专题01 反比例函数中k的几何意义与面积模型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级下册
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内容正文：
专题一 反比例函数中 k 的几何意义与面积模型
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、一点两垂——矩形、三角形面积与 k 的关系
题型二、割补转化——面积差、面积比与 k 的换算
题型三、双曲线内外——两条双曲线之间的面积
题型四、四边形内接——平行四边形、菱形、矩形、正方形
题型五、直线截曲线——一次函数与双曲线围成的面积
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
本专题围绕一点两垂、割补转化、双双曲线、内接四边形、直线截曲线五类模型展开。解题关键是设动点坐标，对不规则图形做割补拆分；单曲线抓基础面积结论，双曲线叠加依靠 加减，一次函数与双曲线相交题型联立求交点再算面积，同时结合平行四边形、矩形等图形的对称性质简化计算。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 只记 |k| 而忽略符号，把图形面积直接当成 k 代入；
2. 图形被坐标轴或直线分割后，把“看起来像矩形”的部分直接当作 |k|，不作割补；
3. 出现两条双曲线时，仍按单条双曲线的 |k| 处理，忘记面积要相减；
4. 由面积反求 k 后不检验图象所在象限，导致 k 的符号取错。
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、一点两垂——矩形、三角形面积与 k 的关系
典例1（2022·浙江温州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答．
【详解】解：作轴于M，
∴轴，
∵轴于点C，轴于点D，
∴，
∵，
∴，，
∴，
点，在反比例函数图象上，
，，
，
，
解得（负数舍去）．
解题模板
1.设点 P(m,)，用 m 与 k 表示矩形的长与宽（或三角形的底与高），面积中 m 自动约去，只剩 |k|;
2.题目给出具体面积时代入反解 k，再用图象所在象限定 k 的符号.
变式1-1（2024·浙江宁波·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设，，则，把代入得到，进而推出，由反比例函数比例系数的几何意义可知，， 再根据进行求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，
设，，
∴；
∵是的中点，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去）；
由反比例函数比例系数的几何意义可知，，
∴
，
故选：C．
变式1-2（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可．
【详解】解：设点坐标为，则，，，
，
，
，
轴于，
，
四边形的面积为3，
，
解得．
变式1-3（2022·浙江宁波·三模）如图，已知A为反比例函数图象上一点，B为x轴正半轴上一点，过点B作轴，交反比例函数图象于点C，连结，，，与交于点．当，的面积等于1时，k的值为_____．
【答案】10
【分析】过点A作轴于点F，交于点E，连接，易证，可得，再根据，可得，，进一步可得，由轴，轴，可得，可得，则，可得的面积，可得的面积，再根据E是的中点，可得的面积，进一步可得的面积，根据反比例函数k的几何意义可得k的值．
【详解】解：如图，过点A作轴于点F，交于点E，连接，
∵，轴，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型二、割补转化——面积差、面积比与 k 的换算
典例2（2026·江苏无锡·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）．
(1)若点，，则______．
(2)若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系．
(3)延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)5
(2)
(3)当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是
【分析】（1）根据轴，结合点坐标，可设，再根据的长列出方程，解出即可得的坐标，再把的坐标代入，即可解得的值．
（2）把点的横坐标代入，即可得点的坐标，再根据轴，轴，轴，即可得点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等，点与点的纵坐标相等，进一步表示出点、、的坐标，即可求出、、，最后根据得，代入数据计算即可得的值．
（3）设点的坐标为，根据平行线的坐标特点，即可求出点、、的坐标，进一步求出、、，可得，根据梯形面积公式求出，根据题目得，根据平行线性质得，，可证明，根据相似三角形性质得，再根据，即可得，代入数据解出即可得的面积为定值，定值是．
【详解】（1）解：∵轴，，
∴设 ，
∵，
∴，解得：，
∴，
∵在的图象上，
∴，解得：，
∴的值为5．
（2）解：点的横坐标为2，且点在反比例函数的图象上，
∴点的坐标为，
∵轴，轴，
∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等，
∴点的纵坐标为，点的横坐标为2，
∵点、在的图象上，
∴即：，，
∴，，
∵轴，
∴点与点的纵坐标相等，
∴点的纵坐标为，
∵点在的图象上，
∴，解得：，
∴，
∴，，，
,
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图1，
设点的坐标为，
∵轴，轴，
∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等，
∴点的纵坐标为，点的横坐标为，
∵点、在的图象上，
∴即：，，
∴，，
∵轴，
∴点与点的纵坐标相等，
∴点的纵坐标为，
∵点在的图象上，
∴，解得：，
∴，
∴，，，
∴，，
根据题目条件得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是．
解题模板
1.把不规则图形拆成“矩形减三角形”或“三角形加三角形”，保证每一块都能用 |k| 或其一半表示;
2.面积比与线段比互相转化时，先统一到同一组底或高上，再比.
变式2-1（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，根据题意可得，利用三角形的面积建立关于x的方程，求出点P坐标即可得到k值．
【详解】解：设，
则，
∵点M在x轴上，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）
∴．
∵P点在反比例函数图象上，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握图象的对称性，勾股定理是解题的关键．
变式2-2（26-27九年级上·四川自贡·期中）如图，在反比例函数的图象上有，，，…， 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点横坐标的变化规律，找到纵坐标的变化规律，进而确定矩形面积的变化规律，即可求解．
【详解】解：点，，，…，的横坐标依次为1，2，3，4，…，2025，
点，，，…，的纵坐标依次为，，，…，，
又图中每个小矩形的水平边长均为1，纵向边长等于相邻两个点的纵坐标的差，
，，，…，，
．
变式2-3（北京市大兴区2026－2027学年度第一学期期中练习初三数学）如图，在平面直角坐标系中，过点作轴的平行线，交函数的图象于点，．给出下面三个结论：
①当时，线段的长度为2；
②连接，，则存在，使得是等腰直角三角形；
③若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为定值．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】对于①求出点A和点B的坐标即可判断；对于②求出点A和点B的坐标，得到点A和点B关于y轴对称，即，则只能，进而得到，据此建立方程求出n的值即可判断；③根据可判断．
【详解】解：①∵，轴，
∴点A和点B的纵坐标都为n，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，故①正确；
②在中，当时，，解得，
∴，
∴点A和点B关于y轴对称，
∴，点P为的中点，
∴当是等腰直角三角形时，只能
∴，
∴，
解得或（舍去），故②正确；
③∵轴，且点Q在x轴上，
∴，故③正确；
综上所述，正确的有①②③．
题型三、双曲线内外——两条双曲线之间的面积
典例3（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知反比例函数（，为变量）．
(1)若点，都在该反比例函数图象上，求的值及反比例函数表达式；
(2)如图1，一次函数的图象与图象在第一象限交于、两点，令点、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、，且，，则是否为定值．若为定值，则求出的值；若不为定值，请说明理由；
(3)如图2，另一条直线与反比例函数交于、两点，与坐标轴交于、两点，且点是的中点，过的直线交反比例函数的另一支图象于点，连接，交轴于点，连接，若，求的值．
【答案】(1)；
(2)
不为定值，
理由：联立，
得，，
，
由韦达定理，可得：，，
为变量，
不为定值；
(3)
【分析】（1）根据，即可求得反比例函数的解析式；
（2）联立，得，由韦达定理，可得：，得出k为变量，即可得结论；
（3）作轴于P，轴于E，轴于F，轴于Q，连接，设，则，得，，由，得，由点D、G关于点O中心对称，得，证明，进而可求k．
【详解】（1）解：点，都在反比例函数的图象上，
，
即，
整理得，，
解得（舍），
，
反比例函数的解析式为；
（2）略
（3）解：作轴于P，轴于E，轴于F，轴于Q，连接，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
点D、G关于点O中心对称，则，
，
轴于P， 轴于Q，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
即，，
即．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，三角形面积．解题关键是通过设坐标表示线段长度，确定图象上点的坐标，进而求解．
解题模板
1.分别写出两条双曲线的 |k₁| 与 |k₂|，所求面积由两者作差或其组合得到;
2.过同一点向两轴作垂线，是沟通两条双曲线唯一可靠的桥梁.
变式3-1（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，反比例函数在第三象限的图象是，在第四象限的图象是，点A、C在上，过A点作轴交于B点，过C点作轴于D点，点P为x轴上任意一点，连接，若，则_______．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，设点，得到，设设点，则，根据求出，即可得到答案．
【详解】解：设点，则，
∵轴，
∴点B的纵坐标是b，
∵点B在上，
∴点，
∴，点P到的距离为，
∵，
∴，
设点，则，
∵过点作轴于点，
∴，点P到的距离为，
∴，
即，
∴，
∴
故答案为：
变式3-2（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________．
【答案】/
【分析】过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点，先证明是等腰直角三角形，设，证明，求得，作轴于点，作轴于点，则四边形是矩形，再证明，求得，再根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点，
∵，
∴，
∵在中，，
∴与平行，，，
∴，
∵，
∴设，则，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
设，即，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
作轴于点，作于点，则四边形是矩形，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵、在函数图象上，
∴，，
∵在函数图象上，
∴，
∴．
变式3-3（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________．
【答案】
【分析】设，，根据等腰直角三角形的性质表示出，的长，进而表示出点的坐标，利用点在反比例函数图象上得到与的关系式，再根据三角形面积差建立方程求解即可；
【详解】解：设，（，），
为等腰直角三角形，，
，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
，即，
由图可知，点的坐标为，点的坐标为，
点在上，，
点的纵坐标为，横坐标为，
，，且点在第二象限，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
．
题型四、四边形内接——平行四边形、菱形、矩形、正方形
典例4如图1，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，轴．
(1)若菱形边长为5，对角线．
①若点，反比例函数的图像经过点B．求该反比例函数的表达式，并判断点A是否在这个反比例函数图像上；
②是否存在点，使得反比例函数的图像同时经过点A、B？若存在，求a、b满足的关系式；若不存在，说明理由．
(2)如图2，菱形的顶点A，B和边的中点E在反比例函数图像上，顶点C、D在反比例函数图像上，边与y轴的交点为F，
①求的值；
②若，则菱形的面积为 ．
【答案】(1)①，不在；②存在，
(2)①，②
【分析】（1）①连接交于，交轴于，根据菱形的性质先求出，，再根据将向下平移4个单位，再向左平移3个单位即可得到B点，可得，问题得解；②同理有将向下平移4个单位，再向左平移3个单位即可得到B点，即，问题随之得解；
（2）①如图，连接交于，交轴于，设，，可得，结合为的中点，可得，可得：，可得，解得，由，可得，②再结合，可得：，，再利用菱形的面积公式计算即可．
【详解】（1）①连接交于，交轴于，如图，
∵菱形边长为5，对角线，
∴，，，
∴，
∵，且将向下平移4个单位，再向左平移3个单位即可得到B点，
∴，
∵反比例函数的图像经过点B，
∴，即，
∴反比例函数解析式为：，
∵，
∴不在反比例函数的图像上；
②存在，理由如下：
∵，，
∴将向下平移4个单位，再向左平移3个单位即可得到B点，
∴，
∵反比例函数的图像同时经过点A、B，
∴，，
∴，
整理有：；
（2）①如图，连接交于，交轴于，
∵菱形，
∴，，，，
设，，即有，
∴，，即有，
则，
∴，即，
∴，
∵为的中点，
∴
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
∵，
∴，
即，
②根据，
∵，
解得：，，
∴菱形的面积为：
；
故答案为：，
【点睛】本题考查的是菱形的性质，反比例函数的几何应用，一元二次方程的解法，平行线分线段成比例的应用，本题难度大，计算量大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
解题模板
1.先用四边形性质（对边平行且相等、对角线互相平分）设出各顶点坐标，再把“顶点在图象上”翻译成坐标乘积等于 k;
2.菱形、正方形还要补上“对角线垂直”或“四边相等”的条件，才能把方程解出来.
变式4-1（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）如图，平行四边形的顶点，在函数的图象上，边与轴交于点，轴于点．若，则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质，得到，；根据三角形的面积公式，求出，根据点在函数图象上，求出，最后根据，求出，即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，；
∴，
∵，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
变式4-2（2024·浙江温州·一模）如图，菱形的对角线交于点E，边交y轴正半轴于点F，顶点A，D分别在x轴的正、负半轴上，反比例函数 的图象经过C，E两点，过点E作于点G，若，则k的值是（ ）．
A． B．12 C． D．15
【答案】C
【分析】过点C作于点H，可得，进而可得：，，结合和菱形性质，可推出：，
，设则再结合，即可求出，运用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【详解】解：如图，过点C作于点H，
∵即
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴
设则
∴
∵四边形是菱形，
∴，即，
∵
∴
∴，
∴
∵
∴
∴，即，
∴，
∴，即点C的横坐标为2，
∵反比例函数的图象经过两点，
∴，
∴
∴
∴，
∴
∴
∴，
∴
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∵反比例函数的图象在第一象限，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
变式4-3（26-27九年级上·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设， 利用矩形的性质和中点坐标公式表示出点的坐标，即得，，又由的面积为，可得，最后根据三角形面积公式解答即可．
【详解】解：设，
∵是矩形，且点为的中点，点，在轴的正半轴上，
∴点纵坐标为，，
把代入反比例函数解析式，得，
∴，
∴点横坐标为，
∴点横坐标为，
把代入反比例函数解析式，得，
∴，
∴，
∵的面积为，点为的中点，
∴，
∵，
∴，
解得．
题型五、直线截曲线——一次函数与双曲线围成的面积
典例5（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于第二、四象限内的，两点，与轴正半轴交于点，过点作轴，垂足为点，的面积为，点的横坐标为，．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直线交轴于点，过点作直线轴，如果直线上存在点，使，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的表达式为
(2)点的坐标或
【分析】（1）根据，得到，则反比例函数解析式为；再求出和，代入计算即可；
（2）先求出，再设，则，，，由，得到，据此列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，轴，的面积为，点在第二象限，
∴，
解得，
∴反比例函数解析式为；
∵点的横坐标为，且在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
把，代入得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：直线交轴于点，则，
∵过点作直线轴，直线上存在点，
∴设，则，，，
∵，
∴，
∴，
整理得
解得，
∴点的坐标或．
解题模板
1.联立直线与双曲线求交点，再用交点坐标表示三角形或四边形的底与高;
2.被坐标轴分割的部分优先用“面积和＝面积差”处理，避免重复计算.
变式5-1（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为________．
【答案】
【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴于，设交轴于，则，由此得，设，，则，从而得点，点，证和相似从而得，证得，则，从而得，再证和全等得，则，然后根据的面积为6可求出的值．
【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴于，设交轴于，如图所示：
∴，
，
可设，，则，
点，在反比例函数的图象上，
点，点，
，
，
，
即：，
，
轴，
，，
，轴，
，，
，
，
，
即，
，
，
轴，轴，，
四边形为矩形，
，
在和中，
，
，
，
，
的面积为6，
，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键．
变式5-2（2026·江苏泰州·二模）如图，直线与反比例函数（）图象交于A，B两点，点A在第一象限，点B在第三象限，直线与交于点P，若，则k的值为__________．
【答案】9
【分析】先求解，可得，结合，可得，设，进一步求解即可．
【详解】解：∵，
解得：，
∴，
∴，
∵直线与反比例函数（）图象交于A，B两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：，
∴，
∴．
变式5-3（21-22八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，的面积为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若将直线向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线的交点情况；
(3)P为坐标轴上的一点，若的面积等于面积的一半，请直接写出符合条件的点P坐标．
【答案】(1)
(2)平移后的直线与双曲线只有一个交点
(3)或或或
【分析】（1）令直线与y轴的交点为点D，过点B作轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及的面积是即可得出的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，可得反比例函数的解析式；
（2）根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函数解析式中，整理后根据根的判别式的正负即可得出结论；
（3）连接，先求出的面积，进而得到，再分点在轴、轴上，结合面积公式求解即可．
【详解】（1）解：过点B作轴于点E，如图所示．
令直线中，则，解得：，
即．
∵的面积是，
∴，
解得：．
结合题意可知点B的纵坐标为1，
当时，有，
解得：，
∴点B的坐标为，
∴，
即反比例函数的解析式为；
（2）解：将直线向下平移1个单位得到的直线的解析式为，
将代入到中，得：，
整理得：，解得，又，
∴平移后的直线与双曲线只有一个交点；
（3）解：连接，
联立直线与曲线，
即，整理得，
解得，
，
设直线与轴的交点为，
令，则，
，
，
，
当点在轴时，设，
，
则，
，，解得或，
或；
当点在轴时，设，
，
则，
，，解得或，
或；
综上，或或或．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，在函数（是常数且，）的图像上任取两点和（在左侧），分别过、作两条坐标轴的平行线，得到矩形（在左侧），连接、、，作直线分别交轴、轴于点、．在下列说法中，一定正确的是（ ）
①、、三点共线；②；③若，则；④四边形和四边形的面积都等于．
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】先设反比例函数上点、，由题意确定矩形顶点，，①通过待定系数法求直线的正比例函数解析式，验证点坐标满足解析式，、、三点共线；②用待定系数法求直线的一次函数解析式，分别求出其与坐标轴交点、的坐标，通过两点间距离公式证明，进而得到；③利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合推导出等腰三角形，再结合平行线性质、三角形外角定理证明；④判断两个四边形为梯形，确定对应底和高，代入梯形面积公式化简，结合反比例函数的性质，证明两个四边形面积均等于．
【详解】解：设反比例函数（是常数且，）上的点，（在左侧，故），
∵点、在反比例函数图像上，
∴，，即，，
∵过、作坐标轴的平行线，得矩形（在左侧），
∴矩形顶点坐标为，，
①设直线的解析式为，将代入得
，
∴，即直线：，
将代入，得，
∴点在直线上，
∴，，三点共线；
故①正确；
②设直线：，代入，得
，
解得，
∴直线：，
令，得，令，得，
∴， ，
∴，
，
∴；
故②正确；
③如图，设，交于点，
∵四边形是矩形，
∴，对角线互相平分，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，且，
∴；
故③正确；
④，
，
故④正确；
综上，正确的有①②③④．
故选：D．
2．如图所示，已知双曲线（）和（），直线与双曲线交于点A，将直线向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，，作于E，于F．由题意易得，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质及反比例函数k的几何意义进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，，作于E，于F．
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且函数（）的图像在第四象限，
∴．
3．（26-27九年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据平行线的性质得到，再根据反比例函数的性质得到，结合菱形的性质可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵轴，
∴轴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴．
4．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数与图象上的动点，轴于点D，轴于点E，点C在y轴的正半轴上，连接，若四边形是平行四边形，给出下面四个结论：
①；
②若，，则；
③；
④当时，四边形一定是正方形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【答案】A
【分析】①利用平行四边形对角线平分的性质，结合中点坐标公式即可得出的表达式进行判断；
②设的中点为H，利用中点坐标公式即可求得点B的坐标，从而得到的值；
③利用三角形面积公式表示出的表达式，从而进行判断；
④根据题意可得出，通过一线三垂直模型证明，从而得出，但不一定是，继而得到四边形不一定是正方形．
【详解】解：①∵四边形是平行四边形，，的中点在y轴上，
∴，
设，则，
∴，故①正确；
②由题意，设的中点为H，
∵，
∴的中点，
∵，
∴，
∴，故②错误；
③，故③正确；
④由题意，∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，但不一定是，
∴四边形不一定是正方形，故④错误，
综上所述，正确结论为①③．
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的顶点，都在第一象限，，都在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，点在边上，反比例函数的图象过点．若的面积为2，则的值为（ ）
A．10 B． C． D．8
【答案】B
【分析】设正方形和正方形的边长分别为和，表示出等各点坐标，用待定系数法求出直线的解析式，求出与边的交点，将沿分割为和，以为底和分别为高求出两个三角形面积之和，由求出，再由两点在上得，求出值．
【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
，
设直线的解析式为，
将代入，得，
将代入，得，
，
直线的解析式为，
设交于点，
所在直线为，
将代入，得，
，
，
以为底，
点到的距离为，点到的距离为，
，
，
，
在反比例函数的图像上，
即，
将代入，得，
解得，，
，
，
．
6．如图，已知直线与函数的图象交于第一象限内点A，与轴负半轴交于点B，过点A作轴于点C，点D为中点，线段交轴于点E，连接．若的面积为6，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】连接，根据点是的中点，利用三角形中线平分三角形面积的性质，推导出，再根据反比例函数的几何意义及三角形面积公式求得的值.
【详解】解：连接，如图，
∵轴，轴轴，
∴轴，
∴点到的距离等于的长，
∵点为中点，
∴、分别是、的边上的中线，
∴，，
∴ 即，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
设点的坐标为，则，，
∵点在反比例函数的图象上，
∴.
7．如图，A是反比例函数图象上一点，B是反比例函数图象上一点，连接交y轴于点C，若，，则k的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】C
【分析】作轴于点，于点，可证得，从而将转化为，再利用反比例函数几何意义列式求出k的值．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点．
轴，轴，
，
与互为对顶角，
，
又，
，
，
点在反比例函数图象上，
由反比例函数几何意义可得，
，
，，
，
，
，
，
，
点在第一象限内反比例函数的图象上，
，
，
，
解得．
8．（2024·江苏盐城·三模）如图，的直角顶点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点C在y轴上，轴，延长交x轴于点D，连接，当且的面积为时，点A的坐标为_____．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数，设，可得点的坐标，再求出直线的解析式，再求出点的坐标，根据的面积为，列方程，即可解答，表示出直线的解析式是解题的关键．
【详解】解：设，
为直角三角形，且，
，，
设直线的解析式为，
把，代入解析式可得，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，解得，
，
的面积为，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
故答案为：．
9．（2024·江苏扬州·一模）如图，平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，且，分别过点，点作轴的平行线，与双曲线分别交于点，点．若的面积为，则的值为________．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数的几何意义，分式方程，一元二次方程的知识．过点作轴于点，过点作轴于点，先由点和点的坐标得到，，的长，然后求得，，梯形的面积，进而结合的面积列出方程求得和之间的关系，得到点和点的坐标，进而得到和的长，最后得到结果．
【详解】解：过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，延长，交于点，
四边形为矩形，
，，，
矩形面积
，
，
，
，
设，则，
，
，或，
，
不符合题意，
经检验，是原方程的解，
，
，，
，，
，
故答案为：．
10．（2026·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，．若的面积为，则的值为____．
【答案】
【分析】利用中心对称性质得出为中点，从而将的面积转化为的面积；再根据轴，将分割为 和 ，结合反比例函数的几何意义建立方程求解．
【详解】解：连接，
设交轴于点，
∵点与点关于原点对称，
∴为的中点，即，
∴，
∵，
∴ ，
∵轴，
∴轴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴ ，
，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴，
∴．
11．（2025·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为________
【答案】8
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质．过点作轴于点，连接，设点的坐标为，点的坐标为，则，，再证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，然后求出，最后根据建立方程，解方程即可得．
【详解】解：如图，过点作轴于点，连接，
由题意，设点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，
∵点为线段的中点，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴与的边上的高相等，
∴，
又∵，
∴，
解得，
故答案为：8．
12．如图，的边交反比例函数（）的图象于点P，且，点A，B，D在坐标轴上，已知的面积为24，则k的值为________．
【答案】6
【分析】设，则，结合可得，再根据“的面积为24”列方程求解即可．
【详解】解：设，则，
，，
，
的面积为24，
，
解得.．
13．如图，已知是轴上的点，且，分别过点，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，过点作于点，过点作于点记的面积为的面积为的面积为，则等于___________．
【答案】
【分析】由可得，，，…，的坐标，根据三角形的面积计算公式底高，计算出每一个三角形的底和高之后，分别列出每一个三角形的面积计算式，观察规律即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴设，，，…，，
∵，，，…，在反比例函数的图象上，
∴，，，…，，
∴；
∴；
；
；
…
；
∴．
∴．
14．如图，已知在平面直角坐标系中，点P是对角线的中点，反比例函数的图象经过点A，点P．若的面积为30，且y轴将的面积分为，则k的值为____．
【答案】4
【分析】如图所示，过点P作轴于E，过点A作轴于F，连接，设于y轴交于H，先根据反比例函数比例系数的几何意义证明，进而得到，设点P的坐标为，由平行四边形的性质可得，，再根据y轴将的面积分为证明，得到点H为的中点，则点C的横坐标为，进而求出，由此可得，解得．
【详解】解：如图所示，过点P作轴于E，过点A作轴于F，连接，设于y轴交于H，
∵点A、P都在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
设点P的坐标为，
∵点P是对角线的中点，
∴，；
∵y轴将的面积分为，
∴，
又∵，
∴，
∴点H为的中点，
又∵点H在y轴上，
∴点C的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，中点坐标公式，正确作出辅助线是解题的关键．
15．（2026·山东临沂·二模）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______．
【答案】2
【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，即可解答．
【详解】解：设点的坐标为，其中
过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为
轴，轴
点的坐标为，点的坐标为
的长度为
点在线段上，且
点的横坐标为
点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同
点的坐标为
整理得：
解得．
16．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，一次函数和的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于、两点，已知面积为10，则的值为__________．
【答案】8
【分析】设的图象与x轴的交点为C，连接，求得点C的坐标，即可求得，利用三角形面积求得A的纵坐标，代入求得横坐标，然后利用待定系数法求得k即可．
【详解】解：设的图象与x轴的交点为C，连接，
令，则，
，
，
∵直线与直线平行，
，
，
把代入，求得，
，
∵反比例函数的图象过点A，
．
17．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与和的图象交于点，．若的面积为10，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为，则，根据的面积为10，得，故，结合点在第四象限，故．
【详解】解：依题意，，
∵的面积，的面积为10，
∴，
∴，
∵点在第四象限，
故．
18．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，过原点的直线交双曲线于，两点，交AB于点，顺次连接A，D，B，C，若的面积是的面积的3倍，则的值为_____，点的横坐标为_____．
【答案】 4
【分析】第一空：分别过、作、，垂足分别为、，则，根据三角形的面积可求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可；第二空：根据正比例函数和反比例函数图象交点的特征得出，结合，可得出，设，则，代入，得出，解方程即可.
【详解】解：分别过、作、，垂足分别为、，则，
∴，
∵的面积是的面积的3倍，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵过原点的直线交双曲线于，两点，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵在直线上，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴点的横坐标为4.
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点O重合．点E为x轴上一点连接，F为中点，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过A，F两点．若平分，的面积为9，则k的值为_____．
【答案】6
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的性质，反比例函数中三角形的面积关系，熟练掌握反比例函数中三角形的面积关系是解题的关键．
首先构造辅助线根据反比例函数中三角形的面积关系得到，，再根据矩形的性质结合平行线的性质得到，即，再根据求得，即可求解k的值．
【详解】解：如图，连接，，过点A作于点N，过点F作于点M，
∵，，
∴，
∴，
∵A，F两点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
20．如图，与交于A、B两点，过B作y轴的垂线，垂足为C，交于点D，点D关于直线的对称点E恰好落在x轴上，且轴，连接，则______；若的面积为15，则的值为______．
【答案】 /
【分析】（1）设，则，联立直线，则，的横坐标为方程的两个根，分别为，根据根与系数的关系得出①，根据题意的中点在上，得②，联立①②即可求解；
（2）根据（1）的结论得出，，证明，勾股定理得出，，即，则或，根据，进而分类讨论，即可求解．
【详解】解：（1）设，则，
联立
即，
即，
则，的横坐标为方程的两个根，分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，即①，
∵关于直线对称，
∴的中点在上，
∴，
即②
由①②得：，
即，
∴，
故答案为：．
（2）∵关于对称，
∴
又，，则，
∵
∴
则，
∴
∴，
∵，
∴，
即，
解得：或
∵
当时，，无解（舍去）
当时，
解得：，（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
21．如图，的边经过原点，顶点、分别在反比例函数、的图象上，顶点在轴的正半轴上．若，则_____．
【答案】
【分析】根据函数解析式设点、坐标，利用，找到等量关系，设直线代入点、坐标，结合得结论即可求出．
【详解】解：设点坐标，点坐标，
顶点、分别在反比例函数、的图象上
∴，，
∴，，
∵点在轴的正半轴上，设点坐标，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∵点坐标，点坐标，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过平行四边形的顶点A，将该反比例函数图象沿轴对称，所得图象恰好经过中点，则平行四边形的面积为______．
【答案】10
【分析】设，根据平行四边形对边平行得到点B的纵坐标为，根据图象沿轴对称所得图象为及中点性质得到，根据点O、A的水平距离为x及平行四边形对边平行且相等，推出点M、B的水平距离为，推出，得到，得到．
【详解】∵（）的图象经过平行四边形的顶点A，
∴设，
∵轴，
∴点B的纵坐标为，
∵图象沿轴对称所得图象为，这个图象恰好经过中点，
∴，
∵点O、A的水平距离为x，，，
∴点B、C的水平距离也为x，
∴点M、B的水平距离为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，轴对称，平行四边形．解决问题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的性质，关于y轴对称的函数的性质，平行四边形边的性质，中点坐标的性质．
23．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 在 轴负半轴上，顶点 在第二象限，边 的中点 横坐标为 ，反比例函数的图象经过点 ．若 ，则 的值为______．
【答案】
【分析】作 轴， 轴，垂足分别为 ，根据反比例函数 值的几何意义，得 ，求出 的值即可．
【详解】解：如图，作 轴， 轴，垂足分别为 ，
∵边 的中点 横坐标为 ，
∴，
∴点 纵坐标为，
∵平行四边形，
∴点 纵坐标为，
则，
由，
根据反比例函数 值的几何意义，得，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
24．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，点A是平面直角坐标系中第一象限内的点，将线段绕着点A顺时针方向旋转至，以为边作菱形，边分别与反比例函数交于点E、F，且轴，，连接，当，时，k的值为________．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数与四边形的综合，全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识点．延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，证明，得到，．根据四边形是菱形，，得到，设，则，根据勾股定理求出，求出点，即可求出，证四边形为矩形，得到，求出点，根据，，，即可求出的值，则可以得出点的坐标，根据点F在反比例函数图象上，即可得到答案．
【详解】解：延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，如图所示，
∵轴，，，
∴轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点E，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点F在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴ ，
，
解得：，
∵，
∴，
∴点，
∵点F在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：．
25．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 _______．
【答案】
【分析】解：本题考查了反比例函数的图象与菱形的综合问题，涉及三角形的面积、中线的性质、反比例函数的几何意义等知识，先表示出直线表达式，由中线的性质和反比例函数的表达式即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，延长交y轴于点F，
∵点是菱形对角线的中点，
∴点三点共线．轴
设点，则，
故直线
故直线
点是的中点，
故答案为：．
26．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知平行四边形的面积是，则点B的横坐标为_________．
【答案】
【分析】先求出反比例函数，设的解析式为，由经过，得出的解析式为，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，代入面积公式即可得出结果．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵经过原点O，
∴设直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴，
∵直线的解析式为，
∵反比例函数经过点C，
∴设，且，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴点B的纵坐标为，
∵的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形的面积是，
∴，
解得：或（舍去），
∴点B的横坐标为.
27．如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点A和点B，点在反比例函数（）图像上，过点C作于点D，则______．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合，利用锐角三角函数解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质．
过点作轴，交于点，交轴于点，根据一次函数和反比例函数的解析式求出相关点的坐标，得出，根据直角三角形的性质证明，然后利用锐角三角函数表示出，假设，利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：如图，过点作轴，交于点，交轴于点，
∴，
将代入得，
，
∴，
当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴；
当时，，
解得，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
解得，
∴，
故答案为：．
28．在平面直角坐标系中，点分别在函数的图象两个分支上，其中，点的横坐标分别为．
(1)求的取值范围；
(2)若直线经过点、，与轴交于点，求的值（用含的式子表示）．
(3)过点分别作轴的垂线，垂足分别为，记．若，求的最小值；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由可判断在第三象限，在第一象限，根据象限坐标特征即可求解；
（2）可得，，代入直线后相减得，由勾股定理得， ，即可求解；
（3），，，代入后利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：点分别在函数的图象两个分支上，
，
在第三象限，在第一象限，
，
解得；
（2）解：点的横坐标分别为，
，，
、在直线上，
，，
，
，
整理得，
，
，
当时，，
，
，
；
（3）解：，
，
如图，
，
，
，
设，
，
，
当时，，
的最大值为，
的最小值为，
的最小值为．
【点睛】熟练利用勾股定理和二次函数的性质进行求解是解题的关键．
29．如图，点A、B分别是双曲线和上的两个动点，轴，过A、B两点分别作轴的垂线，垂足分别为D、C，连接、．
(1)四边形的面积为 ；
(2)设点C的坐标为．
① 当 时，四边形为正方形；
② 当是直角三角形时，求的值．
【答案】(1)5
(2)①；②的值为
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相应知识是解题的关键．
（1）由反比例函数系数的几何意义即可求解；
（2）由四边形为正方形可得，则点的纵坐标为，利用函数解析式即可求得点的横坐标，即可得的值；
由点，可得点，点，当是直角三角形时，利用即可求解．
【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得：．
故答案为：5．
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴点的纵坐标为，
把代入得，，
∴，即点的横坐标为，
∵轴，
∴点的横坐标为，即．
故答案为：．
∵轴，，
∴点，点，
∴，，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴的值为．
30．聪明好学的晨晨看到一本课外书上有个重要补充：
角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．于是他和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，中，平分交于点D，求证：．”
可是他们依然找不到证明方法，经过老师的提示：过点B作交延长线于点E，于是打开思路．
【问题初探】
（1）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明；
【现学现用】借助角平分线定理解决如下问题：
（2）如图②，中，，点D是边上一点，将沿着翻折，使得点B与边上的点E重合，若是直角三角形，求的长度；
【问题解决】
（3）如图③，已知反比例函数，点A是该图象第一象限上的动点，连接并延长交另一支于点B，以为斜边作等腰直角，顶点C在第四象限，与x轴交于点P，连接，点A在运动过程中，是否存在的情况？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）如图所示，过点B作交延长线于点E，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）或；（3）
【分析】（1）根据题目所给的思路进行证明即可；
（2）由折叠的性质可得，由角平分线定理得到，，设，再分当和时，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）如图所示，过点A、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接，由等腰直角三角形的性质得到，则，进而求出，得到，则由角平分线定理得到；由反比例函数的对称性可得，则，证明，得到，，证明，得到，可设，则，求出（负值舍去），得到，则．
【详解】解：（1） 略
（2）由折叠的性质可得，
∴，，
∴；
设，
当时，由勾股定理得，
∴，
解得（负值舍去），
∴；
当时，同理可得，
解得（负值舍去），
∴
综上所述，的长为或；b
（3）如图所示，过点A、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
由反比例函数的对称性可得，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴可设，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定．
31．在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上．
(1)如图1，当D点坐标为时，
①求的值；
②求的值；
(2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由；
(3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果）
【答案】(1)①4；②1，3
(2)
当时，，理由如下：
如图，过点C作轴于点N，
同（1）可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
若，则，
∵，
∴，
即当时，；
(3)6
【分析】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数的图象和性质，求函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质．
（1）①利用待定系数法进行求解即可；
②过点D作轴于点M，根据条件证明，得出，然后利用点坐标列出方程组进行求解即可；
（2）过点C作轴于点N，同（1）证明，得出对应边相等，然后列出，求解即可；
（3）过点E作轴于点H，得出是等腰直角三角形，设，得出，得出即可求解．
【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式，
∴；
即的值为4；
②如图，过点D作轴于点M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
∴m，n的值为1，3；
（2）略
（3）解：如图，过点E作轴于点H，
由（2）得，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
∵点G是的中点，
∴；
∵，
∴，
∵点在上，
∴，
整理得，，
故答案为：6．
32．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点 的右侧，连接，，△的面积为5．
(1)求点 ， 的坐标及反比例函数的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)探究在 轴上是否存在点，在平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，反比例函数解析式为
(2)
(3)点坐标为或或或,
【分析】（1）先求出点m值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标；
（2）过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案；
（3）先求出的长，分情况讨论计算即可．
【详解】（1）解：将代入得，
，
解得，
正比例函数表达式为，
，
反比例函数解析式为，
点 、 关于原点对称，
；
综上，，，反比例函数解析式为；
（2）过作轴，交于点，
设，
，
，
，
，
解得或（舍去），
；
（3），
．
当为菱形的边时，有如下三种情况：
①如图，点在点左侧，
此时轴，且，
；
②如图，此点在点右侧，
此时轴，且，
；
③如图，、为对角线，
此时点与点关于 轴对称，则；
当为菱形的对角线时，有如下一种情况：
过作轴于点，
设，则，，
在△中，，
解得，
，
,；
综上，点坐标为或或或,．
33．如图，已知反比例函数与直线相交于点、两点，，是反比例函数上一动点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)连接，求的最小值；
(3)点在之间运动时，连接，，若，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质与判定．
（1）代入得出，再代入，即可求解；
（2）设，根据勾股定理得出，即可求解；
（3）延长交轴于点，过点作交于点，证明得出，进而求得直线的解析式为，则，联立一次函数与反比例函数解析式，求得，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵在反比例函数上，
∴，
∴，
将，代入得
，
解得：
∴一次函数的解析式为
（2）解：∵
∴
设
∴
∴，即的最小值为
（3）解：如图，延长交轴于点，过点作交于点，
∵一次函数的解析式为，
当时，，当时，
∴,
∴
又∵
∴是等腰直角三角形，
∴
联立，
解得：或
∴
∴，，
∵
∴
又∵
∴
∴，即
解得：
∴
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
当时，
∴，
∴，
联立
解得：或
∴
∴
．
34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
(3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于两点，当时，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为；
（3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，，
∴把代入，
得，
∴反比例函数的表达式为，，
把代入，得，
解得，
∴，
把，代入，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于点P，
则，
此时，的周长最小，
∵点，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
故点P的坐标为；
（3）解：∵将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，
∴直线的解析式为，
，，
∴，
∵，
∴，
解得或，
经检验，或是所列方程的根，且符合题意，
故或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的图象和性质，轴对称——最短路径问题，勾股定理，一次函数的平移，是解题的关键．
35．如图，正比例函数与反比例函数交于点，且与反比例函数交于点，且，
(1)求的点坐标及的值；
(2)点分别为、上两动点，且
①试说明：在运动过程中，始终存在；
②点为的中点，点为的中点，当的面积为时，求点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)
①证明：分别过、作轴，轴于点、，
∵，
∴第一象限内的反比例函数，
设，
∵，，
∴，，
∵轴，轴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴第四象限内的反比例函数为
设，
∵设，
∴即
∴（负值舍去）；
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
②或．
【分析】（1）设，，由勾股定理可求得的值，从而即可求得点的坐标，利用待定系数法可以求得的值；
（2）①分别过、作轴，轴于点、，设，证，得，进而求得第四象限内的反比例函数为，设，利用勾股定理求得，，得，利用相似三角形得判定即可证明；②由点为的中点，，，得，设点的纵坐标为，利用面积构造方程得或，进而分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数交于点，
∴设，，
∵
∴
解得，
∴，
∴，
把代入得；
（2）①略
②∵点为的中点，，，
∴，
设点的纵坐标为，则
，
解得，或，
当时，
∵，，点为的中点，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
当时，同理可得，
综上可得或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，反比例函数的图像及性质，相似三角形的判定及性质，坐标与图形，同角的余角相等等，熟练掌握勾股定理，反比例函数的图像及性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
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专题一 反比例函数中 k 的几何意义与面积模型
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、一点两垂——矩形、三角形面积与 k 的关系
题型二、割补转化——面积差、面积比与 k 的换算
题型三、双曲线内外——两条双曲线之间的面积
题型四、四边形内接——平行四边形、菱形、矩形、正方形
题型五、直线截曲线——一次函数与双曲线围成的面积
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
本专题围绕一点两垂、割补转化、双双曲线、内接四边形、直线截曲线五类模型展开。解题关键是设动点坐标，对不规则图形做割补拆分；单曲线抓基础面积结论，双曲线叠加依靠 加减，一次函数与双曲线相交题型联立求交点再算面积，同时结合平行四边形、矩形等图形的对称性质简化计算。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 只记 |k| 而忽略符号，把图形面积直接当成 k 代入；
2. 图形被坐标轴或直线分割后，把“看起来像矩形”的部分直接当作 |k|，不作割补；
3. 出现两条双曲线时，仍按单条双曲线的 |k| 处理，忘记面积要相减；
4. 由面积反求 k 后不检验图象所在象限，导致 k 的符号取错。
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、一点两垂——矩形、三角形面积与 k 的关系
典例1（2022·浙江温州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
解题模板
1.设点 P(m,)，用 m 与 k 表示矩形的长与宽（或三角形的底与高），面积中 m 自动约去，只剩 |k|;
2.题目给出具体面积时代入反解 k，再用图象所在象限定 k 的符号.
变式1-1（2024·浙江宁波·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（ ）
A．
B． C． D．
变式1-2（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
变式1-3（2022·浙江宁波·三模）如图，已知A为反比例函数图象上一点，B为x轴正半轴上一点，过点B作轴，交反比例函数图象于点C，连结，，，与交于点．当，的面积等于1时，k的值为_____．
题型二、割补转化——面积差、面积比与 k 的换算
典例2（2026·江苏无锡·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）．
(1)若点，，则______．
(2)若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系．
(3)延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
解题模板
1.把不规则图形拆成“矩形减三角形”或“三角形加三角形”，保证每一块都能用 |k| 或其一半表示;
2.面积比与线段比互相转化时，先统一到同一组底或高上，再比.
变式2-1（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2-2（26-27九年级上·四川自贡·期中）如图，在反比例函数的图象上有，，，…， 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
变式2-3（北京市大兴区2026－2027学年度第一学期期中练习初三数学）如图，在平面直角坐标系中，过点作轴的平行线，交函数的图象于点，．给出下面三个结论：
①当时，线段的长度为2；
②连接，，则存在，使得是等腰直角三角形；
③若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为定值．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
题型三、双曲线内外——两条双曲线之间的面积
典例3（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知反比例函数（，为变量）．
(1)若点，都在该反比例函数图象上，求的值及反比例函数表达式；
(2)如图1，一次函数的图象与图象在第一象限交于、两点，令点、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、，且，，则是否为定值．若为定值，则求出的值；若不为定值，请说明理由；
(3)如图2，另一条直线与反比例函数交于、两点，与坐标轴交于、两点，且点是的中点，过的直线交反比例函数的另一支图象于点，连接，交轴于点，连接，若，求的值．
解题模板
1.分别写出两条双曲线的 |k₁| 与 |k₂|，所求面积由两者作差或其组合得到;
2.过同一点向两轴作垂线，是沟通两条双曲线唯一可靠的桥梁.
变式3-1（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，反比例函数在第三象限的图象是，在第四象限的图象是，点A、C在上，过A点作轴交于B点，过C点作轴于D点，点P为x轴上任意一点，连接，若，则_______．
变式3-2（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________．
变式3-3（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________．
题型四、四边形内接——平行四边形、菱形、矩形、正方形
典例4如图1，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，轴．
(1)若菱形边长为5，对角线．
①若点，反比例函数的图像经过点B．求该反比例函数的表达式，并判断点A是否在这个反比例函数图像上；
②是否存在点，使得反比例函数的图像同时经过点A、B？若存在，求a、b满足的关系式；若不存在，说明理由．
(2)如图2，菱形的顶点A，B和边的中点E在反比例函数图像上，顶点C、D在反比例函数图像上，边与y轴的交点为F，
①求的值；
②若，则菱形的面积为 ．
解题模板
1.先用四边形性质（对边平行且相等、对角线互相平分）设出各顶点坐标，再把“顶点在图象上”翻译成坐标乘积等于 k;
2.菱形、正方形还要补上“对角线垂直”或“四边相等”的条件，才能把方程解出来.
变式4-1（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）如图，平行四边形的顶点，在函数的图象上，边与轴交于点，轴于点．若，则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式4-2（2024·浙江温州·一模）如图，菱形的对角线交于点E，边交y轴正半轴于点F，顶点A，D分别在x轴的正、负半轴上，反比例函数 的图象经过C，E两点，过点E作于点G，若，则k的值是（ ）．
A． B．12 C． D．15
变式4-3（26-27九年级上·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型五、直线截曲线——一次函数与双曲线围成的面积
典例5（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于第二、四象限内的，两点，与轴正半轴交于点，过点作轴，垂足为点，的面积为，点的横坐标为，．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直线交轴于点，过点作直线轴，如果直线上存在点，使，请直接写出点的坐标．
解题模板
1.联立直线与双曲线求交点，再用交点坐标表示三角形或四边形的底与高;
2.被坐标轴分割的部分优先用“面积和＝面积差”处理，避免重复计算.
变式5-1（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为________．
变式5-2（2026·江苏泰州·二模）如图，直线与反比例函数（）图象交于A，B两点，点A在第一象限，点B在第三象限，直线与交于点P，若，则k的值为__________．
变式5-3（21-22八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，的面积为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若将直线向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线的交点情况；
(3)P为坐标轴上的一点，若的面积等于面积的一半，请直接写出符合条件的点P坐标．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，在函数（是常数且，）的图像上任取两点和（在左侧），分别过、作两条坐标轴的平行线，得到矩形（在左侧），连接、、，作直线分别交轴、轴于点、．在下列说法中，一定正确的是（ ）
①、、三点共线；②；③若，则；④四边形和四边形的面积都等于．
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
2．如图所示，已知双曲线（）和（），直线与双曲线交于点A，将直线向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（26-27九年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数与图象上的动点，轴于点D，轴于点E，点C在y轴的正半轴上，连接，若四边形是平行四边形，给出下面四个结论：
①；
②若，，则；
③；
④当时，四边形一定是正方形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的顶点，都在第一象限，，都在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，点在边上，反比例函数的图象过点．若的面积为2，则的值为（ ）
A．10 B． C． D．8
6．如图，已知直线与函数的图象交于第一象限内点A，与轴负半轴交于点B，过点A作轴于点C，点D为中点，线段交轴于点E，连接．若的面积为6，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．如图，A是反比例函数图象上一点，B是反比例函数图象上一点，连接交y轴于点C，若，，则k的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
8．（2024·江苏盐城·三模）如图，的直角顶点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点C在y轴上，轴，延长交x轴于点D，连接，当且的面积为时，点A的坐标为_____．
9．（2024·江苏扬州·一模）如图，平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，且，分别过点，点作轴的平行线，与双曲线分别交于点，点．若的面积为，则的值为________．
10．（2026·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，．若的面积为，则的值为____．
11．（2025·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为________
12．如图，的边交反比例函数（）的图象于点P，且，点A，B，D在坐标轴上，已知的面积为24，则k的值为________．
13．如图，已知是轴上的点，且，分别过点，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，过点作于点，过点作于点记的面积为的面积为的面积为，则等于___________．
14．如图，已知在平面直角坐标系中，点P是对角线的中点，反比例函数的图象经过点A，点P．若的面积为30，且y轴将的面积分为，则k的值为____．
15．（2026·山东临沂·二模）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______．
16．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，一次函数和的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于、两点，已知面积为10，则的值为__________．
17．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与和的图象交于点，．若的面积为10，则的值为__________．
18．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，过原点的直线交双曲线于，两点，交AB于点，顺次连接A，D，B，C，若的面积是的面积的3倍，则的值为_____，点的横坐标为_____．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点O重合．点E为x轴上一点连接，F为中点，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过A，F两点．若平分，的面积为9，则k的值为_____．
20．如图，与交于A、B两点，过B作y轴的垂线，垂足为C，交于点D，点D关于直线的对称点E恰好落在x轴上，且轴，连接，则______；若的面积为15，则的值为______．
21．如图，的边经过原点，顶点、分别在反比例函数、的图象上，顶点在轴的正半轴上．若，则_____．
22．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过平行四边形的顶点A，将该反比例函数图象沿轴对称，所得图象恰好经过中点，则平行四边形的面积为______．
23．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 在 轴负半轴上，顶点 在第二象限，边 的中点 横坐标为 ，反比例函数的图象经过点 ．若 ，则 的值为______．
24．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，点A是平面直角坐标系中第一象限内的点，将线段绕着点A顺时针方向旋转至，以为边作菱形，边分别与反比例函数交于点E、F，且轴，，连接，当，时，k的值为________．
25．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 _______．
26．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知平行四边形的面积是，则点B的横坐标为_________．
27．如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点A和点B，点在反比例函数（）图像上，过点C作于点D，则______．
28．在平面直角坐标系中，点分别在函数的图象两个分支上，其中，点的横坐标分别为．
(1)求的取值范围；
(2)若直线经过点、，与轴交于点，求的值（用含的式子表示）．
(3)过点分别作轴的垂线，垂足分别为，记．若，求的最小值；
29．如图，点A、B分别是双曲线和上的两个动点，轴，过A、B两点分别作轴的垂线，垂足分别为D、C，连接、．
(1)四边形的面积为 ；
(2)设点C的坐标为．
① 当 时，四边形为正方形；
② 当是直角三角形时，求的值．
30．聪明好学的晨晨看到一本课外书上有个重要补充：
角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．于是他和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，中，平分交于点D，求证：．”
可是他们依然找不到证明方法，经过老师的提示：过点B作交延长线于点E，于是打开思路．
【问题初探】
（1）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明；
【现学现用】借助角平分线定理解决如下问题：
（2）如图②，中，，点D是边上一点，将沿着翻折，使得点B与边上的点E重合，若是直角三角形，求的长度；
【问题解决】
（3）如图③，已知反比例函数，点A是该图象第一象限上的动点，连接并延长交另一支于点B，以为斜边作等腰直角，顶点C在第四象限，与x轴交于点P，连接，点A在运动过程中，是否存在的情况？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
31．在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上．
(1)如图1，当D点坐标为时，
①求的值；
②求的值；
(2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由；
(3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果）
32．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点 的右侧，连接，，△的面积为5．
(1)求点 ， 的坐标及反比例函数的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)探究在 轴上是否存在点，在平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
33．如图，已知反比例函数与直线相交于点、两点，，是反比例函数上一动点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)连接，求的最小值；
(3)点在之间运动时，连接，，若，求四边形的面积．
34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
(3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于两点，当时，求的值．
35．如图，正比例函数与反比例函数交于点，且与反比例函数交于点，且，
(1)求的点坐标及的值；
(2)点分别为、上两动点，且
①试说明：在运动过程中，始终存在；
②点为的中点，点为的中点，当的面积为时，求点的坐标．
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