第3章 反比例函数（单元测试）2026-2027学年数学新教材浙教版九年级下册

第3章 反比例函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键． 【解析】A、是一次函数，故A不不符合题意； B、是二次函数，故B不符合题意； C、不是反比例函数，故C不符合题意； D、是反比例函数，故D符合题意， 故选D． 2．如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质．先根据题意得出矩形的面积，求得的面积，然后再根据三角形的面积公式即可解答． 【解析】连接， 四边形是矩形， 矩形的面积为， 的面积为， ， ，即， ． 故选A． 3．已知反比例函数，下列关于它的图象和性质的描述正确的是（ ） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．图象越来越靠近坐标轴，最终相交 D．y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，增减性，根据解析式可得经过的象限和增减性可判断A、B、D；再根据反比例函数自变量不为0，可知函数与坐标轴不会相交可判断C． 【解析】解；∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，且图象越来越靠近坐标轴，但不会相交， 在中，当时，，则图象经过点， ∴四个选项中只有B选项正确，符合题意， 故选B． 4．反比例函数经过点，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数图象分布在第一、三象限 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象经过点 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，先根据已知点求出k的值，再结合性质逐一判断选项即可． 【解析】∵反比例函数经过点， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴函数图象分布在第二、四象限，故B选项不符合题意 ∵， ∴当时，随的增大而增大，故C选项符合题意； ∵， ∴函数图象不经过点，故D选项不符合题意，故选C． 5．已知反比例函数的图象上有两点．若，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据题意可得，根据得到，据此可得答案． 【解析】∵反比例函数的图象上有两点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选A． 6．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．函数图象与轴有交点 D．图象是中心对称图形，对称中心是原点 【答案】D 【分析】本题考查反比例函的图像及性质，需结合反比例函数的定义、图象特征及对称性逐一判断选项． 【解析】A、将点代入函数，得，故图象不经过该点，则选项A错误； B、反比例函数中，因为时，所以图象位于第二、四象限，则选项B错误； C、反比例函数定义域为，图象无限接近轴但永不相交，因此与轴无交点，则选项C错误； D、反比例函数图象关于原点中心对称，对称中心为原点，则选项D正确； 故选D． 7．已知点，在双曲线上；若，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图像及性质，掌握反比例函数的图像及性质是解题的关键．根据题意可得，反比例函数的图像分布在第二、四象限，即可求解． 【解析】的图像分布在第二、四象限，如图所示， 当，从图像可知， 故选B． 8．如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（ ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H，证明四边形和四边形都是矩形，得出，，根据反比例函数k值意义可得，设，则，得出，求出，得出答案即可；解法二：设，两点的坐标分别为、，根据点与点的纵坐标相同，点与点的纵坐标相同，得到，，由，，得到，根据与的距离为1，把代入中，即可求解． 【解析】解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H， 则轴， ∵轴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， 根据反比例函数k值意义可得： ， ∵与之间的距离为1， ∴设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 解法二：设，两点的坐标分别为、， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同，即，解得， 点与点的纵坐标相同，即，解得， ∵，， ∴，解得， ∵与的距离为1， ∴ ， 把代入中，得， 故选C． 9．已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（ ） A．当时， B．点和在此函数图象上 C．图象位于第二、第四象限 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】对于反比例函数（k为常数，），当时，图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小；当时，图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，图象关于原点对称，本题中，根据反比例函数的性质逐一分析选项． 【解析】A项：当时，，A项说法正确，不符合题意； B项：∵点在函数的图象上， ∴，即， 对于点，将代入函数中，可得， 又∵， ∴，即点在函数图象上， 对于点，将代入函数中，可得， 又∵， ∴，则， 即点在函数图象上，B项说法正确，不符合题意； C项：在反比例函数中，， 根据反比例函数性质，当时，图象分别位于第二、四象限，C项说法正确，不符合题意； D项：∵，在反比例函数中， 当时，函数图象在第二象限，且在第二象限内y随x的增大而增大，而不是减小， D项说法错误，符合题意， 综上，说法错误的是D．故选D． 10．在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据判断随的变化规律，结合确定的最大值和最小值，再根据差值为列方程求解即可． 【解析】∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵， ∴当时，取最小值，当时，取最大值， ∵的最大值和最小值之差为， ∴， 解得：．故选B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图是反比例函数的图象，那么实数m的取值范围是 ________． 【答案】 【分析】根据反比例的函数图象经过第一、三象限，得，直接解答即可．本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【解析】∵反比例的函数图象经过第一、三象限 ∴， 故． 故答案为． 12．如图，经过原点的直线交反比例函数的图象于，两点，过点作轴于点，连接，当时，的值为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数比例系数的几何意义，先根据反比例函数的对称性得到，进而得到，则由反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案． 【解析】∵经过原点的直线交反比例函数的图象于，两点， ∴由反比例函数的对称性可知，点A和点B关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∵轴，点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为2． 13．在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的对称性，先确定它们成中心对称，再根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性质是解决此题的关键． 【解析】根据题意，知点A与B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴B点的坐标为． 故答案为． 14．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，线段交反比例函数的图象于点，若的面积等于1，则的值等于________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象，熟练知识点是解题的关键． 可求，根据反比例函数k的几何意义得到，则． 【解析】∵， ∴ ∵， ∴， 根据反比例函数k的几何意义得到， 而反比例函数的图象经过第二象限， ∴， 故答案为． 15．若点、、都在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据反比例函数的性质比较即可得出答案． 【解析】反比例函数， ， 图象分布在二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 点、、都在反比例函数的图象上，若， ，， ． 故答案为． 16．已知反比例函数与，当时，的最大值为4，则的值是________． 【答案】6 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出关于k的方程是解题关键． 根据反比例函数在上的增减性，可得，，得出方程求解即可． 【解析】对于反比例函数，当时，当时，取得最大值， 当时，， 对于反比例函数，当时，当时，取得最小值， 当时，， ∵的最大值为4， ∴ 解得， 故答案为6． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于，B两点， 过点 B 作 轴于点 D， ，过点 A 作轴于点C． （1）求b的值及点B 的坐标； （2）观察图象，当反比例函数的值小于一次函数的值时，直接写出x的取值范围； （3）点 P 在线段 上，连接，，若 ，求点 P 的坐标． 【答案】(1)， （2） （3） 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据已知条件把代入一次函数和反比例函数中，即可得出b和m 的值，再根据题意得出B点的横坐标代入反比例函数中即可得解； （2）根据反比例函数的值小于一次函数的值，得出反比例函数的图象应在一次函数的图象下方，观察图象即可得x的取值范围； （3）根据题意和（1）得出的长，设 ，求出和，再根据，得出关于t的方程，解出t的值，代入即可得出答案． 【解析】（1）解：一次函数 与反比例函数 的图象交于， 把代入一次函数和反比例函数中，得，， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， 过点 B 作 轴于点 D， ， 点B的横坐标，代入中，得：， （3）； （2）解：反比例函数的值小于一次函数的值， 反比例函数的图象应在一次函数的图象下方， 观察图象可得x的取值范围为； （3）解：轴于点C，轴于点 D，，， ，， ， P是线段上的一点， 设， ， ， ， ， （1）， ， ， ． 18．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于和两点，与x轴交于点C．    （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2）． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入可求出反比例函数的关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可； （2）根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出一次函数大于反比例函数的值的的取值范围． 【解析】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 又在反比例函数的图象上， ， 点， 由于直线过点，， 解得 一次函数的解析式为； （2）解：由图可知，不等式的解集为． 19．（8分）在平面直角坐标系中，直线经过点． （1）求b和m的值； （2）将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，记线段与组成的图形为G．若双曲线与图形G恰有一个公共点，结合函数图象，求k的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数、反比例函数解析式．数形结合结合思想的运用是解题的关键． （1）把点代入，得，再求出，即可作答． （2）先求出，再作图，然后运用数形结合思想，即可作答． 【解析】（1）解：∵直线经过点， ∴ ． 又∵直线经过点， ∴ ． （2）解：∵将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D， ∴． 则函数的图象经过点A时，． 则函数的图象经过点D时，，此时双曲线也经过点B， 结合图象可得k值得范围是或． 20．（8分）已知． （1）化简； （2）若点在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2）2 【分析】（1）先计算括号里的分式减法运算，再将除法转化为乘法，将分式分子分母因式分解后约分即可得到答案； （2）由题意，将点代入反比例函数得到，整体代入即可得到答案． 【解析】（1）解： （1） （1） ； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查分式化简，代数式求值，涉及分式混合运算、因式分解、反比例函数图象与性质、整体代入求代数式的值等知识，熟练掌握分式混合运算法则、反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，．反比例函数的图像分别与，交于点和点． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）若一次函数与反比例函数的图像相交于点，当点在反比例函数图像上，之间的部分时（点可与点，重合），求出的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数与一次函数综合应用等知识，运用熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键． （1）利用待定系数法解得反比例函数的表达式；结合题意可知的横坐标为4，进而计算点的坐标； （2）分别计算当一次函数的图像经过点，时的值，即可获得答案． 【解析】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵是等腰直角三角形，，且与反比例函数的图像交于点， ∴的横坐标为4， 对于反比例函数，当时，， ∴点的坐标为； （2）把代入得，， 把代入得，， ∴的取值范围是． 22．（8分）已知一次函数与反比例函数的图象都经过点，． （1）求一次函数表达式； （2）在图中画出一次函数的图象，并根据图象，写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围． 【答案】（1） （2）下图为所求： 或 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）先画出一次函数的图象，然后结合图象，求得，观察得出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围． 【解析】（1）解：将点代入反比例函数得： ∴． 将点代入得：． ∴， ∴一次函数表达式为． （2）解： 当时，， 过，画出一次函数的图象， 从图象可知， 一次函数值大于反比例函数值时的取值范围：或． 23．（8分）《函数）复习课后，为加深对函数的认识，李老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下，请完成探究过程： （1）初步感知：函数的自变量取值范围是 　　； （2）作出图象：①列表： 0 1 2 3 2 3 5 表中　　，　　； ②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （3）研究性质： 小明观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数是中心对称图形，对称中心为，则函数的对称中心为 　　； （4）拓展应用：当时，关于的方程有实数解，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①，0； ②函数图象如图所示： （3） （4） 【分析】本题考查了分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合等知识．熟练掌握分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合是解题的关键． （1）由题意知，，求解作答即可； （2）①将，分别代入求解即可；②描点连线即可； （3）由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为，然后作答即可； （4）由题意知，当时，函数中，，把，代入函数得，，解得，把，代入函数得，解得，然后作答即可． 【解析】（1）解：∵函数， ∴，解得， ∴函数的自变量的取值范围是． 故答案为． （2）解：①时，， ， 当时，， ， 故答案为，0； ②略 （3）解：函数的对称中心为， 故答案为； （4）解：当时，函数中，， 把，代入函数得，，解得， 把，代入函数得，解得， 当时，关于的方程有实数解，的取值范围是． 24．（8分）如图，菱形在平面直角坐标系中，边与y轴的正半轴交于点E，边与反比例函数的图象交于点B，D．已知， （1）求点D的坐标； （2）若M是反比例函数的图象上段上的一动点，作轴交于点N，连接求面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】（1）点D的坐标为 （2）最大值为；点M的坐标为 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合． （1）根据，，可以构造直角三角形，求出点B坐标，利用点B在反比例函数上，求出的值，再根据，得直线AB的解析式，最后根据边与反比例函数的图象交于点B，D求出D点坐标． （2）延长交y轴于点G．设，利用轴交于点N，用坐标表示出的面积，通过函数或导数求其最大值及对应点M的坐标． 【解析】（1）解：∵四边形OABC为菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 设的解析式为， 代入由，解得， 故的解析式为． 由解得或 ∴点D的坐标为． （2）解：如图，延长交y轴于点G．设，其中， ， ∴当时，的面积最大，最大值为． 当时，， 将代入，得点M的横坐标为， ∴点M的坐标为． 25．（8分）已知点、是反比例函数图象上的两个点，且，，． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：点、是反比例函数图象上的两个点； （2）， 整理得，， ，，． ， ． （2）1 （3）8 【分析】（1）根据题意将点点、代入反比例函数，整理即可得出得出． （2）勾股定理表示出，由（1）知．得出，进而即可求解． （3）点、根据得出直线的解析式为：，则，，根据已知条件即可得出的值 【解析】（1）略 （2）解：、， ，， ， ， 由（1）知． ，代入中得， ， ， ， ． （3）解：设直线的解析式为：， 则 ，解得 ， ∴直线的解析式为：， （2），， ， ， ，解得， ． ， ， ，． ． ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，解题的关键是准确理解的意义． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 反比例函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数，下列关于它的图象和性质的描述正确的是（ ） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．图象越来越靠近坐标轴，最终相交 D．y随x的增大而减小 4．反比例函数经过点，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数图象分布在第一、三象限 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象经过点 5．已知反比例函数的图象上有两点．若，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 6．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．函数图象与轴有交点 D．图象是中心对称图形，对称中心是原点 7．已知点，在双曲线上；若，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（ ） A．1 B．3 C．6 D．8 9．已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（ ） A．当时， B．点和在此函数图象上 C．图象位于第二、第四象限 D．当时，y随x的增大而减小 10．在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图是反比例函数的图象，那么实数m的取值范围是 ________． 12．如图，经过原点的直线交反比例函数的图象于，两点，过点作轴于点，连接，当时，的值为________． 13．在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为________． 14．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，线段交反比例函数的图象于点，若的面积等于1，则的值等于________． 15．若点、、都在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是________（用“”连接）． 16．已知反比例函数与，当时，的最大值为4，则的值是________． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于，B两点， 过点 B 作 轴于点 D， ，过点 A 作轴于点C． （1）求b的值及点B 的坐标； （2）观察图象，当反比例函数的值小于一次函数的值时，直接写出x的取值范围； （3）点 P 在线段 上，连接，，若 ，求点 P 的坐标． 18．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于和两点，与x轴交于点C．    （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出关于的不等式的解集． 19．（8分）在平面直角坐标系中，直线经过点． （1）求b和m的值； （2）将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，记线段与组成的图形为G．若双曲线与图形G恰有一个公共点，结合函数图象，求k的取值范围． 20．（8分）已知． （1）化简； （2）若点在反比例函数的图象上，求的值． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，．反比例函数的图像分别与，交于点和点． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）若一次函数与反比例函数的图像相交于点，当点在反比例函数图像上，之间的部分时（点可与点，重合），求出的取值范围． 22．（8分）已知一次函数与反比例函数的图象都经过点，． （1）求一次函数表达式； （2）在图中画出一次函数的图象，并根据图象，写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围． 23．（8分）《函数）复习课后，为加深对函数的认识，李老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下，请完成探究过程： （1）初步感知：函数的自变量取值范围是 　　； （2）作出图象：①列表： 0 1 2 3 2 3 5 表中　　，　　； ②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （3）研究性质： 小明观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数是中心对称图形，对称中心为，则函数的对称中心为 　　； （4）拓展应用：当时，关于的方程有实数解，求的取值范围． 24．（8分）如图，菱形在平面直角坐标系中，边与y轴的正半轴交于点E，边与反比例函数的图象交于点B，D．已知， （1）求点D的坐标； （2）若M是反比例函数的图象上段上的一动点，作轴交于点N，连接求面积的最大值及此时点M的坐标． 25．（8分）已知点、是反比例函数图象上的两个点，且，，． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $