以数列为背景的综合问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

数列为背景的综合问题 一、知识点梳理 （一）读懂新定义：名字背后的量与界 近年高考与各地试卷里，数列题常先给一个定义再问性质或求范围。读这类题分三步：先照定义把前几项算出来，再把定义翻译成关于项或项号的式子，最后认它落到哪一类熟悉的问题上。人教A版《选择性必修第二册》第四章把数列看作定义在正整数集上的函数，这本教材给出的语言只有「项」与「项号」，新定义不过是把某个关于项或项号的规则重新命名，所以把它翻成「第 项与第 项的关系」永远是第一步。 定义里最容易被读漏的是量词与边界。有的定义要求「存在常数 ，使 对一切 成立」，这是两个待定的自由参数；有的定义只要求 ， 是上界，不是等号。把「」读成「」，后面整条推导都会跑偏。还要看清 从哪里起步、首项是否单独规定、「递增」与「不减」是否严格，这些细节决定第二问能不能取到端点。 第二问常要判断或构造。否定一个命题只需一个反例，反例最好取最简单的常数列或 的一次式；证明则要把定义里的不等式逐项相加、相乘，或者把 写成可求和的形式。碰到「生成」「重构」「 阶」这类词，先问一句：新数列的第 项究竟由原数列的哪几项决定？把这一句答清楚，题目往往就只剩计算。 （二）数阵、计数与差分累加 数阵题的入口是定位。若第 行有 项，则前 行共有 项，用它卡出目标项号在哪一行，再算行内是第几个。人教A版《选择性必修第二册》第四章的「数列的表示」把这种按行排列的写法当作数列的一种表示，这本教材看重的是项号与项值的对应，所以定位本质上就是解一个关于项号的不等式，解完要回头验两端，否则容易把行号判错一行。 一阶差分 相当于数列的导数。已知差分求原数列就是累加：。差分是线性的、倍乘的还是两者相加，累加分别落到二次式、求和公式与分组求和。反过来，由原数列作差可以判断单调与最值，这是数阵定位之外的第二个常用入口。 计数型问题的标志是「有多少项」「第几个」。做法是把条件翻成关于项号的不等式，解出的整数个数就是答案。分段计数要盯住端点：每段左闭右开还是两头都闭，最后一段有没有走完，端点归属差一个，答案就差一项。数阵的「第 行第 个」也归到这一类，只是不等式换成了求和的估计。 （三）单调与恒成立：盯住最不利的那个 数列的单调性只能靠相邻两项比较： 为递增；各项同号时也可以看 与 的大小。一串孤立的点没有导数，「导数变号处取极值」那一套搬不过来。判断含参的通项是否递增，要把 写成关于 的式子，再要求它对一切正整数 成立。人教A版《选择性必修第二册》第四章讲数列的性质时，用的也是这套比较法，这本教材并不引入连续工具，这一点决定了数列的单调只能逐项看。 「对一切 成立」只需看最不利的那个 。一次式单调，看 这一端；二次式看顶点离哪个整数最近，顶点两侧的整数都要比一比。形如 或 的，先作差看符号在哪个 处变号，转折点两侧各算一项。代一个具体的 就下结论，是把必要条件当成了充分条件。 含 的恒成立要分奇偶两路： 为偶数时解出参数的一个界， 为奇数时解出另一个界，最后取交集。两路的「最不利」通常不在同一个 上，各自取各自的最值，不能混在一起算。除以负数时不等号要翻向，这一步最容易漏。 （四）递推变换与求和：三件工具、三种拆法 由递推式定通项常用三件工具：同除、取倒数、待定系数。形如 的同除以 ；形如 的取倒数，把 与 凑成一次关系；形如 的待定系数，把 配成 。人教A版《选择性必修第二册》第四章的「递推公式」只给出写法，这本教材不交代变法，具体怎么变形全靠这三件工具。 求和先看通项的结构：一个线性因子乘一个倍乘型因子用错位相减，分式且分母是相邻两项之积用裂项，含 用并项，分段给出用分组。错位相减要对齐项号，减完剩下的首尾两项最容易漏，写完用 、 代回去验一遍。 涉及不等号的求和，方向要跟着结论走：要证「小于某数」就把每项放大成能求和的，要证「不小于」就缩小。松紧的标准是这个界能不能取到，太松证不出来，太紧又过不去。凡是写出一个具体的界，都要用首项与极限两头核一遍，别把「几倍」当成了「多少」。 本讲四组题分别对应四件事：读新定义、数数阵、判单调与恒成立、变形递推。做新定义题时，先照着定义把前四项写出来，往往规律自己就露出来了。 二、典型例题 例1　数阵定位：先数清前 行 把正整数排成一个三角形数阵：第 行有 个数，第 行的第 个数是 ，同一行中每个数都是它左边相邻那个数的 倍。把第 行的数记为 ，第 行的数从左到右依次记为 ，依此类推，则 A． B． C． D． ①定行号　前 行共有 项，前 行共有 项，而 ，故 在第 行，且是该行的第 个数。 ②定行首　第 行的第 个数是 ，故第 行的第 个数是 。 ③乘到第 个　同一行相邻两数之比为 ，从第 个数走到第 个数要乘 次，故 。 注：数阵题只做两件事：用 卡行号，再用行首与行内规律定值。行内从第 个到第 个是乘 次，乘 次就整整差一倍，这是这类题最常见的错。卡行号时两侧都要算，只看一侧容易少算一行。 【答案】C。 先定位。前 行共有 项，而 ，，所以 落在第 行，它是该行第 个数。 第 行的第 个数为 ，第 行即从 开始；行内每个数是前一个的 倍，故第 行第 个数为 。 取 得 。故选 C。 变式1　同法：连续奇数按行排布 将从 开始的连续奇数按每行 个排成数表，行内从左到右。若 位于第 行第 列，则 A． B． C． D． ①换成序号　 是第 个奇数。 ②卡行号　前 行共有 个数，而 ，故它在第 行。 ③定列号　第 行的第 个数是第 个奇数，故 ，。 注：数表里第 行第 个数是第 个奇数，把 与这个序号对上，问题就变成解一个关于 的二次不等式。卡行号要用两个相邻的乘积去夹，只算一侧容易把 行判成 行。 【答案】A。 是第 个奇数。前 行共有 个数，由 与 知它在第 行。 故它是该行第 个，即 ，。故选 A。 例2　新定义判定：把「存在 」当成待定参数 （多选）对于数列 ，若存在常数 ，使得 对一切 成立，则称 是「 数列」。下列说法正确的有 A．若 是 数列，则 也是 数列 B． 是 数列 C．若 ，且 （ 为常数），则 的前 项和为 D． 是 数列 ①验证两个正例　 时 ，取 即可； 时 ，取 即可。 ②否定第一个　取 ，它是 数列（），但 若也是 数列，则 对一切 成立，比较 的系数得 ，再比较 的系数得 ，矛盾。 ③算配对求和　前 项按 配对，和为 ，不是 。 注： 数列就是「一阶线性递推」， 是两个待定常数，验证时把 用 表示出来即可。否定「乘积仍是」只需一个反例，取 最省事。配对求和要数清对数： 项共 对，最末一项是 ，比值是 而不是 。 【答案】B、D。 对于 B，，取 ，B 正确；对于 D，，取 ，D 正确。 对于 A，取 ，它是 数列（）；若 也是，则 恒成立，比较系数得 且 ，矛盾，A 错误。 对于 C，，故前 项和为 ，C 错误。所以选 B、D。 变式2　同法：两个「递增」要分别验 （多选）若数列 为递增数列，且 也是递增数列，则称 为「双增数列」。下列数列是双增数列的有 A． B． C． D． ①先看第一个条件　、、 都递增； 作差得 ，也递增，四个都先留着。 ②再验后一个条件　 在 与 处都等于 ，不是递增数列，A 错； 的相邻之比为 ， 递增，B、C 对。 ③排除第四个　， 时约为 ， 时约为 ，不递增，D 错。 注：两个「递增」必须分别验，只验一个就会把一半的错项放进来。第二个条件看的是 而不是 ；比较时作商比作差快，但比值的分母是 而不是 ，这一点最容易写错。 【答案】B、C。 对于 A，，，后一项不比前一项大，故 不递增，A 错误。 对于 B， 除以 等于 ，且 递增，B 正确；对于 C， 递增，且 也递增，C 正确。 对于 D，， 时分别约为 与 ，故不递增，D 错误。故选 B、C。 例3　含参 ：先写出 ，再逐项验 （多选）设 （）是数列 的前 项和，则下列说法正确的有 A． 与 的取值无关 B． 从第 项起递增的充要条件是 C．若 对一切 成立，则 D．若 的最小值为 ，则 ①写出通项　；当 时 ，故 与 无关，A 对。 ②看单调　 时 ，故 递增当且仅当 ，B 对。 ③验后两项　， 时恒等于 ，可见 C 的「」不成立；又 ，若 ，取 得 ，与最小值为 矛盾，故 D 对。 注： 里带参数时，先把 写出来（ 与 分开），再看结构。判断 B 要盯住「从第 项起」，首项不参与；判断 C 只需找一个使结论失效的 ， 最好用；判断 D 是把 这一项拿出来当反例，比求最小值省事得多。 【答案】A、B、D。 对于 A，，与 无关，A 正确。 对于 B，当 时 ，于是 ，故从第 项起递增当且仅当 ，B 正确。 对于 C，，取 得 对一切 成立，但 不成立，C 错误。 对于 D，。若 ，取 得 ，最小值不可能为 ，故必有 ，D 正确。所以选 A、B、D。 变式3　同法：由递推式反解通项 （多选）数列 满足 （），则下列结论正确的有 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D． 可能为常数列 ①先试常数解　若 恒等于 ，则 ，即 ，，故 D 对。 ②作差反解　 时 ，于是 ，两边取倒数得 。 ③代入验算　 时 ，故 ，，于是 ，而 。 注：这类递推要先看「常数解」：把 代进去解出 ，就知道常数列能不能取到。要化成可求和的式子，把 与 的比算出来最稳，比直接取倒数省一步。判断第 B 项不必求通项，代 算一次就能否掉。 【答案】A、C、D。 若 为常数列，设 ，则 ，即 ，。当 时 成立，故 D 正确。 由 知 ，故 ，，取倒数得 ，即相邻两项之差恒为 ，C 正确。 当 时 ，故 ，，于是 （A 对），（B 错）。所以选 A、C、D。 例4　新定义解答：前缀最大值构成的数列 （解答）记数列 前 项的最大值为 ，由 组成的数列称为 的「生成子列」，生成子列所有项组成的集合记为 。（1）若数列 为 ，求它的生成子列及集合 ；（2）若数列 只有 项，各项互不相同，且 （），它的生成子列的通项公式为 ，写出所有符合条件的数列 ；（3）若 （），且 中恰有 个元素，求实数 的取值范围。 ①读懂定义　生成子列的第 项是前 项的最大值，所以 只在「出现更大的项」时改变， 的元素个数等于它改变的次数加 。 ②找转折点　，故 时递增， 时递减。 ③夹出四个元素　 恰有 个元素，等价于 且 ，即 ，解得 。 注：生成子列不是「把大项挑出来」，而是「前缀最大值」，所以它单调不减， 的元素个数等于它跳了几次再加一。第（3）问只要看相邻两项之差在哪个 由正变负： 夹在 与 之间，恰好卡出 个元素。第（2）问的关键是 迫使 ，其余三项任意排列，共 种。 【答案】（1）生成子列为 ，；（2）符合条件的数列共 个，见解析；（3）。 （1）前 项的最大值都是 ，前 项的最大值是 ，故生成子列为 ，。 （2）由 知 ；反之只要 ，前 项的最大值恒为 ，生成子列即为 。其余三项为 的任一排列，共 种：，，，，，。 （3），故 时 ， 时 ，即 先增后减。 中恰有 个元素，说明 恰好跳 次，也就是 且 （此后递减，不会再超过 ），于是 ，解得 。 时 ，，集合仍恰有 个元素； 时 ，，只剩 个元素，故右端不取等号。所以 的取值范围是 。 变式4　同法：数阵中的恒等式 （解答）称 （）为数阵 的第 项。（1）若 ，求数阵中所有满足这一条件的项之和 ；（2）若 ，求证： 仍是该数阵中的某一项。 ①配对　 时共有 项，且 。 ②求和　除 外，其余 项两两配成 对，各对之和为 ，故 。 ③证封闭　先把乘积写成两个平方之差：，再认成数阵的一项。 注：数阵求和的通用手法是找配对： 说明关于主对角线对称的两项互相抵消，只剩对角线上的项，而 恰好也抵消。第（2）问要把乘积写成两个平方之差，再用平方差反过来认出指标，最后必须交代两个新指标都是正整数，否则不算数阵中的项。 【答案】（1）；（2）证明见解析。 （1） 的项共 个，且 ，故除 外，其余 项两两配对、每对之和为 ，所以 。 （2），而 展开后与之逐项相同，故乘积等于 。 因 ，故 与 都是正整数，于是该乘积就是数阵中的项 ，得证。 三、巩固练习 1．某金箔的规格按序号 排列：每个序号的金箔都有长、短两条边，且长边与短边的比值都相同；把一张 沿与短边平行的方向从正中裁开，恰好得到两张 。已知 的短边长为 mm，则 的长边长约为 A． mm B． mm C． mm D． mm 【答案】D。 设 的长边为 、短边为 ，长宽比为 。裁开后 ，。 由长宽比相同得 ，故 ，，且 ，即每隔两个序号长边减半。 的短边为 ，故 ，，即约为 mm。故选 D。 2．（多选）数列 满足 ，且 （），则下列结论正确的有 A． B． 是递增数列 C．若 为数列 的前 项和，则 D．若对任意 都有 ，则 【答案】A、B、C。 由 得 ，又 ，故 ，。 对于 A，，A 正确。 对于 B，，故 递增，B 正确。 对于 C，，裂项后 ，C 正确。 对于 D，。偶数 时右端最小为 ，故 ；奇数 时 ，右端最小为 ，故 ，即 ，D 错误。所以选 A、B、C。 3．（多选）在数列 中，（）， 为其前 项和，则下列结论正确的有 A． B． C． D． 【答案】A、D。 当 时 ，故 B 错误。 当 时，把 换成 得 ，两式相减得 ，故 。 时 ，故对一切 有 ，A 正确。 于是 ，D 正确；取 得 ，C 错误。所以选 A、D。 4．（解答）数列 的首项 ，若对任意 都有 （ 为常数，），则称 为「有界变差数列」， 称为它的变差上界。（1）当 时，求证：；（2）设 的各项都取到最大可能值，若 对一切 成立，求 的最大值。 【答案】（1）证明见解析；（2）。 （1）当 时，。对 有 ，共 个差加上 ，故 ； 时 也满足 。所以 。 （2）各项都取到最大值时 ，故 ，。 代入得 ，两边除以 得 ，即 。 而 ，等号当且仅当 ，即 。所以 ，又 ，故 的最大值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列为背景的综合问题 一、知识点梳理 （一）读懂新定义：名字背后的量与界 近年高考与各地试卷里，数列题常先给一个定义再问性质或求范围。读这类题分三步：先照定义把前几项算出来，再把定义翻译成关于项或项号的式子，最后认它落到哪一类熟悉的问题上。人教A版《选择性必修第二册》第四章把数列看作定义在正整数集上的函数，这本教材给出的语言只有「项」与「项号」，新定义不过是把某个关于项或项号的规则重新命名，所以把它翻成「第 项与第 项的关系」永远是第一步。 定义里最容易被读漏的是量词与边界。有的定义要求「存在常数 ，使 对一切 成立」，这是两个待定的自由参数；有的定义只要求 ， 是上界，不是等号。把「」读成「」，后面整条推导都会跑偏。还要看清 从哪里起步、首项是否单独规定、「递增」与「不减」是否严格，这些细节决定第二问能不能取到端点。 第二问常要判断或构造。否定一个命题只需一个反例，反例最好取最简单的常数列或 的一次式；证明则要把定义里的不等式逐项相加、相乘，或者把 写成可求和的形式。碰到「生成」「重构」「 阶」这类词，先问一句：新数列的第 项究竟由原数列的哪几项决定？把这一句答清楚，题目往往就只剩计算。 （二）数阵、计数与差分累加 数阵题的入口是定位。若第 行有 项，则前 行共有 项，用它卡出目标项号在哪一行，再算行内是第几个。人教A版《选择性必修第二册》第四章的「数列的表示」把这种按行排列的写法当作数列的一种表示，这本教材看重的是项号与项值的对应，所以定位本质上就是解一个关于项号的不等式，解完要回头验两端，否则容易把行号判错一行。 一阶差分 相当于数列的导数。已知差分求原数列就是累加：。差分是线性的、倍乘的还是两者相加，累加分别落到二次式、求和公式与分组求和。反过来，由原数列作差可以判断单调与最值，这是数阵定位之外的第二个常用入口。 计数型问题的标志是「有多少项」「第几个」。做法是把条件翻成关于项号的不等式，解出的整数个数就是答案。分段计数要盯住端点：每段左闭右开还是两头都闭，最后一段有没有走完，端点归属差一个，答案就差一项。数阵的「第 行第 个」也归到这一类，只是不等式换成了求和的估计。 （三）单调与恒成立：盯住最不利的那个 数列的单调性只能靠相邻两项比较： 为递增；各项同号时也可以看 与 的大小。一串孤立的点没有导数，「导数变号处取极值」那一套搬不过来。判断含参的通项是否递增，要把 写成关于 的式子，再要求它对一切正整数 成立。人教A版《选择性必修第二册》第四章讲数列的性质时，用的也是这套比较法，这本教材并不引入连续工具，这一点决定了数列的单调只能逐项看。 「对一切 成立」只需看最不利的那个 。一次式单调，看 这一端；二次式看顶点离哪个整数最近，顶点两侧的整数都要比一比。形如 或 的，先作差看符号在哪个 处变号，转折点两侧各算一项。代一个具体的 就下结论，是把必要条件当成了充分条件。 含 的恒成立要分奇偶两路： 为偶数时解出参数的一个界， 为奇数时解出另一个界，最后取交集。两路的「最不利」通常不在同一个 上，各自取各自的最值，不能混在一起算。除以负数时不等号要翻向，这一步最容易漏。 （四）递推变换与求和：三件工具、三种拆法 由递推式定通项常用三件工具：同除、取倒数、待定系数。形如 的同除以 ；形如 的取倒数，把 与 凑成一次关系；形如 的待定系数，把 配成 。人教A版《选择性必修第二册》第四章的「递推公式」只给出写法，这本教材不交代变法，具体怎么变形全靠这三件工具。 求和先看通项的结构：一个线性因子乘一个倍乘型因子用错位相减，分式且分母是相邻两项之积用裂项，含 用并项，分段给出用分组。错位相减要对齐项号，减完剩下的首尾两项最容易漏，写完用 、 代回去验一遍。 涉及不等号的求和，方向要跟着结论走：要证「小于某数」就把每项放大成能求和的，要证「不小于」就缩小。松紧的标准是这个界能不能取到，太松证不出来，太紧又过不去。凡是写出一个具体的界，都要用首项与极限两头核一遍，别把「几倍」当成了「多少」。 本讲四组题分别对应四件事：读新定义、数数阵、判单调与恒成立、变形递推。做新定义题时，先照着定义把前四项写出来，往往规律自己就露出来了。 二、典型例题 例1　数阵定位：先数清前 行 把正整数排成一个三角形数阵：第 行有 个数，第 行的第 个数是 ，同一行中每个数都是它左边相邻那个数的 倍。把第 行的数记为 ，第 行的数从左到右依次记为 ，依此类推，则 （　　） A． B． C． D． 变式1　同法：连续奇数按行排布 将从 开始的连续奇数按每行 个排成数表，行内从左到右。若 位于第 行第 列，则 （　　） A． B． C． D． 例2　新定义判定：把「存在 」当成待定参数 （多选）对于数列 ，若存在常数 ，使得 对一切 成立，则称 是「 数列」。下列说法正确的有（　　） A．若 是 数列，则 也是 数列 B． 是 数列 C．若 ，且 （ 为常数），则 的前 项和为 D． 是 数列 变式2　同法：两个「递增」要分别验 （多选）若数列 为递增数列，且 也是递增数列，则称 为「双增数列」。下列数列是双增数列的有（　　） A． B． C． D． 例3　含参 ：先写出 ，再逐项验 （多选）设 （）是数列 的前 项和，则下列说法正确的有（　　） A． 与 的取值无关 B． 从第 项起递增的充要条件是 C．若 对一切 成立，则 D．若 的最小值为 ，则 变式3　同法：由递推式反解通项 （多选）数列 满足 （），则下列结论正确的有（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D． 可能为常数列 例4　新定义解答：前缀最大值构成的数列 （解答）记数列 前 项的最大值为 ，由 组成的数列称为 的「生成子列」，生成子列所有项组成的集合记为 。（1）若数列 为 ，求它的生成子列及集合 ；（2）若数列 只有 项，各项互不相同，且 （），它的生成子列的通项公式为 ，写出所有符合条件的数列 ；（3）若 （），且 中恰有 个元素，求实数 的取值范围。 变式4　同法：数阵中的恒等式 （解答）称 （）为数阵 的第 项。（1）若 ，求数阵中所有满足这一条件的项之和 ；（2）若 ，求证： 仍是该数阵中的某一项。 三、巩固练习 1．某金箔的规格按序号 排列：每个序号的金箔都有长、短两条边，且长边与短边的比值都相同；把一张 沿与短边平行的方向从正中裁开，恰好得到两张 。已知 的短边长为 mm，则 的长边长约为（　　） A． mm B． mm C． mm D． mm 2．（多选）数列 满足 ，且 （），则下列结论正确的有（　　） A． B． 是递增数列 C．若 为数列 的前 项和，则 D．若对任意 都有 ，则 3．（多选）在数列 中，（）， 为其前 项和，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 4．（解答）数列 的首项 ，若对任意 都有 （ 为常数，），则称 为「有界变差数列」， 称为它的变差上界。（1）当 时，求证：；（2）设 的各项都取到最大可能值，若 对一切 成立，求 的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $