培优课 数列的综合问题 讲义-2027年高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦数列奇偶项处理、放缩法证明不等式、新情境问题等核心考点，按题型分角度系统梳理，通过考点分析明确命题规律，方法指导提炼分组并项、放缩技巧等策略，真题讲解结合典型例题示范，跟踪训练强化应用，帮助学生构建解题框架，突破数列求和与证明难点。 资料以数学思维和数学眼光为导向，创新设计分层教学活动，如奇偶项问题通过分n奇偶讨论培养逻辑推理能力，放缩问题结合裂项技巧训练抽象概括能力，新情境问题以交叉排列实例强化模型意识。设置基础巩固与能力提升练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

题型分析　1.数列中的奇偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列. 2.证明数列不等式，有时需要应用放缩法结合数列的求和解决，求解的方法有先放缩再求和或先求和再放缩. 题型一　奇偶项问题 角度1　含有(－1)n的类型 例1 设cn＝(－1)n＋1(2n－1)，求数列{cn}的前n项和Sn. 解　当n为偶数时， Sn＝(21－1)－(22－1)＋(23－1)－(24－1)＋…＋(2n－1－1)－(2n－1) ＝21－22＋23－24＋…＋2n－1－2n＝＝[1－(－2)n]＝(1－2n)； 当n为奇数时，n－1为偶数， 所以Sn＝Sn－1＋cn＝(1－2n－1)＋2n－1＝， 综上所述，Sn＝ 角度2　已知条件明确的奇偶项问题 例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝求Sn. 解　法一　当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝(1＋3＋…＋n－1)＋[＋＋…＋]＝＋＝＋1－. 当n为奇数时，n－1是偶数， Sn＝Sn－1＋an＝＋1－＋n＝＋1－. 综上，Sn＝ 法二　∵an＝ ∴a2n－1＝2n－1，a2n＝， ∴S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝(1＋3＋…＋2n－1)＋[＋＋…＋]＝＋ ＝n2＋1－. S2n－1＝S2n－a2n＝n2＋1－－＝n2＋1－. 综上所述， Sn＝ 感悟提升　1.含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和； 2.对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1. 跟踪训练1 设bn＝，求数列{bn}的前2n项和T2n. 解　bn＝＝(－1)n， 所以T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝－＋－＋＋…－＋ ＝－＋＝－. 题型二　放缩问题 角度1　先求和再放缩 例3 已知an＝，证明：＋＋…＋＜2. 证明　因为an＝， 所以＝＝2， 所以＋＋…＋＝2[＋＋…＋＋]＝2<2. 角度2　先放缩再求和 例4 (2026·盐城质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，求证： <Tn<. (1)解　∵4Sn＝anan＋1，n∈N*， ∴4a1＝a1·a2，又a1＝2，∴a2＝4， 当n≥2时，4Sn－1＝an－1an，得4an＝anan＋1－an－1an. 由题意知an≠0，∴an＋1－an－1＝4， ∴数列{an}的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差都为4， ∴a2k－1＝2＋4(k－1)＝2(2k－1)， a2k＝4＋4(k－1)＝2·2k， ∴该数列是等差数列，首项为2，公差为2. 综上可知，an＝2n，n∈N*. (2)证明　∵＝>＝， ∴Tn＝＋＋…＋> ＝＝. 又∵＝<＝＝. ∴Tn＝＋＋…＋ <＝<. 即得<Tn<. 感悟提升　放缩法的注意事项以及解题策略： (1)对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式；若不能求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式.放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和的数列. (2)明确放缩的方向：若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小. (3)放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，可从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始. (4)常见的放缩技巧有： ①＜＝； ②－＜＜－； ③2(－)＜＜2(－)； ④＜＜，＜≤. 跟踪训练2 求证：＋＋＋…＋＜2(n∈N*). 证明　因为＜， 所以不等式左边＜＋＋＋…＋. 令A＝＋＋＋…＋， 则A＝＋＋＋…＋， 两式相减得A＝＋＋＋…＋－＝1－－， 所以A＝2－＜2，即不等式得证. 题型三　新情境问题 例5 (2026·杭州质检)由整数构成的等差数列{an}满足a3＝5，a1a2＝2a4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}的通项公式为bn＝2n，将数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{cn}，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列{cn}的前(4n＋3)项和T4n＋3. 解　(1)由题意，设数列{an}的公差为d， 因为a3＝5，a1a2＝2a4， 可得 整理得(5－2d)(5－d)＝2(5＋d)， 即2d2－17d＋15＝0， 解得d＝或d＝1， 因为{an}为整数数列，所以d＝1， 又由a1＋2d＝5，可得a1＝3， 所以数列{an}的通项公式为an＝n＋2. (2)由(1)知，数列{an}的通项公式为an＝n＋2， 又由数列{bn}的通项公式为bn＝2n， 根据题意，得新数列{cn}，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…， 则T4n＋3＝b1＋a1＋a2＋b2＋b3＋a3＋a4＋b4＋…＋b2n－1＋a2n－1＋a2n＋b2n＋b2n＋1＋a2n＋1＋a2n＋2 ＝(b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n＋1)＋(a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n＋2) ＝＋ ＝4n＋1＋2n2＋9n＋5. 感悟提升　新情境下的数列问题的求解策略 (1)深入新情境，建立数列模型，如本题要理解“新数列”的含义； (2)利用新定义，求解数列模型，将新定义和原有知识相联系，和数列的通项、求和相结合. 跟踪训练3 已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100. 解　(1)由于数列{an}是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q， 依题意有 解得(舍)或 所以{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*. (2)由于21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128， 所以b1对应的区间为(0，1]，则b1＝0； b2，b3对应的区间分别为(0，2]，(0，3]， 则b2＝b3＝1，即有2个1； b4，b5，b6，b7对应的区间分别为 (0，4]，(0，5]，(0，6]，(0，7]， 则b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有22个2； b8，b9，…，b15对应的区间分别为(0，8]，(0，9]，…，(0，15]， 则b8＝b9＝…＝b15＝3，即有23个3； b16，b17，…，b31对应的区间分别为(0，16]，(0，17]，…，(0，31]， 则b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24个4； b32，b33，…，b63对应的区间分别为(0，32]，(0，33]，…，(0，63]， 则b32＝b33＝…＝b63＝5，即有25个5； b64，b65，…，b100对应的区间分别为(0，64]，(0，65]，…，(0，100]， 则b64＝b65＝…＝b100＝6，即有37个6. 所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480. 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型分析　1.数列中的奇偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列. 2.证明数列不等式，有时需要应用放缩法结合数列的求和解决，求解的方法有先放缩再求和或先求和再放缩. 题型一　奇偶项问题 角度1　含有(－1)n的类型 例1 设cn＝(－1)n＋1(2n－1)，求数列{cn}的前n项和Sn. 角度2　已知条件明确的奇偶项问题 例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝求Sn. 感悟提升　1.含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和； 2.对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1. 跟踪训练1 设bn＝，求数列{bn}的前2n项和T2n. 题型二　放缩问题 角度1　先求和再放缩 例3 已知an＝，证明：＋＋…＋＜2. 角度2　先放缩再求和 例4 (2026·盐城质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，求证： <Tn<. 感悟提升　放缩法的注意事项以及解题策略： (1)对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式；若不能求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式.放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和的数列. (2)明确放缩的方向：若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小. (3)放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，可从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始. (4)常见的放缩技巧有： ①＜＝； ②－＜＜－； ③2(－)＜＜2(－)； ④＜＜，＜≤. 跟踪训练2 求证：＋＋＋…＋＜2(n∈N*). 题型三　新情境问题 例5 (2026·杭州质检)由整数构成的等差数列{an}满足a3＝5，a1a2＝2a4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}的通项公式为bn＝2n，将数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{cn}，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列{cn}的前(4n＋3)项和T4n＋3. 感悟提升　新情境下的数列问题的求解策略 (1)深入新情境，建立数列模型，如本题要理解“新数列”的含义； (2)利用新定义，求解数列模型，将新定义和原有知识相联系，和数列的通项、求和相结合. 跟踪训练3 已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100. 学科网（北京）股份有限公司 $