精品解析：九师联盟（甘肃、黑龙江、吉林、内蒙古）2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数（占35%左右），导数，三角函数与三角恒等变换，平面向量（占65%左右）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在平行四边形中，，分别是，的中点，若，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 5. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，sin，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的奇函数满足：当时，，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数的最小值为2 C. 函数的最小值为 D. 若实数，满足，，则 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. 若的图象和的图象交于，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小正周期为__________. 13. 若平面向量，满足，则__________． 14. 已知函数，（，且，），若存在，对，，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）若，求α的值； （2）若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的单调递增区间. 16. 在直角坐标系中，，. （1）若点满足，求点的坐标； （2）已知为原点，求的面积. 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）证明：函数至多有1个零点. 18. 设，表示不超过的最大整数，例如：，，. （1）求和的值； （2）解方程：； （3）设，求的值. 19. 设函数，且. （1）求，的值； （2）若的极小值点为，求证：在上单调递减； （3）已知，若对，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数（占35%左右），导数，三角函数与三角恒等变换，平面向量（占65%左右）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】集合含2个元素，其子集个数为. 2. 已知角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义，直接求解即可． 【详解】由三角函数定义，得． 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】等价于，故“”是“”的充要条件. 4. 在平行四边形中，，分别是，的中点，若，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由题，， 故，故. 5. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由对数函数的性质，得， 所以. 6. 已知，sin，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知， ， 则有， ， 两式相加得，所以. 7. 已知定义域为的奇函数满足：当时，，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数性质求出的图象，将函数零点问题转化为水平直线与函数图象的交点个数问题，结合二次函数的最值与图象特征确定参数范围. 【详解】由奇函数，得，作出函数的图象如图所示，因为有3个零点，所以直线与函数的图象恰有3个交点， 所以，即实数的取值范围是. 8. 已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数几何意义，列出方程组，化简可得，结合基本不等式，即可求得其最小值. 【详解】设函数和直线切于点， 又，则， 由，可得， 代入，得， 化简得， 由知，所以， 当且仅当，即时取得等号，即的最小值为1. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数的最小值为2 C. 函数的最小值为 D. 若实数，满足，，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，若，则由对勾函数性质可知的值域为， 因此可得，即A正确； 对于B，易知，令， 再由对勾函数在上单调递增， 所以，即函数的最小值为，即B错误； 对于C,令，则函数可表示为， 显然函数在处取得最小值，即， 所以函数的最小值为，即C正确； 对于D，若实数，满足，，可得； 则, 当且仅当时，即时，等号成立，即D正确. 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. 若的图象和的图象交于，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，对称性和函数求和运算逐项分析即可. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 即，所以函数的图象关于点对称，故A正确；， ，故B正确； 由选项AB知的图象与的图象都关于点对称，由对称性知，故C错误； 由选项AB知对，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小正周期为__________. 【答案】## 【解析】 【详解】函数的最小正周期为. 13. 若平面向量，满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据结合模长公式先求得，再利用模长公式求. 【详解】， 因为，所以，解得； 所以. 14. 已知函数，（，且，），若存在，对，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过对的取值进行分类讨论，结合对数函数的定义域及单调性，列出不等式，求解即可. 【详解】由题意，对，，即对，， 当时，函数单调递增， 所以对，由，可得且， 即， 所以且对恒成立， 令，则， 令，所以在上单调递增， 所以，， 即，， 又，所以且，无解； 当时，单调递减， 所以对，由，可得，且， 即， 所以且对恒成立， 又，且， 所以，即的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）若，求α的值； （2）若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求得值，代入到中将化简为正弦型函数，再根据求α的值； （2）根据左加右减得到的解析式，再根据正弦型函数的性质求的单调递增区间. 【小问1详解】 因为，所以，解得. ， 因为，所以， 又，所以，解得. 【小问2详解】 因为将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 所以. 令，得， 所以的单调递增区间为. 16. 在直角坐标系中，，. （1）若点满足，求点的坐标； （2）已知为原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，根据向量线性运算的坐标运算可得解； （2）根据向量的夹角公式可得，进而可得，再根据三角形面积公式可得解. 【小问1详解】 设点， 由，，，得， 所以，解得， 即点的坐标为. 【小问2详解】 因为，，所以，， 则， 即，且， 所以， 所以的面积． 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）证明：函数至多有1个零点. 【答案】（1）①若， 在上单调递增； ②若，在和上单调递增，在上单调递减； ③若，在和上单调递增，在上单调递减 . （2）证明：由（1）知，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，极大值为， 所以在上至多1个零点，在上没有零点，即至多有1个零点； 当时，在上单调递增，且，所以在上有唯一的零点； 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以在上没有零点，且在上至多有1个零点，即至多有1个零点； 综上所述，至多有1个零点. 【解析】 【分析】（1）利用函数导数与单调性对参数，，进行分类讨论即可； （2）利用函数导数与函数单调性，函数导数与函数极值，结合（1）中的结论分析即可. 【小问1详解】 由函数的定义域为，， ①若，因为，所以在上单调递增； ②若， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减； ③若， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减. 【小问2详解】 略. 18. 设，表示不超过的最大整数，例如：，，. （1）求和的值； （2）解方程：； （3）设，求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义和三角函数值的范围分析求解即可； （2）根据函数新定义，结合，，三种情况分别讨论即可； （3）分，进行讨论，结合裂项，放缩得出所求式子的范围，再结合函数新定义即可得出结论. 【小问1详解】 由题意知， 因为，所以. 【小问2详解】 当时，， 代入得：， 又，所以方程无解； 当时，， 代入得：，所以， 由，所以，所以； 当时，， 代入得：，所以， 由，所以，此时无解； 综上所述，方程的解集为. 【小问3详解】 当时，， 当时，因为， 所以， 又，所以，所以， 所以， 综上所述，. 19. 设函数，且. （1）求，的值； （2）若的极小值点为，求证：在上单调递减； （3）已知，若对，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，，所以. 因为是的极小值点，所以. 因为，所以， 令，，在恒成立，所以在上是单调递减函数， 所以， 所以在上是单调递减函数. （3） 【解析】 【分析】(1)求的定义域、导函数，由列方程组可求解，； (2)由是的极小值点得，写出，求，令，由在恒成立得在是单调递减函数，所以在恒成立，所以在上是单调递减函数； (3)构造函数，，把问题转化成对任意恒成立，且，求，再构造函数，求，，，由在上单调递增，再分别判断，时是否满足对任意恒成立确定实数的取值范围，从而得到实数的最大值. 【小问1详解】 由题设，， 由题设得，解得. 【小问2详解】 证明：由（1）知，，所以. 因为是的极小值点，所以. 因为， 所以 ， 令，，在恒成立， 所以在上单调递减， 所以， 所以在上单调递减. 【小问3详解】 令，， 由题设知对任意恒成立.且. 则， 令，则，， 因为在上单调递减，所以在上单调递增，且. 若，解得，在上单调递增， 所以在恒成立，所以在上单调递增， 所以在恒成立. 若，即时，一定使时，所以在上先减后增，又，所以在上一定会出现负值，故不满足条件. 综上实数的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $