精品解析：河南鹤壁市淇滨区淇滨高级中学2026-2027学年上学期第二次月考高三数学试卷

2026-2027学年上学期第二次月考 高三数学试卷 分值：150；考试时间：120分钟； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意先解出集合A，进而得到结果． 【详解】由已知，集合，又， 所以. 2. 已知为虚数单位，的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果. 【详解】根据复数的乘方可知， 则，其虚部为. 故选：C 3. 已知，，，则a， b， c 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用中间值比较法，可得出，，，即可判断大小. 【详解】，所以， ，所以， ，所以. 4. 当时,函数的最小值是 A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】分子与分母同除以，得利用二次函数求最值即可解答 【详解】分子与分母同除以，得， 时，的最大值为 综上，的最小值为4 故选D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域，奇偶性，变化趋势结合图象判断即可. 【详解】因为， 所以， 解得 所以定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数， 当时，， 故选：A 6. 阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）是伟大的古希腊哲学家､数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上､下底面相切，则在该几何体中，图柱的体积与球的体积之比为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设球的半径为，根据题意可得圆柱的底面半径和高，由圆柱的体积公式和球的体积公式计算即可求体积之比. 【详解】设球的半径为， 由题意可知该球与圆柱侧面和上､下底面相切， 所以圆柱的底面半径为，圆柱的高为， 所以圆柱的体积，球的体积， 所以图柱的体积与球的体积之比为， 故选：A. 7. 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性，动植物死亡后，停止新陈代谢，不再产生，且原有的会自动衰变.经科学测定，的半衰期为5730年(设的原始量为1，经过x年后，的含量即)，现有一古物，测得其的含量为原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？(参考数据：，)（ ） A. 17190 B. 9168 C. 3581 D. 1910 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，令，得，利用换底公式结合对数的运算性质即可求出的值． 【详解】解：设的原始量为1，经过年后，的含量， 由题意可知：， 即， ， 令， 得：， ， 该古物距今约1910年． 故选：D. 【点睛】方法点睛：换底公式 且． 8. 已知定义在上的函数为单调函数，且对任意，恒有，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用换元法转化求解，，，求出的值即可求出的解析式，再求出零点即可． 【详解】因为，且在R上为单调函数， 设，则， ，，解得： 所以， 当时，解得， 函数的零点是， 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质举反例可判断A；利用基本不等式可判断B；由对数函数的单调性可判断C；由基本不等式可判断D. 【详解】对于A，若，则，当，时，不成立，故A错； 对于B，由，则，当且仅当取等号，故B正确； 对于C，由为单调递增函数，由，则，故C正确； 对于D，由，，则， 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：BCD 【点睛】本题考查了基本不等式的性质、基本不等式以及对数函数的单调性，属于基础题. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由图知：，即，而，可得，A正确； 且，可得，B错误； 为对称轴，C正确； 由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确； 故选：ACD 11. 已知是三个非零向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面数列数量积的定义即可判断A；对等式两边同时平方可得、，即可判断BC；根据共线向量和数量积的运算律计算即可判断D. 【详解】A：由，所以，不一定有，故A错误； B：因为，所以，即． 得，所以，故B正确； C：因为，所以，即， 得，故与反向，所以，故C正确： D：因为．所以存在实数，使得， 此时， 即，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义在上的奇函数单调递减，且满足，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性、单调性将不等式转化为自变量大小关系，再考虑到函数定义域可得的不等式组，从而求解即可． 【详解】，即为， 又是定义在，上的奇函数， ， 又定义在上函数单调递减， 解得， 实数的取值范围为，． 故答案为：， 【点睛】本题考查函数的定义域、奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想,属于基础题． 13. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，其中，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是__________. 【答案】 6 【解析】 【分析】先根据中位数是众数的倍，求出，然后根据百分位数的定义可求得结果. 【详解】由题可知，，，，，其中的中位数为，众数为， 所以，解得，则， 所以该组数据的第百分位数是. 14. 从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有_________种安排情况. 【答案】180 【解析】 【分析】先从人中选出4人，再考虑限制条件，进行计算即可. 【详解】按照先选再排的方法可知共有种方法. 故答案为：180 【点睛】本题考查组合问题的计算，属基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得，求得，即可求解； （2）由余弦定理可得，结合，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 因为，则，所以， 因为，所以. （2）因为，， 由余弦定理可得，整理得， 又，解得， 所以. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 16. 如图，长方体中，，， （1）求证：平面平面; （2）线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在. 【解析】 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【小问1详解】 因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. 【小问2详解】 设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 17. 某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则授予0分加分资格；若考核优秀，授予20分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立． （1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学考核都为优秀的概率； （2）记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）X的分布列为 X 期望为.【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率公式即得； （2）由题可知的所有可能取值为0，20，40，60．计算相应的概率可得分布列，再利用期望公式即得. 【小问1详解】 记“甲考核为优秀”为事件，“乙考核为优秀”为事件，“丙考核为优秀”为事件，“甲、乙、丙考核都为优秀”为事件． 则事件是相互独立事件，于是． 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为0，20，40，60． ， ， ， ． 所以随机变量X的分布列为 X ∴． 18. 已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的几何性质即可求解， （2）根据点差法，结合中点弦可得直线方程，即可根据弦长公式求解. 【小问1详解】 由焦点可知， 又一条渐近线方程为，所以， 由可得，解得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设中点的坐标为， 则 两式子相减得：， 化简得， 即，又，所以， 所以中点的坐标为， 所以直线的方程为，即. 将代入得，， 则， , 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调减区间为，单调增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的正负求解的单调区间； （3）分离参数，然后根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 由得，，，， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ，， ，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 【小问3详解】 由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期第二次月考 高三数学试卷 分值：150；考试时间：120分钟； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知，，，则a， b， c 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 当时,函数的最小值是 A. B. C. D. 4 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）是伟大的古希腊哲学家､数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上､下底面相切，则在该几何体中，图柱的体积与球的体积之比为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性，动植物死亡后，停止新陈代谢，不再产生，且原有的会自动衰变.经科学测定，的半衰期为5730年(设的原始量为1，经过x年后，的含量即)，现有一古物，测得其的含量为原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？(参考数据：，)（ ） A. 17190 B. 9168 C. 3581 D. 1910 8. 已知定义在上的函数为单调函数，且对任意，恒有，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 11. 已知是三个非零向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义在上的奇函数单调递减，且满足，则实数的取值范围为________. 13. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，其中，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是__________. 14. 从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有_________种安排情况. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，求的面积． 16. 如图，长方体中，，， （1）求证：平面平面; （2）线段上，是否存在点，使得平面. 17. 某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则授予0分加分资格；若考核优秀，授予20分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立． （1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学考核都为优秀的概率； （2）记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望． 18. 已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $