第四章 数列 第7节 数列综合问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦数列综合问题，涵盖等差等比混合、结构不良试题、前项积、函数综合、最值、裂项放缩等高考核心考点，按“题型分类—例题解析—针对练习”架构梳理知识联系，通过考点精讲、方法归纳、真题训练帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料突出创新题型与素养导向，如结构不良试题引导学生选择条件组合论证，培养数学思维的推理能力；前项积问题转化为等差数列证明，发展数学眼光的抽象能力。设置分层练习适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生数列综合应用与应考能力。

第四章 数列 第7节 数列综合问题 一、等差与等比数列混合 【例1】已知数列和满足，，，． （1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）求和的通项公式． 【解析】（1）证明：，；，；即，；又，，是首项为1，公比为的等比数列，是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）可得：，；，． 二、结构不良试题 【例2】已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列；②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【解析】选择①③为条件，②结论． 证明：，，，故，得数列 是等差数列． 选择①②为条件，③结论： 设的公差为，则 ，数列 为等差数列，则，即，整理得，． 选择③②为条件，①结论： 由题意得，，则数列的公差为， 所以，当时，，当时上式也成立，故，由，知数列是等差数列． 三、前项积问题 【例3】记为数列的前项和，为数列的前项积，已知． （1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式． 【解析】（1）证明：当时，，由，解得，当时，，代入，消去，可得，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列． （2）由题意，得，由（1），可得，由，可得，当时，，显然不满足该式， 所以 【针对练习3-1】设是数列的前项之积，并满足：． （1）证明数列等差数列；（2）令，证明数列前项和． 【解析】（1）当时，可得，． ．又因为，，所以，所以是以为首项，为公差的的等差数列． （2）由（1）知，则，即， ， 即． 另证：，，，，…，，累加得． 四、数列与函数综合 【例4】已知等比数列{}的前项和为，，且，，成等差数列． （1）求数列{}的通项公式；（2）求证：． 【解析】（1）设{}的公比为，因为，，成等差数列，根据等差中项的性质，有，即，得，又，故数列{}的通项公式为． （2）因为，所以，则，即，得证． 【针对练习4-1】在数列中，已知，且满足，设，其中． （1）求证：数列为等比数列； （2）设函数，求的零点． 【解析】（1）证明：当时，．由，得 ，又，所以，即，所以数列是以为公比、为首项的等比数列． （2）由（I）知，，所以，得，即，令，即，化为，在同一坐标系中作出函数与的图象，易知两图象有两个交点，，又，所以的零点为． 五、最值问题 【例5】数列中，，． （1）求通项；（2）设，，若对任意恒成立，求实数的最大值． 【解析】（1）由…①，得时，，时，…②，①②，得，即，又，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，所以． （2）只需．易知，则 ，，所以，所以是递增数列，，所以，得，所以． 【针对练习5-1】已知等差数列，，． （1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数． 【解析】（1）设的公差为，由，，得 解得所以，即． （2）易得.易得，所以，使得对所有都成立的最小正整数． 六、裂项与放缩 【例6】设各项均为正数的数列的前项和为，满足， 构成等比数列． （1）证明：；（2）求数列的通项公式； （3）证明：对一切正整数,有． 【解析】（1）在中，当时，，解得． （2）由…①，得时，…②， ①②，得，即，所以，所以从第二项起，数列为等差数列，又，，构成等比数列，所以，即 ，所以，代入中，得，所以， 所以从第一项起，数列为等差数列，所以，即． （3）由（2）知，，，所以． 【针对练习6-1】已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式；（2）设，求证：． 【解析】（1）当时，由，得，解得， 当时，，化简为， 因为，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，得，又满足，所以的通项公式为． （2）由（1）知，，所以，所以． 当时，．由，，， ……．以上个式相加，得． 【针对练习6-2】在数列中，设其前项和为.已知，且当时，． （1）求的通项公式；（2）证明：对一切，. 【解析】（1）当时，由，得，即，变形为，即，所以数列是以为首项、为公差的等差数列，所以，得，所以当时，，故的通项公式为 （2）由（I）知，所以， 于是． 【针对练习6-3】已知数列的前项和为，且满足, ． (1)求证：是等差数列；（2）求； (3)若()，求证：． 【解析】（1），化为，是以为首项，为公差的等差数列． （2）由（I）知，，所以，当时，，两式相减，得．又，故 （3）当时，，所以 ． 【针对练习6-4】已知数列{}中，，（）． （1）求数列{}的通项公式；（2）求证：（）． 【解析】（1）由，得，又，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，所以，得． （2），所以． 【针对练习6-5】已知数列满足，． （1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）证明：． 【解析】（1），又，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，所以，得． （2），所以 ． 268 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 第7节 数列综合问题 一、等差与等比数列混合 【例1】已知数列和满足，，，． （1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）求和的通项公式． 二、结构不良试题 【例2】已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列；②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 三、前项积问题 【例3】记为数列的前项和，为数列的前项积，已知． （1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式． 【针对练习3-1】设是数列的前项之积，并满足：． （1）证明数列等差数列；（2）令，证明数列前项和． 四、数列与函数综合 【例4】已知等比数列{}的前项和为，，且，，成等差数列． （1）求数列{}的通项公式；（2）求证：． 【针对练习4-1】在数列中，已知，且满足，设，其中． （1）求证：数列为等比数列； （2）设函数，求的零点． 五、最值问题 【例5】数列中，，． （1）求通项；（2）设，，若对任意恒成立，求实数的最大值． 【针对练习5-1】已知等差数列，，． （1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数． 六、裂项与放缩 【例6】设各项均为正数的数列的前项和为，满足， 构成等比数列． （1）证明：；（2）求数列的通项公式； （3）证明：对一切正整数,有． 【针对练习6-1】已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式；（2）设，求证：． 【针对练习6-2】在数列中，设其前项和为.已知，且当时，． （1）求的通项公式；（2）证明：对一切，. 【针对练习6-3】已知数列的前项和为，且满足, ． (1)求证：是等差数列；（2）求； (3)若()，求证：． 【针对练习6-4】已知数列{}中，，（）． （1）求数列{}的通项公式；（2）求证：（）． 【针对练习6-5】已知数列满足，． （1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）证明：． 268 学科网（北京）股份有限公司 $