精品解析：河南鹤壁市淇滨区2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年上期（期中）教学质量调研测试 九年级数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用算术平方根的非负性排除选项C，再通过二次根式加减运算排除A、B，最后验证选项D． 【详解】解：， ∴A错误； ， ∴B错误； ， ∴C错误； ， ∴D正确． 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且． 由得，即． 由得． ∴． 4. 某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元．设平均每天票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“三天累计票房6.62亿元”列一元二次方程即可；掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键． 【详解】解：设平均每天票房增长率为x，则第二票房收入，第三票房收入， 由题意可得：． 故选A． 5. 如图，，是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得，则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，已知一个公共角相等，所以再添加一组角相等，或者夹这个角的两边对应成比例即可判断两三角形相似，据此即可求解． 【详解】解：已知， A. ，两边成比例，夹角相等，可证明，不符合题意， B. ，不能证明，符合题意， C. 加上条件 ，可证明，不符合题意， D. 加上条件，可证明，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中与位似，且原点为位似中心，其位似比，若点，则其对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于位似的两个图形在原点的两旁，则B点的两个坐标分别乘即得的坐标． 【详解】解：由题意得：点，则其对应点的坐标为 故选：B． 【点睛】本题考查了两个图形的位似知识，当位似的两个图形在原点的同侧时，位似比为正；否则为负，掌握此点是关键． 7. 已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程x2﹣8x+15=0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A. 12或4 B. 6或2 C. 6 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】∵x2﹣8x+15=0， ∴(x﹣3)(x﹣5)=0，得x1=3，x2=5； 当x1=3时，与另两边组成等腰三角形，可求得底边4上的高为， 所以该三角形的面积为； 当x2=5时，与另两边组成直角三角形，即3,4,5符合直角三角形， 所以该三角形的面积为. 故选B. 8. 如图所示，在中，F为的中点，延长至点E，使，连结交于点G，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据平行四边形性质和中点定义表示出，利用相似三角形判定和性质求出面积比，结合选项确定题目意图． 【详解】解：设， ， ． 四边形是平行四边形， ，． 为中点， ． ， ， ． 9. 如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 10. 如图，矩形中，，．点E在边上，点F在边上，点G、H在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（　　） A. B. C. 2.5 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形中，四边形是菱形，易证得，即可得，然后由勾股定理求得的长，继而求得的长，又由，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，交于， ∵四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 12. 若且，则__________． 【答案】18 【解析】 【分析】设公共比值为参数，将三个变量统一用参数表示后代入等式求解． 【详解】解：设， 根据比例的基本性质可得，，， 将上述表达式代入，得， 化简得， ∴． 13. 关于x的方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的正整数m的值__________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，再选取范围内的正整数即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得， ∵m为正整数， ∴满足条件的正整数m可取1，2，3中的任意一个． 14. 小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长，小尺长，点D到铁塔底部的距离，则铁塔的高度为_________m． 【答案】16 【解析】 【分析】设交于点，根据题意，证明，可得，代入数据即可求得． 【详解】如图，设交于点， ， ， ， ， ， ， ， 小明的手臂长，小尺长，点D到铁塔底部的距离， （m）， 故答案为：16. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15. 形如的化简，只要我们找到两个正数、，使得，，即有，，那么． 例如：． 根据上述材料中例题的方法，化简：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式变形运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： （1）上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； （2）“第二步”变形的数学依据是_____； （3）小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． （4）用配方法完整解方程 【答案】（1）降次；完全平方公式 （2）等式的基本性质 （3）三 （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． （1）根据降次思想，完全平方公式解答； （2）根据移项的依据是等式的性质解答； （3）由完全平方公式判断即可解答； （4）用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次， 其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次，完全平方公式； 【小问2详解】 解：“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； 【小问3详解】 解：小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 故答案为：三； 【小问4详解】 解：二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得，即． 由此，可得． 所以，． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法： （1）如图①，连结、交于点，直接写出：的值为_____； （2）如图②，在上找一点，使； （3）如图③，在上找一点，使的面积为，并写出证明． 【答案】（1）2 （2） 用无刻度的直尺连接格点，设交于点F，点F即为所求；如下图1所示： （3） 用无刻度的直尺连接格点，设交于点M，连接，则的面积为，如图3所示： 证明如下：依题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，作图—应用与设计作图． （1）依题意得，，，则，然后根据相似三角形的性质可得出答案； （2）用无刻度的直尺连接格点，设交于点F，点F即为所求； （3）用无刻度的直尺连接格点，设交于点M，连接，则的面积为，依题意得，，，，，则，根据相似三角形的性质可得出，，进而可得出的面积为． 【小问1详解】 解：依题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：理由如下： 连接，如图2所示： 依题意得：是直角三角形，，，，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，满足，求m的值． 【答案】（1）的取值范围是． （2）的值为． 【解析】 【分析】（1）结合关于x的一元二次方程有实数根，得出，再代入数值进行计算，即可作答； （2）利用根与系数的关系将转化为含m的代数式，结合已知等式列方程求解，即可作答． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实数根，， ． 即， 解得； 【小问2详解】 解：∵，是该方程的两个根， ∴由根与系数的关系得：，． ，且， ． 整理得， 解得． 20. 某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为50元时，一月份销售200件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到288件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率． （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在288件的基础上增加8件．当商品降价多少元时，超市该月获利5120元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价4元时，超市该月获利5120元． 【解析】 【分析】（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利5120元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价4元时，超市该月获利5120元． 21. 请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 【答案】（1） ∵， ∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到△ABD的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∵AD平分∠BAC， ∴，即， ∴， ∴， ∴△ABD的周长． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键． 22. 小山根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小山的探究过程．请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：_____．（填写一个符合上述运算特征的例子）： （2）观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：_____． （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律化简：． 【答案】（1）； （2） （3） 解：等式左边右边， 故猜想成立； （4） 【解析】 【分析】（1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）对（2）的等式的左边进行整理，即可求证； （4）利用（2）中的规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：特例1： 特例2： 特例3： 用含的式子表示为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解： ． 故答案为：． 23. 定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫这个三角形的“和谐分割线”． 例如：如图1所示，把分成和，若是等腰三角形，且，那么就是的“和谐分割线”． 请回答下列问题： （1）如图1所示，在中，，，点在上，且．求证：是的“和谐分割线”； （2）如图2所示，在中，，是的“和谐分割线”，它把分成和，其中是等腰三角形，且，则的度数是 ． （3）如图3所示，在中，，，是的“和谐分割线”，它把分成和，其中是以为底边的等腰三角形，且，求和谐分割线的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的“和谐分割线”； （2）或 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出角的度数，进而利用相似三角形的判定解答即可； （2）分两种情况讨论，根据题意解答即可； （3）根据相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时， 得， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 此时， 不存在，舍去； 综上分析可知，的度数为或； 【小问3详解】 解：∵是的“和谐分割线”，且是以为底边的等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， 解得：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期（期中）教学质量调研测试 九年级数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 不存在 4. 某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元．设平均每天票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得，则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中与位似，且原点为位似中心，其位似比，若点，则其对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 7. 已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程x2﹣8x+15=0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A. 12或4 B. 6或2 C. 6 D. 2 8. 如图所示，在中，F为的中点，延长至点E，使，连结交于点G，则的值为（） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，矩形中，，．点E在边上，点F在边上，点G、H在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（　　） A. B. C. 2.5 D. 1.5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：________． 12. 若且，则__________． 13. 关于x的方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的正整数m的值__________． 14. 小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长，小尺长，点D到铁塔底部的距离，则铁塔的高度为_________m． 15. 形如的化简，只要我们找到两个正数、，使得，，即有，，那么． 例如：． 根据上述材料中例题的方法，化简：________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： （1）上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； （2）“第二步”变形的数学依据是_____； （3）小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． （4）用配方法完整解方程 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法： （1）如图①，连结、交于点，直接写出：的值为_____； （2）如图②，在上找一点，使； （3）如图③，在上找一点，使的面积为，并写出证明． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，满足，求m的值． 20. 某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为50元时，一月份销售200件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到288件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率． （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在288件的基础上增加8件．当商品降价多少元时，超市该月获利5120元？ 21. 请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 22. 小山根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小山的探究过程．请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：_____．（填写一个符合上述运算特征的例子）： （2）观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：_____． （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律化简：． 23. 定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫这个三角形的“和谐分割线”． 例如：如图1所示，把分成和，若是等腰三角形，且，那么就是的“和谐分割线”． 请回答下列问题： （1）如图1所示，在中，，，点在上，且．求证：是的“和谐分割线”； （2）如图2所示，在中，，是的“和谐分割线”，它把分成和，其中是等腰三角形，且，则的度数是 ． （3）如图3所示，在中，，，是的“和谐分割线”，它把分成和，其中是以为底边的等腰三角形，且，求和谐分割线的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $