线：于点，且．    (1)求的值，并写出函数（）的解析式； (2)过函数（）图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？并说明理由； (3)如图2，若是函数（）图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 29．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 30．反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 31．如图1，一次函数与反比例函数 的图象相交于点， 两点，点C为线段中点，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)如果一个矩形的长、宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．在平面内是否存在点（点P在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在直线上方的反比例函数的图象上取一点，连接，，，且的面积为． ①求点的坐标； ②点在轴上，直线与反比例函数的图象只有一个交点，在直线的上方是否存在点，使得？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B在第一象限，点A的坐标为．将线段绕O顺时针旋转至线段，若反比例函数的图象经过B、D两点，求反比例函数的表达式． 34．如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4． (1)求k的值和直线的解析式； (2)若P为函数的图象上一动点，过点P作直线轴于点M，直线l与四边形在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为m，且，当，求出m的值． (3)已知点Q是反比例函数上的一个动点，设点Q的横坐标为n，，当n为何值时，面积最大，并求出最大面积． 35．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C． (1)求k的值及直线的解析式； (2)点D为x轴正半轴上一点，连接，当的面积为6时，与反比例函数图象交于点E．点P，Q均为x轴上的动点，点P在点Q的左侧，且，取的中点F，连接，求点E的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，点M为反比例函数图象上的一点，射线与直线交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二 反比例函数中的交点、对称与图形变换 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线交点——代入求k、求直线、求点坐标 题型二、双曲线图象——比较函数值、读解集、数交点 题型三、双曲线对称——中心对称、中点、面积定值 题型四、图形变换——平移、旋转、折叠后落双曲线 题型五、双曲线综合——多结论判断与存在点求解 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题处理反比例与一次函数综合问题，优先联立解析式求交点、求解参数与定点；借助函数图象直观比较函数值大小、确定不等式解集；充分利用反比例函数的中心对称、中点与线段比例关系转化条件；平移、旋转、折叠等图形变换重点跟踪点的坐标变化，检验落点是否在双曲线上；多结论和存在性问题先假设成立，结合坐标方程推理，最后检验结果是否符合题意。 学生高频易错点主要有如下几种情形： 1. 解不等式时把“图象在上方”直接等同于“函数值大”，忽略 x 的分段与定义域； 2. 用两根之和、之积时忘记 Δ>0 的前提，把无交点的情况也算进去； 3. 关于原点对称的两点，只把横坐标变号而漏掉纵坐标； 4. 直线平移后仍沿用原直线的交点坐标，没有重新联立。 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线交点——代入求k、求直线、求点坐标 典例1（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点． (1)求的值； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到，代入A、B点的坐标再代入一次函数解析式组成方程组求出n和a，最后求出k值即可； （2）由（1）可知A、B点的坐标，再求出时的值，然后根据函数图象直接写出当时自变量取值范围即可． 【详解】（1）解：∵点都在反比例函数图象上， 整理得：， ， 解得， 在直线的图象上， ， 解得， ， 在反比例函数图像上， ， 综上所述，，，，； （2）解：由（1）可知：，，， 当时，， 解得， 根据函数图象可知，时，x的取值范围为：或． 解题模板 1.交点坐标同时满足两个解析式，代入 y= 求 k，再代入直线求 b，“两点定一线”; 2.已知 k 求交点时，联立消元后解一元二次方程，两根都要检验是否在定义域内. 变式1-1（17-18九年级下·山东枣庄·期中）如图，已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数的图象于点A、B，交x轴于点C． （1）求m的取值范围. （2）若点A的坐标为（2，-4），且，求m的值和一次函数表达式. （3）在（2）的条件下，连接OA，求△AOC的面积并直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围. 【答案】（1）m＞2；（2）m=6，；（3）20；0＜x＜2或x＞8 【详解】【分析】（1）根据双曲线位于第四象限，比例系数k＜0，列式求解即可； （2）先把点A的坐标代入反比例函数表达式求出m的值，从而得反比例函数解析式，再利用相似三角形的性质求出点B的纵坐标，然后代入反比例函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）由直线解析式可得点C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得面积，由图象，根据A、B的横坐标即可得出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围. 【详解】（1）∵反比例函数的图象在第四象限， ∴4-2m＜0，解得m＞2； （2）∵点A（2，-4）在函数图象上， ∴-4=2-m，解得m=6， ∴反比例函数解析式为y=-， 过点A、B分别作AM⊥OC于点M，BN⊥OC于点N， ∴∠BNC=∠AMC=90°， 又∵∠BCN=∠ACM， ∴△BCN∽△ACM，∴，    ∵，∴，即， ∵AM=4，∴BN=1， ∴点B的纵坐标是-1， ∵点B在反比例函数的图象上，∴当y=-1时，x=8， ∵点B的坐标是（8，-1），    ∵一次函数y=kx+b的图象过点A（2，-4），B（8，-1）， ∴， 解得，b=-5， ∴一次函数的解析式是； （3）一次函数的解析式是，当y=0时，有0=，解得x=10， ∴C（10，0）， ∴S△AOC==20， 由函数图象可知 当0＜x＜2或x＞8时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点等，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 变式1-2（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求点的坐标； (2)若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集是 ； (4)若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)或； (4)或或． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数解析式，然后联立解方程即可； 根据列出方程，然后解方程即可； 根据点，的坐标，然后结合图象即可求解； 分为边及为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴点的坐标为； （2）解：设直线与轴的交点为，如图， 令时，， 解得， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴，整理得， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点的坐标为，， ∴由图象可知，不等式的解集是或； （4）解：设点的坐标为，点的坐标为， 分两种情况考虑： 为边，如图， 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 为对角线，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述：当，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点的坐标为或或． 变式1-3（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 题型二、双曲线图象——比较函数值、读解集、数交点 典例2如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)当为直角三角形时，点P的坐标为或 【分析】（1）先得出，然后可得反比例函数解析式，进而联立函数关系式可得点B的坐标； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意可设，则有，根据两点间距离公式可得：，，，然后可分当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可把点代入直线得：， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：由图象及（1）可知：不等式的解集为或； （3）解：由题意可设， 把代入直线得：，解得：， ∴， ∵， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当为直角三角形时，则可分： 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点P的坐标为或． 解题模板 1.先求交点横坐标，把 x 轴分成若干段，再逐段判断两图象谁在上方; 2.解集端点是否取到，取决于原不等式是否含等号，写完必须回看一遍. 变式2-1（2026·浙江温州·二模）已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题先利用反比例函数图象上点的坐标特征，将，用表示，再结合得到 ，分别计算和的符号，结合的取值范围判断选项正误． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，即，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴，， 分情况讨论： 当时，，， ∴ ，得 ， ，故A正确，C错误； 当时，，， ∴ ，得 ， ，故B，D错误． 变式2-2（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知的图象上有两点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， 则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数性质，由点A和点B在函数图象上，可得与关于t的表达式，再通过t的取值范围判断和的符号及大小关系． 【详解】解：∵点和在的图象上， ∴，， ∴，. 对于选项B：若，则， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴，故选项B正确； 其他选项均可通过反例排除：选项A，当时，，，不满足；选项C，当时，，不满足；选项D，当时，，，，不满足， 故选：B． 变式2-3（26-27九年级上·四川泸州·期中）设函数与函数的图象的公共点个数为，下列四个结论中正确的是（     ） ①若，则； ②存在实数，使；③若，则 ；④若，则 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】将按和去绝对值，联立一次函数方程，分情况讨论交点个数，逐一判断结论即可． 【详解】解：可化为时，时，函数值恒正， 联立与，分两种情况： 时，方程为（记为方程①）；时，方程为（记为方程②）. ①若： 当时，方程①的判别式，两根之积为，有1个正根，即有1个交点，； 当时，方程②的判别式，两根之积为，有1个负根，即有1个交点，； 当时，，与交于，. 故①正确，符合题意； ②存在实数使： 取，， 方程①：，有1个正根，有1个交点； 方程②：，，两根之和为，两根之积为，有2个负根，有2个交点； 总交点数，故②正确，符合题意； ③若，则： 若： 时，，与最多1个交点，； 时， 若，时，无交点，最多1个交点，， 若，时，无交点，最多1个交点，， 故时，不可能为3，因此时，③正确，符合题意； ④若，则： 当时， 若，则方程②有2个不等负根，需，即； 若，则方程①有2个不等正根，需，即， 综上， 取，，满足，此时，但，与结论矛盾，故④错误，不符合题意； 综上，正确的是①②③． 题型三、双曲线对称——中心对称、中点、面积定值 典例3（21-22八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)或或 (3)不变，的定值为 如图，连接、、， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， ∴，， ∴， ， 在四边形中，，而， ∴， ∴四边形内角和为， ∴， ∵是的中点， ， ，即的定值为． 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出、的值，从而可得，，由题意可得点的横坐标为，设，结合平行四边形的性质求出，最后再利用反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）求出反比例函数的解析式为，分三种情况：当为边时，此时四边形为平行四边形；当为边时，此时四边形为平行四边形；当为对角线时，此时四边形为平行四边形；利用平行四边形的性质计算即可得出结果； （3）连接、、，由线段垂直平分线的性质可得，证明，得出，求出，即可得出，从而得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴，， ∵为中点，且点在轴上， ∴点的横坐标为， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数经过、两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上，点在轴上， ∴设，， 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， 解得，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）略． 解题模板 1.关于原点对称：横、纵坐标同时变号，不能只改一个; 2.中点与定比分点用坐标公式，再把握“点在图象上”翻译成坐标乘积等于 k. 变式3-1（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点．为的平分线．过点作的垂线，垂足为，连结．若，的面积为8，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数k的意义，将的面积转化为的面积是解题的关键． 延长，，交于点F，通过证明，得出，由中心对称得点O是的中点，进而可得是的中位线，推出，，再过A作轴于M，过D作轴于N，通过证明，得出，设点A的坐标为，则点D的坐标为，根据列式计算，可得k的值． 【详解】解：延长，，交于点F， 是的角平分线， ∴， ， ∴， 又， ∴， ∴， 又过原点的直线与反比例函数的图象交于两点， ∴点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 过A作轴于M，过D作轴于N， 则， ∴， ∴， ， ∴， 设点A的坐标为，则点D的坐标为， ， ∴， ∴， 解得 故选：B． 变式3-2（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点A在反比例函数的图象上，点B，C都在反比例函数的图象上，且轴，点C在下方．设点B的横坐标为． (1)点A的坐标为 （用含a的代数式表示）． (2)当时，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得点B的坐标，进而利用即可求得点A的坐标； （2）利用等腰直角三角形的性质得到，代入即可求得答案． 【详解】（1）解：∵点B的横坐标为． ∴， ∵轴， ∴A点的纵坐标为， 代入得， ∴， ∴点A的坐标为， （2）解：∵， ∴， 过点作于点，交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴，， ∵，， ∴根据中点坐标公式得到， ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， a的值为． 变式3-3（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）已知，是函数图象上关于原点对称的两个点（其中为第一象限内的点），过，分别作轴的平行线，交轴于，两点． (1)证明：四边形的面积为定值，并求出该定值． (2)若点，且，求点的坐标． (3)若点，求的最小值． 【答案】(1)四边形的面积为定值，定值为8 (2) (3)24 【分析】（1）设点，则点，根据平行四边形的判定条件证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形面积公式求解； （2）设点，则点，根据得出点P在的中垂线上，利用两点间的距离公式得到、、，在中，根据列方程，求解的值，从而得到点C坐标； （3）设点，则点，先根据两点间距离公式表示出，再利用任何数的平方都非负，求出其最小值． 【详解】（1）证明：设点，则点， ， 根据题意得 四边形为平行四边形， 四边形的面积为， 四边形的面积为定值，定值为8； （2）解：设点，则点， 点在的中垂线上， 如图，连接、， 则， ，， ， ， 即 解得或（舍去）， 当时，， 则点的坐标为； （3）解：设点，则点， 则 ， 即的最小值为24． 【点睛】本题考查反比例函数、平行四边形的判定与性质、中垂线的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数的图像性质是解题的关键． 题型四、图形变换——平移、旋转、折叠后落双曲线 典例4（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上． (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【答案】(1)的长度为3 (2)①；②当点坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质，推出，再利用勾股定理求的长； （2）①设，则，利用勾股定理列方程，求出，可得，将点代入反比例函数解析式求解即可； ②先求出直线的解析式，再求反比例函数图象与直线的交点的坐标，延长至点G，使得，利用垂直平分线的性质说明，进一步说明当点P为与的交点时，最小，此时的周长最小，再求出直线，的解析式，联立解方程可得点P的坐标． 【详解】（1）解：，， ，， 四边形是矩形， ，，， 由翻折得到， ，，， 由勾股定理得，． 的长度为3． （2）解：①设，则， 又，， 由勾股定理得，， 即，解得， ，即， 将点代入反比例函数，可得， 反比例函数解析式为． ②设直线的解析式为， 代入点，，得， 解得， 直线的解析式为． 解方程得，，， 经检验，，是方程的解， 当时，，故． 如图，延长至点G，使得，连接，， 又， 垂直平分， ， ， 当点P为与的交点时，有最小值时． 的周长等于，的长为定值， 当有最小值时，的周长最小， ， E为的中点， 设，又，， ，解得， ， 设直线的解析式为， 代入点，可得， 解得， 直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为：， 联立，解得， 直线与的交点坐标为， 当点坐标为时，的周长最小． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，矩形的性质，勾股定理，折叠问题，求线段和的最小值问题等相关知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 解题模板 1.变换只看坐标怎么变：平移加减、旋转用 90° 规则、折叠找对称轴并利用垂直平分; 2.变换后的点仍落在同一条双曲线上，据此列方程求 k，必要时联立求另一条双曲线. 变式4-1（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，点，点都在反比例函数的图象上．将的图象绕点O逆时针旋转45°，点A，点B的对应点的纵坐标分别为a，b，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．a，b大小无法比较 【答案】A 【分析】作直线，过点A，B作于点C，于点D，分别过点作轴于点E，轴于点F，设，，证明，，得到，，由勾股定理得到， ，解得 ，，得到 ，，即可比较大小． 【详解】解：作直线，分别过点A，B作于点C，于点D，分别过点作轴于点E，轴于点F， 则， 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， 则， ∵， ∴， 解得，（舍去）或， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， 则， ∵， ∴， 解得，（舍去）或， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与旋转综合．熟练掌握反比例函数性质，旋转性质，正比例函数性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加辅助线，是解题的关键． 变式4-2（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数（）的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数（）的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：①；②的面积等于四边形的面积；③的最小值是2；④．其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】首先确定,求得，可以判定①正确；设的交点为F, 根据反比例函数k的几何意义，可以判定②正确；设，利用两点间距离公式，不等式的性质，可以判定③正确；设点A向右平移了t个单位长度，则， 利用正切函数的意义，可以判定④正确． 【详解】解：矩形的顶点在函数（）的图象上，，， , ， 解得， 故①正确； 设的交点为F, 根据反比例函数k的几何意义，得， ， ， 故②正确； ， ， 设，根据题意，得， ， 故的最小值是2； 故③正确； 设点A向右平移了t个单位长度，则， ，， ， 根据矩形的性质，得， ， ， 故④正确． 变式4-3（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）图形的平移变换、对称变换等是研究几何图形常用方法，小明同学用平移变换和对称变换对直线和曲线进行了探究： 探究一：如图1，当直线l与曲线c有且只有一个交点时，n的值是多少？ 探究二：如图2，直线l与曲线c交于A，B两点，当时，x的取值范围是；直线与曲线c和直线l分别交于E，G两点，则与的比值是多少？ 探究三：如图3，将曲线c沿直线l翻折得另一曲线，直线与两条曲线分别交于E，F两点，若，则n的值是多少？ 请完成小明提出的以上三个探究，并写出探究过程．    【答案】探究一：；探究二：；探究三： 【分析】探究一：联立直线l与曲线c解析式得到对应的一元二次方程，根据只有一个交点得到一元二次方程有两个相等的实数根，据此求解即可； 探究二：利用图象法求出A，B的坐标，进而求出n的值，进一步求出E，G的坐标，利用勾股定理求出的长即可得到答案； 探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线交于H，G，T，求出，进而证明，再证明，得到，即，则E、F关于直线l对称，进而得到，设，推出，，则，即可求出，，再根据，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：探究一：联立得：， ∵直线l与曲线c有且只有一个交点， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 当时，原方程为，解得，不符合题意； 当时，原方程为，解得，符合题意； ∴； 探究二：设， 由函数图象可知，当直线l的函数图象在曲线c的函数图象上方时，自变量的取值范围为， ∵当时，x的取值范围是， ∴， 联立得：， ∵直线l与曲线c交于A，B两点， ∴方程的两个实数根分别为， ∴， ∴直线l的解析式为， ∴， ∴； 联立，解得， ∴； 联立，解得或， ∴， ∴， ∴； 探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线交于H，G，T， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵直线平分， ∴， ∴，即， ∴E、F关于直线l对称， ∴， 设， 联立得：，联立，解得， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（此时直线l与曲线c只有一个交点）（舍去）或．    【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解一元二次方程，正确通过联立对应的解析式，从而表示出对应的交点坐标是解题的关键． 题型五、双曲线综合——多结论判断与存在点求解 典例5（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，作轴，垂足为，． (1)求的值； (2)点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①连接，．若，求点的坐标： ②在的延长线上存在一点，使为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)12 (2)①；②或. 【分析】（1）根据题意，易得，进而求出点坐标，待定系数法进行求解即可； （2）①先求出点坐标，进而求出四边形的面积，得到的面积，求出直线的解析式，过点作，交轴于点，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据平行面积转化以及三角形的面积公式进行求解即可；②分两种情况，构造一线三垂直全等模型，表示出点或点的坐标，代入解析式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵作轴，垂足为，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴当时，解得， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，；当时，， ∴，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 设，过点作，交轴于点， 则直线的解析式为，， ∴当时，， ∴， ∴， 解得或（舍去）； ∴； ②当为等腰直角三角形时，分两种情况： 当时，则，过点作轴，作于点，作于点，如图，设， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∴； 当时，则，过点作轴，作，作，如图， 同理可得， ∴， 设，则， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∴， 综上：或. 解题模板 1.多结论题逐条独立验证，每条都回到定义或图象性质，不要让一条的结论影响下一条; 2.存在性问题先设点、再列方程，最后用判别式或实际取值范围检验解是否成立. 变式5-1（26-27九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，，与相交于点，直线与轴、轴分别交于点，．下列结论：①；②四边形与面积相等；③若，则；④若，，则直线的函数解析式为．其中结论正确的序号为（     ） A．①③④ B．①②④ C．②④ D．①② 【答案】B 【分析】通过证明，即可判断①；通过，即可判断②；根据全等三角形的性质及正方形得出，，确定，求出k值即可判断③；证明得到，则可证明是等边三角形，得到，利用勾股定理建立方程求出点E、F的坐标从而求得直线解析式，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点E、F都在反比例函数的图象上，反比例函数图象在第一象限，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴，即， ∴①正确； ∵点E、F都在反比例函数的图象上，反比例函数图象在第一象限，即， ∴， ∴， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，即，解得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点E，F， ∴， ∴③错误； 在与中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（3）得， 设正方形的边长为，则， 在中， ， 即，解得或（舍去） ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点 则有，解得 故直线的解析式为， ∴④正确； ∴正确序号为①②④． 变式5-2（26-27九年级上·北京朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，．给出下面四个结论： ①四边形不可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】C 【分析】对于①，取，容易证明四边形是菱形；对于②，作于点，由的几何意义可得，，由等腰三角形的性质可得，结合等积变形可得为定值；对于③，设点的坐标为，利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质可计算出的中点坐标为，由可判断的中点不在双曲线上；对于④，取，容易证明此时，再取，此时，因此必定存在的时刻． 【详解】解：对于①，当时，四边形是菱形，证明如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故①错误； 对于②，如图，作于点， 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为定值，故②正确； 对于③，设点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点的坐标为， 由中点公式可得，的中点坐标为， ∵， ∴的中点不在反比例函数的图象上， ∴点不可能是的中点，故③错误； 对于④，当，如图，取的中点，连接， 由①可知，四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由③可知，点的坐标为， ∵， ∴点在反比例函数的图象的上方， ∴， ∴，即， 当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在点移动的过程中，必然存在一个时刻，使得， ∴可能是直角三角形，故④正确； 综上，正确的结论为②④． 变式5-3（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，反比例函数的位置如图所示，P为上一动点，矩形与交于C，D两点，连接． 针对两名同学的结论，下列判断正确的是（     ） 甲同学：的面积随点P的位置变化而变化； 乙同学：无论点P在什么位置，四边形的面积是定值． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】B 【分析】设，故，，根据反比例函数k的几何意义，图形的面积性质，解答即可． 【详解】解：设，故，， 的图象经过点C，D， ， 解得， ，， ， 根据反比例函数k的几何意义，得，，， ， 都是定值， 故的值也是定值， 故甲同学的说法错误； ，是定值， 故乙同学的说法正确； 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中错误结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴点与点关于原点对称，故①正确； ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故②正确； ∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小，对任意，不满足，故③错误； ∵轴， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵点是的中点， ∴，故④正确； ∴错误结论有1个， 故选：A． 2．如图，已知直线分别与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围为或．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、一次函数的图像与性质、反比例函数的图像与性质．根据直线的走向和反比例函数所在象限可知，，根据有理数的乘法法则可知；根据反比例函数的解析式可知，，可得；根据一次函数的解析式可以求出，可得，，可知成立；由图像可知当时，的取值范围为或． 【详解】解：直线的走向是随的增大而减小， ， 反比例函数的图象在第二、四象限， ， ， 故①正确； 反比例函数的图象相交于，两点， ，， ， 故②正确； 当时，可得：， 点的坐标是， ， ，， ， 故③正确； 由函数图像可知，在第二象限中点的左侧， 此时， 在第四象限中点的左侧， 此时， 当时，的取值范围为或， 故④正确． 综上所述，正确结论的个数是. 故选：D． 3．如图，已知，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，动点在轴的正半轴上，线段交反比例函数图象于、两点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，给出下面三个结论： ①； ②对任意，存在唯一的动点，使四边形是平行四边形； ③当时，的面积有最大值2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】连接，利用角平分线及斜边中线的性质即可判断①；若四边形是平行四边形，则可推出四边形是平行四边形，进而得出，再结合函数的图象可判断②；由可知，确定 的最大值即可判断③． 利用面积关系及三角函数求最值判断. 【详解】解：①如图1，连接， 直线与反比例函数的图象都关于原点对称， 、两点关于原点对称，即． ， 在中，， ， 平分， ， ， ， 故①符合题意； ② 如图2，连接. 若四边形是平行四边形，则，． 由①已知, 四边形是平行四边形， ， 由①已知， . 动点在轴的正半轴上，且是线段与反比例函数图象的交点， 点在点的右侧，且由图象可知随着动点向右运动，的长度是由0开始逐渐增大的， 对任意，一定存在唯一的动点，满足，也就是满足四边形是平行四边形，故②符合题意； ③如图3，过点E作,垂足为. 当时，把与联立，得 解得或， 两点的坐标分别为、． . ， . 在中，． 当时， 取得最大值，最大值为． 故③不符合题意. 综上所述，符合题意的结论是①②. 4．如图，在平面直角坐标系中，一个含有角的三角板的其中一个锐角顶点置于点处，将其绕点A旋转，这个角的两边所在的直线分别交x轴、y轴的正半轴于点B，C，连接，函数的图象经过的中点D，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，过点A作轴，轴，连接，根据点A坐标可知长度，再证明，根据得到的比例式计算出，过点D作轴，轴，根据点D为中点可以计算出，从而确定k值． 【详解】解：如图，过点A作轴，轴，连接， ∴四边形是正方形， 由，可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 过点D作轴，轴， ∵D为中点， ∴，， ∴， 故选：D． 5．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（   ） A．2或3 B．3或5 C．2或5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， ∴， 整理得， 解得：或． 故选：A． 6．在平面直角坐标系中，函数，的图象如图所示，点是函数图象上的一个动点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，，给出下面四个结论：①四边形有可能是菱形；②；③的面积为定值；④存在唯一的点，使得是直角三角形；上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】设，则，，，，，，再结合菱形的性质即可判断①；求出直线、的解析式，即可判断②；根据，计算即可判断③；分情况讨论并结合勾股定理即可判断④． 【详解】解：∵点是函数图象上的一个动点， ∴设， ∵过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 若四边形为菱形，则，即， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 此时，，， 故四边形不是菱形，故①说法错误，不符合题意； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴，故②正确； ，故③正确； ∵，， ∴，，， ∵， ∴或， 当时，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 当时，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）； 故存在两个满足条件的点，使得是直角三角形；故④错误； 综上所述，正确的有②③． 7．已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论： ①双曲线的解析式为； ②点C的坐标是； ③； ④． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】过作轴于点，由菱形的面积可求得，在中，可求得，过作轴于点，由菱形的性质可求得点坐标，则可求得双曲线解析式；过作轴于点，则，可求得，可求得点坐标和；在中，由勾股定理可求得，结合条件可求得，则可求得，可得出答案． 【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点，过作轴于点， ， ， ，即， ， 在中，，，由勾股定理可得， ， 四边形为菱形， 为中点， ，， ， 双曲线过点， ，解得， 双曲线解析式为， 故①正确； 又由上可知四边形为矩形， ， ，且， ， 故②正确； 在中，，， ， 故③正确； 在中，，， ， ， ， ， 故④不正确； 综上可知正确的为①②③共三个． 8．在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，过点作轴的垂线，分别交的图象于点，过点作轴的垂线，分别交的图象于点（点在点上方，点在点上方），过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，垂足分别为，两条垂线交于点．给出下面四个结论：    ①当时，四边形是菱形； ②四边形可能是正方形； ③； ④如果四边形为菱形，那么． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握菱形的性质与判定，正方形的判定，反比例函数图象的点坐标特征是解题的关键． ①根据题意表示出所有关键点的坐标，把代入求出点的坐标，再求出四边形的四边长度结合菱形的判定即可判断； ②根据点的坐标可得，结合正方形的判定还需对角线相等且互相平分，利用点的坐标表示出对角线线段长度列式求解即可； ③利用坐标得出两图形面积后求出比即可； ④利用菱形的性质求出的值，求出四边形的面积即可． 【详解】解：由题意得：，，，，，，， ①当时，，， ∴，，，， ∴，， ，， ∵， ∴四边形不是菱形，故①错误，不符合题意； ②∵，，，， ∴，与交点，，， ∴，，，， 若四边形是正方形，还需，与互相平分， ∴，解得：， ∴当时，四边形是正方形， ∴四边形可能是正方形，故②正确，符合题意；      ③∵四边形中，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④∵四边形为菱形， ∴与互相平分，即，， ∴，解得：， ∴，故④错误，不符合题意； 故正确结论的序号是②③． 故选：C． 二、填空题 9．如图，某同学用计算机软件绘制函数的图象，经观察发现函数图象关于某条直线对称，在函数图象上分别取（为正整数）个点，坐标分别为，，记，下列说法： ①随的增大而减小； ②无论取何值，的值都大于； ③有唯一取值可使得为正数； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象、偶次方的非负性，熟练掌握函数的对称性和增减性是解题关键．先根据函数的解析式可得，再根据函数的对称性可得，，，，从而可得，然后根据随的增大，减小，即可判断①正确；根据即可判断②正确；根据要使为正数，则，结合为正整数可得，由此即可判断③正确． 【详解】解：∵，即， ∴函数图象关于直线对称， ∴， ∵函数图象关于直线对称，点，在这个函数图象上，且， ∴点和点关于直线对称， ∴， 同理可得：，，， ∴ ， ∵随的增大，减小， ∴随的增大而减小；则说法①正确； ∵， ∴，即无论取何值，的值都大于；则说法②正确； 要使为正数，即，则需，即， 又∵为正整数， ∴， ∴有唯一取值可使得为正数；则说法③正确； 综上，说法正确的个数是3， 故选：D． 10．如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点、作轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论：①；②阴影部分面积是；③当时，；④若是菱形，则．其中正确结论的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】作轴于，轴于，根据平行四边形的性质得，利用三角形面积公式得到，则有，再利用反比例函数的几何意义和三角形面积公式得到，，所以有；由，，得到；当，得到四边形是矩形，由于不能确定与相等，则不能判断，所以不能判断，则不能确定；若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，所以，即，即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于，轴于，   四边形是平行四边形， ， ∴ ， ∵轴，轴，，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ， ，， ，故①正确； ，， ， ∵由题意可得，， ，故②正确； 当， 四边形是矩形， 不能确定与相等， 而， 不能判断， 不能判断， 不能确定，故③错误； 若四边形是菱形，则， 而， ， ， ，， ， ， ，故④正确， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数的图象、反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、矩形的判定性质和菱形的性质． 11．（2026·浙江宁波·二模）已知点，，且，反比例函数的图象与线段相交于点（不与点，重合），当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据点，坐标特征确定线段为竖直线段，得到点的坐标表达式，再结合不与端点重合得到的初步范围，最后根据列不等式求解得到最终取值范围． 【详解】点，， 线段平行于轴，所有点横坐标为， 点是反比例函数与线段的交点， 将代入，得， 不与点，重合，， ， 解得， 由距离定义得：，. ， ， 解得， 综上，的取值范围是． 12．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．则不等式的解集是_____． 【答案】或 【分析】可转化为，观察图象即可求解． 【详解】解：可转化为， 由图象可知，的解集为或． 13．反比例函数，，已知在每个象限内，的函数值随着的增大而增大，且当时，函数的最大值是，函数的最小值是．设，，请写出时的取值范围___________． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，首先根据的函数值随着的增大而增大，可知，根据当时，函数的最大值是，函数的最小值是可知，可得：，，分情况列不等式求解即可． 【详解】解：在每个象限内，的函数值随着的增大而增大， ， 可得：， 反比例函数在每个象限内随着的增大而减小， 当时，函数的最大值是， ，即， 当时，函数的最小值是， ， 解得：， 可得：，， ，， ， 且， 当时，， ， 成立； 当时，，， ， ， 解得：； 当时，， ， ； 综上所述，的取值范围是且． 14．如图，在中，，，在x轴上，，点A在函数的图象上，将沿翻折，点B恰好落在此函数图象上的点D处，k的值为________ 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据折叠的性质可得，，根据含角的直角三角形的性质可得和的长，设，则点，，根据点和点在同一个反比例函数的图象上，列方程，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： ，， 根据折叠，可得，， ， ， ，即， ∴， 在中，，，， 同理可得， 设， 则点，， 点和点在同一个反比例函数的图象上， ， 解得， ∴， ∴. 15．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长． 【详解】根据题意可知， ． 设反比例函数的解析式为 将点 代入，得 ． 反比例函数的解析式为： ∵， ∴当时， ． 解得．经检验，是分式方程的解． ∴ ． ∴． 由对称的性质，得． ∴ 16．如图，点在反比例函数的图象上，连接． （1）如图1，若点的横坐标分别为1，3，且，则___________． （2）如图2，若点的坐标为，将绕点顺时针旋转，得到，点恰好落在这个反比例函数的图象上，则点的坐标为___________． 【答案】 6 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象和性质并添加合适的辅助线是关键． （1）分别过点作轴于点轴于点，根据题意，可得点根据即可得到答案； （2）点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为．设点，则得到，即可求出答案． 【详解】解：（1）如图1，分别过点作轴于点轴于点， 则． ． 根据题意，可得点 （2）如图2，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为． 根据旋转的性质得到 ∵点， 设点，则 ， 点 ∵点在反比例函数的图象上， ， 解得（舍去）， 点． 17．（26-27九年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线的另一个交点为．现给出下面4个结论： ①； ②一定是直角三角形； ③存在实数，，使得； ④对于任意的正数，都存在，使得． 上述结论中，有一个说法错误，序号是_________． 【答案】③ 【分析】连接，由反比例函数图象的性质可知点与点关于原点对称，得，即可判断①；令与轴，轴分别交于，，联立两个解析式，可得，进而求得，，由此可得，，可知，，进而求得，即可判断②；由直线，可得，可知为等腰直角三角形，由三角形外角可知，，即可判断③；可知，，求得，，进而可得，可知，当时，关于的方程都有解，即可判断④． 【详解】解：连接，设与轴，轴分别交于，， ∵直线和双曲线均关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴，故①正确； 联立， 整理得， 解得，， 则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，故②正确； 对于直线，当时，，当时，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由三角形外角可知，， ∴一定不是等腰直角三角形， ∴，故③不正确； ∵， ∴，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴， 当时，关于的方程都有解， ∴对于任意的正数，都存在，使得，故④正确； ∴上述结论中，有一个说法错误，序号是③． 18．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求k的值． 【答案】(1)证明：∵点在反比例函数的图象上， ， ， ， 将代入，得， 又， ， ， ，即． (2)①；② 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于的性质，结合已知条件推导即可证明结论． （2）①根据点在反比例函数上得到坐标关系，求出交点的坐标后计算和的长度和即可； ②利用全等三角形得到点的坐标，结合点在反比例函数上和三角形面积的条件，逐步推导计算得到的值． 【详解】（1）略 （2）①解：∵，点在上， ， ， ， 如图，交点的坐标为，即， ， ． ②解：如图，过点作，垂足为， 由题意得 ，交点， ，， ∵， ，且， ， 在和中， ， ， 点坐标为 ∵在上， ， 整理得：， ，是等腰直角三角形， ，即， ， 整理得：， ， 将代入， 得，整理得， 联立，得， ∵， ∴， 即， 解得， 代入，得． 19．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． (1)求a值及一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先将交点A的坐标代入反比例函数求出a的值，再把A点坐标代入一次函数求出k，进而得到一次函数解析式； （2）先求出一次函数与反比例函数的交点，再根据时函数值的大小关系，结合特殊点的函数值确定n的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得， ∴， 将点代入， 得：， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：联立与， 得：，解得或， ∴一次函数的图象与函数的图象的交点为，， 如图，作一次函数的图象和函数的图象， ∵当时，，， ∴当直线过点时，， ∴， 当直线过点时，， ∴， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，且小于一次函数的值， ∴n的取值范围是． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点坐标为或或 【分析】（1）先求出值，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由图象可知，不等式的解集为或； （3）解：设， ∵， ∴， 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得； 综上：点坐标为或或． 21．如图，直线与反比例函数图象交于点和点B． (1)求反比例函数表达式． (2)连接，则_____（填写“<”或“=”或“>”）． (3)将直线m向上平移得到直线n，直线n与反比例函数图象交于点C和点D，连接，若，请直接写出平移后直线n的表达式． 【答案】(1) (2)= (3) 【分析】（1）把直接代入中，求出的值即可； （2）联立方程组，求解得，，得出点、的坐标，求出，的值，再进行比较即可； （3）设平移后的解析式为，与联立得，设，，得到，，求得，，代入得，求出，，进行验证可得结论． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数图象交于点， ∴， ∴， ∴反比例解析式为； （2）解：联立方程组， 解得，， ∴，， ∴， ， ∴； （3）解：设平移后的直线的解析式为， 联立， 整理得， 设，，则，， 由得，， 又代入得， 令，则， 解得或 ∴，，其中不合题意，舍去， ∴或， ∴，，（反之也成立） 将代入，则，解得． 所以，平移后直线n的表达式为． 22．【问题背景】如图1，已知直线与双曲线交于第一象限的两点，轴于轴于． 【构造联系】 （1）当时，则点坐标为___________； （2）求的值； 【深入探究】 （3）如图2，过点作线段轴，交轴于点，且，作轴于分别交双曲线点、点，连接并延长交轴于点，连接，证明：四边形为平行四边形． 【答案】（1）；（2）2； （3）设，则，，， ， ，即，， ， ， ， ， ，则， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 当时，，解得， ， ， 在和中， ， ， ， （同位角相等，两直线平行）， 又轴， ， 四边形为平行四边形． 【分析】本题主要考查直线与反比例函数图像及相关性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握直线与曲线交点坐标的求解是解题的关键． （1）联立直线与曲线得到，再由根与系数的关系得到，结合，即即可求得，代入得到点坐标即可； （2）由（1）知，，进而得到，结合题意即可求解； （3）设，则，，，得到，进而求出、，再设直线的解析式为，根据待定系数法求得直线的解析式为，令，得到，再通过证明，得到，即可说明，结合线段轴即可证明． 【详解】解：（1）联立直线与曲线， 得， 由根与系数的关系可得， ， ，整理得， 结合，解得，， 当时，， 点坐标为； 故答案为：； （2）由（1）知， ， 轴于轴于，且在第一象限， ； （3） 略 23．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图1，过点的直线分别与轴，反比例函数的图象（）交于点，，且，连接，求的面积； (3)如图2，点在另一条反比例函数（）的图像上，点在轴正半轴上，连接交该反比例函数图像于点，且，再连接，，若此时四边形恰好为平行四边形，求的值． 【答案】(1)的函数表达式为，点B的坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点A作轴交x轴于点H，交过点N垂直y轴的直线与点G，设直线与x轴交于点K，先根据平行线分线段成比例得到点N的纵坐标为代入求出点N的坐标，然后求出直线的解析式，解出与x轴交点M的坐标，然后根据解题即可； （3）根据平行设直线的解析式为，然后得到点C的坐标，由平移得到点D的坐标，然后利用相似三角形的判定和性质得到点E的坐标，然后根据题意列方程解题即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得，解得， ∴直线的函数表达式为， 解方程组得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：过点A作轴交x轴于点H，交过点N垂直y轴的直线与点G，设直线与x轴交于点K， 则， ∴， ∵， ∴， ∴点N的纵坐标为 当，， ∴点N的坐标为， 设直线的解析式为：，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 令，则，解得， ∴点M的坐标为， 令，则，解得， ∴ ∴； （3）解：∵为平行四边形， ∴，， 设的解析式为， 令，则，解得：， ∴点C的坐标为， 根据平移可得点D的坐标为， 过点E作轴于点P，点D作轴于点Q， 则， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴点E的坐标为， 又∵点D和点E在同一曲线上， ∴， 解得：，． 24．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于两点和F．且点在反比例函数图象上． (1)求反比例函数的解析式以及点F的坐标； (2)点P在反比例函数第一象限的图象上，连接，和，若，求点P的横坐标； (3)点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 【分析】（1）把代入，求得，则点，再把点代入，求得，即可得反比例函数解析式；然后联立两函数解析式，得，求解即可得点F坐标． （2）过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G，得四边形为矩形，则，所以，，再利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，过点P作轴交直线于点Q，则，根据，则，从而得，求解即可． （3）当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，分别求出点M坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得： ∴ 把代入，得， 解得：， ∴ 联立两函数解析式，得 ，解得：，， ∴． （2）解：过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴ 设直线为， 将点，代入中， 则解得， 所以直线的解析式为， 设点，过点P作轴交直线于点Q，则 ∴ ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴或， 解得或（其中，方程无解）， 故点P的横坐标为或． （3）解：当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，如图， ∵，， 又∵点M在x轴上， ∴点F向上平移3个单位， ∴点E向上平移3个单位， ∴点N纵坐标为9，把代入，得， ∴， ∴点E向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合， ∴点F向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合， ∴； 同理可得； 连接交于P， ∵， ∴点P为与的中点， ∴， ∴ ∴，即， ∴， 把代入，得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 综上，点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，反比例函数图象性质，坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的性质，平移中的坐标变换．此题属一次函数与反比例函数、几何图形的综合题目，属中考试常考题型． 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点A，，与y轴相交于点C，与直线相交于点D，与x轴相交于点E． (1)求反比例函数与一次函数的表达式；并求点A、点D的坐标； (2)求的面积； (3)直接写出当一次函数大于反比例函数时x的取值范围； (4)直线沿轴方向平移n个单位与反比例函数图象有一个交点，求n； (5)求的正弦； (6)若点M在反比例函数第一象限的图象上，点N在x轴上，使得与相似，求点M的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；； (2) (3)或 (4) (5) (6)或或． 【分析】（1）待定系数法求出的值即可得到反比例函数与一次函数的表达式；联立反比例函数与一次函数的表达式，求解方程组，再根据点的位置即可得到点的坐标，联立一次函数与直线，求解解方程组，即可得到点的坐标； （2）先求出点的坐标，结合（1）中结果，利用即可求解； （3）根据图象结合点的坐标即可解答； （4）设直线沿轴方向平移n个单位后解析式为，联立，得到，利用一元二次方程根的判别式即可求解； （5）先求出，，过D作轴于点K，过O作于点L，利用等面积法得出，结合图形即可求解； （6）当时，当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 把，代入，得：， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； 联立，则， ∴， 解得或， 当时，， ∴； 联立，则， 解得，则， ∴； （2）解：令，解得，将代入，则， ∴，， ∴， 如图，连接， ∴ ； （3）解：∵， ∴当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， ∴当一次函数大于反比例函数时，x的取值范围为或； （4）解：设直线沿轴方向平移n个单位后解析式为， 联立，则， ∵平移后的直线与反比例函数图象有一个交点， ∴，即， 解得； （5）解：∵，， ∴，， 如图，过D作轴于点K，过O作于点L， 则， ， ， ∴； （6）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当时，如图所示： 此时有两种情况：或，但点M只有一个， ∵此时， ∴此时点M在一、三象限的夹角平分线上， ∴点M在直线上， 令，解得：（负值舍去）， ∴此时点M的坐标为； ②当，且时，如图所示： ∴， 设， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴； ③当，且时，过点M作轴于点P，如图所示： 此时， ∴， ∴， 即， 令，则， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴点； ④当，且时，如图所示： 此时，，点M的坐标同第②种情况，； ⑤当，且时，如图所示： 此时，同第③种情况，； 综上可得：点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，一次函数的平移，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线与直线交于点、点，点为双曲线上点右侧的一点，过点作，交轴于点，连接 (1)如图1，求点、的坐标； (2)如图2，若四边形是平行四边形，求长； (3)如图1，当四边形的面积为时，求直线的解析式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把双曲线与直线的解析式联立成方程组，解方程组求出交点坐标，再结合图象确定点、的位置； （2）设，先用待定系数法表示直线的解析式，由求出点的坐标，再由平行四边形“对边平行”列方程求出，最后利用平行四边形对边相等与勾股定理求； （3）同样设点的坐标并表示出点，利用点是的中点，把四边形分割成三个以为顶点的三角形求面积，得到面积关于的表达式，由面积为求出，得到点的坐标，再用待定系数法求直线的解析式． 【详解】（1）解：把与联立，得， 即，解得或． 当时，；当时，． 双曲线与直线的交点坐标为、． 由图1可知，点在第一象限，点在第三象限， ，． （2）解：设，其中． 设直线的解析式为，把、的坐标代入，消去， 得． ， 直线的解析式为． 令，得， ． 四边形是平行四边形， ． 由、得直线的解析式为，其比例系数为； 而直线的比例系数为， ，整理得， 解得或（舍去）， ，，． 平行四边形的对边相等， ． 由、得， ． （3）解：设，同（2）可得， ． 点与点关于原点对称， 点是的中点，即点在边上． 连接、，则四边形被分割成、、三部分． ； ； 对于，直线的解析式为，其上横坐标为的点为， ， ． 四边形的面积为． 由，解得，符合， ，． 设直线的解析式为，把、的坐标代入， 得，， 两式相减得，即， ， 直线的解析式为． 27．（23-24八年级下·浙江金华·阶段检测）已知反比例函数和，过点作x轴的平行线l与函数，的图象相交于点B，C． (1)如图1，若时，求点B，C的坐标； (2)如图2，一次函数交l于点D． ①若，点B恰好是C、D两点连线的中点，求m的值； ②过点B作y轴的平行线与函数的图象相交于点E．当m值取不大于的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d． 【答案】(1)， (2)①；②k的值为2，定值d为1 【分析】（1）当时，，，将代入，可得，即；将代入，可得，即； （2）①同理（1），当时，，，当时，， ，由点B恰好是C、D两点连线的中点，可得，计算求解即可；②由，，可得，，，当时，，由d始终是一个定值，可得，，不合题意，舍去；当时，，由d始终是一个定值，可得，即，． 【详解】（1）解：当时，，， 将代入，可得，即； 将代入，可得，即； ∴，； （2）①解：同理（1），当时，，， ∴当时，， 将代入，可得，即， ∵点B恰好是C、D两点连线的中点， ∴， 解得，， ∴m的值为； ②解：∵，， ∴，，， 当时，， ∵d始终是一个定值， ∴，，不合题意，舍去； 当时，， ∵d始终是一个定值， ∴，即，； 综上所述，k的值为2，定值d为1． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数解析式，中点坐标，化简绝对值等知识．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数解析式，中点坐标，化简绝对值是解题的关键． 28．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数（，常数）图象上一点作轴的平行线交直线：于点，且．    (1)求的值，并写出函数（）的解析式； (2)过函数（）图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？并说明理由； (3)如图2，若是函数（）图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，（） (2) 证明：设（），则， ∴， ， ∴； (3)时，矩形的周长取得最小值为4 【分析】（1）由题意可得，，求出点，即可得出，根据得到，求出，从而得到点的坐标，将点的坐标代入函数解析式计算即可； （2）设（），则，计算出和，进行比较即可得到答案； （3）设（），则，，从而得到，，再表示出矩形的周长进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 在中，当时，， ， ， ， ， ， ∴点， 将点代入函数（）得：， ， ∴（）； （2）略 （3）解：存在满足题设条件的点， 设（），则，， ，， ∴矩形的周长 ∴当，即，时，矩形的周长取得最小值为4． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、求反比例函数解析式、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 29．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标，然后代入反比例函数即可解答； （2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标； （3）先利用A、D两点坐标求出直线解析式，联立直线与反比例函数，通过一元二次方程判别式算出双曲线与线段有一个交点时的临界；再求出双曲线过点B时的临界，分区间分析双曲线与四边形边的交点数量，得到恰好有两个交点时k的取值范围。 【详解】（1）解：， ， 解得：，， 由题意得，，， ，， ，， 四边形是矩形， ， 点的坐标为； 将代入，得． （2）解：存在， 点是的中点，， ， ， 反比例函数的解析式为， 设，， 以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形， 下面分3种情况讨论： ①当与互相平分，则 解得， ； ②当与互相平分，则 解得， ； ③当与互相平分，则 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． （3）已知，，设直线解析式为， 将两点代入得： 把代入，得 ， 解得， 直线的解析式为． 当的图象与直线恰好有一个交点时，联立方程： 两边同乘整理得：， 只有一个交点， 一元二次方程判别式， ， 解得． 当反比例函数图象经过点时，， 此时双曲线仅与四边形交于点，只有1个交点． 当时，双曲线与线段产生2个交点，交点总数超过2个，不符合题意； 当时，双曲线仅与线段、线段各有1个交点，恰好共2个交点； 当时，双曲线与四边形无交点． 反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点时，． 30．反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 【答案】(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为， 直线的解析式为，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴. （2）略 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积． 31．如图1，一次函数与反比例函数 的图象相交于点， 两点，点C为线段中点，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)如果一个矩形的长、宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．在平面内是否存在点（点P在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) (3)存在，点 、点 或点 、点 【分析】（1）利用一次函数与反比例函数的交点求出反比例函数表达式，将点代入反比例函数中，求出点的坐标，再利用点点待定系数法求出直线的解析式； （2）利用一次函数解析式求出点的坐标，再利用坐标的特点求出的面积，再利用三角形的中线平分三角形的面积求解； （3）过点作x轴的平行线，分别过点作的垂线，垂足为点，构造一线三等角得到，利用相似比分类讨论，求得点的坐标，利用中点公式求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， 将点代入，解得， ∴反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 即点， 设直线的表达式为， 将点，点分别代入表达式，得， 解得， ∴直线的表达式为：． （2）解：连接， 令，则，解得，即点， 则， 点为线段中点， ， 则； （3）解：存在，理由如下： 由题意得，， ①当时， 如图，过点作x轴的平行线，分别过点作的垂线，垂足为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则，， 则且， 解方程组，得， 则点， ∵点，点， ∴线段中点的坐标为，即， ∵四边形为倍边矩形， ∴点是线段的中点， 由中点坐标公式得：点； 即点、点； ②当时，如图， 过点A、B作y轴的平行线，过点P作y轴的垂线交两直线于点M、N， 同理可证明， ∴， 设，， 则，， 则且， 解方程组，得， 则点， ∴点 综上，点、点或点、点． 32．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在直线上方的反比例函数的图象上取一点，连接，，，且的面积为． ①求点的坐标； ②点在轴上，直线与反比例函数的图象只有一个交点，在直线的上方是否存在点，使得？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②的坐标为或． 【分析】（1）把代入可得反比例函数解析式；再联立可得的坐标； （2）①先求解直线为，如图，过作轴交直线于，可得，可得，设，则，再进一步建立方程求解即可；②如图，当轴时，直线与反比例函数的图象只有一个交点，过作轴，作于，作于，由，可得，证明，再进一步求解即可；当与反比例函数相切时，如图，设直线为，结合直线与反比例函数只有1个交点，，求解直线为，过作轴于，过作于，，由为对应点，可得，过作轴，作于，作于，同理进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上． ∴， ∴反比例函数为， ∵正比例函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴，， ∴； （2）解：①∵，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 如图，过作轴交直线于， ∴ ， ∵的面积为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴； ②如图，当轴时，直线与反比例函数的图象只有一个交点， 过作轴，作于，作于， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 当与反比例函数相切时，如图， ∵直线过定点， 设直线为， ∵直线与反比例函数只有1个交点， ∴有两个相等的实数根， 整理得：， ∴， 解得：， ∴直线为， 令，则， ∴， 过作轴于，过作于，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴为对应点， ∴为中点， ∵，， ∴， 同理：， ∴，， 过作轴，作于，作于， 同理可得：，，， ∴， ∴，， ∴； 综上：的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形面积，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 33．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B在第一象限，点A的坐标为．将线段绕O顺时针旋转至线段，若反比例函数的图象经过B、D两点，求反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】过点D作轴于点E，设反比例函数的表达式为：，得到，进而得到，代入解析式即可求出k的值． 【详解】解：过点D作轴于点E， 设反比例函数的表达式为：， ∵四边形是矩形，， ，， ， ∵旋转， ，， ，， 由勾股定理得， ， 在反比例函数图象上， ， 解得（舍去），， ∴反比例函数的表达式为：． 34．如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4． (1)求k的值和直线的解析式； (2)若P为函数的图象上一动点，过点P作直线轴于点M，直线l与四边形在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为m，且，当，求出m的值． (3)已知点Q是反比例函数上的一个动点，设点Q的横坐标为n，，当n为何值时，面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)当时，面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解； （2）分两种情况，设出点P，N的坐标，从而得到，的表达式，根据即可得到m的值； （3）过点Q作轴交于点E，先求得直线的解析式，进而设，则，，表示出的面积，根据不等式得出最小值，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过线段的端点，将点A的坐标代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 设直线的解析式为，将点A的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：①当N在P的上方时，如图1， ∴，， ∴，， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）； ②当P在N的上方时，如图2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，负值已舍去）， 综上所述：或． （3）解：如图3，D的横坐标为4，过点Q作轴交于点E， ∵沿x轴正方向平移3个单位得到线段， ∴直线的解析式为，将代入得：， 即， 设的表达式为，将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴的表达式为， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，即（负值舍去）， ∴当时，面积最大，最大面积为． 35．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C． (1)求k的值及直线的解析式； (2)点D为x轴正半轴上一点，连接，当的面积为6时，与反比例函数图象交于点E．点P，Q均为x轴上的动点，点P在点Q的左侧，且，取的中点F，连接，求点E的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，点M为反比例函数图象上的一点，射线与直线交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先，求得点C的坐标，然后，求得反比例函数的解析式，最后，联立直线与反比例函数的解析式组成方程组，解方程组，再由点D所在的象限即可得出答案； （2）如图2，过点作轴交于点，首先，求得直线的解析式，然后，设，则，再由，的面积为6，代入数据转换为关于a的方程，解方程即可求得a的值，进而可得点P的坐标； （3）如图3，设交轴于，过作轴交轴于，过作交的延长线于，首先，证得是等腰直角三角形，得，再由，得，进而证得，得，可得点M的坐标，然后，可得直线的解析式，最后，联立直线与直线的解析式可得点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵直线：与反比例函数交于点， ∴，即点， 又∵反比例函数在第二象限内的图象过点， ，即反比例函数的解析式为， 联立：， 解得或， 在第二象限， ∴； （2）解：如图2，过点作轴交于点， 设直线的解析式为：， 把、，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：， ∴设，则， ， ∵的面积为6， ， 解得， ∴， ； （3）解：如图3，设交轴于，过作轴交轴于，过作交的延长线于， ∵，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ，， ． ，， 又∵， ， ∴， ∴， ． 设直线的解析式为， 把、，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立：，解得， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $