精品解析：吉林长春市第五中学2026-2027学年度高三年级上学期数学学科阶段性测试（一）试题

长春市第五中学长春市田家炳实验中学 2026—2027学年度高三年级上学期 数学学科阶段性测试（一）试题 满分150 11月3日 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 为虚数单位，若，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 25 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在如图所示的方格纸中，（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A. B. C. D. 6. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 第届世界大学生冬季运动会将于年1月日至日在长春、吉林举办，我市某高中统计全校学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该校学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是方程的两个不等实根，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（ ） A. B. 直线是图象的对称轴 C. 点是图象的对称中心 D. 在上单调递增 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若随机变量，则方差 B. 在的展开式中的系数是80 C. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. 若随机变量的分布列为，则 11. 已知定义在上的函数满足，在下列不等关系中，一定成立的是（    ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则______ 13. 已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围是_____. 14. 已知函数（），若，，使得，则的最小值为______________． 四、解答题（共77分） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，．满足． （1）求角的大小： （2）设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 16. 已知函数 （1）若函数在处取得极值，求的值； （2）若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围. 17. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期． （2）求的单调递增区间． （3）若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围． 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）令，若在恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第五中学长春市田家炳实验中学 2026—2027学年度高三年级上学期 数学学科阶段性测试（一）试题 满分150 11月3日 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质以及交集运算，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：D. 2. 为虚数单位，若，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，再进行求模计算即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，结合两角差的正弦公式，可得答案. 【详解】因，则， 又，所以，则. 所以， 从而 . 4. 在如图所示的方格纸中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在方格纸上作出，可得结论. 【详解】如图，根据平行四边形法则，可知，而. 故选：B． 5. 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为是定义域为的奇函数，且， 所以, 因此， 因为，所以， ，从而，选C. 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 6. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求在处的切线方程为；利用导数相等求出的切点横坐标；代入切线方程解得. 【详解】对求导得，当时，，， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得， 将切点代入切线方程得，解得. 7. 第届世界大学生冬季运动会将于年1月日至日在长春、吉林举办，我市某高中统计全校学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该校学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设事件：爱好滑冰，事件：爱好滑雪， 由题意得，， 由概率加法公式， 即，故， 由条件概率公式得． 8. 已知，是方程的两个不等实根，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出与之间关系，再利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】由题意知，其中，，则， 所以，当且仅当，即，时取等号，故B正确. 故选：B. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（ ） A. B. 直线是图象的对称轴 C. 点是图象的对称中心 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，由诱导公式结合的最小值求解判断；对B、C，代入法验证；对D，整体代换结合性质判断. 【详解】对于A：将的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象， 所以，．因为的最小值为， 所以，解得，A错误； 对于B、C：因为， 则，，B、C都正确； 对于D：当时，，在上单调递增，D正确． 故选：BCD. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若随机变量，则方差 B. 在的展开式中的系数是80 C. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. 若随机变量的分布列为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据二项分布的方差公式和和方差的性质即可判断；对B ，根据二项展开式的通式即可计算；对C，利用残差定义即可判断；对D，首先根据分布列特点求出，再代入计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，在的展开式中，， 当时，，此时的系数，故B正确； 对于C，样本点与的残差相等，则有得，故C错误； 对于D，，得，故D正确， 故选：BD． 11. 已知定义在上的函数满足，在下列不等关系中，一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】构造函数，求导得到在R上单调递减，然后根据单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以 令，则， 因为，，所以，所以在R上单调递减， ，即，即，故A正确，B错； ，即，即，故C错，D正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则______ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算列方程，化简求得的值. 【详解】因为向量，， 所以， 又， 所以， 解得. 故答案为： 13. 已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由对任意恒成立得出，再结合复合函数的单调性得出即可. 【详解】由题意可知，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因为在上单调递减，则，故， 故，即； 因为函数在上单调递增，且在上单调递减， 则在上单调递减， 则，即， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数（），若，，使得，则的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的有界性可得函数在上能取到最大值和最小值，从而利用正弦函数性质得，求解即可. 【详解】若，，使得，则，或， 即函数在上能取到最大值和最小值， 因为，所以，所以，所以， 即正数的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，．满足． （1）求角的大小： （2）设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可； （2）（i）利用余弦定理求解即可；（ii）利用二倍角公式，两角差的正弦公式即可求解． 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得，， 可得， 因为，故，则， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，且，， （i）则，即， 解得或（舍），故； （ii）由， 得， 解得，则， 则，， 由， 所以 所以. 16. 已知函数 （1）若函数在处取得极值，求的值； （2）若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用极值点的意义得到，从而求得，再进行验证即可得解； （2）分类讨论的取值范围，利用导数得到的性质，从而得到且，解之即可得解. 【小问1详解】 因为，则， 因为函数在处取得极值，所以，解得， 当时，可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，符合题意，故. 【小问2详解】 由，其中， 当时，可得，单调递增， 此时函数至多有一个零点，不符合题意； 当时，令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，取得极大值，也是最大值， 最大值为， 又，且当时，， 所以要使得函数有两个零点，则满足， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）的分布列为 （2）类，理由如下： 若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以． 因为，所以小明应选择先回答类问题． 【解析】 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以的分布列为： （2）小明应选择先回答类问题，理由略 18. 已知函数． （1）求的最小正周期． （2）求的单调递增区间． （3）若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为 （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）先将函数解析式化简整理得到，再由正弦函数的周期性，即可求出结果； （2）根据正弦函数的单调性可求的单调递增区间； （3）关于的方程在上有解，则关于的方程在上有解，求出值域，即可得到关于的不等式，求解即可． 【小问1详解】 函数 故函数的最小正周期为． 【小问2详解】 令，解得， ∴单调递增区间为． 【小问3详解】 因为， 所以， 所以， 所以的值域为， 关于的方程在上有解， 则关于的方程在上有解， 所以， 所以， 所以实数的取值范围是． 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）令，若在恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，）. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（1）当时，得到，求得，得出，且，结合直线的点斜式方程，即可求解. （2）把在转化为在恒成立，令，利用导数求得函数的额单调性，零点的存在定理得到在上递减，在上递增，从而求得，即可求得整数的最大值. 【详解】（1）（1）当时，可得，则， 可得，且， 即函数在点处的切线的斜率， 所以切线方程为，即， 函数在点处的切线方程. （2）由， 因为在恒成立，即在恒成立， 即在恒成立， 令，可得， 令，可得在上单调递增，且， 所以存在，使得， 从而在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为在恒成立，所以， 所以整数的最大值为. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $