精品解析：广东省广州市执信中学2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题

2026-2027学年 广东省广州市执信中学高一第一学期期中卷 总分：150分 时间：120分钟 一、单选题 1. 设集合，，则集合内的最小元素为（ ） A. 2 B. 6 C. 10 D. 14 【答案】C 【解析】 【详解】，， 所以内的最小元素为10． 2. 命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全称量词命题的否定规则，需通过量词转换、结论否定两步推导匹配正确选项. 【详解】原命题为全称量词命题，其否定是特称命题. 所以命题：，的否定是 将全称量词“”替换为存在量词“”，保持论域不变，结论变为“”. 综上，命题的否定为“”，对应选项A. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将原不等式化为， 解得或， 所以原不等式的解集为或． 4. 已知某二次函数的最大值为2，其图象的顶点在一次函数的图象上，并且二次函数图象经过点，则二次函数的二次项系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设二次函数，则顶点坐标为. 二次函数的最大值为2，，顶点坐标为. 二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，且过点， ，解得，即二次函数的二次项系数. 5. 已知函数的定义域为，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知对任意的，恒成立，分、两种情况讨论，结合二次不等式恒成立可求出的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为，即对任意的，恒成立， 当时，则有，符合题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 6. 若，其中m，n均为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，可得函数为增函数，借助单调性即可得出结果. 【详解】由变形，可得：， 设函数， 因为指数函数在上是增函数，在上是减函数， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数. 由可得，即. 故选：C 7. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”. 所以，即实数a的最小值为. 故选：D. 8. ，这里，，，是实数.已知，，，则是 A. 2500 B. 不确定的 C. 2540 D. 860 【答案】C 【解析】 【详解】， ， ， 那么，. 选C. 二、多选题 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. ， B. ， C. “”是“”的充分不必要条件 D. “四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】对A配方即可判断；对B，求解方程即可判断；对C，解出一元二次不等式即可判断；对D，根据菱形和正方形关系即可判断. 【详解】对于A选项，因为，所以，此命题为真命题，A正确； 对于B选项，由，解得或，所以命题“”为假命题，B错误； 对于C选项，由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D选项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立， 但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误。 10. 若正实数a，b满足，则下列选项正确的是（ ） A. 有最小值2 B. 有最小值4 C. 有最小值2 D. 有最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意，根据基本不等式可判断选项A、B；对于选项C，先平方，再由选项A可求出最小值；对于选项D，通分化简为可求最值. 【详解】依题意，， 由基本不等式，，当且仅当时，等号成立， 有最小值2，选项A正确； ，当且仅当时，等号成立， 有最小值2，选项B错误； , 当且仅当时，等号成立， 所以有最小值为2，选项C正确； ， 如上式取最大值，须，且取最小值， ， 当且仅当时，等号成立， 所以有最大值，选项D正确. 故选：ACD 11. 已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 在上单调递增 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：由为偶函数，结合时的解析式计算即可得；对B：由为奇函数，结合A中所得即可得；对C：由题意可得函数周期性，结合指数函数的单调性即可得解；对D：由函数周期性计算即可得. 【详解】对A：由为偶函数，则， 当时，，则， 即当时，，故A正确； 对B：由为奇函数，则有， 即，即， 故当时，，则， 即，故B错误； 对C：由， ， 则，， 即，故为周期为的周期函数， 由当时，，可得在上单调递增， 故在上单调递增，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 三、填空题 12. 已知集合，若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 13. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系，利用韦达定理得出的参数之间的关系，再由分式不等式解法即可求得结果. 【详解】由关于的一元二次不等式的解集为可知： 1和3是方程的两根，且； 由韦达定理可得，即， 则不等式即为， 所以，可得，即， 所以，解得或； 因此不等式的解集为. 14. 已知函数，．若，，使得，则实数的最大值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知，函数在[3，+∞) 的值域是函数在[3.+∞)上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系可求实数a的取值范围. 【详解】由题意可知，函数在[3，+∞) 的值域是函数在[3.+∞)上值域的子集， ，等号成立的条件是，即x=3 ，成立， 即函数在[3.+∞)的值域是[4.+∞)， ，是增函数，当x∈[3.+∞)时，函数的值域是， 所以，解得: 1<a≤2， 所以实数a的最大值是2. 故答案为: 2. 【点睛】本题考查双变量的函数关系求参数的取值范围，重点考查函数的值域，子集关系，属于较难题. 四、解答题 15. （1）已知集合，，当时，求，，； （2）已知集合，且.若：是：的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），，或；（2）. 【解析】 【分析】（1）当时，先化简集合A，再利用数轴进行集合的交并补运算可得；（2）先解一元二次不等式得集合A，再将充分不必要条件转化为是的真子集，并结合数轴可得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，则，， 所以，； 根据德摩根定律， 或. （2）解一元二次不等式，，解得， 所以. 若：是：的充分不必要条件，且且， 所以是的真子集且，则，，解得， 因此实数的取值范围为. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称. （1）求实数的值； （2）在平面直角坐标系中作出函数的图像： （3）已知点与点都在幂函数的图象上.若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由题是幂函数，故，解得或， 又图象关于轴对称，即是偶函数， 当时，是奇函数，不满足条件，舍去； 当时，是偶函数，满足条件，故. 【小问2详解】 由（1）得，， 先画，开口向上的抛物线，顶点，零点， 再将轴下方的部分沿轴翻折到上方即为的图象，图象如下图所示. 【小问3详解】 由题意得，，， ，即有 ，化简整理得， 解得. 17. 2026年全国农民丰收节主会场在湖北省襄阳市枣阳市东郊村举行，丰收市集、农特产品展销、智慧农机展示、农耕文化体验、丰收村晚等一系列特色活动吸引了大量游客前来打卡游玩．依托丰收节带来的人气，东郊村计划在年新增一个特色体验项目，通过调研分析可知：运营该项目全年需投入固定成本万元；若年接待游客为（千人），则还需要额外投入成本（万元），且．该体验项目市场定价为每位游客元，且每年内接待的游客当年能全部服务完． （1）求出年该新增项目的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式： （2）年年接待游客量为多少（千人）时，该新增项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年接待游客量为千人时利润最大，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）由题知“利润=总收入-固定成本-额外投入成本”求表达式. （2）分开讨论当时和当时对应的的最大值，求出整体的最大值即可. 【小问1详解】 设总收入为，由题得（万元）， ， 当时，， 当时，， 【小问2详解】 由（1）知； ①当时，，由函数在上单调递增，在上单调递减，， ②当时，， 当即时取等号， 综上所述，年年接待游客量为千人时利润最大，最大利润为万元. 18. 若对，函数在区间上有最大值和最小值，则称函数为函数的“单位波动函数”． （1）若，求； （2）若，求的最小值； （3）设的单位波动函数为，再定义的单位波动函数为． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）设．若关于的方程恰有4个不同的实数解，求的取值范围． 【答案】（1）4 （2）1 （3）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性结合定义直接求解即可； （2）根据定义分类讨论的范围，即可得出的解析式，根据图像即可求解最小值； （3）根据定义分类讨论的范围，得出的解析式；再数形结合，由方程恰有4个不同的实数解结合图像列出不等式即可求解． 【小问1详解】 因为是定义在上的减函数， 所以在区间上，最大值, 最小值, 所以． 【小问2详解】 ①当时，区间为，， ； ②当时，， ； ③当时，， ； ④当时，， ； ⑤当时，， ； 所以，作出函数图像， 所以的最小值为1． 【小问3详解】 由（2）知，， 由图像可知，函数图像关于直线对称，即为偶函数， 所以也为偶函数， ①当时，区间为，， ； ②当时，， ； ③当时，， ； ④当时，， ； 综上，． （ⅱ）作出函数的图像， 关于的方程恰有4个不同的实数解函数与有4个不同的交点， 设，，所以函数也为偶函数， 当时，与有2个不同的交点， ①当时，与有1个交点，则 ②当时，令（舍）或， 所以当时，与最多有1个交点， 若有一个交点，则； ③当时，与最多有1个交点， 若有一个交点，则； 所以当时，与有2个交点， 当时，与有2个交点， 当时，与只有1个交点， 综上，时，方程恰有4个不同的实数解． 19. 对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，． （1）若，求的“稳定点”； （2）若函数，存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围； （3）若，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据稳定点的定义解方程即可. （2）不动点即，化简为关于的方程，令，利用根的分布必有一根为正根和一个零根求解即可. （3）利用，即的全部根都是的根，先对四次方程因式分解，再讨论剩余二次方程无根、或者根全部落在内两种情况即可. 【小问1详解】 由有，解得，所以函数的“稳定点”为. 【小问2详解】 若存在，使函数有三个不同的不动点， 即， 可化为关于的方程有三个不等实根， 令，则， 由于非负数，所以必有一根为正根和一个零根， 由为方程的根代入可知，即， 此时方程，即， 由另一根为正根可知，解得. 故的值为，实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，则方程有实根，即有实根， 所以或，解得. 又由，得，即， 由，故方程左边含有因式即， 所以方程要么无实根，要么根是方程的解. 当方程无实根时， 或，即， 当方程有实根时， 则方程的根是方程的解， 则有，代入方程得，故， 将代入方程，得，所以． 综上：的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年 广东省广州市执信中学高一第一学期期中卷 总分：150分 时间：120分钟 一、单选题 1. 设集合，，则集合内的最小元素为（ ） A. 2 B. 6 C. 10 D. 14 2. 命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 4. 已知某二次函数的最大值为2，其图象的顶点在一次函数的图象上，并且二次函数图象经过点，则二次函数的二次项系数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 6. 若，其中m，n均为实数，则（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. ，这里，，，是实数.已知，，，则是 A. 2500 B. 不确定的 C. 2540 D. 860 二、多选题 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. ， B. ， C. “”是“”的充分不必要条件 D. “四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 10. 若正实数a，b满足，则下列选项正确的是（ ） A. 有最小值2 B. 有最小值4 C. 有最小值2 D. 有最大值 11. 已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 在上单调递增 D. 三、填空题 12. 已知集合，若，则________ 13. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为________ 14. 已知函数，．若，，使得，则实数的最大值为________． 四、解答题 15. （1）已知集合，，当时，求，，； （2）已知集合，且.若：是：的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称. （1）求实数的值； （2）在平面直角坐标系中作出函数的图像： （3）已知点与点都在幂函数的图象上.若，求实数的取值范围. 17. 2026年全国农民丰收节主会场在湖北省襄阳市枣阳市东郊村举行，丰收市集、农特产品展销、智慧农机展示、农耕文化体验、丰收村晚等一系列特色活动吸引了大量游客前来打卡游玩．依托丰收节带来的人气，东郊村计划在年新增一个特色体验项目，通过调研分析可知：运营该项目全年需投入固定成本万元；若年接待游客为（千人），则还需要额外投入成本（万元），且．该体验项目市场定价为每位游客元，且每年内接待的游客当年能全部服务完． （1）求出年该新增项目的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式： （2）年年接待游客量为多少（千人）时，该新增项目所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 若对，函数在区间上有最大值和最小值，则称函数为函数的“单位波动函数”． （1）若，求； （2）若，求的最小值； （3）设的单位波动函数为，再定义的单位波动函数为． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）设．若关于的方程恰有4个不同的实数解，求的取值范围． 19. 对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，． （1）若，求的“稳定点”； （2）若函数，存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围； （3）若，且，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $